1.3直角三角形 同步达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.3直角三角形》同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．全等三角形的对应边相等 C．全等三角形的对应角相等 D．对顶角相等 2．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 3．下面三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①等边对等角；②同位角相等，两直线平行；③同角的补角相等． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．在中，下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的有    （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．命题“若，，则”的逆命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则， D．若，则， 6．如图，在中，，是高，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 7．如图，在中，，点D是边上一点，分别过点A，D作于点E，于点点G是直线上一点，作，则与的数量关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 8．如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（满分24分） 9．命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）． 10．已知命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”是 命题（填“真”或“假”）．写出它的逆命题 ，该命题是 命题（填“真”或“假”）． 11．直角的一个锐角等于，则其另一个锐角的度数为 ． 12．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 13．如图，是的角平分线，，垂足为D，，则 ． 14．如图，在中，，D是的中点，E是边上的一点，连接、，且，若，则 度． 15．如图，在中，，，，将沿折叠，点C的对应点E落在上，再将沿折叠，使得点A的对应点恰好与点E重合，则的长为 ． 16．如图，在中， ，，直线经过点，与相交 于点F，且于，于．给出下面四个结论：①；②与互余；③；④．其中，正确的序号为 ． 三、解答题（满分72分） 17．写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形． (2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． (3)对于任意两数a，b，如果，那么． 18．如图，中，是的角平分线，是边上的高． (1)若，，求的度数； (2)试求出与、之间的关系式． 19．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 20．如图，，； (1)求证：； (2)若，求的度数？ 21．小涵与爸爸妈妈在公园里荡秋千．如图，小涵坐在秋千的起始位置处，与地面垂直.小涵两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住小涵后用力一推，爸爸在处接住小涵．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，且． (1)求证：； (2)爸爸在处接住小涵时，求小涵在处时距离地面的高度． 22．在中，，点D在边上，过点A作交BD的延长线于E，于M，且，． (1)如果，求的度数； (2)求证：． 23．如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 24．（1）模型的发现： 如图1，在中，，，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，直线l，直线l，垂足分别为点D，请直接写出，和的关系． （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明． （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明． 参考答案 1．B 【分析】本题考查命题，涉及绝对值，全等三角形的性质，对顶角的性质；先写出每个命题的逆命题，并验证其真假即可． 【详解】解：A、逆命题为“如果，那么”，但a与b可能互为相反数，不一定相等，故A不符合题意； B、逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，是真命题，故B符合题意； C、逆命题为“若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等”，但对应角相等的三角形对应边不一定相等，不一定全等，故C不符合题意； D、逆命题为“若两个角相等，则它们是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，故D不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 3．B 【分析】此题考查了逆定理，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，同角的补角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆定理存在当且仅当逆命题为真． 【详解】∵ ①等边对等角的逆命题是等角对等边，为真命题，故存在逆定理； ∵ ②同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，为真命题，故存在逆定理； ∵ ③同角的补角相等的逆命题是相等的角是同角的补角，不一定成立，故不存在逆定理； ∴存在逆定理的有2个． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定； 根据每个条件，结合内角和为180°，推导是否有一个角为90°． 【详解】由三角形内角和为得， ① ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ② ∵， ∴设, ,， 则， 解得， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； ③ ∵， ∴， ∴代入内角和得，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故③正确； ④ ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴，无法确定有一个角为， ∴不一定是直角三角形。 ∴ 能确定是直角三角形的有①②③，共3个， 故选：C． 5．C 【分析】直接根据逆命题的定义即可得到答案． 【详解】解：命题“若，，则”的逆命题是：若，则，， 故选：C． 【点睛】本题考查了逆命题的定义，把一个命题的条件或结论互换后的新命题就是这个命题的逆命题，熟练掌握此定义是解题的关键． 6．C 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余．先求出，据此可求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 7．C 【分析】本题考查了垂直的定义和直角三角形两锐角互余的性质．分两种情况：当点G在线段上时，当点G在线段的延长线上时，根据垂直的性质得到直角，再结合已知角的关系，通过等量代换求出与的数量关系． 【详解】解：分两种情况： 当点G在线段上时，如图： ，， ． ，． ， ． 当点G在线段的延长线上时，如图： ，， ． ． ， ． 综上所述：与的数量关系是相等或互补， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角定理等知识，综合性强，难度较大．根据角平分线定义得到，，根据，得到，即可求出，故①正确；证明，进而证明，故②正确；先证明，再证明，故③正确；延长交于点M，证明，得到，进而证明，即可得到，从而证明，故④正确． 【详解】解：∵的角平分线与角平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵是外角， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图，延长交于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选：D 9．如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”． 故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形． 10． 真 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 假 【分析】原命题根据全等三角形的性质判断真假；逆命题通过交换原命题的条件和结论得到，并根据三角形面积与全等的关系判断真假． 【详解】解：原命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”是真命题，因为全等三角形的对应边和角都相等，所以面积一定相等． 逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”，该命题是假命题，因为面积相等的三角形不一定全等，例如底和高的乘积相等但形状不同的三角形． 故答案为：真；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假． 11． 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解决问题的关键． 由直角三角形两锐角互余直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：直角的一个锐角等于，则其另一个锐角的度数为， 故答案为：． 12．直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 13．/58度 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质． 根据垂直得出直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余得到角的度数关系，然后利用三角形的内角和定理得出，求出，然后利用角平分线的定义和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 14． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再根据三角形的判定与性质得，最后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵D是的中点， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．先由折叠的性质得到，，根据，求出，进而求出，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 16．①②④ 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形两锐角互余，根据题意得到，然后证明出，推出，进而逐项判断即可． 【详解】①∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，故①正确； ∴ ∵ ∴ ∴与互余，故②正确； ∵中， ∴，故③错误； ∵ ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②④． 故答案为：①②④． 17．(1)原命题真，见解析；逆命题假，反例：直角三角形角度45°，45°，90°． (2)原命题真，见解析；逆命题真，见解析． (3)原命题假，反例见解析 ；逆命题假，反例：取，，，满足，但． 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，正确互换原命题的“条件”和“结论”得到逆命题是解题关键． （1）原命题：设内角为x，，，用内角和定理求角，验证最大角为，判定为真．逆命题：举等腰直角三角形（内角比）的反例，判定为假． （2）原命题：用相反数定义（）推导和为0，判定为真．逆命题：由和为0推出，符合相反数定义，判定为真． （3）解题思路原命题：举的例子，验证，判定为假．逆命题：举的例子，验证但，判定为假． 【详解】（1）原命题：如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形． 真命题． 证明：设三个内角分别为x，，，由内角和为得，解得，最大角为，故为直角三角形． 逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么它的三个内角的度数之比为． 真假判断：假命题． 反例：等腰直角三角形的度数为45°，45°，90°，内角比为，不是． （2）原命题：两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． 真假判断：真命题． 证明：互为相反数的两个数满足（），则． 逆命题：两个非0数，如果它们的和等于0，那么这两个数互为相反数． 真假判断：真命题． 证明：若（），则，符合相反数的定义． （3）原命题：对于任意两数a， b，如果，那么． 真假判断：假命题． 反例：取，满足，但，，此时，不满足． 逆命题：对于任意两数a， b，如果，那么． 真假判断：假命题． 反例：取，，，满足，但． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高、角的和差等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线以及三角形的高可得、，再根据直角三角形两锐角互余以及角的和差即可解答； （2）由三角形内角和定理以及角平分线可得，再根据三角形的高可得，再根据直角三角形两锐角互余以及角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． 【详解】（1）证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即． （2）证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用角角边即可求证； （2）根据直角三角形两锐角互余得到，根据全等的性质，三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 21．(1)证明见解析 (2)小涵在处时距离地面的高度为 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，理解题意和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）由题可得，根据同角的余角相等得，又有，从而证得； （2）由可得， ，，所以，又因为在处时距离地面的高度，代入的长即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）， ，， ， 故处高度． 22．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据得到，进而得到的值，根据三角形内角和定理得到，进而得到，据此计算的度数即可； （2）过点D作于点F，根据、得到，进而证得；再根据、以及证得，进而得到，证得即可． 【详解】（1）解： 答：的度数为； （2）证明：过点D作于点F，如图： ， 、、 、 ． 23．（1）证明：∵，分别是边，边上的高， ∴； 又∵， ∴，． ∴； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 在和中， ∴（） ∴，． ． 是等腰直角三角形． ． ； （3）解：如图，过点作于点， 点是的中点 在和中， ， （）． ． ． 由（2）得，． 又， ． ． ． ． 24．（1）；（2）（1）的结论不成立，，理由见解析；（3）（1）的结论成立，，理由见解析； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得出结论； （2）仿照（1）的方法证明； （3）仿照（1）的方法证明． 【详解】证明：（1），理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：（1）的结论不成立，， 证明如下：， ， 直线l， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：（1）的结论成立， 证明如下：，， ， 在和中， ， ， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $