专题复习 圆中辅助线的作法 课件2026年华东师大版九年数学专题复习

该初中数学中考复习课件聚焦“圆中辅助线作法”核心专题，覆盖利用直径构造直角三角形、垂径定理应用、切线证明三大中考高频题型。结合2025年长沙、安徽等多地区中考真题，精准分析考点权重，如直径所对圆周角为直角占比30%，垂径定理与勾股定理结合占25%，系统归纳常考题型解法，体现中考备考的针对性。 课件亮点在于“真题解析+题型建模+素养提升”模式，如2025年长沙卷切线证明题，示范“连半径证垂直”技巧，培养推理意识与几何直观。通过垂径定理构造直角三角形例题，强化转化思想与数形结合能力，帮助学生掌握辅助线添加规律。教师可依托此资料实施专题突破，学生通过真题训练提升解题效率，助力中考冲刺。

专题复习 圆中辅助线的作法 中考几何与图形专题总复习 核心素养目标 1、核心价值：几何想象和逻辑推理 2、专题素养目标 ①知识目标：能根据不同的条件作出适当的辅助线，让学生理解圆并能转化为三角形知识求解； ②能力目标：转化思想、数形结合能力； ③情感目标：体验圆中作辅助线解决问题的乐趣，感受圆中逻辑推理的魅力和圆的美。 中考几何与图形专题总复习 题型一：利用直径构造直角三角形 题型二：利用垂径定理构造直角三角形 题型三：构造直角三角形证切线 中考几何与图形专题总复习 题型一：利用直径构造直角三角形 A B C O 理由：半圆或直径所对的圆周角等于90° 中考几何与图形专题总复习 中考再现 1、（2025年中考数学湖南省长沙市卷） 如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD=AD+BC。 (1)求证:CD与该半圆相切; C B D A O (2)当半径r= 时,令AD=a,+, + , 比较m与n的大小，并说明理由; 中考几何与图形专题总复习 【分析】(1)问考查直径所对的圆周角是直角，反之也成立，不过此题不是已知圆周角，而是要证圆周角，在线段DC上取点E，如图，使得DE=AD，则CE=CB，连接AE、BE，由于AD∥BC，所以∠D+∠C=180°，通过等腰三角形可得∠DEA+∠CEB=90°，则∠AEB=90°，所以E点在圆上（直径所对角是90°，则此角是圆周角），连接OD和半径OE，则易得△DAO△DEO，所以∠DEO=90°，DC与圆相切。 C B D A O E (2)问考查射影定理的应用，连接OC,即EDCE=OE2。不过此题要先证明∠DOC=90°.此题是新题型，把代数证明与几何关联起来，大胆尝试了新思维和新方法，是中考考情趋势。 中考几何与图形专题总复习 中考再现 2、（2025年中考数学安徽省卷） 如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC =180°。 (1)求证:OC∥AD; (2)若AD=2，BC =2，求AB的长。 C B D A O 中考几何与图形专题总复习 【分析】(1)问考查等腰三角形的性质。 E (2)问考直径所对的圆周角是直角和中位线的性质。连接BD,由于AD∥OC,∠ADB=90°，可得∠OEB=90°，根据中位线的性质，可得OE=1，则C=r-1，通过方程BC2-CE2=OB2-OE2,即（2）2-（r-1）2=r2-12，把代数求解与几何关联起来，虽然是老题重谈，但又大胆尝试了新思维和新方法，是中考考情趋势。 C B D A O 中考几何与图形专题总复习 例1、如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，𝐶𝐷是⊙𝑂的直径，∠A𝐶𝐷=60°，则∠B的度数是（   ） A. 35° B．33° C．30° D．27° 中考几何与图形专题总复习 【分析】本题考查圆周角定理的性质，直径所对的圆周角为90°，解决本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等这一性质来求解． 解：连接𝐷A，如图， 因为𝐶𝐷是⊙𝑂的直径， 所以∠𝐶A𝐷=90°． 在△A𝐶𝐷中，∠A𝐶𝐷=60°，∠𝐶A𝐷=90°， 所以∠𝐷=180°−∠A𝐶𝐷−∠𝐶A𝐷=180°−60°−90°=30°． 因为∠B和∠𝐷都是弧𝐵𝐶所对的圆周角， 所以∠B=∠𝐷=30°． 所以答案选C 中考几何与图形专题总复习 反馈练习1 1、（25-26九年级上·北京·期中）如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，C，D是⊙𝑂上的两点，∠D=130°，则∠B𝐴𝐶的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 中考几何与图形专题总复习 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补， 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，掌握相关知识是解决问题的关键． 解：如图，连接𝐵𝐶， ∵∠𝐵+∠𝐴𝐷𝐶=180°， ∴∠B=180°−130°=50°． ∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴∠CAB=90°−∠𝐵=90°−50°=40°， 故选：B． 中考几何与图形专题总复习 反馈练习1 2、（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，点𝐶，𝐷是圆上两点，连接𝐴𝐶，𝐴𝐷，𝐶𝐷．若∠𝐶=13°，则∠𝐵𝐴𝐷的度数为（   ） A．80° B．85° C．86° D．87° 中考几何与图形专题总复习 【分析】本题考查了圆周角定理，连接𝐵𝐷，根据直径所对的圆周角是直角可得∠𝐴𝐷𝐵=90°，从而可得∠𝐴𝐵𝐷=13°，然后利用直角三角形两锐角互余，即可解答． 解：连接𝐵𝐷， ∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐷𝐵=90°， ∵∠𝐴𝐶𝐷=13°， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=13°， ∴∠𝐵𝐴𝐷=90°−∠𝐴𝐵𝐷=77°， 故选：D． 中考几何与图形专题总复习 例2．如图，△𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，点B是𝐶𝐷的中点，𝐶𝐷是⊙𝑂的直径．若∠𝐴𝐵𝐶=30°，B𝐶=，则A𝐶的长为（   ） A．1.5 B． C．1 D． 中考几何与图形专题总复习 【分析】先根据弧中点的意义得出𝐵𝐶=𝐵𝐷，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=90°，从而可利用勾股定理得出𝐵𝐶2+𝐵𝐷2=𝐶𝐷2，进而得到𝐶𝐷2=2𝐵𝐶2，再利用圆周角定理得出∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=30°，从而可求得2𝐴𝐶=𝐶𝐷=2，从中可求得A𝐶． 解：连接𝐴𝐷， ∵点B是𝐶𝐷的中点， ∴𝐵𝐶=𝐵𝐷=， ∵𝐶𝐷是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=90°， ∴𝐵𝐶2+𝐵𝐷2=𝐶𝐷2， ∴2𝐵𝐶2=𝐶𝐷2=2， ∵∠𝐴𝐵𝐶=30°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=30°， ∴𝐶𝐷=2𝐴𝐶=2， ∴A𝐶=1， 故选：D． 中考几何与图形专题总复习 反馈练习2 1．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AC=2，BC=1，∠ACD=60°，连接BD，则BD的长为(   ) A． B． C． D． 中考几何与图形专题总复习 【分析】此题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质．连接𝐴𝐷，根据题意得出∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=90°，再根据30°角的直角三角形的性质即可得解． 解：如图，连接𝐴𝐷， ∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=90°， 在Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=2，𝐵𝐶=1， ∴ 𝐴𝐵= = = ∵∠A𝐶𝐷=60°， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=30°， 在Rt△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵=， ∴ 𝐵𝐷=𝐴𝐵=． 故选：B． 中考几何与图形专题总复习 2．如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶、𝐷是⊙𝑂上的两点，且𝐷𝐵=𝐷𝐶，𝐷𝐸交𝐴𝐶的延长线于点𝐸,∠𝑂𝐷𝐸=90°． (1)求证：∠𝐸=90°； (2)连接𝐶𝐷，若𝐶𝐷=，𝐸𝐷=2，求𝐴𝐵的长． 中考几何与图形专题总复习 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质等知识点， （1）根据圆周角定理证明∠𝐷𝑂𝐵=∠𝐶𝐴𝐵，则𝐴𝐶∥𝑂𝐷，再由平行线的性质证明即可； （2）过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，连接𝐷𝐵，先证明∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷，然后角平分线性质定理得到𝐷𝐹=𝐷𝐸=2，在Rt△𝐷𝐵𝐹中，𝐵𝐹==1，设⊙𝑂的半径为𝑟，则𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝑟，𝑂𝐹=𝑂𝐵−𝐵𝐹=𝑟−1，在Rt△𝐷𝑂𝐹中运用定理建立方程求解． 中考几何与图形专题总复习 （1）解：∵𝐷𝐵=𝐷𝐶， ∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐶𝐴𝐵=2∠𝐵𝐴𝐷， ∵∠𝐷𝑂𝐵=2∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐷𝑂𝐵=∠𝐶𝐴𝐵， ∴𝐴𝐶∥𝑂𝐷， ∴∠𝐸+∠𝑂𝐷𝐸=180°， 又∵∠𝑂𝐷𝐸=90° ∴∠𝐸=90° 中考几何与图形专题总复习 （2）解：如下图所示，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，连接𝐷𝐵， ∵𝐷𝐵=𝐷𝐶， ∴𝐷𝐵=𝐷𝐶=，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷， ∵∠𝐸=90°， ∴𝐷𝐹=𝐷𝐸=2， 在Rt△𝐷𝐵𝐹中，𝐵𝐹=𝐷𝐵2−𝐷𝐹2， 设⊙𝑂的半径为𝑟，则𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝑟，𝑂𝐹=𝑂𝐵−𝐵𝐹=𝑟−1， 在Rt△𝐷𝑂𝐹中，𝑂𝐷2=𝐷𝐹2+𝑂𝐹2， ∴𝑟2=22+（𝑟−1）2， 解得：𝑟=， ∴𝐴𝐵=2𝑟=5． F 中考几何与图形专题总复习 题型二：利用垂径定理构造直角三角形 O A C D B（弧中点） 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； 垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）或弧的直径垂直弦； 中考几何与图形专题总复习 中考再现 1、（2025年中考数学上海市卷） 如图，在O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE=DF。 (1)求证:ABCD; (2)若AB=BD，求证:AB2=BFOB B A O D C F E 中考几何与图形专题总复习 【分析】本题是考查垂径定理的经典题型，过O分别作OM、ON (2)问考查相似三角形的性质。连接OD,BD，通过 △ODB即得BFBO=BD2。此题又是把代数证明与几何关联起来，是中考考情趋势。 B A O D C F E N M 根据等腰三角形三线合一的性质，可得OM平分∠AOB，ON平分∠AOB，所以OM与ON重合，垂直于同一直线的两直线互相平行。 中考几何与图形专题总复习 类型一、利用垂径定理求线段长问题 例题：如图，在O中，AB是O的弦，若AO=2, ∠AOB=120°, 求AB的长 ． B A O 中考几何与图形专题总复习 【分析】本题主要考查了垂径定理、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理成为解题的关键． 解：取AB的中点E，连结OE，则ABCD于点E， ∴AB=2AE， ∵∠AOB=120°, ∴∠AOE=60°, ∵AO=2， ∴AE= ∴AB=． 故答案为：2． B A E O 中考几何与图形专题总复习 【变式训练1】如图，△ABC是O的外接圆，OE于点D，交O于点E，若AC=8，DE=2，则OA的长为 _____________ ． O E C B A D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得 AB=4， 由勾股定理得 即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解:OEAB， AD=BD=AB=4，∠ADO=∠BDO=90°， 设半径为r，则OD=OE-DE=r-2,在Rt△AOD 中， 由勾股定理得:OA2=OD2+AD2=(r-2)2+4，解得r=5, ∴0A=5. 中考几何与图形专题总复习 【变式训练 2】如图，以△ABC的BC 边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与 BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC. C B O A D F E (1)连接AO，求证:∠OAC=90°; (2)若BF=4，DF=，求 的半径. 【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质。 （1）连接AO，DO，由圆的性质可得∠OAD=∠ODA，根据AC=FC，可得∠CAF=∠CFA=∠OFD，由垂径定理可得 ODBE，然后借助角关系转化可得结论； （2）在Rt△ODF 中，由勾股定理可求解 中考几何与图形专题总复习 (1)解:连接DO，AO OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, 又AC=FC， ∠CAF=∠CFA=∠OFD ∵D为 BE 的下半圆弧的中点 ∴OD BE ∴∠ODA+∠OFD=90°, ∴∠CAF+∠DAO=90°， ∴∠OAC=90°； (2)在Rt△ODF中，DF2=OD2+OF2 即10=OD2+(4-OD)2 OD=1(不合题意,舍去)或 OD=3 O的半径为3. C B O A D F E 中考几何与图形专题总复习 【变式训练 3】已知，如图，CD是的直径，AC、AB、BD是O的弦，ABCD (1)求证:AC=BD; (2)如果弦AB长为 8，它与劣弧AB组成的弓形高为 2，求CD的长 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质。 (1)作OE⊥AB于点E，交于点F，连接AO,BO,运用SAS证明△AOC△BOD，可得出结论; (2)在Rt△BOE中，运用勾股定理列出方程求出的值即可得出结论。 C D B A F E O 中考几何与图形专题总复习 (1)解:作OEAB于点E，交于点F，连接AO,BO,如图， ABIICD, OE CD ∠COE=∠DOE AO=BO，OEAB. ∴∠AOE=∠BOE ∴∠AOC=∠BOD AO=BO，CO=DO ∴AOC BOD(SAS) ∴AC=BD; C D B A F E O (2)解:设的半径为R，则OE=R-2， AB=8, AE =BE =4，在Rt△BOE中，OB2=OE2+BE2，即R2=(R-2)2+42,解得R=5， CD=2R=2x5=10 中考几何与图形专题总复习 类型二、利用垂径定理求同心圆问题 例题:如图，在两个同心圆O 中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点 (1)求证:AC=BD; (2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键. (1)过O作OEAB于点E，由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，再用等式的性质即可得证; (2)连接OC、OA，利用垂径定理求出AE，在Rt△AOE中，由勾股定理求出OE，然后在Rt△COE中利用勾股定理即可求出 OC. E 中考几何与图形专题总复习 E (1)证明:过O作OE⊥AB于点E，如图由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，AE-CE=BE-DE,AC=BD ; (2)解:连接OC、OA，如图, ∵AC=3，BC=5, ∴AB=3+5=8, ∴AE=4， ∴CE=AE-AC=4-3=1, 在Rt△AOE中，OE2=OA2-AE2=52-42=9 Rt△COE中，OC2=CE2+OE2=1+9=10 ∴OC=3，即小圆的半径r为3; 中考几何与图形专题总复习 题型三：构造直角三角形证切线 切线的判定定理：垂直于半径外端的直线是圆的切线； 切线的性质定理：过切点的半径垂直切线. O C D B 中考几何与图形专题总复习 1、（2025年中考数学湖南省卷） 如图，△ABC的顶点A，C在O上，圆心O在边AB上，∠ACB=120°，BC与O相切于点C (1)求∠A的度数; （2）求证：AC=BC C B O A 中考再现 中考几何与图形专题总复习 【分析】本题是考查切线性质定理的经典题型。连结OC，则∠BCO=90°。 (2)易得∠B=30°，即可证AC=BC。 此题容易，是湖南省第一年实现全省联考，用于观摩考情。 由∠ACB=120°，可得∠ACO=30°，即∠A=30°。 C B O A 中考几何与图形专题总复习 2、（2025年中考数学安徽省卷） 如图，AB是O的弦，PB与O相切于点B，圆心O在线段PA上。已知∠P=50°，则∠PAB的大小为________ B P O A 中考再现 【分析】本题是考查切线性质定理的经典题型。连结OB，则∠PBO=90°，∠POB=40°，故∠PAB=20°。 中考几何与图形专题总复习 3、（2025年中考数学四川省自贡市卷） 如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB，作直径AC，延长OB2到点D，使DB=O2B，连接DC。 求证:DC为⊙O2的切线; 中考再现 O1 O2 B A C D 中考几何与图形专题总复习 【分析】本题是考查切线判定定理的经典题型。证明半径O2C⊥DC，则可证DC为⊙O2的切线。 O1 O2 B A C D 连结BC，则∠ABC=90°，证明△ABCDCO2，∠DCO2=90°，即可证DC为⊙O2的切线。 中考几何与图形专题总复习 类型一、切线的证明：连半径，证垂直 1．如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶是𝐴𝐵的中点，弦𝐶𝐷与𝐴𝐵交于点𝐸，𝑃是𝐴𝐵延长线上的一点，且𝑃𝐷=𝑃𝐸．求证：𝑃𝐷是⊙𝑂的切线． 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质，关键是“连半径，证垂直”的方法的使用； 连接𝑂𝐷,𝑂𝐶，证∠𝑂𝐷𝑃=90°即可． 中考几何与图形专题总复习 证明：连接𝑂𝐷,𝑂𝐶， ∵𝑂𝐶=𝑂𝐷， ∴∠𝑂𝐶𝐷=∠𝑂𝐷𝐶， ∵𝑃𝐸=𝑃𝐷， ∴∠𝑃𝐸𝐷=∠𝑃𝐷𝐸， ∵𝐶是𝐴𝐵的中点， ∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐶𝑂𝐵， ∵∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐵𝑂𝐷=180°， ∴∠𝐶𝑂𝐵=90°， ∵∠𝑂𝐶𝐷+∠𝐶𝐸𝑂=90°， ∴∠𝑂𝐷𝑃=∠𝑂𝐷𝐸+∠𝑃𝐷𝐸=90°， 即：𝑃𝐷是⊙𝑂的切线． 中考几何与图形专题总复习 【变式训练1】．如图，在⊙𝑂中，𝐴𝐵是直径，𝐴𝐸是弦，F是𝐴𝐸上一点， 𝐴𝐹=𝐵𝐸，𝐴𝐸,𝐵𝐹交于点C，D为𝐵𝐹延长线上一点，且∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐷A。 求证：𝐴𝐷是⊙𝑂的切线． 【分析】根据圆周角定理推出∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐵𝐹，根据∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐷𝐴，结合三角形得内角和定理，推出∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=90°，即可证明𝐴𝐷是⊙𝑂的切线． 【详解】证明：∵𝐴𝐹=𝐵𝐸， ∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐵𝐴𝐸． 又∵∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐷𝐴,∠𝐶𝐷𝐴+∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=180°， ∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=90°， 即∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∴𝐴𝐷⊥𝐴𝐵， ∴𝐴𝐷是⊙𝑂的切线． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 中考几何与图形专题总复习 【变式训练2】如图，𝐴𝐵是△𝐴𝐵𝐶的外接圆⊙𝑂的直径，点D为𝑂𝐵上一点，过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点D，交𝐴𝐶的延长线于点E，点F为线段𝐷𝐸上一点，且𝐶𝐹=𝐸𝐹． 求证：𝐶𝐹是⊙𝑂的切线； 【分析】本题题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； 连结𝑂��，根据𝑂𝐴=𝑂𝐶，可得∠𝐴=∠𝑂𝐶𝐴，根据𝐶𝐹=𝐸𝐹，可得∠𝐸=∠𝐹𝐶𝐸，由𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，可得∠𝐴+∠𝐸=90°，进而得出∠𝑂𝐶𝐹=90°，即可得证． 中考几何与图形专题总复习 证明：连接𝑂𝐶， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴∠𝐴=∠𝑂𝐶��， ∵𝐶𝐹=𝐸𝐹， ∴∠𝐸=∠𝐹𝐶𝐸， ∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点D， ∴∠𝑂𝐷𝐸=90°， ∴∠𝐴+∠𝐸=90°， ∴∠𝑂𝐶𝐴+∠𝐹𝐶𝐸=90°， ∵∠𝑂𝐶𝐴+∠𝑂𝐶𝐹+∠𝐹𝐶𝐸=180°， ∴∠𝑂𝐶𝐹=90°，即𝑂𝐶⊥𝐶𝐹， ∵𝑂𝐶是⊙𝑂的半径， ∴𝐶𝐹是⊙𝑂的切线； 中考几何与图形专题总复习 类型一、切线的证明：作垂直，证半径  例题：如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案． 证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC， 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴ON为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． N 中考几何与图形专题总复习 【变式训练1】如图，D是OC上任意一点，且D到OA和OB的距离相等，⊙D和OA相切于点E，连接CE． （1）求证：OB与⊙D相切； （2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长． 【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论； （2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=，然后由勾股定理求出DG=，最后由勾股定理求出CE即可． 中考几何与图形专题总复习 （1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示： ∵DF=DE, ∴OB与⊙D相切； F （2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示： 由（1）得：DE⊥OA， ∴∠OED＝90°， ∵OE＝4，DE＝3， ∴OD==5， ∵EG⊥OD， ∴EG===， ∴DG===， ∴CG＝CD+DG＝3+=， ∴CE===， 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线． G 中考几何与图形专题总复习 【变式训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC=∠BDC ． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BC＝6，AB＝10，求⊙O的半径长． 中考几何与图形专题总复习 【分析】（1）作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE，证明AC是∠FAB的平分线，进而根据OH＝OE，OE⊥AB，可得AF是⊙O的切线； （2）勾股定理得出AC，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，进而根据切线的性质，在Rt△OEA中，勾股定理即可求解． （1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE， ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐴𝐵， ∴∠CAD＝∠ACD， ∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD， 又∵∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐵𝐷𝐶， ∴∠FAC＝∠CAD， 即AC是∠FAB的平分线， ∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E， ∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径， ∴OH＝OE，OH是⊙O的半径， ∴AF是⊙O的切线； 中考几何与图形专题总复习 （2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10， ∴ ∵BE，BC是⊙O的切线， ∴BC＝BE＝6， ∴AE＝10﹣6＝4 设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r， 在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2， ∴16+r2＝（8﹣r）2， ∴r＝3． ∴⊙O的半径长为3． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 中考几何与图形专题总复习 $