7.1.2 两条直线垂直 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

姓名: 学科: 日期: 7.1.2两条直线垂直（2课时）（解析版） （ 制 作：许 鸥 日 期：2026年1月26日 第1周 ） 【学习目标】 1.经历实物观察，认识与理解垂直、垂线的概念，理解与掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.（数学抽象、直观想象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握垂线段的性质“垂线段最短”，以及点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离.（直观想象、数学抽象•重难点） 【学习过程】 一、垂线与垂直的概念 （一）情境问题 观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？我们应该怎样定义这种位置关系？ 探究：图中的两条相交直线形成的4个角都为直角，我们定义这样两条相交直线为垂直. （二）问题探究：如图，固定木条，转动木条.当的位置变化时，所成的也会发生变化.思考：当时，木条所形成的其他三个角的度数是多少？ 探究：固定木条，转动木条.当的位置变化时，所成的由到逐渐增大. 当时，由对顶角和邻补角的性质可知，其他三个角的度数都是. （三）垂线与垂直的概念 一般地，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说与相互垂直，记作“”. 两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 用数学语言表述为： ∵直线与直线相交于点，且, ∴,垂足为点.（垂直的定义） 注：两条直线垂直是相交的一种特殊情况.，画图时，通常在垂足处标上垂直符号“”. 2、 垂直的性质 （一）问题探究1：反过来，如果, 那么垂线与相交形成四个角的度数为多少度？ 探究：如果, 那么垂线与相交形成四个角的度数为. （2） 垂直的性质1——直角性 两条相互垂直的直线所形成的四个角为直角. 用数学语言表述为： ∵,垂足为点, ∴.（垂直的定义） （三）问题探究2：如图,用三角尺或量角器画已知直线的垂线. （1）经过直线上一点A画的垂线,这样的垂线能画出几条? （2）经过直线外一点B画的垂线,这样的垂线能画出几条? 探究：用三角尺画 一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合. 二移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点. 三画：沿已知点所在的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线. 如下图所示 （四）垂直的性质2——垂线的基本事实（唯一性） 由上探究可知 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注：①“有”指存在，“只有”指唯一性； ②“过一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外. （五）实例运用 例1．如图，直线，交于点，，平分．若，求的度数． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直，对顶角，根据角平分线的定义得出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案 【详解】 解：平分 ， 例2.如图，过点画出射线或线段的垂线． (1) (2) (3) 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【难度】0.65 【知识点】画垂线 【分析】本题考查过一点作已知直线（线段、射线）的垂线，解题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据垂线的画法作图即可； （2）根据垂线的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：如图，直线即为所求， 2、 垂线段的概念、性质与点到直线的距离 （1） 问题探究：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何让挖渠能使渠道最短？ 探究：如图，点是直线外一点，，垂足为，称线段为点到直线的垂线段. 是直线上除点外一点，连接，测量并比较线段与的长度，你能得出什么结论？ 注：垂线段只垂线上的一部分，它是线段，一端是直线外一点，另一端是垂足. （2） 垂线段的性质 由上探究可知 连接直线外一点与直线上各点的所有线段，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. （3） 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 如图，∵，垂足为，且垂线段的长度是, ∴点到直线的距离为. （四）实例运用 例3如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 3、 提升演练 例4 作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)>，垂线段最短 【难度】0.65 【知识点】画出直线、射线、线段、垂线段最短、画垂线 【分析】本题考查了画直线，射线，网格作图，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直线，射线的定义进行作图即可； （2）结合网格的特征，以及两点确定一条直线，进行作图即可； （3）运用垂线段最短进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：直线，射线如图所示： （2）解：直线的垂线，的平行线，如图所示． （3）解：依题意，由（2）得， ∴，理由是垂线段最短． 五、达标检测 1．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的定义、几何图形中角度计算等知识，首先根据“对顶角相等”可知，再由垂直的定义可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义，根据垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义逐一排除即可，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项错误，不符合题意； 故选：． 3．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，所以与重合，其理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条 D．线段最短 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的性质，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据垂线的唯一性性质，逐一判断选项． 【详解】解：根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：B． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【难度】0.94 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了角的和差关系、对顶角相等以及垂线的性质，熟练掌握垂直的定义，对顶角与邻补角的性质是解题的关键．根据，，，可得，，再根据垂直的性质可得，最后由，代入相应角即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点到直线的距离 【分析】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算． 9．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、与余角、补角有关的计算、对顶角相等 【分析】本题考查求角度，涉及互余定义、对顶角、邻补角等知识，数形结合，准确表示出相关角度是解决问题的关键． （1）先由，得到，根据等量代换得到即可判断与的位置关系； （2）在（1）的条件下，由列方程求出，进而得到，再由对顶角相等得，数形结合表示出，代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：， ， 解得， ， 由对顶角相等得， 故． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【难度】0.94 【知识点】画垂线 【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 11．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；垂线段最短 【难度】0.85 【知识点】画垂线、垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：由（1）和（2）的图像可得，线段的长度是点P到的距离， 根据垂线段最短可得：， 故答案为：；；垂线段最短． 12．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【难度】0.85 【知识点】画垂线、垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 13．（25-26七年级上·北京延庆·期末）已知点是直线上的一点，平分． (1)如图1，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：， ___________． ． ___________． 是直线上的一点． ___________． 平分． ．（理由：___________） ___________． (2)如图2，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)，角平分线定义， (2) 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】（1）由垂直定义及互余定义求出，再由平角定义及角平分线定义得到即可得到答案； （2）由（1）的求解过程，同理即可得到的度数（用含的式子表示）． 【详解】（1）解：， ． ． ． 是直线上的一点． ． 平分． ．（理由：角平分线定义） ． 故答案为：，角平分线定义，； （2）解：， ， ， ， 是直线上的一点， ， 平分， ． 【点睛】本题考查几何图形中求角度，涉及垂直定义、互余定义、平角定义及角平分线定义，数形结合，准确表示图中各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 六、课堂小结：今天我们都学习了哪些内容？ 1.经历实物观察，认识与理解了垂直、垂线的概念，理解与掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 2.经历问题探究，理解与掌握了垂线段的性质“垂线段最短”，以及点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离. - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 7.1.2两条直线垂直（2课时）（原卷版） （ 制 作：许 鸥 日 期：2026年1月26日 第1周 ） 【学习目标】 1.经历实物观察，认识与理解垂直、垂线的概念，理解与掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.（数学抽象、直观想象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握垂线段的性质“垂线段最短”，以及点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离.（直观想象、数学抽象•重难点） 【学习过程】 一、垂线与垂直的概念 （一）情境问题 观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？我们应该怎样定义这种位置关系？ 探究：图中的两条相交直线形成的4个角都为 ，我们定义这样两条相交直线为 . （二）问题探究：如图，固定木条，转动木条.当的位置变化时，所成的也会发生变化.思考：当时，木条所形成的其他三个角的度数是多少？ 探究：固定木条，转动木条.当的位置变化时，所成的由 到 逐渐 . 当时，由对顶角和邻补角的性质可知，其他三个角的度数都是 . （三）垂线与垂直的概念 一般地，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，我们说与相互 ，记作“ ”. 两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的 ，它们的交点叫作 . 用数学语言表述为： ∵直线与直线 ，且 , ∴ ,垂足为点 .（ ） 注：两条直线垂直是 的一种特殊情况.，画图时，通常在垂足处标上垂直符号“ ”. 2、 垂直的性质 （一）问题探究1：反过来，如果, 那么垂线与相交形成四个角的度数为多少度？ 探究：如果, 那么垂线与相交形成四个角的度数为 . （2） 垂直的性质1——直角性 两条相互 的直线所形成的四个角为 . 用数学语言表述为： ∵ ,垂足为点 , ∴ .（垂直的定义） （三）问题探究2：如图,用三角尺或量角器画已知直线的垂线. （1）经过直线上一点A画的垂线,这样的垂线能画出几条? （2）经过直线外一点B画的垂线,这样的垂线能画出几条? 探究：用三角尺画 一 ：让三角尺的一条 落在已知直线上，使其与已知直线 . 二 ：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过 . 三 ：沿已知点所在的直角边画 ，这条直线就是已知直线的 . 如下图所示 （四）垂直的性质2——垂线的基本事实（唯一性） 由上探究可知 在同一平面内，过一点有且只有 直线与已知直线 . 注：①“有”指 ，“只有”指 ； ②“过一点”可以在已知直线 ，也可以在已知直线 . （五）实例运用 例1．如图，直线，交于点，，平分．若，求的度数． 例2.如图，过点画出射线或线段的垂线． (1) (2) (3) 2、 垂线段的概念、性质与点到直线的距离 （1） 问题探究：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何让挖渠能使渠道最短？ 探究：如图，点是直线外一点， ，垂足为 ，称线段 为点到直线的 . 是直线上除点外一点，连接，测量并比较线段与的长度，你能得出什么结论？ 注：垂线段只垂线上的一部分，它是 ，一端是 ，另一端是 . （2） 垂线段的性质 由上探究可知 连接直线外一点与直线上各点的所有线段， 最短. 简单说成： 最短. （3） 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的 的长度，叫作 的距离. 如图，∵ ，垂足为，且垂线段的长度是 , ∴点到直线的距离为 . （四）实例运用 例3如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 3、 提升演练 例4 作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 五、达标检测 1．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，所以与重合，其理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条 D．线段最短 6．（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 9．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）在下列各图中，分别过点P画的垂线． 11．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 12．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 13．（25-26七年级上·北京延庆·期末）已知点是直线上的一点，平分． (1)如图1，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：， ___________． ． ___________． 是直线上的一点． ___________． 平分． ．（理由：___________） ___________． (2)如图2，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 六、课堂小结：今天我们都学习了哪些内容？ 1.经历实物观察，认识与理解了垂直、垂线的概念，理解与掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 2.经历问题探究，理解与掌握了垂线段的性质“垂线段最短”，以及点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离. - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $