广东大湾区2026届普通高中毕业年级上学期联合模拟考试（一）数学试题

★启用前注意保密 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一) 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1.答卷前、考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填 写在答题卡上、将条形玛横贴在答题卡“条形码粘贴处” 2.作答选择题时、选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的 答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答 在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不 准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效 4.考生必须保证答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.已知集合A=(x|x2-x-220},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B= A.-2.1} B.{0,2 C.{-2,-1} D.{-2,-1,2) 2.在复平面内，复数2二（其中i为虚数单位）对应的点所在的象限为 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若a,b为非零向量，则“a∥b”是“|a+b|=|a|+1b|”的 A既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.充要条件 4,已知椭圆c:亡+少 1的离心率为5，则m= 2m'm-1 A.2 B.3 C.4 D.5 5.函数y=3与y=3-×的图象 A.关于y轴对称 B.关于直线x=1对称 C.关于直线x=-1对称 D.关于直线x=2对称 6.已知g=1og1a,b=c0s2,c=sin(-2)- 5 2 i如2'则 A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b 2026届大湾区联考（一）高三数学第1页共4页 7.点M在圆(x-4)2+y-1)2=4上，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P是抛物线上的动点， 则PF+PM的最小值为 A.5 B.4 C.3 D.2 8.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上同时出发逆时针作匀速圆周运动.P 的起点坐标为5马 2’2 角速度为1mds:Q的起点坐标为C汽，马 22 ),角速度为2rads.则 质点Q与P相遇点对应的坐标可能为 - 2, B.6-26+2 4 4 2√2 D.6+2,6-E 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.函数f(x)=cos(ax+p)(0>0,回<)的部分图象如图所示，则 A.f(Cx+)是奇函数 5 B.(x+)是偶函数 6 C.()=cos D.22>f202) 10.已知甲、乙两组样本各有1000个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，则 A.若甲、乙两组数据的平均数都为a,则新数据的平均数等于a B.若甲、乙两组数据的极差都为b,则新数据的极差可能大于b C.若甲、乙两组数据的方差都为c,则新数据的方差可能小于c D.若甲、乙两组数据的中位数都为d,则新数据的中位数等于d 2026届大湾区联考（一)高三数学第2页共4页 1.在长方体4BCD-AGA中，MB=BC=号4=1，点E为CG的中点，点P为平 面ADD,A内的一个动点（含边界)，则 ABE∥平面ABD B.四棱锥E-BBDD的外接球的表面积为8π C.平面ABE⊥平面ABE D.若PELAG,则点P的运动轨迹长度为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列[a}是等差数列，a4·a,是方程x2-6x+8=0的两实数根，则数列(a)的前20项 和为 13.已知△ABC的顶点坐标分别为A(2,3),B(1,0),C(-4.1),则∠BAC的角平分线所在的 直线方程为 14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的 任何一人.若第一次由甲传出，共传5次结束，记X表示球传回到甲手中的次数，则X的数 学期望E(X)= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b=4,c=2W5. (1)若a=6,求△ABC的面积： (2)若tan4=1-si通B 求a. cosB 16.(15分) 投壶游戏起源于中国古代六艺中的“射”艺，是射礼的演变和延续.甲、乙两位同学为了参 加投壶游戏比赛，进行了大量的投壶训练.从这些训练数据中随机抽取甲乙各100次投壶数据， 其中甲投中目标的次数为80次，乙投中目标的次数为85次.假设每次投壶相互独立，用频率估 计概率， (1)若现在让甲投壶4次，求甲投中目标的次数X的分布列及期望： (2)通过分析甲、乙的训练数据发现：若甲发挥正常，投中目标的概率为0.9，发挥不正常， 投中目标的概率为0.5：若乙发挥正常，投中目标的概率为0.95，发挥不正常，投中目标的概率 为0.6.设甲、乙发挥正常的概率分别为P,9,计算并比较P与9的大小. 2026届大湾区联考（一)高三数学第3页共4页 17.(15分) 已知函数f(x)=e-. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若方程f(x)=0在(0，+∞)上有两个不等实根x,和x2, ①求m的取值范围： ②证明：为+x2>2. 18.(17分) 如图，已知三棱台ABC-AB,C,A4=AB=B,B=2,B,C=2V3,点M是AC的中点，点 D是棱AB上靠近点B的四等分点，BD⊥AB,BC⊥平面ABB4· (1)求证：CC,⊥AB,: (2)求二面角M-BC-C的正弦值： (3)平面MCD将三棱台ABC-A,B,C分成两部 分，求体积较大部分与该棱台的体积之比， 19.(17分) 已知双曲线E:x2-3)2=1. (1)若直线！与双曲线E的左支及两条渐近线的交点从上到下依次为A,B,C,D,证明： AB =CD: (2)记集合M={Pn(xnyn)EElx,yn∈N,六<x2<<xn,h<y<…<yn). ①写出，P,R的坐标.猜想数列(xn{y}的通项公式（说明猜想过程，不用证明）. 并写出P,(x2,yn)和P41(xn+yn1)的递推关系式： ②试判断△OPPn◆1的面积是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由. 2026届大湾区联考（一)高三数学第4页共4页2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B A B c C D 1.【答案】D 【解析】A={xx2-x-2≥0}={xx≥2或x≤-l},AnB={←2，-1,2.故选D. 2.【答案】B 【解折1 其对应的点为 31 所在象限为第二象限.故选B. 1+i 2’2 3.【答案】B →→ 【解析】因为a,b为非零向量，|a+b=a+b等价于a,b同向，a∥b等价于a,b共线.故选B. 4.【答案】A m>0 【解析】由题意， m>1,所以m>1,所以2m>m-1,则2m-(m-》_3 2m ,解得m=2,故选A 4 5.【答案】B 【解析】设f(x)=3-,g(x)=3,显然g(x)=32=f(2-x),故y=f(x)与y=g(x)的图象 关于直线x=1对称.故选：B. 6.【答案】C 【解析】a=()5,所以0<a<1,因为？<2<T,则b=-1<cos2<0, 2 c=sin(-2)- =-in2+d<-2,故a>b>c,故选C sin2 sin2 7.【答案】C 【解析】由题意可知，设圆(x-4)2+(y-1)2=4的圆心A(4,1),半径r=2. 抛物线y2=4x的准线为X=-1, |PP」表示点P到准线的距离，|AA'|表示点A到准线的距离，如图，由抛物线的定义，可得 |PF|+|PM曰PP'I+|PM以PP|+|PA-2≥AA'|-2=5-2=3,故选C. 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案第1页（共12页） 8.【答案】D 【解折】设质点Q与P相遇时、用时，依题意有子+2)-（后+）=2不，解得1=2-音此时 质点Q落在严+21=4kπ+ 的终边上，此时质点Q的横坐标和纵坐标分别为：c0s二=6+、互 和 3 12 4 π √6-√2 ,所以Q的坐标为 √6+√6-迈 sin 故选D. 12 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AB ABD BCD 9.【答案】AB 【解析】由函数了(x)=cos(or+p)的部分图象可得；}-1=T→2红=2，所以0=元，又函数图象过 33 2 令=0，可得p=满足<所以)=co(m+君引，放c错误 -》》引时+引-，+写度正 自r+引=om+引o+到-o,+副是数放重确 由f)-=c+8 所以20g%）-4+9}-周)-mg-m 30 (202）=28+)=)=x号+8 61π cos- 42 因为函数y=cosx,在x∈（π，2π）上单调递增， 所以cos , 所以f 故D错误.故选：AB 30 42 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案第2页（共12页） 10.【答案】ABD 【解析】设甲：x,x2,,X000,乙：，2，…10，新数据为：21,22，，2200 对于A:因为z= 20006+2++2】上200100a+100a)=a,所以A正确 对于B:设甲：1,2，…，1000，乙：2001,2002，…，3000，两组数据极差均为999， 但混合后数据的极差为2999，所以B正确： 1 对于C:因为 （G+写++。-10o0r）00+g++2-100rFc. 所以+号++xm=1000c+10002,片+片++哈m=1000c+10002,2=+里 2 所以新数据的方差为 （+5+…+xan++片++哈w-2000z） 2000N 、1 2000 100c+1000x2+1000c+10002-200022）c+2+2-22 2 因为+-2产-2（0 2 所以新数据的方差一定不小于c,所以C错误. 对于D:不妨设x≤5≤…≤m,乃≤片≤…≤乃m,则d=0十x=m+, 2 2 将混合后数据按从小到大排列， 若x00≤so0,则xo1≥y01,所以第1000,1001个数为y和01： 若x300>y00,则X301<301,所以第1000,1001个数为x300和x301, 两种情形下，新数据的中位数都等于d,所以D正确： 故选：ABD 11.【答案】BCD 【解析】对于A选项，在长方体ABCD-ABCD中，取DD的中点F,连接AF,EF,则AF∥BE, 因为AF∩平面ABD=A,所以BE与平面ABD相交，A选项错误： 对于C选项，连接BE,BE,由长方体的性质可知，EF∥AB∥AB, D EF为平面ABE与平面AB,E的交线，且EF⊥平面BCCB, G 所以EF⊥EB,EF⊥EB, 所以∠BEB为二面角B-EF-B的平面角， 因为BE=VP+P=√2，BE=VP+IP=√2， 所以BE2+BE2=2+2=BB2, 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案第3页（共12页） 所以E1AE,所以∠BEB=号 所以平面ABE⊥平面AB,E,C选项正确： 对于B选项，设AA的中点为G,设BB的中点为H, 连接GF,GH,GE, 因为∠BE8=子所以H为△BBE的外心， 由长方体的性质可知，GH⊥平面BB,E, 同理F为△DDE的外心，GF⊥平面DDE, 所以G为四棱锥E-BB,DD的外接球的球心， 所以该外接球的半径为GE=√互， 所以四棱锥E-BB,D,D的外接球的表面积为4π×(V2)2=8π，B选项正确： 对于D选项，A在平面DDCC上的投影为D, A C在平面DDAA上的投影为D, 过E作EM⊥DC交DC于N,交DD于M, D C Q 连接AM,交AD于Q, M 由投影的性质，EM⊥AC, 由△CNE~△CCD, 所以 CC GD-CD WCN-1 NE CNCE NE 2V51 B D 所以CN=25 NE=5 5 所以ND=5-2535 5 5 所以 MD DN 3 CE CN-2 所以MD=子DM= 3 因为 AD DM AM_1 DD DA DA 2 所以△ADM~△DDA, 所以∠DAM=∠DDA, 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案第4页（共12页） 所以∠DMA+∠MDQ=∠DMA+∠MAD=号 所以AM⊥AD,由投影的性质，AM⊥AC, 可证得AC⊥平面AME, 故线段4M即为点P的运动轨迹，AM=5 故选项D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 12 13 14 答案 60 x-y+1=0 23 16 12.【答案】60 【解析】由韦达定理，得a4+a7=6. 所以S。=0+4)x20 2 =10×(a+a,）=60. 13.【答案】x-y+1=0 【解1解达-：直线48的方程为：产9x-少.即3x-少-3=0， 直线AC的方程为：y= 1-3 (x-2)+3,即x-3y+7=0, -4-2 直线8C的方程为：少=-.即+5y-1=0. 设∠BAC的角平分线与BC交于点D,设D1-5y,y), 则D到直线AB和直线AC的距离相等，即31-5，)-%-3_-5)-3+7 V10 10 即16=8-8y,解得=或=-1， 31 当。=-I时，D在线段CB的延长线上，舍去： 所以=了得D( 21、 33 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案第5页（共12页） 3、1 所以直线AD方程为：y= 3(x-2)+3,整理得x-y+1=0. 2-(-) 故答案为：x-y+1=0 解法二：设∠BAC的角平分线与BC交于点D. 由题意得，AB=V(2-1)2+(3-02=V10,AC=V2+42+3-1)2=210. 由角平分线定理简，授品方新似而：号河， 3 设点D坐标为x小，则(+4y-=04小，解得=子了所以D以-的 2 3 所以直线4D方程为：y=3(K-2)+3,整理得x-y+1=0. 2-(-) 3 答案为：x-y+1=0. 14.【答案】16 3 【解析】5次传球后，共有32个样本点，随机变量X的可能取值为0,1,2， 当X=0时，包含了“乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙”两种可能，则PX=0)=326 21 当X=1时，包含了“乙甲乙丙乙，乙甲丙乙丙，乙丙甲乙丙，乙丙甲丙乙，乙丙乙甲丙，乙丙乙甲乙， 乙丙乙丙甲，丙甲乙丙乙，丙甲丙乙丙，丙乙甲丙乙，丙乙甲乙丙，丙乙丙甲乙，丙乙丙甲丙，丙乙丙乙 147 甲”共14种可能，则P(X=1)= 3216 所以P(X=2)=1-1-7=1 16162 1 7 123 所以E(X)=0×,+1×,+2×二= 1616216 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 解：(1)因为a=6,所以b=2, ……1分 由余弦定理，得c0sC=a+6-c2_62+22-(2V5y 2ab 2×6×2 …….2分 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案第6页（共12页） 6 …….3分 因为0<C<,所以sinC=V-cosc= 6 数△ABC的面积为S2 absin C-x6x乞1 2 6 …5分 =11: …….6分 (2)因为tan A_1-sinB,所以sincosB=cosl-sinB), 2 cos B 2 …….7分 A A 于是sin2cosB+cos。sinB=cos A 2,即sin(号+B)=cos .8分 2 所以sin(A+B)=sin(F-, 22 因为A,B∈(0，π)， 、+B=元一A或+B+一 所以 =π， 22 .9分 2 22 因为a-b=4,所以a>b, 所以A什B=T或B=T(舍去)， 2 2 ………10分 所以△ABC为直角三角形，c为斜边， .11分 因为a-b=4,c=25,又c2=a2+b2, 所以20=a2+(a-4)2, 解得a=2+√6或a=2-V6(舍去) ……12分 故，a=2+V6 ………13分 16.(15分) 804 解：(1)用频率估计概率，甲每次投壶投中目标的概率为p= 1005 ……1分 由题意，甲投中目标的次数X满足二项分布，即X~B(4,0.8), ……2分 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案第7页（共12页） (k=0,1,2,3,4), 1 (或P(X=0) 625'PX=1)=16 PX-2器PX= 256 ,PX=4)= 256 625 625 …….5分 (注：写二项分布概率公式或列举出分布列都得分) 所以E(X)=p=4×0.8=3.2: 6分 (2)设事件B表示甲投中目标，事件A表示甲发挥正常 所以P(BA)=0.9,P(BA=0.5,P(B)=0.8, 所以有P(B)=P(AB)+P(AB), ………7分 =P(A)P(BA)+P(A)P(B A) .8分 =p×0.9+(1-p)×0.5=0.8 ….9分 解得p=0.75, .10分 同理可得 9×0.95+(1-q)×0.6=0.85, …….13分 朝g:务 ….14分 所以p>q .15分 17.(15分) 解：(1)f'(x)=e-m, ….1分 当m≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增： ………2分 当m>0时，令f'(x)=e-m=0,得x=lnm, 当x∈（-o,lnm)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： …3分 当x∈(lnm,+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， ….4分 (2)①方程f=0在(0，.0)上有两个不等实根，等价于方程m=g有两个不等实根，…5分 设h)=e,hm)=C-》 当x∈(0,1)时，h(x)<0,h(x)单调递减 当x∈(1，+o)时，h'(x)>0,h(x)单调递增 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案第8页（共12页） 所以h(x)有唯一极小值即最小值h(I)=e, ……7分 当x→0时，h(x)→+0：当x→+0时，h(x)→+0 所以当m>e时，(x)=m有两个不等实根，即在(0，+o)上有两个不等实根 ….9分 ② 法一：由①得，不妨设0<x<1<x2, 构造函数k(x)=h(x)-h(2-x)(0<x<I), ….10分 即恩2 x 2-x 设p)=ee下则p=e2r x3 一2-<0在(0，)上恒成立， 所以函数p(x)在(0，I)在上单调递减， ………………11分 p9>p0)=0,即C-e2 x2(2-x2 >0在(0，)上恒成立， 所以k')三x-8-2<0在(0，)上恒成立， 所以函数k的=￠-。二在(0，》上单调递减， x 2-x …………12分 故k(x)>k(1)=0,即h(x)>h(2-x),(0<x<1), ….13分 因为0<x<1,所以h(x)>h(2-x), 即h(x)=h(x)>h(2-x)(0<x<1), 又x2>1,2-x,>1,h(x)在(1，+0)上单调递增， ……14分 所以x3>2-x,故x+x3>2 ........15分 法二：先证明不等式，a-b<a+b (a≠b且a,b>0) Ina-Inb 2 2-10 证明如下：假设a>b,原不等式等价于2a-月<na-hb,即b< a+b b b 令1=g,可得21-少<n,1>1 t+1 可构造函数F0=n1-2-D,1>1,由F'0)= 14--)2 >0 t+1 (t+102tt+1)2 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案第9页（共12页） 所以F0=1n1-2-)在L,+∞）)上单调递增，又F0)>F0=0 1+1 即F0=n1-21->0,得21-》<n. t+1 t+1 所以不等式 a-b a+b (a≠b且a,b>0)成立. Ina-Inb 2 ………11分 由①得，0<x<1,x,>1, 将方程e=mx两边取对数得方程x=nm+nx 所以方程x=lnm+lnx有两个根0<x<1、x2>1 所以x=lnm+lnx① x3=lnm+lnx2…② ①-②得：4-5=nx-nx,即1=x- Inx -Inx ……13分 由上述已证不等式得1=一一<当+五 Inx -In x2 2 …x+x2>2 .....15分 (不证明对数均值不等式扣2分) 18.(17分) 证明：(1)由棱台的性质，△ABC~△ABC,A,B,//AB 因为AA=AB,=B,B=2,所以四边形AA,B,B为等腰梯形， 过A,作A,H⊥AB交AB于H,则HD=2, 因为D为四等分点，所以AH=BD=1,AD=3,AB=4, .1分 所以BD=VBB2-BD2=V4-i=√3， 所以AB2+BB2=AD2+B,D2+BB2=9+3+4=AB2, 所以AB⊥BB, .2分 又因为BC⊥平面ABBA,AB,C平面AA,B,B, 所以BC⊥AB, .3分 因为BC∩BB,=B,BC,BB,C平面BCC,B, 所以AB⊥平面BCC,B,, …4分 因为CCc平面BCC,B, 所以AB,⊥CC .5分 2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）答案第10页（共12页）