精品解析：山东省 淄博市博山区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

初四数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带等修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图中几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 2025年10月20日，党的二十届四中全会审议通过“十五五”规划建议．建议提出到2035年，人均国民生产总值要达到中等发达国家水平，预计未来五年新增经济总量约38万亿到39万亿人民币，38万亿元用科学记数法表示为（ ）元． A. B. C. D. 3. 如图，某校荷花池有两个入口，三个出口．若小明同学去荷花池赏花，出入均是随机的，则恰好从入口A进入，从出口E离开的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ） A. B. C. D. 6. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、分别切于、两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若抛物线的图象上的三个点，，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是（ ） A. B. C. D. 11. 某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板，，，长度均为，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（ ） A. B. C. D. 12. 如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设P、Q同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 13. 的立方根是_______________ 14. 因式分解：______． 15. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为____． 16. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是___． 17. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为_______． 18. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是_____． 19. 从点中任取一点，所取的点恰好在反比例函数的图象上的概率为___________． 20. 在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为_____． 21. 如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角的正切值是______． 22. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线．有下列说法： ①； ②； ③对任意实数； ④若和是抛物线上的两点，则当时，． ⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2；其中，正确的是_____（填序号）． 三、解答题：本大题共7个小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 24. 某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． （1）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； （2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 25. 如图是一个几何体的三视图． （1）写出这个几何体的名称； （2）求这个几何体侧面展开图的圆心角； （3）求这个几何体的全面积． 26. 如图，小明和小亮利用学过的知识测量操场旗杆的高度，测量时，小明让小亮站在点B处，此时，小亮影子的顶端与旗杆的影子顶端在点E 处重合，且BE的长为2米；小明又让小亮沿着射线的方向走15米到达旗杆的另一侧N处，此时，小亮观测到旗杆顶端C 的仰角为45°，已知小亮的身高为1.6米，请你根据相关测量信息，计算旗杆的高度．（结果保留一位小数） 27. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求和的值； （2）求一次函数的函数表达式； （3）求的面积． 28. 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点C，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 29. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带等修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图中几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形，可得左视图中间有一条实线，即可解答．熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 【详解】解：几何体的左视图为 ． 故选：A 2. 2025年10月20日，党的二十届四中全会审议通过“十五五”规划建议．建议提出到2035年，人均国民生产总值要达到中等发达国家水平，预计未来五年新增经济总量约38万亿到39万亿人民币，38万亿元用科学记数法表示为（ ）元． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需要将38万亿转换为的形式，其中． 【详解】解：∵38万亿， 故选：C． 3. 如图，某校荷花池有两个入口，三个出口．若小明同学去荷花池赏花，出入均是随机的，则恰好从入口A进入，从出口E离开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题关键是掌握列表法与树状图法求概率． 列表可得出所有等可能的结果数以及从入口A进入，从出口E离开的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中小明同学恰好从入口A进入，从出口E离开的结果有1种， ∴小明同学恰好从入口A进入，从出口E离开的概率为， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算． 根据单项式的乘法、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方逐一计算后判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 5. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行投影的性质，掌握“用某方向的平行射线将图形投射到平面上形成的图像“是解决本题的关键． 根据平行投影的性质判断即可． 【详解】解：A、影子的方向不相同，不符合题意； B、影子方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，符合题意； C、影子方向相同，但较高的树的影子长度小于较低的树的影子，不符合题意； D、影子的方向不相同，不符合题意； 故选：B． 6. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接计算各选项的三角函数值并比较大小. 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 故最大的是， 故选：D 7. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数及反比例函数结合问题，一次函数和反比例函数图象及性质等．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、由函数的图象得：，由函数的图象得：，符合，故本选项符合题意； B、由函数的图象得：，由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； D、由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A 8. 如图，、分别切于、两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质与圆周角定理，利用切线性质推导圆心角是解题关键．由切线性质得，结合求出圆心角，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接、， 、与相切， ， 又， ， 又∵ ． 故选：． 9. 若抛物线的图象上的三个点，，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则， ∴ 故选：C 10. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图确定圆锥的底面圆的周长即为的长度，根据正多边形的性质求出AB的长度和∠FAB，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， ∴圆锥的底面圆的周长即为的长度． ∵正六边形ABCDEF的边长为6， ∴AB=AF=6，． ∴． ∴圆锥的底面圆的周长为． 故选：B． 【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，正多边形的内角，弧长公式，熟练掌握这些知识点是解题关键． 11. 某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板，，，长度均为，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接， 由垂径定理求出，根据题意再求出，最后利用勾股定理计算圆的半径即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 则该干果盘的直径为． 故选：B． 12. 如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设P、Q同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，相似三角形的判定，根据图（2）判断出点到达点时点到达点是解题的关键，也是本题的突破口．根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【详解】解：根据图（2）可得，当点到达点时点到达点， 点、的运动的速度都是秒， ， ，故①正确； 从到的变化是2， ， ， 在中，， ，故②错误； 过点作于点， ， ， ， ， 当时，，故③正确； 当秒时，点在上，此时，， ， ，， ， 又， ，故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：C． 二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 13. 的立方根是_______________ 【答案】2 【解析】 【详解】解：，， ∴的立方根是． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．先提取公因数，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解： 故答案为：． 15. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 总面积乘落在黑色阴影的频率稳定值即可得出答案． 【详解】解：∵一个面积为的正方形，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，根据二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 17. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦定义可得答案． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 18. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理列式计算，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，，     根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 故答案为： 19. 从点中任取一点，所取的点恰好在反比例函数的图象上的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，概率公式． 先依次判断各点的坐标是否满足反比例函数的解析式，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴A、C两个点在反比例函数的图象上，故所取的点在反比例函数的图象上的概率是． 故答案为：． 20. 在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由勾股定理得，，再根据三角形的面积可得，即得，最后根据正切的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 21. 如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角的正切值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，正多边形的性质，求角的正切值，根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得该正多边形每一个外角的度数为，然后求出中心角是，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴该正多边形的一个外角的度数为， ∴该正多边形的边数为， ∴该正多边形的中心角是， ∵， ∴这个正多边形的中心角的正切值是． 故答案为：． 22. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线．有下列说法： ①； ②； ③对任意实数； ④若和是抛物线上的两点，则当时，． ⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2；其中，正确的是_____（填序号）． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，对称轴判断①，对称轴结合特殊点判断②，最值判断③，增减性判断④，根与系数的关系判断⑤． 【详解】解：∵对称轴为直线． ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴和的函数值相同， 由图象可知：当时，， ∴当时，， ∵， ∴， 即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数，即；故③错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵和是抛物线上的两点， ∴当，．故④正确； ∵， ∴， ∵当时，有最大值为， ∴直线，在直线的下方， ∴抛物线与直线有两个交点，且两个交点关于对称轴对称， 即：方程有两个不相等的实数根，且两根的和为；故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 三、解答题：本大题共7个小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值． （1）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算乘法，再计算减法，最后将代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 24. 某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． （1）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； （2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【答案】（1）50元或60元 （2）当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及一元二次函数的最值，解决本题的关键是根据题意建立等式 （1）设每个售价为元，表示出日均销售量计算即可； （2）设日均利润为元，将二次函数配方为顶点式求解最大值即可． 【小问1详解】 解：设每个售价为元， 根据题意可得：， 整理得， 解得：，， 答：当每个售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元； 【小问2详解】 解：设日均利润为元， 则 ， ∵， 当时，取最大值，最大值为2250， 答：当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元． 25. 如图是一个几何体的三视图． （1）写出这个几何体的名称； （2）求这个几何体侧面展开图的圆心角； （3）求这个几何体的全面积． 【答案】（1）圆锥 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积计算． （1）由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥； （2）由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为，再根据展开图扇形的弧长公式得到圆心角的度数； （3）根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为，再根据面积公式可得答案． 【小问1详解】 解：由三视图可知，该几何体为圆锥； 【小问2详解】 解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为， ∴母线为， 则展开图扇形的弧长为， 又弧长为， ， 解得 展开图扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6， 展开图扇形的面积为， 底面面积为， 圆锥的全面积为． 26. 如图，小明和小亮利用学过的知识测量操场旗杆的高度，测量时，小明让小亮站在点B处，此时，小亮影子的顶端与旗杆的影子顶端在点E 处重合，且BE的长为2米；小明又让小亮沿着射线的方向走15米到达旗杆的另一侧N处，此时，小亮观测到旗杆顶端C 的仰角为45°，已知小亮的身高为1.6米，请你根据相关测量信息，计算旗杆的高度．（结果保留一位小数） 【答案】旗杆的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形相似的应用．由题意可知点E，A，C在同一条直线上．连接，过点作于点F．根据矩形的性质结合题意可知，米．设米，则米，由题意可求出米．又易证，得出，代入数据，解出x的值即可． 【详解】解：∵小亮影子的顶端E与旗杆的影子C顶端重合， ∴点E，A，C在同一条直线上． 如图，过点作于点F． ∴四边形为矩形， ∴，米， ∵， ∴， 设米，则米， 由题意可知米， ∴米， ∴米． ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 答：旗杆的高度为米． 27. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求和的值； （2）求一次函数的函数表达式； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点代入求出，得，把代入，解得； （2）把，代入，求出，的值即可； （3）求出点A的坐标，根据解答即可． 【小问1详解】 解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问3详解】 解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 28. 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点C，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则得，由弧相等得，得，得，即可证明； （2）由（1）得，从而求得，由勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的判定，相等的弧对的圆周角相等，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等知识． 29. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为， （3）存在，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与面积，特殊四边形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，菱形的性质，平移的性质等知识点． （1）先求出直线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解二次函数解析式； （2）先求出，过点D作y轴的平行线交于点K，则，则，那么，由，得到，再由二次函数的性质即可求解； （3）由菱形可得，设，则，解得，故，再由平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当； 当，则，解得， ∴，， ∵对称轴为直线 ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则， ∴ ∵， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值为，此时； 【小问3详解】 解：存在， 如图，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，， ∴由平移的性质可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $