2025-2026学年人教A版高二上学期数学期末模拟试题4（测试范围：必修第二册（统计、概率）+选择性必修第一册）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟试题4 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第9-10章（统计、概率）+选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（24-25高二·四川绵阳·月考）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2. （2025·福建莆田·统考）若一组数据的75百分位数是6，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3.（24-25高二上·河北石家庄·月考）若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 4.（2024上·全国·高二专题练习）已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 5.（2025·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D．或 6.（24-25高二上·江西南昌·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 7.（2024·山东·高二期末）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8.（2025·陕西西安·月考）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（2024上·宁夏·高二期末）若，，，则事件与的关系错误是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又独立 10. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（    ） A．的面积为 B．点的横坐标为2或 C．的渐近线方程为 D．以线段为直径的圆的方程为 11.（24-25高二上·山东泰安·月考）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2025上·陕西·高二月考）已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为 . 13.（24-25高二上·江西·期末）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 14.（2025·云南·高二月考）已知点是椭圆C：上的一点，是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆C的方程是.若圆的切线与椭圆C相交于M点，则的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（24-25高二·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 16.（24-25高二上·山西大同·月考）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 17.（2025·河北沧州·月考）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. (1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； (2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率. 18.（2024·浙江杭州·高二期末）已知双曲线：的离心率为，且过． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 19. 如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．    (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)求； (3)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟试题4 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第9-10章（统计、概率）+选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（24-25高二·四川绵阳·月考）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点关于原点对称的点的坐标为，故选：D. 2. （2025·福建莆田·统考）若一组数据的75百分位数是6，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】这组数据为：，但大小不定，因为， 所以这组数据的分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数， 经检验，只有符合． 故选：C． 3.（24-25高二上·河北石家庄·月考）若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【解析】直线与平行,所以,即，解得或， 当时，直线为；为，两直线不重合. 当时，直线为；为，两直线不重合. 所以或.故选：C 4.（2024上·全国·高二专题练习）已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【答案】C 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 5.（2025·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由已知，抛物线开口向左，设其方程为,，则准线方程为， 由抛物线的定义知，点到焦点的距离是，所以， 所以抛物线的方程是：， 故选：B. 6.（24-25高二上·江西南昌·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为， 所以，又点D在确定的平面内，是平面外任意一点， 所以，即， 则.故选：A. 7.（2024·山东·高二期末）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 8.（2025·陕西西安·月考）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为， 于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，， 则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上， 圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径， 所以椭圆的蒙日圆方程为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（2024上·宁夏·高二期末）若，，，则事件与的关系错误是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又独立 【答案】ABD 【详解】对于ABD，，事件与不互斥，不对立，ABD错误； 对于C，，，事件与相互独立，C正确. 故选：ABD. 10. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（    ） A．的面积为 B．点的横坐标为2或 C．的渐近线方程为 D．以线段为直径的圆的方程为 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程得a，b，c，由此可得渐近线方程和以为直径的圆的方程，由此即可判断C，D；联立渐近线与圆的方程，可求得坐标，由此即可判断A，B． 【详解】由双曲线方程知，，所以双曲线的渐近线方程为，故C错误； 又，所以为直径的圆方程为，故D错误； 由，得或，所以点的横坐标为2或，故B正确； 又，所以，故A正确．故选：AB． 11.（24-25高二上·山东泰安·月考）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【答案】ACD 【解析】如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，所以，． 对于A，设BE与所成角， 则，，故A正确； 对于B，易知， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面. 所以平面的一个法向量， 则点O到平面的距离， 故B错误； 对于C，，，． 设平面的法向量为，则，所以，令， 所以，所以点到平面的距离． 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，， 平面，所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C正确； 对于D，因为，所以，， 则，所以点P到AB的距离，故D正确． 故选：ACD.    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2025上·陕西·高二月考）已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以. 故答案为： 13.（24-25高二上·江西·期末）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心（即原点）到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 14.（2025·云南·高二月考）已知点是椭圆C：上的一点，是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆C的方程是.若圆的切线与椭圆C相交于M点，则的最大值是 . 【答案】3 【详解】由和可得， 即，，解得，，所以椭圆C：； 设圆的切线方程为，由得， 联立 消去x得， ， 设，，则，， ， 设，， 当且仅当，即时，取得最大值3. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（24-25高二·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 16.（24-25高二上·山西大同·月考）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为. 17.（2025·河北沧州·月考）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. (1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； (2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为： 甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙. 设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立， 设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件，则， 则， 所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为. （2）设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，， 设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则 ， ， ， ， ， ， 所以. 所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 . 18.（2024·浙江杭州·高二期末）已知双曲线：的离心率为，且过． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点． 【详解】（1）根据题意可得，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）设，， 联立，得， ， ，，又 所以 ， 所以， 所以直线的方程为，恒过定点． 19. 如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．    (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)求； (3)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1），，， ，所以,,,四点共面. （2）平面， 上的所有的点到平面的距离都相等， 同理上所有的点到的距离也相等， ， ， 点在平面的射影落在上，过点作，过点作， 平面，， 又与是平面内两条相交直线， 平面,， 在直角三角形中，，，解得, 又在直角三角形中，，， 在直角三角形中，可得， ； （3）设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由（2）可知，， ，，，， 由，可求得，， ，， 设为平面的法向量， ，取，，， ， ，， 设，， ， 设直线与平面所成角的为， ， ，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $