精品解析：广东省广州市番禺区广东番禺中学2026届高三上学期1月期末数学试题

广东番禺中学2025－2026学年度高三年级期末试题1.24 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为 A. 或5 B. 或5 C. D. 5. 若，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知圆的直径，动点与的距离是它与的距离的倍，当面积最大时，（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A. B. C. D. 8. 若圆台的下底面半径为上底面半径的2倍，侧面积等于上、下底面面积之和，则圆台的母线与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B. 直线是的图象的一条对称轴 C. 在区间上单调 D. 在区间上有5个零点 11. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A. 函数在处的切线方程为 B. 的极小值点为 C. 当时，方程有三个实根 D. 的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为___________. 13. 的展开式中项的系数是______． 14. 已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人数y 1200 1062 956 902 954 （1）根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值） （2）从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据与公式：回归方程中，相关系数． 16. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 17. 已知抛物线的焦点为，准线的方程为． （1）求的标准方程； （2）设为坐标原点，，为上两点，．直线与交于点，与交于点，两点．设为中点，证明：，，三点共线． 18. 如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调区间； （2）当时，令. ①证明：当时，； ②若数列满足，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东番禺中学2025－2026学年度高三年级期末试题1.24 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何意义、除法运算及概念计算即可 【详解】由题意可知，所以， 所以其虚部为. 故选：B 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出不等式的解集，然后根据并集运算可求结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以或，所以， 所以， 故选：B. 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】等价于，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】在三角形中， 若，所以，即 由正弦定理可得，可得，必要性成立； 若，得，由正弦定理可得，所以，即，充分性成立， 所以“”是“”的充要条件 故选：C 4. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为 A. 或5 B. 或5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为q, ∵9S3=S6, ∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, ∴8=q3,即q=2, ∴an=2n-1, ∴=, ∴数列是首项为1,公比为的等比数列, 故数列的前5项和为=. 故选C. 5. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角的基本关系可得，结合角之间的关系，利用倍角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 整理为，则， 所以. 故选：D 6. 已知圆的直径，动点与的距离是它与的距离的倍，当面积最大时，（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系. 设动点，由可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.根据三角形面积公式可知当面积最大时，点的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系如图所示. 则由题可知，，则圆的方程为：. 设动点，则根据可得， 化简可得：，即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 因为，所以当面积最大时，点坐标， 当点的坐标为时，，， 所以. 当点的坐标为时，，， 所以. 故选：D. 7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由互斥事件和事件概率公式、条件概率计算公式即可求解；法二：确定事件与事件相互独立，得到即可求解. 【详解】法1：因为，所以， 所以， 所以． 法2：因为，所以， 所以， 所以，所以事件与事件相互独立， 所以事件与事件独立，所以. 故选：C 8. 若圆台的下底面半径为上底面半径的2倍，侧面积等于上、下底面面积之和，则圆台的母线与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设上底面半径为，母线长为，建立圆台侧面积与上、下两底面面积之和相等的关系式，可得，再由线面角定义即可求得结果. 【详解】依题意设圆台上底面半径为，则下底面半径为，圆台的母线长为，如下图所示： 依题意可得，所以，可得； 过作平行于的直线交于点，圆台的母线与底面所成的角即为， 易知，由勾股定理可得, 因此，即圆台的母线与底面所成角的正弦值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由判断； 由两点分布的定义判断； 由正态曲线的对称性判断； 由二项分布的定义判断 【详解】若，则，故错误； 若随机变量Y服从两点分布，则，故, ，故正确； 若随机变量ξ服从正态分布，，则 ，， 故正确； 若随机变量η服从二项分布，则 故错误. 故选：. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B. 直线是的图象的一条对称轴 C. 在区间上单调 D. 在区间上有5个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】由辅助角公式可得函数，根据平移规则可判断A正确，将代入检验可得B正确，由可得，结合正弦函数图象性质可知在区间上不单调，即C错误，分别画出函数与在同一坐标系下的图象，求出交点个数可得结论，即D错误. 【详解】由可得， 对于A，由的图象向右平移个单位长度可得到，即A正确； 对于B，将代入可得， 即函数在取得最大值，即直线是的图象的一条对称轴，即B正确； 对于C，当时，可得， 根据正弦函数图象性质可知当时，即时，函数单调递增， 当时，即时，函数单调递减， 因此在区间上不单调，即C错误； 对于D，画出函数与在同一坐标系下的图象如下图所示： 根据图象可知两函数图象共有6个交点，因此在区间上有6个零点，即D错误. 故选：AB 11. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A. 函数在处的切线方程为 B. 的极小值点为 C. 当时，方程有三个实根 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导，根据导数的几何意义求切线方程；对于B：利用导数判断函数的单调性和极值点；对于C：作出函数的图象，结合图象分析判断；对于D：根据对称中心的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 可得，即切点坐标为，切线斜率为0， 所以函数在处的切线方程为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故B错误； 对于选项C：因为，，结合选项B可得函数的图象： 由图可知：当时，与有三个交点， 即方程有三个实根，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，进而可得，由双曲线性质计算即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，且， 已知双曲线，则，， 所以双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线为，所以， 则，故，， 所以双曲线的焦距为4. 故答案为：4. 13. 的展开式中项的系数是______． 【答案】60 【解析】 【分析】将看作个因式相乘，由分步乘法计数原理求解. 【详解】将看作个因式相乘， 则得到需从个因式中先选择个因式取，有种不同的取法； 再从剩余个因式中选择个因式取，有种不同的取法， 最后从剩下的因式中取，有种不同的取法， 根据分步乘法计数原理，可得的系数为， 故答案为：. 14. 已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=___________. 【答案】1 【解析】 【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值. 【详解】令，则，则 令 当时，在上单调递增， 则，即的最大值为 则，解之得. 当时，（当且仅当时等号成立） 则，即的最大值为 则，解之得（舍） 综上，所求正实数 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人数y 1200 1062 956 902 954 （1）根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值） （2）从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据与公式：回归方程中，相关系数． 【答案】（1），有价值 （2） X 0 1 2 P ． 【解析】 【分析】（1）根据题干中的条件和公式，将数值代入即可求得线性回归方程与相关系数./ （2）由表中第2行的5个数据中任取3个数据，且大于1000，故X的取值可为0，1，2， 根据离散型随机变量求出各个的概率，即可求出分布列和期望. 【小问1详解】 由x的取值依次为1，2，3，4，5，得， 因为经验回归方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以该经验回归方程有价值． 【小问2详解】 X的取值依次为0，1，2， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以． 16. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意化简可得，即，根据正弦定理解三角形即可求解； （2）由题意可得是的重心，即，根据三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由得， ， ， ，， 又， ，，， 由正弦定理得或， ，，两个解均符合题意. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以， ， ， 是的重心， ， 所以的面积为. 17. 已知抛物线的焦点为，准线的方程为． （1）求的标准方程； （2）设为坐标原点，，为上两点，．直线与交于点，与交于点，两点．设为中点，证明：，，三点共线． 【答案】（1）； （2） 设，焦点，则， 因为，所以，所以，所以， 直线，由，解得或，所以， 直线，由，得， 设，由韦达定理得， 所以，所以， 因为三点纵坐标相同，都是，所以三点都在直线上， 即三点共线. 【解析】 【分析】（1）由准线方程求出，得到抛物线方程； （2）分别求出的坐标，由其纵坐标相同证得三点共线. 【小问1详解】 因为抛物线的准线方程为， 所以，解得，所以的标准方程为； 【小问2详解】 略 18. 如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1) 要证明 平面 ，需根据线面垂直判定定理，证明 垂直于平面 内的两条相交直线.由正方形性质可得 ，再结合面面垂直的性质证明 平面 ，得到 ，即可满足判定条件. (2) 以 为原点建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标，根据 将点 、 的坐标用参数 表示，通过向量模长公式即可求出 的长度表达式. (3) 先对 长度的表达式配方，求出 最短时对应的 值，确定此时 、 的坐标，再分别求出平面 与平面 的法向量，利用空间向量夹角公式计算两法向量夹角的余弦值，取绝对值即为两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明：在矩形中，，点分别是的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 ， ， ， 因为， 所以 ， ， 则 ， 所以 ， 所以线段的长为 ； 【小问3详解】 因为， 所以当时，线段最短， 此时分别为线段的中点， ， ， 则 ， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知， 为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调区间； （2）当时，令. ①证明：当时，； ②若数列满足，，证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 当时，， ①当时，， 令，，恒成立，则在上单调递减， ，因此，成立， 所以当时，. ②由①可知，当时，，由得，即，由，可得， 而，又，即，则， 由于，只需证， 又当时，， 令，，恒成立，则在上单调递增，， 则当时，恒有，而，即成立，不等式成立， 因此成立，即成立， 所以原不等式得证. 【解析】 【分析】(1)求出函数的导函数，再讨论的符号即可计算作答. (2)①等价变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性即可； ②由已知证明，由①分析探讨，等价转化，再构造函数，利用递推变换即可作答. 【小问1详解】 函数定义域为R，求导得， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $