精品解析：2025-2026学年安徽省合肥十中高二上学期期末考试数学模拟试卷

2025-2026学年高二上期期末考试 数学模拟试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出抛物线的标准方程，求出准线方程. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：A. 2. 若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的性质，结合向量共面的条件求解的值. 【详解】因为向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面，则存在实数使得， 即， 所以，即. 故选：B 3. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且不过圆心 D. 相交且过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心在直线上，判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心坐标为，圆心在直线上， 所以直线与圆的位置关系是相交且过圆心. 故选：D. 4. 已知，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得. 故选：D. 5. 如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线BD与AE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直棱柱知且面，可知异面直线BD与AE所成角为或其补角，再应用线面垂直的性质有、，进而求、，最后根据余弦定理求结果. 【详解】由直三棱柱的结构特征知：且面， 所以异面直线BD与AE所成角为或其补角， 由面，故，而，则， 由面，故，而，则，又EF//AD，即AD⊥AB， 所以，，， 则. 故选：A 6. 已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角比证明点为椭圆短轴端点，然后根据的面积为列式即可得出答案. 【详解】解析：如图， 设圆与轴切于点，与切于点， 设椭圆与轴正半轴交于点，下面证明，重合， 设，， ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，，则，所以， 故选：C. 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期可得答案. 【详解】因为， 所以，， ，，， 可得数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：A. 8. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.若该椭圆离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于，两点，若面积的最大值为28，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，从而得,故当为该圆的直径时，面积取最大值，即可得，所以蒙日圆半径为，即有，再结合椭圆离心率为，求得，即可得答案. 【详解】由题意可得， 所以, 所以, 由题意可得， 所以， 又因为是蒙日圆上的两个动点， 所以当为该圆的直径时，取最大值， 即蒙日圆的直径为，所以半径为， 由题意可得该蒙日圆的半径为， 所以， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以，， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以， 所以椭圆的焦距为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 10. 已知直线，则下列表述正确的是（    ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 D. 原点到直线的距离最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，依据斜率求出倾斜角；对于B，将直线的方程化为即可；对于C，根据平行关系求出，再利用两条平行直线间的距离公式即可；对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大，求两点间距离即可. 【详解】对于A，当时，直线，则直线斜率为， 故直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线，当时，， 故直线恒过点，故B正确； 对于C，当直线与直线平行时，有，得， 此时直线， 则两条直线的距离为，故C正确； 对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大， 最大值为，故D错误. 故选：ABC 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作圆：的一条切线，切点为，且在第一象限，则下列说法正确的是（ ） A. 切点在双曲线C的一条渐近线上 B. 的面积为 C. 直线的斜率为 D. 若，则双曲线C的离心率 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用圆的切线性质（切点在圆上且满足垂直关系）和双曲线的参数关系求出切点的坐标，再逐一验证各选项涉及到的几何性质（渐近线、三角形面积、斜率、离心率）是否成立. 【详解】因为双曲线C：的左、右焦点分别为，， 所以，，其中， 又因为圆：的一条切线，切点为，且在第一象限， 所以设，由切线性质可得，且， 则，且，，即， 进一步化简得，，并将代入计算可得，， 并将代入可得，故， 所以在A选项中，双曲渐近线为，将代入，则，成立，故在渐近线为，所以A选项正确， 在B选项中，的顶点为，，， 面积，所以B选项正确， 在C选项中，直线的斜率， 由于可得，所以，而选项C为， 所以C错误， 在D选项中，由可知，为直角三角形，为直角， 若，则， 在直角三角形中，，得， 又由勾股定理，即，所以， 离心率，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用倾斜角的定义，即可求解. 【详解】因为直线与轴垂直，所以直线的倾斜角为， 故答案为：. 13. 若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离大于且小于，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆上恰有两个点到直线的距离为， 则使得圆心到直线的距离大于且小于，即， 解得或， 又，所以， 即正实数的取值范围为. 故答案为： 14. 如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，此时的使得最小，据此即可求解. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点， 任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系，如图， 则， 因为E，F分别为的三等分点，所以， 又点F距平面的距离为1，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量计算求出，从而求出其通项公式； （2）利用裂项相消法求数列的前项和即可. 【小问1详解】 已知 ，根据通项公式可得 ， 则 ，解得 ， 所以 【小问2详解】 由（1）知 ，则 ， 所以 . ， 因此，数列 的前 项和 . 16. 已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用题给条件求得的值，进而求得椭圆的方程； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立并结合韦达定理，利用弦长公式列方程即可求解直线斜率，即可得解． 【小问1详解】 由题意，解得，，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 直线斜率存在，设为， 设，，联立方程组，得， 可得，， 由，知， 也即 ， 平方化简得，解得或（舍去）， 所以，所以直线的方程为或． 17. 如图，已知平面，四边形为矩形，，，点，分别是，的中点 （1）证明：平面； （2）若点为线段中点，求证：平面． （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 在矩形中，，因为平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以，又是的中点，， 所以， 又，平面，所以平面. （2） 连结交于，连结， 因为四边形是矩形，所以，且， 又分别为的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以为的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面；    （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得性质可得平面，可得，由已知可得，由线面垂直的判定定理可得结论； （2）连结交于，连结，证明四边形是平行四边形，则为的中点，进而有，再根据线面平行的判定定理即可得证； （3）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向向和平面一个法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）可知平面，所以平面的一个法向量， 所以， 由图可知所求二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为． 18. 如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）． （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：连接BE， 在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴，∴，， 即，，且，平面POB，平面POB， ∴平面PBO． （2）存在；Q为线段PB中点 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直即可由线面垂直的判断求证， （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解线面角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知四边形ABCD为菱形，∴，在等腰梯形ABCD中， ∴正三角形，∴，同理． ∵，∴，∴． 由（1）可知，，O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 由题意得，各点坐标为，，，，， ∴，，，, 设， ， 设平面AEQ的一个法向量为， 则，即， 取得，，得，所以， 设直线PC与平面AEQ所成角为，，则， 即，化简得，解得． 即Q为线段PB中点． 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数. （1）求动点的轨迹的方程； （2）动点的轨迹与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，点为轨迹在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）直线，的斜率分别记为，，求证：为定值； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1）； （2） （i）由直线，的斜率分别记为，， 设点，且， 由（1）可得：，则， 所以 （ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合两点距离公式和点到直线距离公式列方程组求解； （2）（i）设点，求出再计算，即可求证； （ii）记的面积为，则，由（i）得，再令，得出，再构造函数，通过换元法或导函数研究其最值即可求出. 【小问1详解】 由题意可得，， 平方整理可得：， 此时，满足， 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）记的面积为，的面积为，四边形的面积为， 则， 因为 由点为椭圆在第一象限上任一点， 令， 则， 方法一：设，则， 所以，， 所以，故， 所以，所以， 所以的最大值为，此时，， 方法二：令， 则 因，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故的最小值为， 故的最小值为， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上期期末考试 数学模拟试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且不过圆心 D. 相交且过圆心 4. 已知，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5. 如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线BD与AE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.若该椭圆离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于，两点，若面积的最大值为28，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量、、满足，，则 10. 已知直线，则下列表述正确的是（    ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 D. 原点到直线的距离最大值为2 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作圆：的一条切线，切点为，且在第一象限，则下列说法正确的是（ ） A. 切点在双曲线C的一条渐近线上 B. 的面积为 C. 直线的斜率为 D. 若，则双曲线C的离心率 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为______. 13. 若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为______. 14. 如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 16. 已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； 17. 如图，已知平面，四边形为矩形，，，点，分别是，的中点 （1）证明：平面； （2）若点为线段中点，求证：平面． （3）求二面角的余弦值． 18. 如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）． （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数. （1）求动点的轨迹的方程； （2）动点的轨迹与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，点为轨迹在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）直线，的斜率分别记为，，求证：为定值； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $