第04讲 抛体运动的规律【9大考点+9大题型】-2025-2026学年高一下学期物理《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教版必修第二册)

本讲义聚焦抛体运动规律核心知识点，系统梳理平抛运动的定义、性质及研究方法，通过运动分解建立水平匀速与竖直自由落体模型，延伸至速度位移规律、两个重要推论，再拓展到斜面、曲面结合问题及斜抛、类平抛运动，构建完整知识支架。 该资料以“知识点+题型”双维度设计，题型涵盖基础计算、飞机投弹、推论应用等九类，如“平抛与斜面结合”实例培养科学思维中的模型建构与科学推理能力，结合投壶、滑雪等生活情境渗透科学态度与责任，课中辅助分层教学，课后助力学生强化练习、弥补知识盲点。

第04讲：抛体运动规律 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点一：平抛运动的定义和性质 1．定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受重力作用的运动． 2．平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动． 3．平抛运动的特点：(1)初速度沿水平方向．(2)只受重力作用． 4．平抛运动的性质，加速度为g的匀变速曲线运动． 知识点二、平抛运动的研究方法及规律 1．研究方法：采用运动分解的方法，将平抛运动分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动． 2．平抛运动的时间：由y＝gt2得t＝ ，可知平抛运动时间只与下落高度有关，与初速度无关． 3．平抛运动的速度： (1)水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt (2)合速度 (3)速度变化：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示． 4．平抛运动的位移： (1)水平方向：x＝v0t. 竖直方向：y＝gt2. (2)合位移 5．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2得y＝x2，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线． 知识点三：．平抛运动的两个推论 (1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α. 证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α. (2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t. 可见AB＝OB. 知识点四、平抛运动与斜面的结合 在解答平抛运动与斜面的结合问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出位移或速度与斜面倾角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下： 方法 内容 斜面 总结 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形 分解位移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形 知识点五、一般的抛体运动 1．定义：初速度沿斜向上或斜向下方向的抛体运动． 2．性质：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动． 3．斜上抛运动在两个分方向的运动规律： 水平方向：vx＝v0cos_θ，x＝v0tcos_θ 竖直方向：vy＝v0sin_θ－gt，y＝v0tsin θ－gt2. 4．可利用逆向思维方法，把斜上抛运动到最高点问题转换为平抛运动问题． 【题型归纳】 题型一：平抛运动的基本计算 【例1】．（24-25高一下·宁夏银川·月考）投壶是从先秦延续至清末的一种中国传统礼仪，在图甲中，小孩将箭矢水平抛出投入壶中，将箭矢视为质点，不计空气阻力和壶的高度，简化后如图乙所示，箭矢从离地面高的A点以初速度水平抛出，正好落在壶口B点，已知，求： (1)箭矢运动的时间； (2)箭矢运动的水平距离； (3)箭矢在B点的速度大小和方向。 【举一反三】 1．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）一个物体以3m/s的速度水平抛出，落地时的速度大小是5m/s，不计空气阻力，取，则下列说法正确的是（　　） A．物体落地的时间为0.5s B．落地时竖直方向的速度为4m/s C．抛出点的高度为0.2m D．抛出点的高度为0.6m 2．（25-26高三上·北京西城·月考）距地面高度为的小球以的速度被水平抛出，g取。求： (1)小球在空中的飞行时间t； (2)小球落地点距抛出点的水平距离x； (3)落地时小球的速度v的大小和方向。 3．（25-26高一上·吉林·期末）如图所示，一质量为的小物块以初速度从粗糙水平桌面上某处开始运动，经时间后以速度飞离桌面，最终落在水平地面上。物块与桌面间的动摩擦因数，桌面高，不计空气阻力，取重力加速度。求： (1)小物块落地点距飞出点的水平距离； (2)小物块落地时的速度大小； (3)小物块的初速度的大小。 题型二：飞机投弹问题 【例2】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，某军队在一次空地联合军事演习中，离地面高处的飞机以水平对地速度发射一颗炸弹轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度竖直向上发射一颗炮弹拦截（炮弹运动过程看作竖直上抛），设此时拦截系统与飞机的水平距离为，若拦截成功，不计空气阻力，则的值应为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东肇庆·期末）某次大学生飞行器空投比赛中，一飞行器在离地面高7.2m的空中以9m/s的速度匀速直线飞行。某时刻，飞行器无动力释放一沙袋，沙袋飞出后恰好击中地面上的目标。沙袋可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．沙袋释放后经0.72s落地 B．沙袋的释放位置与目标的水平距离为9m C．沙袋击中目标时的速度大小为15m/s D．若仅减小飞行速度，沙袋释放后在空中的飞行时间变长 2．（23-24高一下·江西·期中）现代战争可用无人机实施投弹，某无人机在离地高为h的高空沿水平方向做匀加速运动，某时刻释放一颗炸弹，炸弹落地时与无人机的水平距离为s，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则无人机运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）一架无人机以 2m/s的速度在5m 的高空水平飞行，从无人机上每隔 0.5s 释放一个小球，先后共释放四个完全相同的小球。 若不计空气阻力，重力加速度取 下列说法正确的是（　　） A．第二个小球和第四个小球的下落所用时间均为 1s B．第三个小球落地时的速度大小为 10 m/s C．第一个小球落地点与第四个小球的落地点间距为 4m D．第一个小球和第二个小球在空中的任何时刻都不在同一竖直线上 题型三：平抛运动的两个推论 【例3】．（24-25高一下·广西贵港·阶段练习）如图所示，某同学对着竖直墙壁练习打网球，该同学使球拍与水平方向的夹角为α=37°，在O点击中网球，球以v0=15m/s的速度垂直球拍离开O点，恰好垂直击中墙壁上的P点，忽略空气阻力的影响，取重力加速度大小g=10m/s2，sinα=0.6，cosα=0.8，下列说法正确的是（　　） A．网球在P点与墙壁碰撞时的速度大小为10m/s B．网球由O点运动到P点的时间为1.6s C．O、P两点间的水平距离为10.8m D．若O、P两点连线与墙壁的夹角为θ，则 【举一反三】 1．（24-25高一上·山西吕梁·期中）“打水漂”游戏中要使得石子在水面上一跳一跳地飞向远方，产生“水漂”的效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ，为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处以初速度水平抛出，不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g，抛出的石子（　　） A．在空中的运动时间为 B．接触水面瞬间竖直方向的速度大小为 C．接触水面瞬间的速度大小为 D．要产生水漂初速度的最小值为 2．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为，忽略空气阻力，则（　　） A．两个毽子不会同时落到轨道上 B． C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 3．（2023高三·浙江台州·竞赛）如图所示的半圆形凹槽，半径为R．从左侧圆周上与圆心O点等高的A处平抛一小球．若小球初速度为，为小球击中凹槽位置与圆心O连线与竖直方向的夹角，则（  ）． A． B． C． D．若小球的初速度可以任意选择，则小球有可能垂直击中凹槽 题型四：平抛运动的追及和相遇问题 【例4】．（24-25高一下·河南濮阳·阶段练习）如图所示，A、B两小球置于同一竖直线上不同高度处，如果将A球以速度v1、B球以速度v2水平抛出（前一个球落地后才抛另一个球），落地前两球轨迹均经过P点。现在将A、B两球同时水平抛出，抛球高度和速度不变，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．v1>v2 B．两球在P点相遇 C．落地前两球在竖直方向上的距离越来越大 D．落地前两球在竖直方向上的距离保持不变 【举一反三】 1．（2025·湖北襄阳·三模）如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的P点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度比小球乙的抛出点到水平地面的高度大，小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．小球甲在相遇前运动的时间为 D．小球甲、乙抛出点的高度差 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，将A和B两小球从同一水平直线上的两位置沿水平方向分别抛出，运动轨迹如图所示，不计空气阻力。以下说法正确的是（    ） A．若要两球相遇，需先抛出A球 B．若要两球相遇，先抛出B球 C．若要两球相遇，同时抛出两球 D．无论先抛出哪个小球，一定能够相遇 3．（24-25高三上·重庆·期中）如图所示，在竖直平面内位于等高的、两点的两个小球相向做平抛运动，二者恰好在点相遇。已知构成三角形，其边长关系为、，则（　　） A．两个小球不一定同时抛出 B．两个小球的初速度大小不相同 C．两个小球相遇时速度相同 D．两个小球相遇时速度方向是相互垂直的 题型五：斜面上的平抛运动 【例5】．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，小球P从位于倾角的斜面上某点以一定初速度水平向右抛出，同时右侧等高处的小球Q以一定的初速度水平向左抛出。已知P、Q两球都落在了斜面上的同一点，且小球Q恰好垂直打到斜面上。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两球的加速度大小之比为1∶2 B．P、Q两球运动的时间之比为2∶1 C．P、Q两球抛出的初速度大小之比为2∶3 D．P、Q两球的水平位移大小之比为3∶2 【举一反三】 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）某水流造景设施的截面如图所示，为水平喷水口，水柱刚离开的速度为，从喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为的斜面上的处。已知重力加速度为，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从到所用的时间为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南开封·开学考试）如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球从抛出到落在斜面上的时间为 B．小球从抛出到落在斜面上的时间为 C．小球抛出时距斜面底端的高度为 D．小球抛出时距斜面底端的高度为 3．（24-25高一下·甘肃张掖·阶段练习）如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是（　　） A．夹角α将变大 B．夹角α与初速度大小无关 C．小球在空中的运动时间不变 D．后一次落点与P点的间距是PQ间距的2倍 题型六：曲面上的平抛运动 【例6】．（2025·全国·模拟预测）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】 1．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图所示，MON是一个半球形容器的水平直径，O为圆心，P为容器的最低点。从M点沿MN分别以速度v1、v2抛出小球a和b，分别落在容器的E、F两点上，，E、F关于直线OP对称。不计空气阻力，则下列说法错误的是（　　） A．两个球都不可能垂直撞向半球形容器 B． C．两球在相同时间内速度变化量相同 D．b球飞行时间长 2．（23-24高一下·河南·期中）如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 3．（23-24高一下·四川绵阳·期中）如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O。一小球（可视为质点）从与圆心等高的圆形轨道上的A点以速度水平向右抛出，落于圆轨道上的C点。已知OC的连线与OA的夹角为，重力加速度为，则小球从A运动到C的时间为（，）（　　） A．4s B．6s C．8s D．3s 题型七：斜抛运动 【例7】．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）甲图是篮球运动员正在进行投篮训练的示意图，某次投篮情景如图乙，A是篮球的投出点， B是篮球的投入点。已知篮球在A点的初速度为，与水平方向的夹角为，AB连线与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)篮球在飞行过程中距A点的最大高度h； (2)离AB连线最远时的速度大小v； (3)AB之间的距离s。 【举一反三】 1．（2025高一下·全国·专题练习）不计空气阻力，将物体从地面以初速度v0斜向上抛出，抛射角为θ。若物体到达离地高度h=5m处时，水平位移为，且此时竖直分速度为0，，则初速度v0的大小为（　　） A． B． C．15m/s D．20m/s 2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在播种季节，农民经常采用抛秧的方式种植水稻。如图所示，某次抛秧时农民将秧苗（视为质点）从A点以大小为v0=5m/s、方向与水平面成θ=37°的速度抛出，秧苗落在水平水田上的B点（图中未画出），已知A、B两点的水平距离x=4m，不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.求： (1)秧苗在空中的运动时间t； (2)A和B两点的竖直高度h； (3)秧苗落到水田前瞬间的速度的大小。 3．（24-25高一下·福建·期中）如图所示，甲、乙两位置在同一竖直面内，距水平地面的高度分别为，，现在甲、乙两位置同时分别抛射出小球1、2（均可视为质点），最终两小球落在水平地面上的同一点C。已知小球1以与水平方向夹角斜向上、大小为的初速度射出，小球2以大小为的速度水平射出，重力加速度，不计空气阻力，，，求： (1)小球1、2从抛出到落地的时间差； (2)甲、乙两点间的水平距离。 题型八：类平抛运动 【例8】．（24-25高一下·云南·期中）如图所示，一个倾角为的斜面固定在水平面上，其上表面光滑且为边长的正方形。现将一小球从处水平向左抛出，小球沿斜面恰好运动到底端的点。重力加速度取，空气阻力忽略不计，下列说法中不正确的是（　　） A．小球的运动轨迹一定为抛物线 B．小球在斜面上运动的时间为 C．小球在点的速度大小为 D．小球速度变化量的大小为 【举一反三】 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力F风=5N的作用，风力与v0的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度保持不变 C．小球的加速度与初速度v0的夹角为60° D．小球的加速度大小为 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图所示，光滑的斜面abcd是边长为的正方形，其倾角为未知量，在a点给小球（可视为质点）一个由指向的初速度，小球沿斜面运动到点，重力加速度为，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．小球从a到的运动时间为 B．小球从到的平均速度大小为 C．斜面倾角的正弦值为 D．小球在点速度方向与边间夹角的正切值为 3．（24-25高一下·江西赣州·月考）“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一质量为m的小球在光滑的水平面上以初速度v0（沿x轴正方向）穿过一段风带，经过风带时风会给小球一个沿水平方向且与v0方向垂直（沿y轴正方向）的恒力作用，风带在区域，其他区域无风。小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向如图所示，已知小球在穿过风带过程中沿y轴正方向运动的位移为。下列说法正确的是（　　） A．小球穿过风带所需时间为 B．小球穿过风带过程中的加速度大小为 C．小球穿过风带时所受合力的大小为 D．小球穿过风带后的速度大小为 题型九：抛体运动的综合问题 【例9】．（25-26高一上·吉林·期末）如图所示的坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上，在y轴上的A点有一小球甲以水平向右的初速度v0抛出的同时，在坐标原点O有一小球乙以斜向右上方的速度抛出，C为乙运动轨迹的最高点，甲经过C点后落在x轴上的D点，乙最终落在x轴上的B点（x0，0），已知两球在C点相遇但不相碰，重力加速度为g，不计空气阻力，小球均可视为质点。求： (1)乙从O到B的运动时间以及A、O两点间的距离； (2)乙在O点的速度大小以及D、O两点间的距离。 【举一反三】 1．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，倾角的斜面体ABC固定在地面上，小物块从点由静止下滑，同时另一小球从点正上方的点水平抛出，小物块与小球同时到达斜面底端的处。已知斜面AB长，小物块与斜面体间的动摩擦因数，重力加速度取，不计空气阻力，小物块及小球均可视为质点，求： (1)小物块从点滑到点的时间； (2)小球抛出时的初速度大小及AD间的高度。 2．（25-26高一上·吉林延边·期末）2025年12月14日，中国运动员苏翊鸣以卓越表现斩获2025-2026赛季国际雪联单板滑雪大跳台世界杯总冠军。滑雪科研团队要研判各种技术动作和空中技巧，既要在比赛中取得好成绩，又要保证运动员的人身安全。如图所示，在某中学科技小组的一次理论模拟探究中，假设苏翊鸣由点（斜坡的顶点）以速度垂直于斜坡斜向上起跳，落在倾角的斜坡上的点。（重力加速度取，忽略空气阻力，运动员可看成质点。）求该运动员 (1)在空中运动的时间； (2)离斜坡的最远距离； (3)A、B两点沿斜坡的距离。 3．（25-26高一·全国·假期作业）如图所示，在水平地面上固定一倾角、表面光滑的斜面体，物体以的初速度沿斜面上滑，同时在物体的正上方，有一物体以某一初速度水平抛出。物体恰好可以上滑到最高点，此时物体恰好被物体击中。、均可看成质点，不计空气阻力，，，取。求： (1)物体上滑到最高点所用的时间； (2)物体抛出时的初速度的大小； (3)物体、间初始位置的高度差。 【高分精练】 一、单选题 1．（2025高一下·全国·专题练习）关于斜抛运动的性质，下列说法正确的是（　　） A．斜抛运动是匀速曲线运动 B．斜抛运动的加速度为重力加速度g（竖直向下） C．斜抛运动的初速度方向一定斜向上 D．斜抛运动中物体受重力和抛力共同作用 2．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期末）套圈是我国民众喜爱的传统游戏，小孩和大人在同一条竖直线上的不同高度分别水平抛出相同的圆环，结果恰好都套中前方同一物体（不计空气阻力），如图所示。则大人和小孩抛出的圆环初速度和在空中飞行的时间（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·吉林·期末）一小球从空中某点水平抛出，经过A、B两点，已知小球在A点的速度大小为、方向与水平方向成30°角，小球在B点的速度方向与水平方向成60°角，不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为 B．小球从A点运动到B点用时 C．A点和B点间的直线距离为 D．小球从A点运动到B点，速度变化量的大小为 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端点，先后将相同的小球以大小不同的水平速度和向右抛出，落在斜面上。关于两球落到斜面上的情况，说法中正确的是（　　） A．落到斜面上的瞬时速度方向相同 B．落到斜面上的位置相同 C．落到斜面上的瞬时速度大小之比是 D．落到斜面上前，在空中飞行的时间之比是4：1 5．（2025高一下·全国·专题练习）某运动员以相同的初速度v0、抛射角斜抛物体，分别在不计空气阻力和考虑空气阻力两种情况下运动（落点与抛出点在同一水平面），下列说法正确的是（　　） A．考虑空气阻力时，射程大于理论最大值 B．两种情况下，物体到达最高点的竖直分速度均为0 C．考虑空气阻力时，射高比无阻力时更大 D．空气阻力会使轨迹成为对称的抛物线 6．（2025高一下·全国·专题练习）某选手在跳台项目中，起跳速度大小，不计空气阻力（），起跳点与落点在同一水平面，下列说法错误的是（　　） A．理论最大射程为6.4m（抛射角45°时） B．若抛射角，总运动时间为0.8s C．若考虑空气阻力，实际射程会小于理论值 D．抛射角时的射高与时的射高相等 7．（2025高一下·全国·专题练习）不计空气阻力，将物体以初速度、抛射角斜向上抛出（），下列说法正确的是（　　） A．物体上升到最高点的时间为 B．射程为 C．落地时速度与水平方向的夹角为30° D．运动过程中速度的最小值为 8．（25-26高三上·山西·期中）某铅球运动员在投掷铅球，铅球由距离地面高处的点以与水平方向成角抛出，经的时间刚好经过点，已知点距离地面的高度为，、两点的水平间距为，重力加速度，，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A． B．初速度大小为 C．铅球的最高点距离地面的高度为 D．铅球的落地点到抛出点的水平间距为 二、多选题 9．（25-26高一上·吉林长春·期末）关于平抛运动的速度和位移规律，下列说法正确的是（　　） A．任意相等时间内，速度的变化量大小相等、方向竖直向下 B．任意相等时间内，水平方向的位移相等 C．平抛运动的物体在某时刻的速度方向一定与从开始到该时刻的位移方向垂直 D．平抛运动的水平分速度随时间逐渐增大，竖直分速度保持不变 10．（25-26高一上·吉林·期末）如图所示，圆心为O的半圆形轨道ACB竖直固定在水平地面上，AB是水平直径，C是最低点，D点是B点在水平地面上的投影，圆弧轨道的E点有个小孔。让小球甲、乙（均视为质点）从A点以水平向左、大小不同的初速度抛出，甲落到C点，乙通过小孔（无碰撞）运动到D点，忽略空气的阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙从抛出到落地的时间不相等 B．乙在D点速度的反向延长线经过O点 C．甲、乙在A点的速度之比为 D．甲从A到C与乙从A到D的平均速度大小之比为 11．（25-26高一上·吉林延边·期末）跑酷是时下风靡全球的时尚极限运动。现有甲、乙两名跑酷爱好者，在一次训练中甲的运动轨迹如图所示。甲从倾角为的斜面顶点A沿水平方向以速度跃出，经时间恰好落至斜面最低点C，此时甲的速度与水平方向夹角为。随后乙也从顶点A沿水平方向以速度跃出，先落至B点（未画出），再二次用力起跳，最后也恰好落至C点。不计空气阻力，两人均可看成质点。下列说法正确的是（　　） A．B点为斜面上AC的中点 B．乙从A点落到B点的时间为 C．乙落在B点的速度与水平方向夹角也为 D．乙落在B点时的速度大小为 12．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）滑雪比赛场地可简化为如图所示的示意图。在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为的斜面顶端点以的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，为轨迹的最高点，为轨迹上离斜面最远的点，为过点作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，取重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．运动员在空中的运动时间为 B．运动员从点运动到点的时间为 C．运动员到斜面的最远距离为 D．两点间的距离为 13．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 14．（2025高一下·全国·专题练习）某物体以初速度v0水平抛出，不计空气阻力。在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为，位移方向与水平方向的夹角为。已知此时物体的竖直分速度，则下列说法正确的是（　　） A．此时速度方向与水平方向的夹角 B．此时物体的竖直位移y与水平位移x满足y=2x C．若初速度增大为2v0，则与的关系不变 D．此时速度的反向延长线恰好经过此时水平位移的中点 三、解答题 15．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）第24届冬季奥林匹克运动会2022年2月4日—2022年2月20日在北京举办，如图所示，中国选手跳台滑雪运动员谷爱凌在一次比赛时，经过一段时间的加速滑行后从点水平飞出，经过3s落到斜坡上的点。已知点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，不计空气阻力（，，取）。求： (1)点与点的距离； (2)谷爱凌离开点时的速度大小； (3)谷爱凌从点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间为多少，离坡面的最远距离为多大。 16．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）跳台滑雪是冬奥会比赛项目，极具观赏性。如图所示为某跳台滑雪的简易图，已知斜坡的倾角为，斜坡足够长，运动员由顶端O沿水平方向跳出，经过一段时间，运动员落在距离顶端O为s=160m的位置A（图中未画出），忽略空气阻力，重力加速度g=10m/s2.求： (1)运动员离开O点瞬间的速度大小； (2)运动员离开O点后经多长时间距斜坡最远以及最远距离； 17．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一雪块从倾角的大山顶上的O点由静止开始下滑，滑到A点后离开大山。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与大山的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： (1)雪块从A点离开大山时的速度大小； (2)雪块落地时的速度大小及其速度方向与水平方向夹角的正切值。 18．（25-26高一上·河北张家口·期末）跑酷是以日常生活的环境为运动场所的极限运动。一跑酷运动员在水平高台上水平向右跑到高台边缘，以的速度从边缘上的A点水平向右跳出，运动=0.6s后落在一倾角为的斜面上的B点，速度方向与斜面垂直。随后运动员迅速转身并调整姿势，以的速度从B点水平向左蹬出，刚好落到斜面的底端C点。D点为平台的下边缘点，假设该运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取，，。求： (1)运动员从高台边缘跳出时的水平速度的大小； (2)DC间的距离。 19．（25-26高三上·四川广安·月考）如图所示，运动员将网球从点以速度水平击出，网球经过点时速度方向与竖直方向的夹角为, 落到水平地面上的点时速度方向与竖直方向的夹角为, 不计空气阻力，重力加速度大小为，求： (1)网球从点运动到点的时间； (2) 、两点间的水平距离； (3)点距水平地面的高度。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲：抛体运动规律 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点一：平抛运动的定义和性质 1．定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受重力作用的运动． 2．平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动． 3．平抛运动的特点：(1)初速度沿水平方向．(2)只受重力作用． 4．平抛运动的性质，加速度为g的匀变速曲线运动． 知识点二、平抛运动的研究方法及规律 1．研究方法：采用运动分解的方法，将平抛运动分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动． 2．平抛运动的时间：由y＝gt2得t＝ ，可知平抛运动时间只与下落高度有关，与初速度无关． 3．平抛运动的速度： (1)水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt (2)合速度 (3)速度变化：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示． 4．平抛运动的位移： (1)水平方向：x＝v0t. 竖直方向：y＝gt2. (2)合位移 5．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2得y＝x2，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线． 知识点三：．平抛运动的两个推论 (1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α. 证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α. (2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t. 可见AB＝OB. 知识点四、平抛运动与斜面的结合 在解答平抛运动与斜面的结合问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出位移或速度与斜面倾角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下： 方法 内容 斜面 总结 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形 分解位移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形 知识点五、一般的抛体运动 1．定义：初速度沿斜向上或斜向下方向的抛体运动． 2．性质：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动． 3．斜上抛运动在两个分方向的运动规律： 水平方向：vx＝v0cos_θ，x＝v0tcos_θ 竖直方向：vy＝v0sin_θ－gt，y＝v0tsin θ－gt2. 4．可利用逆向思维方法，把斜上抛运动到最高点问题转换为平抛运动问题． 【题型归纳】 题型一：平抛运动的基本计算 【例1】．（24-25高一下·宁夏银川·月考）投壶是从先秦延续至清末的一种中国传统礼仪，在图甲中，小孩将箭矢水平抛出投入壶中，将箭矢视为质点，不计空气阻力和壶的高度，简化后如图乙所示，箭矢从离地面高的A点以初速度水平抛出，正好落在壶口B点，已知，求： (1)箭矢运动的时间； (2)箭矢运动的水平距离； (3)箭矢在B点的速度大小和方向。 【答案】(1)0.4s (2)2m (3)，方向斜向右下方与水平夹角 【详解】（1）箭矢水平抛出后做平抛运动，由 解得 （2）箭矢水平方向做匀速直线运动，则有水平位移为 （3）箭矢竖直方向的速度为 箭矢在B点的速度大小为 方向与水平方向夹角为斜向右下方，则 【举一反三】 1．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）一个物体以3m/s的速度水平抛出，落地时的速度大小是5m/s，不计空气阻力，取，则下列说法正确的是（　　） A．物体落地的时间为0.5s B．落地时竖直方向的速度为4m/s C．抛出点的高度为0.2m D．抛出点的高度为0.6m 【答案】B 【详解】B. 根据平抛运动规律，物体在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动；落地速度大小，其中，，。 由落地速度大小为 解得，故B正确； A. 竖直方向的速度大小为 解得，故A错误； CD. 下落时间，则高度为，故CD错误。 故选B。 2．（25-26高三上·北京西城·月考）距地面高度为的小球以的速度被水平抛出，g取。求： (1)小球在空中的飞行时间t； (2)小球落地点距抛出点的水平距离x； (3)落地时小球的速度v的大小和方向。 【答案】(1)2s (2)20m (3)，方向斜向下，与水平方向夹角的正切值为2 【详解】（1）小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据 可得小球在空中的飞行时间 （2）根据 解得小球落地点距抛出点的水平距离 （3）小球落地的竖直速度为 解得 则落地时小球的速度 解得 设此时速度与水平方向的夹角为，则 即方向斜向下，与水平方向夹角的正切值为2。 3．（25-26高一上·吉林·期末）如图所示，一质量为的小物块以初速度从粗糙水平桌面上某处开始运动，经时间后以速度飞离桌面，最终落在水平地面上。物块与桌面间的动摩擦因数，桌面高，不计空气阻力，取重力加速度。求： (1)小物块落地点距飞出点的水平距离； (2)小物块落地时的速度大小； (3)小物块的初速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小物块做平抛运动的时间为，则竖直方向则有 解得 故小物块落地点距飞出点的水平距离为 （2）小物块落地时竖直方向的速度为 小物块落地时的速度大小 （3）小物块在水平桌面上运动时，根据牛顿第二定律则有 解得 又 解得 题型二：飞机投弹问题 【例2】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，某军队在一次空地联合军事演习中，离地面高处的飞机以水平对地速度发射一颗炸弹轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度竖直向上发射一颗炮弹拦截（炮弹运动过程看作竖直上抛），设此时拦截系统与飞机的水平距离为，若拦截成功，不计空气阻力，则的值应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若拦截成功，根据炮弹和炸弹运动的同时性可知，炸弹运行的时间 在这段时间内飞机发射炸弹在竖直方向上下落的位移为 拦截炮弹在这段时间内向上的位移为 且有 联立解得 可得，故选C。 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东肇庆·期末）某次大学生飞行器空投比赛中，一飞行器在离地面高7.2m的空中以9m/s的速度匀速直线飞行。某时刻，飞行器无动力释放一沙袋，沙袋飞出后恰好击中地面上的目标。沙袋可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．沙袋释放后经0.72s落地 B．沙袋的释放位置与目标的水平距离为9m C．沙袋击中目标时的速度大小为15m/s D．若仅减小飞行速度，沙袋释放后在空中的飞行时间变长 【答案】C 【详解】A．沙袋竖直方向做自由落体运动，由公式 解得，A错误； B．沙袋的释放位置与目标的水平距离为，B错误； C．竖直方向速度 水平速度 合速度大小为，C正确； D．沙袋的飞行时间仅由竖直方向自由落体高度决定，与水平速度无关。减小飞行速度不会改变下落时间，D错误。 故选C。 2．（23-24高一下·江西·期中）现代战争可用无人机实施投弹，某无人机在离地高为h的高空沿水平方向做匀加速运动，某时刻释放一颗炸弹，炸弹落地时与无人机的水平距离为s，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则无人机运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设投弹时无人机的速度大小为v，根据可得，投弹后炸弹运动的时间为 根据题意，无人机在水平方向上有 联立解得无人机的加速度大小 故选A。 3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）一架无人机以 2m/s的速度在5m 的高空水平飞行，从无人机上每隔 0.5s 释放一个小球，先后共释放四个完全相同的小球。 若不计空气阻力，重力加速度取 下列说法正确的是（　　） A．第二个小球和第四个小球的下落所用时间均为 1s B．第三个小球落地时的速度大小为 10 m/s C．第一个小球落地点与第四个小球的落地点间距为 4m D．第一个小球和第二个小球在空中的任何时刻都不在同一竖直线上 【答案】A 【详解】A．每个小球都做相同的平抛运动，由 知，落地时间 A项正确； B．小球落地的速度 B项错误； C．第一个小球与第四个小球之间间隔 1.5s ，故落地点的间距 C项错误； D．小球都做相同的平抛运动，水平方向都是相同速度的匀速直线运动，所以在空中任何时刻总是排成竖直的直线，D 项错误。 故选A。 题型三：平抛运动的两个推论 【例3】．（24-25高一下·广西贵港·阶段练习）如图所示，某同学对着竖直墙壁练习打网球，该同学使球拍与水平方向的夹角为α=37°，在O点击中网球，球以v0=15m/s的速度垂直球拍离开O点，恰好垂直击中墙壁上的P点，忽略空气阻力的影响，取重力加速度大小g=10m/s2，sinα=0.6，cosα=0.8，下列说法正确的是（　　） A．网球在P点与墙壁碰撞时的速度大小为10m/s B．网球由O点运动到P点的时间为1.6s C．O、P两点间的水平距离为10.8m D．若O、P两点连线与墙壁的夹角为θ，则 【答案】C 【详解】A．网球的逆向运动（由P点到O点）为平抛运动，对O点速度进行分解可得，故选项A错误； B．在竖直方向上有 解得，故选项B错误； C．、两点间的水平距离，故选项C正确； D．根据题意可知， 联立可得，故选项D错误。 故选C。 【举一反三】 1．（24-25高一上·山西吕梁·期中）“打水漂”游戏中要使得石子在水面上一跳一跳地飞向远方，产生“水漂”的效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ，为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处以初速度水平抛出，不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g，抛出的石子（　　） A．在空中的运动时间为 B．接触水面瞬间竖直方向的速度大小为 C．接触水面瞬间的速度大小为 D．要产生水漂初速度的最小值为 【答案】D 【详解】A．石子竖直方向做自由落体，根据 解得，故A错误； B．竖直方向速度，故B错误； C．合速度，故C错误； D．速度方向与水面夹角满足 又 解得，故D正确。 故选D。 2．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为，忽略空气阻力，则（　　） A．两个毽子不会同时落到轨道上 B． C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 【答案】B 【详解】A．由分析可知，两个毽子均为平抛运动，由几何关系，两毽子竖直方向的位移相等为 可得 则两个毽子会同时落到轨道上，A选项错误； B．由两毽子平抛运动水平方向位移为 可知，B选项正确； C．由平抛运动仅受重力，故加速度始终为竖直方向，速度变化量公式 可知速度变化量方向与加速度方向一致，故两个毽子速度变化量方向相同，C选项错误； D．由平抛运动推论，末速度的反向延长线与轴的交点为水平位移的中点，由几何关系可知O点不是水平位移中点，则落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点，D选项错误。 故选B。 3．（2023高三·浙江台州·竞赛）如图所示的半圆形凹槽，半径为R．从左侧圆周上与圆心O点等高的A处平抛一小球．若小球初速度为，为小球击中凹槽位置与圆心O连线与竖直方向的夹角，则（  ）． A． B． C． D．若小球的初速度可以任意选择，则小球有可能垂直击中凹槽 【答案】A 【详解】ABC．几何关系有 平抛运动 代入解得 故A正确，BC错误； D．速度反向延长线必然均分水平位移，所以小球不可能垂直击中凹槽，故D错误。 故选A。 题型四：平抛运动的追及和相遇问题 【例4】．（24-25高一下·河南濮阳·阶段练习）如图所示，A、B两小球置于同一竖直线上不同高度处，如果将A球以速度v1、B球以速度v2水平抛出（前一个球落地后才抛另一个球），落地前两球轨迹均经过P点。现在将A、B两球同时水平抛出，抛球高度和速度不变，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．v1>v2 B．两球在P点相遇 C．落地前两球在竖直方向上的距离越来越大 D．落地前两球在竖直方向上的距离保持不变 【答案】D 【详解】A．根据平抛运动， 解得 两球到点的水平距离相等，小的初速度大，，A错误； B．根据 解得 两个小球到点的高度不同，到达点的时间不同，两球不能相遇，B错误； CD．根据 可知两球在相同时间内下落相同的距离，所以落地前两球在竖直方向上的距离保持不变，故C错误，D正确。 故选D。 【举一反三】 1．（2025·湖北襄阳·三模）如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的P点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度比小球乙的抛出点到水平地面的高度大，小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．小球甲在相遇前运动的时间为 D．小球甲、乙抛出点的高度差 【答案】D 【详解】A．设篮球甲、乙从抛出到相遇运动的时间分别为、，两球在P点相遇，则在水平方向上有 代入数据解得，故A错误； BC．由题知，在相遇时两小球的速度方向相互垂直，设篮球甲落在P点时速度与竖直方向的夹角为，作出速度分析图，如图所示 由图可知，小球甲、乙在相遇时速度偏转角不相同，根据几何关系可得 可得 又 且甲球下落的高度更高，则有，联立解得，，故BC错误； D．根据题意，可得小球甲、乙抛出点的高度差，故D正确。 故选D。 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，将A和B两小球从同一水平直线上的两位置沿水平方向分别抛出，运动轨迹如图所示，不计空气阻力。以下说法正确的是（    ） A．若要两球相遇，需先抛出A球 B．若要两球相遇，先抛出B球 C．若要两球相遇，同时抛出两球 D．无论先抛出哪个小球，一定能够相遇 【答案】C 【详解】因AB的初始位置与相遇点的竖直高度相等，根据 则时间相等，即若要两球相遇，只需两球同时抛出。 故选C。 3．（24-25高三上·重庆·期中）如图所示，在竖直平面内位于等高的、两点的两个小球相向做平抛运动，二者恰好在点相遇。已知构成三角形，其边长关系为、，则（　　） A．两个小球不一定同时抛出 B．两个小球的初速度大小不相同 C．两个小球相遇时速度相同 D．两个小球相遇时速度方向是相互垂直的 【答案】D 【详解】A．两小球下落高度 在平抛运动中，下落高度，则 解得下落时间 因为两个小球下落高度相等，则下落时间相等，二者可以相遇，则一定是同时抛出的，故A错误； B．因为构成等腰三角形，两点处到点的水平距离相等，均为，时间相等，则初速度大小 也相等，故B错误； CD．两小球相遇时，竖直方向速度大小符合 解得 可知水平方向初速度 即速度与水平方向夹角为，处平抛的小球到相遇时速度为右下方与水平方向夹角，处平抛的小球到相遇时速度为左下方与水平方向夹角，则两个小球相遇时速度方向是相互垂直的，速度大小相等，但方向不同。故C错误，D正确。 故选D。 题型五：斜面上的平抛运动 【例5】．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，小球P从位于倾角的斜面上某点以一定初速度水平向右抛出，同时右侧等高处的小球Q以一定的初速度水平向左抛出。已知P、Q两球都落在了斜面上的同一点，且小球Q恰好垂直打到斜面上。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两球的加速度大小之比为1∶2 B．P、Q两球运动的时间之比为2∶1 C．P、Q两球抛出的初速度大小之比为2∶3 D．P、Q两球的水平位移大小之比为3∶2 【答案】D 【详解】A．P、Q两球均做平抛运动，加速度均为重力加速度，大小之比为1∶1，故A错误； B．两球下落高度相同，由可知，两球做平抛运动的时间之比为1∶1，故B错误； C ．对小球P，根据平抛运动规律有 解得， 对小球Q，有 解得 则，故C错误； D．根据，可知P、Q两球的水平位移大小之比为3∶2，故D正确。 故选D。 【举一反三】 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）某水流造景设施的截面如图所示，为水平喷水口，水柱刚离开的速度为，从喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为的斜面上的处。已知重力加速度为，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从到所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示 水滴从P到B做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，速度 竖直方向做自由落体运动，速度 因水柱垂直撞击倾角为的斜面，故撞击时速度方向与斜面垂直，即沿斜面方向的速度分量为零。将水平速度和竖直速度分解到沿斜面方向，水平速度沿斜面方向的分量为；竖直速度沿斜面方向的分量为，负号表示与斜面正方向相反。沿斜面方向合速度为零，有 代入得 化简解得 故选A。 2．（25-26高二上·河南开封·开学考试）如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球从抛出到落在斜面上的时间为 B．小球从抛出到落在斜面上的时间为 C．小球抛出时距斜面底端的高度为 D．小球抛出时距斜面底端的高度为 【答案】D 【详解】AB．小球做平抛运动恰好垂直打在斜面上，根据几何关系可得 解得，故AB错误； CD．小球垂直打在斜面上，设小球抛出时距斜面底端的高度为，根据平抛运动规律，在水平方向上有 在竖直方向上有 根据几何关系有 解得，故C错误，D正确。 故选D。 3．（24-25高一下·甘肃张掖·阶段练习）如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是（　　） A．夹角α将变大 B．夹角α与初速度大小无关 C．小球在空中的运动时间不变 D．后一次落点与P点的间距是PQ间距的2倍 【答案】B 【详解】ABC．小球做平抛运动，且竖直位移与水平位移满足 运动时间为 故运动时间与初速度有关，变为之前的2倍。小球落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角为，则 斜面倾角不变，故角也保持不变，所以夹角α与初速度大小无关，故AC错误，B正确； D．小球的水平位移为 解得 则落点与P点的间距 解得 所以间距与初速度的平方成正比，后一次落点与P点的间距是PQ间距的4倍，故D错误。 故选B。 题型六：曲面上的平抛运动 【例6】．（2025·全国·模拟预测）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为。由， 联立解得A、B之间的水平距离为 故选A。 【举一反三1】 1．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图所示，MON是一个半球形容器的水平直径，O为圆心，P为容器的最低点。从M点沿MN分别以速度v1、v2抛出小球a和b，分别落在容器的E、F两点上，，E、F关于直线OP对称。不计空气阻力，则下列说法错误的是（　　） A．两个球都不可能垂直撞向半球形容器 B． C．两球在相同时间内速度变化量相同 D．b球飞行时间长 【答案】D 【详解】A．若小球垂直撞上半球面，由于平抛运动中速度的反向延长线相交于水平位移中点，这个交点则是点，球将落在点，这是不可能的。所以两个球都不可能垂直撞向半球形容器，A正确，不符合题意； D．由题意可知EF两点距离M点的竖直高度相同，根据可知，两球运动的时间相等，D错误，符合题意； B．根据几何关系，可知落到F点的水平位移等于E点的3倍，根据 可知 B正确，不符合题意； C．小球速度变化量为，两球加速度均为g，相同时间内速度变化量相同，C正确，不符合题意。 故选D。 2．（23-24高一下·河南·期中）如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 【答案】B 【详解】A．竖直方向上，根据 可得 可知小球竖直位移越大，运动时间越长，故三个小球平抛运动时间的大小关系为 故A错误； B．三个小球下落相同高度的情况下，C小球抛得最远，A小球拋得最近，由x=vt知平抛初速度满足 故B正确； C．做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故落在C点的小球，在C点的瞬时速度不可能与C点的切线垂直，故C错误； D．落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为，根据平抛运动速度偏转角与位移偏转角的关系 速度与水平方向夹角大于60°，故D错误。 故选B。 3．（23-24高一下·四川绵阳·期中）如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O。一小球（可视为质点）从与圆心等高的圆形轨道上的A点以速度水平向右抛出，落于圆轨道上的C点。已知OC的连线与OA的夹角为，重力加速度为，则小球从A运动到C的时间为（，）（　　） A．4s B．6s C．8s D．3s 【答案】A 【详解】小球抛出后做平抛运动，设圆形轨道的半径为R，竖直方向有 水平方向有 解得 故选A。 题型七：斜抛运动 【例7】．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）甲图是篮球运动员正在进行投篮训练的示意图，某次投篮情景如图乙，A是篮球的投出点， B是篮球的投入点。已知篮球在A点的初速度为，与水平方向的夹角为，AB连线与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)篮球在飞行过程中距A点的最大高度h； (2)离AB连线最远时的速度大小v； (3)AB之间的距离s。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）篮球在飞行过程中距 A点的最大高度为 （2）离AB连线最远时，篮球速度与AB平行，由于篮球在水平方向上做匀速直线运动，则 得 （3）水平方向 竖直方向 又 得 AB间距离为 得 【举一反三】 1．（2025高一下·全国·专题练习）不计空气阻力，将物体从地面以初速度v0斜向上抛出，抛射角为θ。若物体到达离地高度h=5m处时，水平位移为，且此时竖直分速度为0，，则初速度v0的大小为（　　） A． B． C．15m/s D．20m/s 【答案】A 【详解】将斜抛看成反方向的平抛，根据可知运动时间为 根据可知水平速度为 则斜抛的竖直速度为 可知斜抛的初速度为 故选A。 2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在播种季节，农民经常采用抛秧的方式种植水稻。如图所示，某次抛秧时农民将秧苗（视为质点）从A点以大小为v0=5m/s、方向与水平面成θ=37°的速度抛出，秧苗落在水平水田上的B点（图中未画出），已知A、B两点的水平距离x=4m，不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.求： (1)秧苗在空中的运动时间t； (2)A和B两点的竖直高度h； (3)秧苗落到水田前瞬间的速度的大小。 【答案】(1) (2)2m (3) 【详解】（1）秧苗在水平方向做匀速直线运动，水平速度 则秧苗在空中运动的时间 （2）选竖直向上为正方向，秧苗的竖直初速度 在竖直方向的位移 即A和B两点的竖直高度为2m （3）根据匀变速直线运动规律可知，秧苗落入水田中时竖直方向的速度为 即竖直方向速度大小为，则秧苗落入水田中的速度 3．（24-25高一下·福建·期中）如图所示，甲、乙两位置在同一竖直面内，距水平地面的高度分别为，，现在甲、乙两位置同时分别抛射出小球1、2（均可视为质点），最终两小球落在水平地面上的同一点C。已知小球1以与水平方向夹角斜向上、大小为的初速度射出，小球2以大小为的速度水平射出，重力加速度，不计空气阻力，，，求： (1)小球1、2从抛出到落地的时间差； (2)甲、乙两点间的水平距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球1上升阶段所用时间为 小球1上升阶段的高度为 小球1从最高点到落地做平抛运动，竖直方向有 解得 则小球1从抛出到落地的时间为 小球2做平抛运动，则有 解得小球2从抛出到落地的时间为 则小球1、2从抛出到落地的时间差为 （2）甲、乙两点间的水平距离为 题型八：类平抛运动 【例8】．（24-25高一下·云南·期中）如图所示，一个倾角为的斜面固定在水平面上，其上表面光滑且为边长的正方形。现将一小球从处水平向左抛出，小球沿斜面恰好运动到底端的点。重力加速度取，空气阻力忽略不计，下列说法中不正确的是（　　） A．小球的运动轨迹一定为抛物线 B．小球在斜面上运动的时间为 C．小球在点的速度大小为 D．小球速度变化量的大小为 【答案】D 【详解】A．由分析可知小球在光滑斜面上运动时，仅受重力和斜面支持力的作用。重力沿斜面向下的分力为 故小球受到的合力为恒力。小球从B点水平向左抛出，初速度与合力不共线，所以小球做匀变速曲线运动，其轨迹为一条抛物线，故A正确，不符合题意； BC．将小球的运动分解为沿初速度方向（水平向左，设为轴）和垂直初速度方向（沿斜面向下，设为轴）的两个分运动：设小球沿斜面向下即轴方向的加速度为，根据牛顿第二定律有 解得 即小球沿斜面向下的分运动为匀加速直线运动，设运动时间为，则有 解得 又因为小球沿水平方向向左做匀速直线运动，设在点的速度为，则有 解得，故BC正确，不符合题意； D．速度变化量由加速度和时间决定，故小球的速度变化只发生在沿斜面向下的方向上。已知加速度，时间，则速度变化量，故D错误，符合题意。 故选D。 【举一反三】 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力F风=5N的作用，风力与v0的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度保持不变 C．小球的加速度与初速度v0的夹角为60° D．小球的加速度大小为 【答案】B 【详解】受到斜向右上方恒定的风力F风=5N的作用，同时受到竖直向下的重力mg=5N，则两个力的夹角为120°，合力 方向沿右下方与x轴成30°角，正好与初速度v0方向垂直，可知小球做类平抛运动，速度一直增加，因合力为恒力，则加速度保持不变，加速度方向与初速度v0垂直，加速度大小为 故选B。 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图所示，光滑的斜面abcd是边长为的正方形，其倾角为未知量，在a点给小球（可视为质点）一个由指向的初速度，小球沿斜面运动到点，重力加速度为，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．小球从a到的运动时间为 B．小球从到的平均速度大小为 C．斜面倾角的正弦值为 D．小球在点速度方向与边间夹角的正切值为 【答案】C 【详解】A．由类平抛运动的规律可得小球从到的运动时间 故A错误； B．小球从到的位移为 则平均速度为 故B错误； C．由类平抛运动的规律可得， 综合可得 故C正确； D．设小球在点速度与的夹角为，根据类平抛运动速度的反向延长线经过水平位移的中点则有 故D错误。 故选C。 3．（24-25高一下·江西赣州·月考）“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一质量为m的小球在光滑的水平面上以初速度v0（沿x轴正方向）穿过一段风带，经过风带时风会给小球一个沿水平方向且与v0方向垂直（沿y轴正方向）的恒力作用，风带在区域，其他区域无风。小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向如图所示，已知小球在穿过风带过程中沿y轴正方向运动的位移为。下列说法正确的是（　　） A．小球穿过风带所需时间为 B．小球穿过风带过程中的加速度大小为 C．小球穿过风带时所受合力的大小为 D．小球穿过风带后的速度大小为 【答案】C 【详解】A．小球在x轴方向以速度v0做匀速运动，小球穿过风带所需时间 故A错误； B．小球在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，有 解得 故B错误； C．由牛顿第二定律得 故C正确； D．小球在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，由运动学公式得 小球穿过风带后的速度大小为 故D错误。 故选C。 题型九：抛体运动的综合问题 【例9】．（25-26高一上·吉林·期末）如图所示的坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上，在y轴上的A点有一小球甲以水平向右的初速度v0抛出的同时，在坐标原点O有一小球乙以斜向右上方的速度抛出，C为乙运动轨迹的最高点，甲经过C点后落在x轴上的D点，乙最终落在x轴上的B点（x0，0），已知两球在C点相遇但不相碰，重力加速度为g，不计空气阻力，小球均可视为质点。求： (1)乙从O到B的运动时间以及A、O两点间的距离； (2)乙在O点的速度大小以及D、O两点间的距离。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由斜抛运动的对称性可知甲从A到C的水平位移为0.5x0，设甲从A到C的运动时间为t0，则有 则乙从O到B的运动时间为 A、C两点的高度与CB两点的高度相等则有 A点与O点间的距离 解得 （2）把乙在O点的速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，则有， 乙在O点的速度 综合可得 甲从A到D，由平抛运动的规律可得 D与O点间的距离 综合可得 【举一反三】 1．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，倾角的斜面体ABC固定在地面上，小物块从点由静止下滑，同时另一小球从点正上方的点水平抛出，小物块与小球同时到达斜面底端的处。已知斜面AB长，小物块与斜面体间的动摩擦因数，重力加速度取，不计空气阻力，小物块及小球均可视为质点，求： (1)小物块从点滑到点的时间； (2)小球抛出时的初速度大小及AD间的高度。 【答案】(1)1s (2)， 【详解】（1）对小物块受力分析，有 解得 由匀变速直线运动中位移与时间的关系，有 解得 （2）小球做平抛运动，水平方向有 解得 竖直方向有 解得 2．（25-26高一上·吉林延边·期末）2025年12月14日，中国运动员苏翊鸣以卓越表现斩获2025-2026赛季国际雪联单板滑雪大跳台世界杯总冠军。滑雪科研团队要研判各种技术动作和空中技巧，既要在比赛中取得好成绩，又要保证运动员的人身安全。如图所示，在某中学科技小组的一次理论模拟探究中，假设苏翊鸣由点（斜坡的顶点）以速度垂直于斜坡斜向上起跳，落在倾角的斜坡上的点。（重力加速度取，忽略空气阻力，运动员可看成质点。）求该运动员 (1)在空中运动的时间； (2)离斜坡的最远距离； (3)A、B两点沿斜坡的距离。 【答案】(1)5s (2)25m (3)75m 【详解】（1）将重力加速度分解为沿方向的分加速度和垂直方向的分加速度，则， 在垂直方向，根据对称性可得运动员空中运动的时间为 （2）垂直方向，运动员做匀变速直线运动，离斜坡的最远距离为，有 解得 （3）沿斜坡方向，运动员做匀加速直线运动，有 解得 3．（25-26高一·全国·假期作业）如图所示，在水平地面上固定一倾角、表面光滑的斜面体，物体以的初速度沿斜面上滑，同时在物体的正上方，有一物体以某一初速度水平抛出。物体恰好可以上滑到最高点，此时物体恰好被物体击中。、均可看成质点，不计空气阻力，，，取。求： (1)物体上滑到最高点所用的时间； (2)物体抛出时的初速度的大小； (3)物体、间初始位置的高度差。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）物体沿斜面上滑过程中，由牛顿第二定律得 代入数据得 设物体滑到最高点所用时间为，由运动学公式知 解得 （2）物体平抛的水平位移 物体抛出时的初速度大小 （3）物体、间初始位置的高度差 【高分精练】 一、单选题 1．（2025高一下·全国·专题练习）关于斜抛运动的性质，下列说法正确的是（　　） A．斜抛运动是匀速曲线运动 B．斜抛运动的加速度为重力加速度g（竖直向下） C．斜抛运动的初速度方向一定斜向上 D．斜抛运动中物体受重力和抛力共同作用 【答案】B 【详解】A．斜抛运动中，物体仅受重力作用，加速度为重力加速度，方向竖直向下。由于存在加速度，速度的大小和方向均不断变化，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，而非匀速曲线运动。故A错误。 B．斜抛运动中，物体仅受重力作用，根据牛顿第二定律，加速度为重力加速度，方向竖直向下。此结论与初速度方向无关，无论初速度斜向上或斜向下均成立。故B正确。 C．斜抛运动的定义是初速度方向与水平方向成一定角度（非0°或90°），但该角度可以是斜向上或斜向下。例如，初速度方向斜向下时仍属于抛体运动（轨迹为抛物线的一部分）。因此，“一定斜向上”的表述不严谨。故C错误。 D．抛力仅在物体被抛出的瞬间存在，运动过程中仅受重力作用（忽略空气阻力），D错误。 故选B。 2．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期末）套圈是我国民众喜爱的传统游戏，小孩和大人在同一条竖直线上的不同高度分别水平抛出相同的圆环，结果恰好都套中前方同一物体（不计空气阻力），如图所示。则大人和小孩抛出的圆环初速度和在空中飞行的时间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆环在空中做平抛运动，则根据， 可得， 因， 则大人和小孩抛出的圆环在空中飞行的时间，初速度。 故选D。 3．（25-26高一上·吉林·期末）一小球从空中某点水平抛出，经过A、B两点，已知小球在A点的速度大小为、方向与水平方向成30°角，小球在B点的速度方向与水平方向成60°角，不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为 B．小球从A点运动到B点用时 C．A点和B点间的直线距离为 D．小球从A点运动到B点，速度变化量的大小为 【答案】B 【详解】A．小球的初速度（即水平分速度）大小为，故A错误； B．小球从A到B的时间由竖直方向速度变化决定：， 则 ，故B正确； C．水平位移 竖直位移 则A点到B点的直线距离为位移大小，故C错误； D．速度变化量的大小为，方向竖直，故D错误。 故选B。 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端点，先后将相同的小球以大小不同的水平速度和向右抛出，落在斜面上。关于两球落到斜面上的情况，说法中正确的是（　　） A．落到斜面上的瞬时速度方向相同 B．落到斜面上的位置相同 C．落到斜面上的瞬时速度大小之比是 D．落到斜面上前，在空中飞行的时间之比是4：1 【答案】A 【详解】D．根据 解得运动的时间 水平速度之比为 所以落到斜面上前，在空中飞行的时间之比是，故D错误； A．设落到斜面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角为，则 所以落到斜面上的瞬时速度方向相同，故A正确； B．小球的水平位移大小 由于初速度不同，则水平位移不同，落点的位置不同，故B错误； C．落在斜面上的竖直分速度大小 根据平行四边形定则知，落在斜面上的速度大小 落到斜面上的瞬时速度大小之比是，故C错误。 故选A。 5．（2025高一下·全国·专题练习）某运动员以相同的初速度v0、抛射角斜抛物体，分别在不计空气阻力和考虑空气阻力两种情况下运动（落点与抛出点在同一水平面），下列说法正确的是（　　） A．考虑空气阻力时，射程大于理论最大值 B．两种情况下，物体到达最高点的竖直分速度均为0 C．考虑空气阻力时，射高比无阻力时更大 D．空气阻力会使轨迹成为对称的抛物线 【答案】B 【详解】A．没有空气阻力时，水平方向速度 竖直方向初速度 上升的时间 斜抛的射程 最大值 考虑空气阻力时，减小水平和竖直方向的速度，射程小于理论最大值，故A错误； B．无论是否受阻力，最高点竖直方向速度均减为0，故B正确； C．阻力会减小竖直方向的上升高度，射高变小，故C错误； D．空气阻力使轨迹不对称（上升段短、下降段长），非对称抛物线，故D错误。 故选B。 6．（2025高一下·全国·专题练习）某选手在跳台项目中，起跳速度大小，不计空气阻力（），起跳点与落点在同一水平面，下列说法错误的是（　　） A．理论最大射程为6.4m（抛射角45°时） B．若抛射角，总运动时间为0.8s C．若考虑空气阻力，实际射程会小于理论值 D．抛射角时的射高与时的射高相等 【答案】D 【详解】A．选手在跳台项目中，起跳后看作斜抛运动，设抛射角为，斜抛运动的竖直方向初速度 斜抛运动的时间为 斜抛运动的水平方向初速度 斜抛运动的射程为 当时，，代入，得最大射程，故A正确，不符合题意； B． 时，得总运动时间，故B正确，不符合题意； C．空气阻力会减小水平速度和飞行时间，实际射程必然小于理论值，故C正确，不符合题意； D．射高为 时，射高为 时，射高为 两者不等，故D错误，符合题意。 故选D。 7．（2025高一下·全国·专题练习）不计空气阻力，将物体以初速度、抛射角斜向上抛出（），下列说法正确的是（　　） A．物体上升到最高点的时间为 B．射程为 C．落地时速度与水平方向的夹角为30° D．运动过程中速度的最小值为 【答案】A 【详解】A．竖直方向初速度 上升到最高点时间，故A正确； B．水平方向初速度 斜抛运动的射程为，故B错误； C．落地时竖直分速度 水平分速度 速度方向夹角满足 即，故C错误； D．速度最小值出现在最高点，此时仅剩水平分速度，故D错误。 故选A。 8．（25-26高三上·山西·期中）某铅球运动员在投掷铅球，铅球由距离地面高处的点以与水平方向成角抛出，经的时间刚好经过点，已知点距离地面的高度为，、两点的水平间距为，重力加速度，，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A． B．初速度大小为 C．铅球的最高点距离地面的高度为 D．铅球的落地点到抛出点的水平间距为 【答案】C 【详解】AB．铅球抛出后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向的分运动为竖直上抛运动，设初速度大小为，则抛出瞬间铅球在水平方向的分速度为 在水平方向上有 则有 竖直的分速度为 竖直方向上有 则有 联立解得，，故AB错误； C．铅球抛出后上升的高度为 铅球达到的最大高度为，故C正确； D．铅球上升的时间为 铅球由最高点到落地的过程，在竖直方向上有 解得 铅球从抛出到落地的水平位移为，故D错误。 故选C。 二、多选题 9．（25-26高一上·吉林长春·期末）关于平抛运动的速度和位移规律，下列说法正确的是（　　） A．任意相等时间内，速度的变化量大小相等、方向竖直向下 B．任意相等时间内，水平方向的位移相等 C．平抛运动的物体在某时刻的速度方向一定与从开始到该时刻的位移方向垂直 D．平抛运动的水平分速度随时间逐渐增大，竖直分速度保持不变 【答案】AB 【详解】A．平抛运动的加速度为重力加速度g，方向竖直向下。速度变化量，在相等时间内的大小相等且方向竖直向下，故A正确； B．平抛运动在水平方向是匀速直线运动，所以任意相等时间内水平方向的位移相等，故B正确； C．根据平抛运动规律可知，位移方向与水平方向的夹角正切值 速度方向与水平方向的夹角正切值 则有 可知，两方向不垂直，故C错误； D．平抛运动水平方向做匀速直线运动，则水平分速度保持不变，竖直方向做自由落体运动，则竖直分速度，随时间增大，故D错误。 故选AB。 10．（25-26高一上·吉林·期末）如图所示，圆心为O的半圆形轨道ACB竖直固定在水平地面上，AB是水平直径，C是最低点，D点是B点在水平地面上的投影，圆弧轨道的E点有个小孔。让小球甲、乙（均视为质点）从A点以水平向左、大小不同的初速度抛出，甲落到C点，乙通过小孔（无碰撞）运动到D点，忽略空气的阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙从抛出到落地的时间不相等 B．乙在D点速度的反向延长线经过O点 C．甲、乙在A点的速度之比为 D．甲从A到C与乙从A到D的平均速度大小之比为 【答案】BD 【详解】AC．由图像可得，甲、乙平抛运动的高度相等，由，可知运动时间相等，水平位移之比为1∶2，则初速度之比为1∶2，故AC错误； B．平抛运动速度的反向延长线经过水平位移的中点，AB是乙的水平位移，中点为O，则乙在D点速度的反向延长线经过O点，故B正确； D．设半圆轨道ABC的半径为R，则、 甲从A到C与乙从A到D的平均速度大小之比为，故D正确。 故选BD。 11．（25-26高一上·吉林延边·期末）跑酷是时下风靡全球的时尚极限运动。现有甲、乙两名跑酷爱好者，在一次训练中甲的运动轨迹如图所示。甲从倾角为的斜面顶点A沿水平方向以速度跃出，经时间恰好落至斜面最低点C，此时甲的速度与水平方向夹角为。随后乙也从顶点A沿水平方向以速度跃出，先落至B点（未画出），再二次用力起跳，最后也恰好落至C点。不计空气阻力，两人均可看成质点。下列说法正确的是（　　） A．B点为斜面上AC的中点 B．乙从A点落到B点的时间为 C．乙落在B点的速度与水平方向夹角也为 D．乙落在B点时的速度大小为 【答案】CD 【详解】C．设乙在B点时，速度与水平方向的夹角为，由平抛运动特点得， 显然 则乙落在B点的速度与水平方向夹角也为。故C正确； B．甲在C点的竖直分速度 同理，得乙在B点的竖直分速度 联立解得 则乙从A点落到B点的时间为。故B错误； A．甲下落高度 乙下落高度 由几何关系得，B点为斜面上距离A点处。故A错误； D．甲落在C点时的速度大小为 乙落在B点时的速度大小为 故D正确。 故选CD。 12．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）滑雪比赛场地可简化为如图所示的示意图。在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为的斜面顶端点以的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，为轨迹的最高点，为轨迹上离斜面最远的点，为过点作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，取重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．运动员在空中的运动时间为 B．运动员从点运动到点的时间为 C．运动员到斜面的最远距离为 D．两点间的距离为 【答案】BCD 【详解】B．A为轨迹的最高点，说明运动员在A点速度方向水平向右，设O到A时间为t1，由斜抛运动规律，竖直方向上有 解得 运动员从O到B过程，将运动分解为沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向，到B点时速度方向平行于斜面向下 垂直斜面方向的速度为 垂直斜面方向的加速度为 根据速度时间公式，有 解得 则运动员从A点运动到B点的时间，故B正确； A．设运动员落在斜面的D点，由垂直斜面方向运动对称性可得运动员从O到B与B到D所用时间相等，平行于斜面方向，即运动员在空中的运动时间为，故A错误； C．运动员到斜面的最远距离为 可得，故C正确； D．平行于斜面方向，速度为 加速度为 根据位移时间公式，有 运动员在水平方向做匀速直线运动，C为OD中点，则 代入数据解得，故D正确。 故选BCD。 13．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 【答案】ABC 【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，大小不变，方向与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确； B．根据牛顿第二定律知，小球的加速度，故B正确； C．小球沿加速度方向上的位移为，根据 解得，故C正确； D．小球沿初速度方向的位移 小球沿加速度方向的位移 则小球水平方向的总位移＞v0，故D错误。 故选ABC。 14．（2025高一下·全国·专题练习）某物体以初速度v0水平抛出，不计空气阻力。在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为，位移方向与水平方向的夹角为。已知此时物体的竖直分速度，则下列说法正确的是（　　） A．此时速度方向与水平方向的夹角 B．此时物体的竖直位移y与水平位移x满足y=2x C．若初速度增大为2v0，则与的关系不变 D．此时速度的反向延长线恰好经过此时水平位移的中点 【答案】CD 【详解】A．平抛运动中，速度方向与水平方向的夹角，则有 位移方向与水平方向的夹角为，则有 联立解得 并不是，故A错误； B．位移的关系有 即 题目中未限定 因此不一定成立。故B错误； C．当初速度增大为时，由上面分析可知，位移关系满足 速度关系满足 则关系式仍成立，即若初速度增大为2v0，与的关系不变。故C正确； D．平抛运动中，速度反向延长线与水平位移的交点坐标为 即此时速度的反向延长线恰好经过此时水平位移的中点，故D正确。 故选CD。 三、解答题 15．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）第24届冬季奥林匹克运动会2022年2月4日—2022年2月20日在北京举办，如图所示，中国选手跳台滑雪运动员谷爱凌在一次比赛时，经过一段时间的加速滑行后从点水平飞出，经过3s落到斜坡上的点。已知点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，不计空气阻力（，，取）。求： (1)点与点的距离； (2)谷爱凌离开点时的速度大小； (3)谷爱凌从点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间为多少，离坡面的最远距离为多大。 【答案】(1)75m (2) (3)1.5s；9m 【详解】（1）谷爱凌在竖直方向做自由落体运动，有 解得 （2）设谷爱凌离开点时的速度为，谷爱凌在水平方向的分运动为匀速直线运动，有 解得 （3）谷爱凌的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动（初速度为、加速度为）和垂直斜面方向的类竖直上抛运动（初速度为、加速度为），当垂直斜面方向的速度减为零时，谷爱凌离斜坡最远，有 解得 而 解得 16．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）跳台滑雪是冬奥会比赛项目，极具观赏性。如图所示为某跳台滑雪的简易图，已知斜坡的倾角为，斜坡足够长，运动员由顶端O沿水平方向跳出，经过一段时间，运动员落在距离顶端O为s=160m的位置A（图中未画出），忽略空气阻力，重力加速度g=10m/s2.求： (1)运动员离开O点瞬间的速度大小； (2)运动员离开O点后经多长时间距斜坡最远以及最远距离； 【答案】(1) (2)2s； 【详解】（1）由题图可知，运动员竖直方向的位移大小为 解得运动员在空中运动的时间为 运动员的水平位移为 解得运动员的初速度为 （2）运动员离开O点后，将运动员的运动沿垂直斜坡方向和沿斜坡方向分解，则垂直斜坡方向的速度和加速度分别为， 当运动员垂直斜坡方向的速度为零时，运动员距斜坡最远，所用的时间为 最远的距离为 17．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一雪块从倾角的大山顶上的O点由静止开始下滑，滑到A点后离开大山。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与大山的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： (1)雪块从A点离开大山时的速度大小； (2)雪块落地时的速度大小及其速度方向与水平方向夹角的正切值。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）根据题意，雪块在大山上运动过程中，由牛顿第二定律有 解得 再由运动学公式有 解得 （2）雪块离开山顶后，做斜向下抛运动，将分解为水平 竖直 设雪块落地时竖直方向速度为，由运动学公式有 代入数据解得雪块落到地面时竖直方向速度大小 由速度的合成公式 代入数据解得 速度与水平方向夹角满足 解得 18．（25-26高一上·河北张家口·期末）跑酷是以日常生活的环境为运动场所的极限运动。一跑酷运动员在水平高台上水平向右跑到高台边缘，以的速度从边缘上的A点水平向右跳出，运动=0.6s后落在一倾角为的斜面上的B点，速度方向与斜面垂直。随后运动员迅速转身并调整姿势，以的速度从B点水平向左蹬出，刚好落到斜面的底端C点。D点为平台的下边缘点，假设该运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取，，。求： (1)运动员从高台边缘跳出时的水平速度的大小； (2)DC间的距离。 【答案】(1) (2)2.4m 【详解】（1）设运动员刚落在B点时竖直方向的速度为，有 运动员到达B点时速度方向与斜面垂直，则到达B点的速度与竖直方向的夹角为53°，则 解得 （2）运动员从A点落到B点，水平方向有 运动员从B点落到C点做平抛运动，设时间为，水平位移和竖直位移分别为 ， 又 解得， 故D、C间的距离为 19．（25-26高三上·四川广安·月考）如图所示，运动员将网球从点以速度水平击出，网球经过点时速度方向与竖直方向的夹角为, 落到水平地面上的点时速度方向与竖直方向的夹角为, 不计空气阻力，重力加速度大小为，求： (1)网球从点运动到点的时间； (2) 、两点间的水平距离； (3)点距水平地面的高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做平抛运动，在点速度分解为水平速度和竖直速度，则有 解得 同理在点速度分解为水平速度和竖直速度，则有 解得 竖直方向是自由落体运动，则有 解得 （2）水平方向做匀速直线运动，则有 （3）竖直方向根据运动学公式有 代入解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $