精品解析：四川省南充市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

南充市2025-2026学年度上期普通高中二年级期末考试 数学 注意事项； 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 样本数据1，1，3，5，7的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义求出. 【详解】共个数，中位数是第个数，即中位数是. 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，然后利用直线斜率和倾斜角关系求出即可. 【详解】由直线得出直线斜率为：， 设直线的倾斜角为， 所以， 故选：C. 3. 已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程写出渐近线方程即可. 【详解】由双曲线方程知，双曲线对应参数，则渐近线为. 故选：C 4. 已知数列的前项和公式为，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】先通过求出数列的通项公式，即可得出的值. 【详解】当时，， 当时，由，① 有，② ①减②得：， 即，当时，满足， 所以，所以， 故选：A. 5. 已知直线，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可. 【详解】由， 则， 由， ，解得：. 故选：B 6. 如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，， 由为平行四边形，与交于点， 所以为与的中点， 所以 ， 故选：D. 7. 若直线被圆截得弦长为，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】根据弦长求出，再根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系即可求出答案. 【详解】圆可化为， 则圆圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 又截得的弦长为， 所以，解得， 即，， 由题意知，圆半径， 因为，，， 则， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故选：C. 8. 已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图像，得到，再在中，求得，从而得到，代入直线的方程可得到，由此可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意知， 由为等腰三角形，且，得， 过作垂直轴于，如图所示， 则在中，，故，， 所以，即，代入直线的方程， 得，即，所以所求的椭圆离心率为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲、乙两人各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子，正四面体骰子的面上分别标记数字1，2，3，4，分别观察骰子底面上的数字，下列说法正确的是（ ） A. 事件“甲投得骰子底面数字1”的概率为 B. 事件“甲投得骰子底面数字是奇数”与事件“甲投得骰子底面数字是偶数”是对立事件 C. 事件“甲投得骰子底面数字1”与事件“乙投得骰子底面数字2”是互斥事件 D. 事件“甲投得骰子底面数字4”与事件“乙投得骰子底面数字4”是相互独立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件以及相互独立事件的定义依次进行分析即可. 【详解】对于A：正四面体骰子质地均匀，每个面朝上（底面数字）的概率相等，均为， 故甲投得数字1的概率为，A正确； 对于B：“甲投得奇数”与“甲投得偶数”的并集为所有可能结果（全集），交集为空集， 即二者不能同时发生，且必有一个发生，因此是对立事件，B正确； 对于C：互斥事件要求不能同时发生，但甲投得1与乙投得2是两个独立事件，可以同时发生， 故不是互斥事件，C错误； 对于D：相互独立事件的定义是,甲投得的概率为，乙投得的概率也为， 且甲乙都投得4的概率为，所以，符合独立事件定义，D正确. 故选：ABD 10. 如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的外接球表面积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当为中点时，直线不垂直于平面 D. 平面内的动点到直线与的距离相等，则点的轨迹是抛物线 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算正四棱柱的外接球半径后计算外接球表面积判断A选项；采用等体积法判断B选项；通过建系计算与平面的法向量是否平行判断C选项；计算动点到直线与的距离结合抛物线的定义判断D选项. 【详解】正四棱柱的外接球的直径为体对角线，则体对角线长度， 故正四棱柱的外接球半径为，表面积，A选项错误； 由题可知三棱锥，的面积为定值，点为线段上动点， 平面，又为正四棱柱， 则平面到平面的距离恒为，即点到平面的距离恒为， 故三棱锥的体积为定值，B选项正确； 如图建系以为原点，方向建立空间坐标系， 则，，， 为中点，故， ，， 设平面的法向量为，则， 即，两式上下相加得：， 取，则，，平面的法向量为， ，则为中点时， 直线不垂直平面，C选项正确； 设平面内动点， 到的距离为， 在平面上，，则所在的直线斜率， 则所在的直线方程为，整理得：， 点到所在直线的距离， ，两边同时平方得：， 化简整理得：， 令， 则方程化为，满足抛物线定义，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则三点共线 C. 若，则抛物线上的点到直线距离的最小值为 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用焦点坐标公式即可求解； 对于B，将直线方程与抛物线联立求出，再用斜率相等证明点共线； 对于C，表示出抛物线上任意一点到直线的距离，结合函数单调性即可求解； 对于D，求出在切点处的切线方程，利用两切线都过点，从而求出直线的方程，再求出点到直线的距离，利用导数即可求解. 【详解】如图： 易得，设直线的方程为，，. 将直线与抛物线联立， 化简整理得，则， 所以，又， 所以，又为公共点，所以三点共线，故B 正确； 设抛物线上的点到直线距离为则， 令，，因为，所以，所以， 所以，当时，取得最小值，又在时单调递减， 故时取得最小值.故C错误； 设，则抛物线在处的切线为：， 化简得，同理抛物线在处的切线为， 又点在两切线上，故，， 所以直线的方程为：，即. 点到直线的距离为：， 令，则 令，得. 当时，；当时，， 故时取得最大值：，故D 正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则实数___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用空间向量坐标运算计算出向量与向量的坐标，然后由，最后根据空间向量坐标运算计算即可. 【详解】由， 所以， ， 又，所以， 即， 解得：， 故答案为：2. 13. 圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点即为所求圆的圆心，从而求出对称圆的方程. 【详解】由圆心，半径为， 设关于直线对称的点为， 则， 故对称点为，即所求圆的圆心为， 由题知圆关于直线对称后圆的半径仍然为1， 故所求圆的方程为：， 故答案为：. 14. 如图，四边形和四边形均为正方形，，动点分别在和上，．当最小时，点到平面的距离为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用建立空间直角坐标系，向量法求解出最小时，的坐标，进而利用点到平面的距离公式求解得出 【详解】建立以B为原点的空间直角坐标系，以BA为x轴，BC为y轴，过B作垂直于平面ABCD的直线为z轴， 由正方形边长，得 设，则， 当时，取得最小值，此时,， 设平面的一个法向量为,，则， 令，则，故， 点到平面的距离为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的方程： （2）若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出BC的斜率，从而可求BC边的高的斜率，由此利用点斜式方程能求出BC边的高所在直线的方程． （2）利用中点坐标公式求出，，由此能求出过点M且平行于边的直线方程． 【小问1详解】 因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即； 【小问2详解】 因为，且点是线段的中点， 所以，即， 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即． 16. 已知双曲线的两个焦点坐标分别是，且经过点 （1）求双曲线的标准方程； （2）过焦点且斜率为2的直线交双曲线于两点，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用两点间距离公式求出，即可求出，再根据，求出，即可得到答案； （2）由题意写出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，根据弦长公式求出，根据双曲线定义求出，代入即可求出答案. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以，所以， 又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知直线方程为， 联立，得， 解得或， 所以， ， 所以的周长为. 17. 某市举办法制知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生成绩都不低于50分．现从中随机抽取了100名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名学生成绩的第25百分位数； （3）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人．写出试验的样本空间，并求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率． 【答案】（1） （2）分 （3）样本空间见解析； 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值； （2）根据百分位数的定义计算； （3）列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由已知可得，解得； 【小问2详解】 由于第一组的频率为，前两组的频率之和为， 所以第25百分位数， 则，得， 故这100名学生成绩的第25百分位数为分； 【小问3详解】 由（1）可知，与这两组人数之比为， 故这两组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的名学生分别为， 成绩在这组的名学生分别为， 则从中任取人的所有可能结果为、、、、、、、、、，共种. 其中恰有人成绩在为、、、、、，共种. 故所求概率为. 18. 如图，在边长为3的菱形中，，将沿直线翻折成，连接和． （1）求证：平面； （2）判断线段的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）是定值，； （3）. 【解析】 分析】（1）由已知结合余弦定理得出，可证得 ，进而应用线面垂直判定定理证明得出平面； （2）以为轴建立空间直角坐标系， 再应用向量加法及模长公式计算化简，最后结合同角三角函数关系计算求解即可； （3）分别求出平面与平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算得出，最后结合正弦函数值域计算求解最小值. 【小问1详解】 因为四边形为边长为3的菱形，且， 即得， 由余弦定理得，所以， 所以，即，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 过E点作垂直于的线为z轴，则以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，因为，所以， 所以， 所以，所以线段的长为定值； 【小问3详解】 由（2）建系得出， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 设平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 当且仅当即时，取得最小值. 19. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为．求证：； （3）如图，设椭圆的左右焦点分别为，过作直线交椭圆于两点，点满足，直线与交于点，设与的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过点，离心率以及联立解出即可； （2）利用点差法，两点直线斜率公式表示，以及中点公式，结合点与椭圆的位置关系得出不等式即可证明； （3）设，由，求出点坐标，写出直线的方程联立解出点坐标，得出的表达式，再设直线，与椭圆方程联立消元，写出韦达定理，表示出，然后得出不等式，最后结合条件分析得出结论即可. 【小问1详解】 因为椭圆经过点， 所以，① 又离心率为，则，② 在椭圆中有：，③ 联立①②③解得：， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 如图所示： 设，由在椭圆上， 则，两式相减得：， 即，① 因为线段的中点为， 所以，② 又直线的斜率为：，③ 将②③代入①化简得：， 因为点在椭圆内，所以即， 又，所以， 所以. 【小问3详解】 由题知， 设，由， 即， 所以， 由， 所以直线即， ， 所以直线即， 联立，即， 所以， 设直线， 联立，消去整理得：， 由， 所以不相同，令， 则， 所以 ， 所以， 所以， 因为为方程的解， 所以， （i）当， 所以， 因为，所以， 所以， 当时， 令， 所以， 由，则， 当时， 令， 所以， 由，则， 所以； （ii）， 所以， 因为，所以， 所以， 当时， 令， 所以， 由，则， 当时， 令， 所以， 由，则， 所以， 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市2025-2026学年度上期普通高中二年级期末考试 数学 注意事项； 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 样本数据1，1，3，5，7的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和公式为，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 5. 已知直线，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或2 6. 如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（ ） A. B. C D. 7. 若直线被圆截得弦长为，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 8. 已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲、乙两人各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子，正四面体骰子的面上分别标记数字1，2，3，4，分别观察骰子底面上的数字，下列说法正确的是（ ） A. 事件“甲投得骰子底面数字1”的概率为 B. 事件“甲投得骰子底面数字奇数”与事件“甲投得骰子底面数字是偶数”是对立事件 C. 事件“甲投得骰子底面数字1”与事件“乙投得骰子底面数字2”是互斥事件 D. 事件“甲投得骰子底面数字4”与事件“乙投得骰子底面数字4”是相互独立事件 10. 如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的外接球表面积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当为中点时，直线不垂直于平面 D. 平面内的动点到直线与的距离相等，则点的轨迹是抛物线 11. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则三点共线 C. 若，则抛物线上的点到直线距离的最小值为 D. 过点作抛物线两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则实数___________． 13. 圆关于直线对称的圆的方程为___________． 14. 如图，四边形和四边形均为正方形，，动点分别在和上，．当最小时，点到平面的距离为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的方程： （2）若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 16. 已知双曲线的两个焦点坐标分别是，且经过点 （1）求双曲线的标准方程； （2）过焦点且斜率为2的直线交双曲线于两点，求的周长． 17. 某市举办法制知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了100名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名学生成绩的第25百分位数； （3）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人．写出试验的样本空间，并求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率． 18. 如图，在边长为3的菱形中，，将沿直线翻折成，连接和． （1）求证：平面； （2）判断线段的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 19. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为．求证：； （3）如图，设椭圆的左右焦点分别为，过作直线交椭圆于两点，点满足，直线与交于点，设与的面积分别为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $