黑龙江省大庆实验中学实验三部2025-2026学年高二上学期数学寒假作业试题

大废绘中 1985 MATH 实验三部 高二上学期 数学寒假作业 寒假已至，这既是放松休整的时光，更是查漏补缺、实现弯道超车的 黄金节点，希望同学们假期里坚特做题，不要松懈。函数导数之精妙、解析 几何之深邃，数列逻辑之严谨，细细品味，回味无穷。 希望大家每日预留固定时间完成寒假作业，既要扎实巩固课堂所学的 公式定理、解题方法，也要主动梳理错题，归纳同类题型的解题思路；期待 大家带着满满的收获归来，在数学的天地里乘风破浪，勇毅前行！ 附： 【寒假作业完成计划】 作业 完成日期（于完成日期前平板提交） 作业 完成日期（于完成日期前平板提交） 第1套 1月23日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第10套 2月10日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第2套 1月25日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第11套 2月12日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第3套 1月27日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第12套 2月14日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第4套 1月29日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第13套 2月18日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第5套 1月31日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第14套 2月20日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第6要 2月2日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第15要 2月22日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第7套 2月4日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第16套 2月24日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第8套 2月6日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第17套 导数、数列、解析综合题 第9套 2月8日23：00前完成（黑笔做、红笔改） 第18套 选做1！请学有余力同学自愿完成 注：开学考试假期作业原题或改编题占30%左右 寒假作业（一）直线的方程及交点坐标、距离公式 一、单选题 1、已知直线x+3y-7=0与直线(a+4)x-(a-1)y+5=0互相垂直，则实数a= A B。2 3或2 D.2或2 3 2、直线x+√5y-6=0的倾斜角为 A.g ®骨 D.Sr 6 3、设直线l的方程x+ycosθ+2=0(0∈R)则直线的倾斜角α的取值范围是 A。[0,π] o. c[}.[ 4、2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗。1949年公布的《国旗制法说明》中就五星 的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点有人发现，第 三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO,OO2,OO3,OO,分 别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，OO,与x轴所成的角≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的 倾斜角约为 A03 A。0 B。1° C。2° D.3 5、已知直线l:x-y+1=0与直线1，：2x+y-2=0平行，则1与l2之间的距离为 A.√2 B。2 c. D.32 2 6、若点P(3,1)到直线1：3x+4y+a=0(a>0)的距离为4，则a= A。2 B。3 C。5 D.7 7、两直线2x+3y-k=0和x-y+12=0的交点在y轴上，那么k的值是 A。-24 B。6 C。±6 D。±24 8、设A(1,1),B(3,5),C(5,3),D(0,一7)，E(2,一3)及F(8,一6)为坐标平面上的六个点。若直 线1分别与△ABC及△DEF各恰有一个交点，则1的斜率的最小值为 A。-4 B。一3 D。-1 二、多选题 9、下列说法中，正确的是 A。任何一条直线都有唯一的斜率 B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C。任何一条直线都有唯一的倾斜角 D。垂直于y轴的直线倾斜角为0 10、下列说法正确的有 A。若直线y=c+b经过第一、二、四象限，则(k,b)在第二象限 B.任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C.过点(2，-1)斜率为-√5的点斜式方程为y+1=-√3(x-2) D.直线的斜率越大，倾斜角越大 11、下列说法错误的是 A。经过Mk,以)，NK,y,)两点的直线可以用方程-X=-表示 y2一y1x2-X B。经过点P(1,O),倾斜角为c的直线方程为y=(x-1)tan C。直线x-(m-1)y-4=0(m∈R)一定经过第一象限 D.截距相等直线都可以用方程x+y=a(a∈R)表示 12、点A与B(3,3)关于直线：x-y+1=0对称，过点A的直线，在两坐标轴上的截距之和为0，则直线，的方程为 A。2x+y=0 B.2x-y=0 C。x+y-6=0 D。x-y+2=0 三、填空题 13、已知直线：(m+2)x+y+1=0,12:5x+(m-2)y+1=0。若1∥12，则实数m的值为 14、已知A(0,3),B(-1,m),C(3,0)三点共线，则实数m的值为 15、从点A(-4,1)出发的一束光线1，经过直线：x-y+3=0反射，反射光线恰好通过点B(-3,2)，则反射光线所在 直线的一般式方程为 16、设m∈R,若过定点A的动直线x+y-=0和过定点B的动直线x-y-+3=0交于点P(x,y),AB中点 为Q,则P9的值为 四、解答题 17、已知A(8,-6),B(3,-1)和C(t,7) (1)若A,B,C三点共线，求t的值； (2)若CA=|CB,求t的值. 18、已知直线l的方程为(2-m)x+(2L+1)y+3m+4=0,其中∈R. (1)求证：直线1恒过定点： （2)当变化时，求点P(3,)到直线l的距离的最大值： 寒假作业（二）圆的方程及位置关系 一、单选题 1.圆x2+y2-2x-2=0的圆心坐标和半径分别是 A。(-1,0),3B。(1,0),5 c。(-1,0),5 D.(1,0),3 2.以点A(2,3),点B(4,5)为直径的两个端点的圆的方程是 A。(x+3)2+(y+4)2=2 B。(x-3)2+(y-4)2=8 C.(x+3)2+(y+4)2=8 D。(x-3)2+(y-4)2=2 3.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2y-2=0相交于A,B两点，若AB=2W3,则圆C的面积为 A.4π B.3元 C.2 D. 4.过圆C:x2+(y-3)2=4上的点P(2,3)作圆的切线，则切线方程为 A。x-y-1=0 B。x-2y=0 C。x+2y-4=0 D。x-2=0 5.已知圆C:x2-2x+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线，则正实数a的可能取值为 A。1 B。2 C。3 D。4 6。长度为4的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线3x-4y+20=0距离的最大 值为 A.1 B。3 C。4 D.6 7.已知圆C:x2+y2=4,点P在直线2x+y+5=0上，过P作圆C的切线PA(A为切点)，当cos∠PCA最大时，∠PCA 的正切值为 A.号 B.3 C。2 D.3 3 8.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4相交于A,B两点，且∠AOB=120°，其中O为坐标原点，则实数a的值为 A.1 B.√5 C。±1 D.±V2 二、多选题 9.圆C:x2+y2=1与圆C:x2+(y-a)=9有且只有一个公共点，则a的值可能是 A.1 B。2 C。3 D.4 10。已知圆C:(x-1)2+(y-2)=9与直线l:x-y-2m+1=0交于A,B,则 A,1恒过点(2,1) B。当m=0时，|AB=2√2 C.当AB最大时，m=1 D。AB的最小值为2万 11。已知圆C:x2+y2-2x+4y+入=0，则下列结论正确的有 A,1的取值范围为(-0,5) B。若1<-3，则点P(-1,0)在圆C内 C.若1=3，则直线x+y+3=0与圆C相离 D,若元=1，圆C关于直线x+y+1=0对称 12。在平面直角坐标系中，已知点A(-2,0),B(1,0),动点C满足CA=2CB,则 A,C的轨迹方程为x2+y2-4x=0 B。△ABC的面积最大值为3 C.<CB的最大值为号 D。B到直线4C的距离最大值为 三、填空题 13。圆C:(x-1)2+y2=1关于原点对称的圆的方程为 14。已知双曲线C:x2-y2=1的渐近线和圆M:(x-1)2+y2=2(r>0)相切，则r= 15。若直线x+y+1=0与圆x2+y2=2交于M,N两个点，0为坐标原点，OM.ON= 16。点P在直线y=2-x上运动，从点P向圆9：(x+2)+(y+2)=1引切线，则切线长的最小值为 四、解答题 17。在平面直角坐标系中，圆M的圆心为(1,2)，半径为2. (1)过点P(0,4)作圆M的两条切线，求这两条切线的斜率之和； (2)若过点(0，-1)的直线与圆M相交于A、B两点，且AB=2√3，求直线l的方程 18。已知圆C的圆心在直线1：2x+3y=0上，且经过A(4,-2),B(3,-1)两点. (1)求圆C的标准方程 (2)一条光线从点E(2,3)射出，经y轴反射后，与圆C相切，求反射后光线所在直线的方程 寒假作业（三）直线和圆综合复习题 一、单选题 1。圆C1:x2+y2-4x+2y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-4y+4=0的位置关系为() A.内切 B。相交 C。外切 D.外离 2。过点P(m,3)作圆C:(x+2)}2+(y+2)2=1的切线，切点为2，则P9的最小值为() A.2W6 B.5 C.√26 D.4+2 3.直线ax+by=1与圆x2+y2=1有公共点是点P(a,b)在该圆外的（) A.充分不必要条件 B。必要不充分条件 C。充要条件 D。既不充分也不必要条件 4。若直线y=k(x-2)与曲线C:y=V1-x2恰有两个公共点，则实数k的取值范围为() A.「0,3) 3.o 5。已知点M(-2,0),N(2,0),若圆x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)上存在点P不同于M,N),使得PM⊥PN,则实 数r的取值范围是(） A。(1,5) B。[1,5] C。(1,3) D.[1,3] 6.若圆C:(x-1)2+(y-3)2=13上有两点关于直线1：x+y=1对称，则m2+2n的最小值为（) a C。1 D. 7.若圆x2+y2+2x+10y+17=0上到直线l:3x+2y+t=0的距离等于1的点恰有3个，则t=（) A,13±2W13 B.13±21C。13+213D.13+21 8。已知A,B是圆C:(x-3)2+(y-1)2=9上的两个动点，且AB=2W5,若P(0-3),则点P到直线AB距离的 最大值为() A.2 B。3 C。4 D。7 二、多选题 9.已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是() A.圆M的圆心为(4，-3) B。圆M被x轴截得的弦长为8 C。圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的弦长为9 10。下列圆中与圆C:(x-4)2+(y-4)2=16相切的是() A,(x-2)2+(y-4)2=4 B。(x-1)2+y2=1 C.(x-3)2+(y-3)2=4 D。(x+4)2+(y+4)2=1 11。已知过点P(4,-2)的直线1与圆C:(x-3)+(y+3)=9交于A,B两点，0为坐标原点，则() A,AB的最大值为6 B。AB的最小值为√万 C.点0到直线1的距离的最大值为2√7 D。△POC的面积为3 12。已知直线：x+(m+2)y-2-2=0,圆C:x2+y2-4x=0,则下列结论正确的是（) A。直线1恒过定点(1,1) B.直线1与圆C恒有两个公共点 C.直线1与圆C的相交弦长的最大值为2√2 D。当m=-1时，圆C与圆x2+(y-2)=4关于直线1对称 三、填空题 13。若圆x2+y2=1与直线y=x+2没有公共点，则实数k的取值范围为 14。直线1：y=+1(化∈R)被圆C:x2+y2=5所截得的最短弦长为 15。已知直线y=x与圆C:x2+y2一6y十6=0相交于A,B两点，C为圆心.若△4BC为等边三角形，则a的值 为 16。设P为直线3x-4y+13=0上的动点，PA、PB为圆C:(x-2)2+(y-1)2=1的两条切线，A、B为切点， 则四边形APBC面积的最小值为 ( 实验三部 高 二上学期 数学寒假作业 ) 寒假已至，这既是放松休整的时光，更是查漏补缺、实现弯道超车的 黄金节点，希望同学们假期里坚持做题，不要松懈。函数导数之精妙、解析几何之深邃， 数列逻辑之严谨，细细品味，回味无穷. 希望大家每日预留固定时间完成寒假作业，既要扎实巩固课堂所学的 公式定理、解题方法，也要主动梳理错题，归纳同类题型的解题思路；期待大家带着满满的收获归来，在数学的天地里乘风破浪，勇毅前行！ 附： 【寒假作业完成计划】 作业 完成日期（于完成日期前平板提交） 作业 完成日期（于完成日期前平板提交） 第 1 套 1 月 23 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 10 套 2 月 10 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 2 套 1 月 25 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 11 套 2 月 12 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 3 套 1 月 27 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 12 套 2 月 14 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 4 套 1 月 29 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 13 套 2 月 18 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 5 套 1 月 31 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 14 套 2 月 20 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 6 要 2 月 2 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 15 要 2 月 22 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 7 套 2 月 4 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 16 套 2 月 24 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 8 套 2 月 6 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 17 套 导数、数列、解析 综合题 选做！！请学有余力同学自愿完成 第 9 套 2 月 8 日 23:00 前完成（黑笔做、红笔改） 第 18 套 注：开学考试假期作业原题或改编题占 30%左右. 寒假作业（一）直线的方程及交点坐标、距离公式 一、单选题 1 、已知直线x + 3ay- 7 = 0 与直线(a + 4)x - (a -1)y + 5 = 0 互相垂直，则实数a = A ． B ．2 C ． 或 2 D ． 或-2 2 、直线x y - 6 = 0的倾斜角为 A ． B ． C ． D ． 3 、设直线l 的方程x + y cosθ+ 2 = 0 (θ ∈ R) 则直线的倾斜角 α 的取值范围是 A ． [0, π ] B ． C ． , ), , D ． 4 、2020 年12 月4 日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949 年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图， 以大星的中心点为原点，建立直角坐标系， OO1, OO2, OO3, OO4 分 别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，OO3 与x 轴所成的角 α ≈ 16 ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 5 、已知直线l1 : x - y +1 = 0 与直线l2 : 2x + ay - 2 = 0 平行，则l1 与l2 之间的距离为 A ． ·、 B ．2 C ． D ． 6 、若点P (3, 1) 到直线l : 3x + 4y + a = 0(a > 0) 的距离为 4 ，则a = A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 7 、两直线 2x + 3y -k = 0 和 x -ky + 12 = 0 的交点在y 轴上，那么k 的值是 A ．-24 B ．6 C ．±6 D ．±24 8 、设 A（1 ，1），B（3 ，5），C（5 ，3），D（0 ，－7），E（2 ，－3）及 F（8 ，－6）为坐标平面上的六个点．若直线 l 分别与△ABC 及△DEF 各恰有一个交点，则 l 的斜率的最小值为 A ．－4 B ．－3 C ． - D ．－1 二、多选题 9 、下列说法中，正确的是 A ．任何一条直线都有唯一的斜率 B ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C ．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D ．垂直于y 轴的直线倾斜角为0 10 、下列说法正确的有 A ．若直线y = kx +b 经过第一、二、四象限，则(k, b) 在第二象限 B ．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C ．过点(2, —1) 斜率为 — ·、 的点斜式方程为y +1 = — (x — 2) D ．直线的斜率越大，倾斜角越大 11 、下列说法错误的是 A ．经过M (x1, y1 ) ， N (x2, y2 ) 两点的直线可以用方程 = 表示 B ．经过点P(1, 0) ，倾斜角为 α 的直线方程为y = (x —1). tan α C ．直线mx — (m —1)y — 4 = 0 (m ∈ R) 一定经过第一象限 D ．截距相等直线都可以用方程x + y= a (a ∈ R) 表示 12 、点 A 与B(3, 3) 关于直线l1 : x — y +1 = 0 对称，过点 A 的直线l2 在两坐标轴上的截距之和为 0 ，则直线l2 的方程为 A ． 2x + y = 0 B ． 2x — y = 0 C ． x + y — 6 = 0 D ． x — y + 2 = 0 三、填空题 13 、已知直线l1 ： (m + 2)x + y +1 = 0 ， l2 ： 5x + (m — 2)y +1 = 0 ．若l1 ∥l2 ，则实数 m 的值为 ． 14 、已知 A(0, 3), B (—1, m), C (3, 0) 三点共线，则实数m 的值为 . 15 、从点 A(—4, 1) 出发的一束光线 l，经过直线l1 : x — y + 3 = 0 反射，反射光线恰好通过点B(—3, 2) ，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 16 、设m ∈ R ，若过定点 A 的动直线x + my — m = 0 和过定点B 的动直线mx — y — m + 3 = 0 交于点P(x, y) ， AB 中点为Q ，则 PQ 的值为 . 四、解答题 17 、已知 A(8, —6) ， B (3, —1) 和C(t, 7) . （1）若 A ，B ，C 三点共线，求 t 的值； （2）若 CA = CB ，求t 的值. 18 、已知直线l 的方程为(2 — m) x +(2m +1) y + 3m + 4 = 0 ，其中m ∈ R . （1）求证：直线l 恒过定点； （2）当m 变化时，求点P (3, 1) 到直线l 的距离的最大值； 寒假作业（二）圆的方程及位置关系 一、单选题 1. 圆 x2 + y2 - 2x - 2 = 0 的圆心坐标和半径分别是 A ． (-1, 0 ) ， 3 B ． (1, 0) ， v3 C ． (-1, 0) ， ·、 D ． (1, 0) ， 3 2. 以点 A(2, 3) ，点 B(4, 5) 为直径的两个端点的圆的方程是 A ． (x + 3)2 + (y + 4)2 = 2 B ． (x - 3)2 + (y - 4)2 = 8 C ． (x + 3)2 + (y + 4)2 = 8 D ． (x - 3)2 + (y - 4)2 = 2 3. 设直线y = x + 2a 与圆C ： x2 + y2 - 2ay - 2 = 0 相交于 A ， B 两点，若 AB = 2 ，则圆C 的面积为 A ． 4π B ． 3π C ． 2π D． 4.过圆C : x2 + (y - 3)2 = 4 上的点P(2, 3) 作圆的切线，则切线方程为 A ． x - y -1 = 0 B ． x - 2y = 0 C ． x + 2y - 4 = 0 D ． x - 2 = 0 5 ．已知圆C : x2 - 2ax + y2 + a 2 -1 = 0 与圆D : x2 + y2 = 4 有且仅有两条公共切线，则正实数a 的可能取值为 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 6 ．长度为 4 的线段 AB 的两个端点分别在x 轴及y 轴上运动，则线段 AB 的中点到直线3x - 4y + 20 = 0 距离的最大值为 A ． 1 B ．3 C ．4 D ．6 7．已知圆C : x2 + y2 = 4 ，点P 在直线2x + y + 5 = 0 上，过P 作圆C 的切线PA（A 为切点），当cos 上PCA 最大时，上PCA的正切值为 A ． B ． C ．2 D ． · 8 ．已知直线x + y = a 与圆x2 + y2 = 4 相交于 A, B 两点，且上AOB = 120。，其中 O 为坐标原点，则实数a 的值为 A ．1 B ． 、 C ． ±1 D ． ± 、 二、多选题 9 ．圆C1：x2 + y2 = 1 与圆C2：x2 + (y - a)2 = 9 有且只有一个公共点，则a 的值可能是 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 10 ．已知圆C : (x —1)2 + (y — 2)2 = 9 与直线l ： mx — y — 2m +1 = 0 交于 A, B ，则 A ． l 恒过点(2, 1) B ．当m = 0 时， ∣AB∣= 2、 C ．当 AB 最大时， m = 1 D ． AB 的最小值为2·、 11．已知圆C : x2 + y2 — 2x + 4y +λ = 0 ，则下列结论正确的有 A ． λ 的取值范围为(—∞, 5) B ．若 λ < —3 ，则点P(—1, 0) 在圆C 内 C ．若 λ = 3 ，则直线x + y + 3 = 0 与圆C 相离 D ．若 λ = 1 ，圆C 关于直线x + y +1 = 0 对称 12 ．在平面直角坐标系中，已知点 A(—2, 0) ， B (1,0) ，动点C 满足CA = 2 CB ，则 A ． C 的轨迹方程为x2 + y2 — 4x = 0 B ． △ABC 的面积最大值为 3 C ． 上CAB 的最大值为 D ． B 到直线AC 的距离最大值为 三、填空题 13 ．圆C : (x —1)2 + y2 = 1关于原点对称的圆的方程为 ． 14 ．已知双曲线C : x2 — y2 = 1 的渐近线和圆M : (x —1)2 + y2 = r2 (r > 0)相切，则r = . 15 ．若直线x + y +1 = 0 与圆x2 + y2 = 2 交于 M，N 两个点，O 为坐标原点， . = ． 16 ．点 P 在直线y = 2 — x 上运动，从点 P 向圆Q : (x + 2)2 + (y + 2)2 = 1 引切线，则切线长的最小值为 . 四、解答题 17 ．在平面直角坐标系中，圆M 的圆心为(1, 2 ) ，半径为2 . （1）过点P(0, 4) 作圆M 的两条切线，求这两条切线的斜率之和； （2）若过点(0, —1) 的直线与圆M 相交于 A 、 B 两点，且 AB ，求直线l 的方程. 18 ．已知圆 C 的圆心在直线l ： 2x + 3y = 0 上，且经过 A(4, —2) ， B (3, —1) 两点. （1）求圆 C 的标准方程； （2）一条光线从点E(2, 3) 射出，经y 轴反射后，与圆 C 相切，求反射后光线所在直线的方程. 寒假作业（三）直线和圆综合复习题 一、单选题 1 ．圆C1 : x2 + y2 — 4x + 2y — 4 = 0 与圆C2 : x2 + y2 + 4x — 4y + 4 = 0的位置关系为 ( ) A ． 内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 2 ．过点P(m, 3) 作圆C : (x + 2)2 + (y + 2)2 = 1的切线，切点为Q ，则 PQ 的最小值为 ( ) A ． 2·、 B ．5 C ． D ． 4 + ·、 3 ．直线ax +by = 1 与圆x2 + y2 = 1有公共点是点P (a, b) 在该圆外的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4 ．若直线y = k (x — 2) 与曲线 C : y x2 恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为 ( ) A ． 0, ) B ． C ． D ． 5 ．已知点M(—2, 0), N (2, 0) ，若圆x2 + y2 — 6x + 9 — r2 = 0 (r > 0) 上存在点 P(不同于M , N ) ，使得PM 丄 PN ，则实数r 的取值范围是 ( ) A ． (1, 5) B ． [1, 5] C ． (1, 3) D ． [1, 3] 6 ．若圆C : (x —1)2 + (y— 3)2 = 13上有两点关于直线l : mx + ny = 1 对称，则m2 + 2n 的最小值为 ( ) A ． B ． C ．1 D ． 7 ．若圆x2 + y2 + 2x + 10y + 17 = 0 上到直线l : 3x + 2y + t = 0 的距离等于 1 的点恰有 3 个，则t = ( ) A ． 13± 2、/13 B ． C ． 13 + 2·、 D ． 8 ．已知A ，B 是圆 C： (x — 3)2 + (y —1)2 = 9 上的两个动点，且 AB = 2·、，若P(0, —3) ，则点 P 到直线 AB 距离的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．7 二、多选题 9 ．已知圆 M 的一般方程为x2 + y2 — 8x + 6y = 0 ，则下列说法正确的是 ( ) A ．圆M 的圆心为(4, —3) B ．圆M被x 轴截得的弦长为 8 C ．圆M 的半径为 5 D ．圆M被y 轴截得的弦长为 9 10 ．下列圆中与圆C : (x - 4)2 + (y - 4)2 = 16 相切的是 ( ) A ． (x - 2)2 + (y - 4)2 = 4 B ． (x -1)2 + y2 = 1 C ． (x - 3)2 + (y - 3)2 = 4 D ． (x + 4)2 + (y + 4)2 = 1 11．已知过点P(4, -2) 的直线 l 与圆C : (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，则 ( ) A ． AB 的最大值为 6 B ． AB 的最小值为 · C ．点 O 到直线 l 的距离的最大值为2 D ． △POC 的面积为 3 12 ．已知直线l : mx +(m + 2)y - 2m - 2 = 0 ，圆C : x2 + y2 - 4x = 0 ，则下列结论正确的是 ( ) A ．直线 l 恒过定点(1, 1) B ．直线 l 与圆 C 恒有两个公共点 C ．直线 l 与圆 C 的相交弦长的最大值为2、 D ．当m = -1 时，圆 C 与圆x2 + (y - 2)2 = 4 关于直线 l 对称 三、填空题 13 ．若圆x2 + y2 = 1与直线y = kx + 2 没有公共点，则实数k 的取值范围为 ． 14 ．直线l : y = kx + 1(k ∈ R) 被圆 C： x2 + y2 = 5 所截得的最短弦长为 ． 15 ．已知直线y ＝ax 与圆 C：x2＋y2－6y＋6 ＝0 相交于 A ，B 两点，C 为圆心.若△ABC 为等边三角形，则 a 的值为 . 16 ．设 P 为直线3x - 4y + 13 = 0 上的动点，PA 、PB 为圆 C : (x - 2)2 + (y-1)2 = 1 的两条切线，A 、B 为切点，则四边形 APBC 面积的最小值为 . 四、解答题 17 ．已知圆C : x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 . （1）若直线l1 过点A(7, -1) ，且与圆 C 相切，求直线l1 的方程； （2）若圆 D 的半径为 1 ，圆心在直线l2 : x - y + 3 = 0 上，且与圆C 外切，求圆 D 的方程. 18 ．设 A，B 是平面上两个定点，则满足k （其中k 为常数， k ≠ 0 且k ≠ 1 ）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知 A(0, 2), B (0, -1) ，且k = 2 ，此时，点P 的轨迹记为圆 C ． （1）求圆C 的方程； （2）若直线l：(2 λ +1)x +(2 - λ)y +1- 3λ = 0 ． （i）证明：直线l 恒过定点； （ii）若点 M 在圆 C 上，直线 l 与圆 C 交于 E,F 两点，当弦 EF 的长度最短时，求 Δ MEF 面积的最大值． 寒假作业（四）椭圆 一、单选题 1.已知F1, F2 分别是椭圆C : + = 1( a > b > 0) 的左、右焦点，P 是C 上的一个点，且PF1F2 的周长为a ，则C 的离心率为 ( ) 3 1 3 1 A． B． C． D． 4 4 8 2 2.平面内动点P(x, y) 满足方程 · + · = 4 · , 则动点 P 的轨迹方程为 ( ) A． B． + = 1 3．在平面直角坐标系xOy 中，“m > 0 ”是“方程x2 + my2 = 1表示的曲线是椭圆 ”的 ( ) . A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知F1 ，F2 是椭圆C ： 1 的两个焦点，P 为C 上一点，且PF1F2 的内切圆半径为 ，若P 在第一象限，则P 点的纵坐标为 ( ) A． B．1 C． D． 5． 已知点A(2, 1) ，且F 是椭圆 1 的左焦点， P 是椭圆上任意一点，则 PF + PA 的最小值是 ( ) A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3 6． O为坐标原点，椭圆E : + y 2 = 1 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，A ，P ，Q 在E 上，P ，Q 关于点O对称， A ， F2 关于直线PQ 对称，则四边形 APF2Q 的周长为 ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 7．已知F1 、F2 分别为椭圆C : + = 1(a >b > 0) 的左、右焦点，A 为右顶点，B1 、B2 为上、下顶点，若在线段 AB1上存在P （不含端点），使得 . = 2b2 ，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ( ) 8．已知F1 ，F2 为椭圆C : + = 1(a > b > 0) 的两个焦点，A(0, b) ，P 为 AF2 的中点，直线PF1 垂直 AF2 且交C 于M ， N 两点，若 MN = 12 ，则 AM + AN 的值为 ( ) A．26 B．22 C．18 D．14 二、多选题 9.设椭圆C = 1 的左、右焦点为F1, F2, P 是椭圆C 上的动点，则下列说法中正确的是 A．短轴长为 B．椭圆C 的离心率e = C． PF1F2 面积的最大值为2 D． 以线段F1F2 为直径的圆与直线x + y 一 2 = 0 相离 10.法国数学家加斯帕 ·蒙日被称为“画法几何创始人 ”“微分几何之父 ”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆E 的蒙日圆为C : x2 + y2 = a2 + b2 ，已知椭圆E 的蒙日圆半径为 a ，过圆 C 上的动点M 作椭圆E 的两条切线，交圆 C 于 P ， Q 两点，直线PQ 交椭圆E 于 A, B 两点，则下列选项中正确的是 A．椭圆 E 的离心率为 B．若椭圆 E 过点(2, 1) ，则椭圆 E 的方程为y2 = 1 C．若点D 在椭圆 E 上，将直线DA ， DB 的斜率分别记为k1 ， k2 ，则k1k2 = 一 D． MPQ 的面积的最大值为 a2 11.已知点F(2, 0) ，直线l:x = 8, O 为坐标原点，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半．若某直线上存 在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线 ”，则下列结论中正确的是 ( ) A．点P 的轨迹方程是 B．直线x 一 2y 一10 = 0 是“最远距离直线 ” C．满足OP = · 的点P 有且仅有 4 个 D．若点P 形成的轨迹为曲线 Γ , 且矩形 ABCD 内接于曲线 Γ , 则矩形ABCD 面积的最大值为16 12.如图，已知 O 为坐标原点，椭圆C1 : + = 1 (a >b > 0 )的长轴长为 4，离心率为 ，过抛物线C2 : y2 = 4x 的 焦点F 作直线l 交抛物线于 A, B 两点，连接OA 交椭圆C1 于M ,连接OB 并延长交椭圆C1 于点N ，则下列结论正确的是 ( ) A．若 = 2 ，则| AB B．若直线OM , ON 的斜率分别为k1 , k2 ，则k1k2 = 一 C．若抛物线C2 的准线与x 轴交于点P ，直线l 的倾斜角为45。，则tan上 APB = 2·、 三、填空题 13.动圆M 与圆C1 : x2 + y2 + 6x + 5 = 0 外切同时与C2 : x2 + y2 — 6x — 91 = 0 内切，则MC1C2 的面积最大值为 ． 14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为 ， P 为椭圆 C 上一点.若线段PF1 的中点在y 轴上，则 15.已知M 是椭圆上异于左右顶点的一点， F1, F2 分别是椭圆的左、右焦点，点I 是△MF1F2 的内心，延长MI 交线段F1F2 于点N ，若椭圆的离心率为e ，则e 的值为 . 16.已知点P 是椭圆上异于左右顶点的一点，设上PF1F2 = α, 上PF2 F1 = β, 上F2 PF1 = Y ，则cosα + cos β+ cosY 的取值范围为 . 四、解答题 17.已知椭圆C 的焦距为2 ，且过点( , 1) . (1)求椭圆C 的方程； (2)过定点(0, —2) 的直线l 与椭圆C 交于M ， N 两点，若MON的面积为 ，求直线l 的方程及MN 的长. 18.已知椭圆C 过点 ，离心率为 . (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设P(4, 0) ，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A, B 两点，点A 在x 轴上方. ①求证： 上APF = 上BPF ； ②设点M在椭圆C 上，MF 平分上AMB ，点N 是 FMP 的外接圆与椭圆 C 的另一个交点（异于M ），且 ，求cos上ANB 的值. 寒假作业（五） 双曲线 一、单选题 1 ．“k > 4 ”是“方程表示双曲线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 2 ．已知双曲线a > 0) 的一条渐近线与直线3x + y — 3 = 0 垂直，则实数a 的值为 A ．6 B ． 2 C ． D ． 3 ．已知双曲线 C a > 0, b > 0) 的右焦点为F ，点 A 在双曲线的渐近线上， ΔOAF 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为 4 ．设 F1, F2 分别为双曲线 C a > 0, b > 0) 的左、右焦点，点 A 是双曲线C 上的一点，且 ( 1 1 2 , 1 3 2 )AF 丄 AF AF = -lAF ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ． y x B ． y = ± x C ． y x D ． y x 5 ．设 F1, F2 是双曲线 C a > 0, b > 0) 的左右焦点，若双曲线上存在点P满足 . = —a2 ，则双曲线离心率的取值范围为 A ． , +∞) B ． , +∞) C ． (1, D ． (1, 6 ．已知双曲线 C : — = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 ，焦距为 6 ，过双曲线C 上一点 P分别作双曲线C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为M , N ，则 PM ● PN = A ． B ． C ．6 D ．7 7 ．已知双曲线 C a > 0, b > 0) 的离心率为 ，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点.设 A, B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2 ，且d1 + d2 = 8 ，则双曲线的方程为 2 2 2 2 2 2 2 2 A ． x — y = 1 B ． x — y = 1 C ． x — y = 1 D ． x — y = 1 4 8 12 4 8 16 9 3 8．已知 P是双曲线 C : — = 1(a > 0, b > 0) 右支上的一点，F 是C 的右焦点，点 P关于原点 O的对称点为M ，延长 PF 交C 于点N ，且 ● = = 3 ，则C 的离心率为 A ． B ． C ． D ． 二、多选题 9 ．下列说法错误的有 A ．椭圆 C： + = 1的焦点坐标为(± , 0) B ．双曲线 C： 的虚轴长是 6 C ．椭圆 C 1的焦点ΔF1PF2 的周长为 16 D ．圆C1 : x2 + y2 — 2x — 3 = 0 和圆C2 : x2 + y2 — 2y—1 = 0的公共弦所在直线方程为x —y +1 = 0 10．已知双曲线 — = 1(b > a > 0)的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，F1F2 = 2c ，若以F2 为圆心，c —b 为半径作圆F2 ，过双曲线右支上一点 P 作圆F2 的切线，切点为 T，且 PT 的最小值不大于 则双曲线的离心率e 的取值可能是 A ． B ． C ． ·、 D ． ·、i3 11．记 F1, F2 分别为双曲线E : x2 — = 1 左、右焦点，以F1 为圆心，以 E 的焦距为半径的圆 T 与 E 的右支交于 P ， Q 两点，则 A ． E 的渐近线方程为y = ± ·、x B ． T : x2 + y2 + 4x —10 = 0 C ． PQ = ·、 ( a b ， 1 2 ， 1 2 )12 ．已知双曲线 C : — = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为F 两条渐近线分别为l 和l 以F 为圆心作圆F 与l 和l 相 切，切点分别为 A, B ，直线FA 交l2 于点D , O 为坐标原点，若 A 为线段FD 的中点，则下列结论正确的是 A ．圆F 的半径为a B ． DB = 3a C ．双曲线C 的离心率为 2 D ． . = 3a 2 三、填空题 13 ．若双曲线的离心率为 3 ，则k = ． 14 ．与双曲线具有相同的渐近线，且过点M(3, -2) 的双曲线方程为 ． 15 ．设a > 0，F1、F2 为双曲线 C的左、右焦点，且C 的离心率为 ，若点P 在C 的左支上，直线F1P 与C 的左支相交于另一点Q ，且 PF2 = PQ ，则 F1Q = ． 16 ．已知点P 是双曲线a > 0, b > 0) 上的动点，F1、F2 是其左、右焦点，O 是坐标原点，若存在四个点P 满足 则此双曲线的离心率取值范围 ． 四、解答题 17 ．已知双曲线 Ca > 0,b > 0) 的一条渐近线的倾斜角的正切值为 ，实轴长为2 ． （1）求双曲线C 的方程； （2）直线l : x +1 = my 与双曲线C 的左支交于 A, B 两点，点D 与点 A 关于x 轴对称． （i）求实数m 的取值范围； （ii）求证：直线BD 过x 轴上一定点，并求出该定点的坐标. 18 ．在平面直角坐标系Oxy 中，已知动点E 与定点F(2, 0) 的距离和E 到定直线2x —1 = 0 的距离之比是常数 2． （1）求动点E 的轨迹方程C ； ( S PM S △ QFM QM )（2）过点F 的动直线与曲线C 交于P, Q 两点，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得 △PFM = 恒成立？若存在， 求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 寒假作业（六）抛物线 一、单选题 1 ．抛物线x y2 的准线方程为 A ． y B ． x C ． y D ． x 2 ．抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F ，点M(x0,2) 在抛物线上，点M 到点F 的距离与到直线y 的距离相等，则p= A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 3．抛物线y2 = 8x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点 P 作准线l 的垂线，垂足为H ，若 上FPH = 60。，则 PF = A ．4 B ． 4 C ． 4·、 D ．8 4 ．2025 年 8 月 27 日，中国艺术体操队在艺术体操世锦赛收获 1 金 1 铜.如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线C : y2 = 2px(p > 0) 绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中， A, B, D, E 分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为 64 ，则p = A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 5 ．已知直线l 过点(2, 0) 且与直线y = x 平行， P 为抛物线C : x2 = 4y 上的动点， P 到C 的准线的距离为d1, P 到l 的距离为d2 ，则d1 + d2 的最小值为 A ． B ． 、 C ． D ． 2·、 6 ．设抛物线E : y 2 = 2px(p > 0) 的焦点为F ，不经过F 的直线与E 交于 A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点 A 的坐标为(4, 4) ，且 ΔBCF 与 ΔACF 的面积之比是1: 4 ，则 BF = A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 7 ．已知抛物线C : y2 = 4x, A (3, 0) ， O 为坐标原点，过点A 的直线l 与C 交于不同的两点M , N ，若 + 4 = ，则 ΔOMN的面积为 A ． 15 B ． C ． D ． 5 8 ．已知抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F ， A (6, m) 为抛物线上一点， AF = 8 ，直线 AF 与抛物线另一交点为B ， ( 则 = )AF BF A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 二、多选题 9 ．弦 AB 经过抛物线C : y2 = 2px (p > 0) 的焦点F ，设 A(x1, y1 ) 、 B (x2, y2 ) ，下列说法正确的是 A ． AF = x1 + p B ． AB 的最小值为2p C ． y1y2 = —p2 D ． 以弦AB 为直径的圆与准线相切 10 ．已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于 A 、 B 两点，D (2, 1) ， O 为坐标原点，则 A ． C 的准线方程为x = 1 B ． . = —3 C ． AD + AF 的最小值为3 D ． ΔOAB 的面积的最小值为4 11 ．已知抛物线C ： x2 = 2py （p > 0 ）的焦点F 到准线的距离为 4 ，过F 的直线与抛物线交于A ， B 两点，M 为线段 AB 的中点，则下列结论正确的是 A ．抛物线C 的准线方程为y = —2 B ．若 AB = 16 ，则点M 到x 轴的距离为 6 C ．当3 = ，则直线 AB 的倾斜角为30。 D ． 4 AF + BF ≥18 12 ．抛物线有如下光学性质： 由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 已知抛物线y2 = 8x 的焦点为F , O 为坐标 原点，一束平行于x 轴的光线l1 从点P(m, n )(n2 <8m) 射入，经过抛物线上的点 A(x1, y1 ) 反射后，再经抛物线上另一点B(x2, y2 ) 反射后，沿直线l2 射出，则下列结论中正确的是 A ． x1x2 = 8 ( 2 )B ．若点P 的坐标为(4, 2) ，则 AB = 25 C ． AF + 4BF 的最小值为18 D ．若直线l1 与直线x = —2 相交于点D ，则B, O, D 三点共线 三、填空题 13．若点P 是抛物线C : y2 = 2x 上的动点，点Q 是直线l : x — ·y + 4 = 0 上的动点，则 PQ 的最小值为 . 14．已知抛物线C : y2 = 2px 的焦点F 到准线的距离为2 ，过F 的直线l 与C 交于 A ，B 两点.若直线l 的倾斜角为 45° ,则 AB = . 15 ．抛物线 C : y 2 = 2x ，过点M 的直线 l 与 C 相交于 A ，B 两点，且 M 为弦 AB 的中点，则直线 l 的方程为 ． 16 ．已知抛物线C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F，斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，则 的值为 ． 四、解答题 17 ．已知抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点为 F，点 A(2, y0 ) 为抛物线上一点，且| AF |= 4 . （1）求抛物线的方程； ( )（2）不过原点的直线 l： y = x + m 与抛物线交于不同两点 P，Q ，若 OP . OQ = 0 ，求 m 的值. 18．已知抛物线C : y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F，点P(1, y0 )(y0 > 0) 在 C 上，PF = 2 ，斜率为 —1的直线l 与C 交于M , N两点． （1）求C 的方程； （2）若 MN = 8 ，求直线l 的方程； （3）设直线PM 与PN 的斜率分别为k1 , k2 ，证明： k1 + k2 为定值． 寒假作业（七）等差数列 一、单选题 1 ．已知数列{an }是公差不为 0 的等差数列，若a1a2 = a3 (2) ， a9 = 5 ，则a1 = 1 1 A ． 一1 B ． 一 C ． D ．1 2 2 2 ．已知等差数列{an } 的前 n 项和为Sn ，若a1 = 2 ，且a4 + a19 = 0 ，则S21 = A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 3 ．已知数列{an }满足3an+1 = 9 . 3an (n ∈ N* ) ，且 a2＋a4＋a6 ＝9 ，则log3 (1) (a5 + a7 + a9 ) = A ．－ B ．3 C ．－3 D ． 4 ．已知等差数列{an } 的前n 项和为Sn ，且S4 = 8, S8 = 40 ，则S12 = A ．52 B ．96 C ．106 D ．120 5 ．设a > 0 ，b > 0 ， lg·、i2 是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则 + 的最小值为 A ． 2、 B ． 3 C ． 4 D ． 9 6 ．已知数列{an }满足： a1 = 1, a2 = 3, an+ 2 + an = 2an+ 1 +1，数列{bn }满足2an .bn = 1 ，则数列{bn } 的前 50 项的和为 50 1 50 A ． B ． C ． D ．50 51 50 101 7 ．已知各项均不为零的数列{an } 的前n 项和为Sn , a1 = 2 且an = Sn (2) + Sn (2)一1 一 Sn Sn一1 (n ≥ 2) ，则S2026 = A ．4052 B ．4054 C ．2026 D ．2027 8 ．已知数列{an }满足a1 = ， = ，若a1 + a1a2 + a1a2 a3 + . . . + a1a2 . . . an ≤ 成立，则n 的最大值为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 二、多选题 9 ．等差数列{an } 的公差d ≠ 0 ，前n 项和为Sn ，若S7 = S12 ，则下列结论中正确的是 A ． a1 = 9d B ． S19 = 0 C ． a6 < a15 D ．当d > 0 时， a6 + a15 > 0 10 ．数列{an }为等差数列， Sn 为其前n 项和，已知a11 = 2，S5 = 一30 ，则 A ． a7 > 0 B ． {an }为单调递增数列 C ．使Sn > 0 的n 的最小值为 18 D ．当且仅当n = 8 时， Sn 最小 11 ．已知{an }是等差数列，其前 n 项和为Sn ，若a3 + 12a7 = S12 ，则下列判断正确的是 A ． a9 = 0 B ． S18 = 0 C ． S6 = S11 D ． a8 . a10 < 0 12 ．已知数列{an } 的前n 项和为Sn ，且an+1 + λan = 2 λ , 则下列结论正确的是 A ．若 λ = —1 ，则数列{an }为等差数列 B ．若 λ = —1 ，则数列 是公差为 —2 的等差数列 C ．若 λ = 1 ，则a2025 = a2 D ．若 λ = 1 ，则S2024 = 2024 三、填空题 13 ．记Sn 为等差数列{an }的前 n 项和，若a2 = 4 ， S4 = 20 ，则a9 = . 14 ．有两个等差数列{an }, {bn } ，其前n 项和分别为Sn , Tn . （1）若 ，则 .（2）若 ，则 15 ．等差数列{an } 的前n 项和为Sn ，已知 ，且a6a7 < 0 ，则Sn 取最大值时n 的值为 . 16 ．已知数列{an } 的前 n 项和为Sn ，且Sn n ，若bn = 则数列{bn } 的前 n 项和Tn = . 四、解答题 17 ．已知数列 {an }满足nan — (n —1)an+1 = 1． （1）证明： {an }是等差数列；（2）若a4 — a2 = 4 ，求数列{ ( n )an — 8} 的前 n 项和T ． 18 ．设数列{an }满足a1 + 3a2 ++ (2n -1)an = n ． （1）求{an } 的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和． 寒假作业（八）等比数列 一、单选题 1 ．已知{an }为等比数列， q 为其公比，设甲： q > 2 ；乙： an+1 > an ，则甲是乙的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2 ．若x = a + lg2 ， y = a lg2 ， z = a + 2lg2 成等比数列，则公比为 A ． —2 B ． 2 C ． —3 D ． 3 3 ．已知等比数列{an }前n 项和为Sn ， 若2a2 (2) = a1a4 ， S2n = Sn (2) + 2Sn ，则S8 = A ．128 B ．255 C ．256 D ．511 4 ．在正项等比数列{an } 中， a6 a8 = 64 ，且a7 ， ，10 成等差数列，则a9 的值为 A ． B ． C ．18 D ．24 5 ．对于等比数列{an } ，则“ a1 < a2 ”是“数列{an }为单调递增数列”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6 ．在等比数列{an } 中， a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = — ， a3 = — ，则 + + + + = A ． —44 B ． C ． D ．11 7 ．记Sn 为等比数列{an } 的前 n 项和，若S6 = 3S3 , S9 = 14 ，则S6 = A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 8 ．若等比数列{an } 的前 n 项和为Sn = 2n + p （p 为常数），且{an } 的公比为 q ，则p + q = A ．4 B ．2 C ． 1 D ．0 二、多选题 9 ．在公比为q 的等比数列{an } 中， a3 = 1, a2 . a8 = 16 ，则下列说法正确的是 A ． a5 = ±4 B ． {an an +1 } 的公比为 4 C ．当q > 0 时， {an } 的前 20 项积为2150 D ．当q > 0 时，数列{lg an } 是公差为 2 的等差数列 10 ．已知递增等比数列{an } 的前n 项和为Sn ，若a 则 A ． a B ． S5 <15 C ． {ln an } 是公差为 1 等差数列 D ． {Sn + 2}是等比数列 11 ．已知数列{an } 的前n 项和为Sn ，则 ( ) A ．若{an }是等差数列，则S2 ， S4 - S2 ， S6 - S4 成等差数列 B ．若{an }是等比数列，则S2 ， S4 - S2 ， S6 - S4 成等比数列 C ．若 an+1 - an = 1 ，且a1 = 1 ，则存在数列{an } ，使得S102 = 1 D ．若 an+1 - an = 1 ，且a1 = 1 ，则存在k ∈ N* ，使得S4k+1 = 100 12 ．已知数列{an }是等比数列，公比为q ，前n 项和为Sn ，下列判断正确的有 ( ) A ． 为等比数列 B ． 为等比数列 C ． {log2 an } 为等差数列 D ．若Sn = 3n-1 + r ，则r 三、填空题 13 ．已知 3 ， 4 + x ， 5 + 2x 成等比数列，则该数列的公比为 ． 14．若一个等比数列的各项均为正数，且前 3 项的积等于 1，前 8 项的积等于 1024，则这个等比数列的公比为 ． 15 ．已知等比数列{an } 的各项均为正数，且前 3 项和为 84 ， a5 - a2 = -21 ，则a6 = ． 16 ．设等比数列{an } 的前n 项和为Sn ，若公比q = 2 ，则 = . 四、解答题 17 ．已知等差数列{an } 的首项a1 = 1 ，公差d > 0 ，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn } 的第 2 项、第 3项 、第 4 项． （1）求数列{an } 与{bn } 的通项公式； （2）设数列{cn }对n ∈ N* 均有 + + + = an+1 成立，求c1 + c2 + c3 + + c2013． 18 ．已知数列{an } 的前n 项和为Sn ，且满足Sn + n = 2an (n ∈ N*)． （1）证明：数列{an +1} 是等比数列； （2）设bn ，求数列{bn } 的前n 项和Tn ． 寒假作业（九） 数列的通项与求和 一、单选题 1 ．在数列{an } 中， a1 = 1 ， nan+1 = (n +1)an +1 ， Sn 为{an } 的前n 项和，则Sn = ( ) A ． 2n -1 B ． n2 + 2n C ． n2 D ． 2n2 - n 2 ．已知数列{an }满足： a1 = ， a2 = ， an+1 = an + an-1 （ n ∈ N* ， n ≥ 2 ），则 a1a3a2a4a3a5a2021a2023 的整数部分为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3 ．数列-1, , - , , 的一个通项公式为 ( ) 4 ．已知数列{an }满足递推关系an+1 = ， a1 = ，则a2026 = ( ) A ． B ． C ． D ． 5 ．已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，若2Sn = 3an - 2 ，则 a4 = ( ) A ．162 B ．54 C ．32 D ．16 6 ．数列{an }满足a1 + 2a2 + 3a3 + + nan = 2n -1(n ∈ N, n ≥ 1) ，则数列{l (〔) 的前 9 项和为 ( ) 161 106 49 72 A ． B ． C ． D ． 165 165 66 55 7 ．已知数列{an }满足a1 = 2, an+1 = 2an + 2 ，设bn = (n - λ)log2 (an + 2) ， λ ∈ R ，若数列{bn }是递增数列，则实数λ 的 取值范围是 ( ) A ． (-∞, 3) B ． (4, +∞) C ． (3, +∞) D ． (-∞, 4) 8 ．已知数列{an }满足a1 = 1 ，an+1 = (|(1- ,) 2 an + ，若对 n ∈ N* ，tan + + +1≥ 0 ，则实数 t 的取值范围是( ) A ． [-18, +∞) B ． [-16, +∞) C ． [-12, +∞) D ． [-8, +∞) 二、多选题 9 ．下列有关数列的说法正确的是 A ．数列-2024 ，0 ，4 与数列 4 ，0 ， -2024 是同一个数列 B ．数列{an } 的通项公式为an = n (n - 1) ，则 110 是该数列的第 11 项 C ．在数列 1 ， 、 ， · , 2 ， ·、 ，.... ，第 8 个数是2、 D ．数列 3 ，5 ，9 ，17 ，33 ，… 的一个通项公式为an = 2n +1 10 ．已知递增等比数列{an } 的前n 项和为Sn ，若a 则 A ． a B ． S5 <15 C ． {ln an }是公差为 1 等差数列 D ． {Sn + 2}是等比数列 11 ．已知数列{an }满足a1 = 2 ， an+1 + (-1)nan = 2n ， n ∈ N* ，则下列选项中正确的是 A ． a1 + a2 + … + a8 = 40 B ． a2025 = 0 C ．数列{a2n } 单调递增 D ．数列{a2n-1 } 是周期数列 12 ．数列{an } 中， a1 = 11 ， an+1 = an - 2n + 11 ，令bn 记Sn ， Tn 分别为数列{an } ， {bn } 的前n 项和，则 A ． a3 = 27 B ．当n = 13 时， Sn 取得最大值 C ．数列{an }从第 6 项起为递减数列 D ． Tn < 5 2 三、填空题 13 ．在数列{an } 中，若a 则an = . 14 ．已知数列 {an }满足a1 = 1，an + an+1 = 2n ，则a1 + a2 + a3 + + a2 n-1 = ． 15 ．已知数列{an }满足an+2 + 3an = 4an+1 ，且a2 = 5 ， a3 = 17 ，则数列{an } 的通项公式是 . 16．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列 1 ，2 进行“美好成长” ，第一次得到数列 1 ，2 ，2；第二次得到数列 1 ，2 ，2 ，4 ，2；… ；设第 n 次“美好成长”后得到的数列为1, x1 , x2 , , xk , 2 ，并记an = log2 (1× x1 × x2 ×× xk × 2) ，则k = （用 n 表示），数列 的前 n 项和 ． 四、解答题 17 ．已知等差数列{an }满足a2 + a10 = 12 ， a8 = 8 ，数列{bn }满足b1 = 1 ，bn+1 = 2an + bn ． （1）求数列{an }和{bn } 的通项公式； （2）设cn ，数列{cn } 的前n 项和为Sn ，求证： Sn < 2 ． 18 ．已知函数 f ，数列{an }满足a ， an+1 = f (an ) ， n ∈ N* （1）证明：数列 为等比数列； （2）设Tn 求Tn ； （3）对于（2）中的Tn ，若存在n ∈ N* ，使得 成立，求实数 k 的最大值． 寒假作业（十） 导数的概念、计算及几何意义 一、单选题 1 ．火车开出车站一段时间内，速度v （单位： m / s ）与行驶时间t 的关系是v (t ) = 0.4t + 0.6t2 ，问火车开出 2s 时的加速度是 ( ) A ． 2.4m / s2 B ． 2.8m / s2 C ． 3.2m / s2 D ． 3.6m / s2 2 ．已知函数y = f (x)(x ∈R) 的图象如图所示，且f,(x) 为f (x) 的导函数，则 ( ) ( C ． f , > f f , ) 3 ．设f（x）为可导函数，且满足 则曲线y = f（x）在 x = 3处的切线的斜率是 ( ) A ． -9 B ． -3 C ． 3 D ． 9 4 ．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益. 已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量W 与时间t 的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是 ( ) A ．在[0，t3 ] 这段时间内， 甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于 0 B ．在[t1，t2 ]这段时间内， 甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C ． 甲水库在t2 时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2 时刻蓄水量的瞬时变化率 D ．乙水库在t1 时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2 时刻蓄水量的瞬时变化率 5 ．已知曲线y = ae2x 在x = 0 处的切线与直线x + y-1 = 0 垂直，则a = ( ) A ． B ． C ． -1 D ．1 6 ．已知函数f(x) 的导函数为f, (x ) ，若f(x) = 2ln x -f ,(1)x - 2 ，则f(1) = ( ) A ． -3 B ． -1 C ．1 D ．3 7 ．若函数f (x) = ex - 2x -b 恰好有一个零点x0 ，则x0 + b = ( ) A ． 2 - 2ln2 B ． 2 - ln2 C ． 2 + 2ln2 D ． 2 + ln2 8 ． 曲线y = ex-1 与y = x2 的公切线的条数为 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 二、多选题 9 ．下列计算正确的是 ( ) A ．若f (x ) = (x2 - 3x +1)ex ，则f, (x ) = (x2 - x - 2)ex B ．若f = cos 则f, (x ) = sin C ．若 f 则f, (x ) = - 10 ．已知函数 f (x ) = x2 e2x ，则 ( ) A ． y = xe-2xf (x)为奇函数 B ． lim f (-2 + Δx) - f (-2) = 0 Δx→0 Δx C ．当x > 0 时， f e4 D ． 曲线y = f (-x )f (x )在点(-1, 1) 处的切线方程为y = 4x + 5 11 ．已知函数f (x)的定义域为R ， f (x)的导函数f, (x ) 的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是 ( ) A ． f (x)在(2, 3) 上单调递减 B ． x = 0 是f (x) 的极小值点 C ． x = 3 是f (x) 的极大值点 D ． 曲线y = f (x ) 在x =2 处的切线斜率为 2 12 ．定义：对于函数 f (x ) ，若存在 x1 ≠ x2 ，使得 则称函数 f (x ) 是“对称导数函数”.下列函数是“对称导数函数”的有 ( ) A ． f (x ) = x 2 - x B ． f (x) = lnx C ． f (x) = ex D ． f (x ) = sinx 三、填空题 13 ．函数 f = cosx x 的图象在x = π 处的切线的倾斜角为 14 ．设函数f ， a ∈ R ，若f ，则a = ． 15 ．函数f (x) = ln x + x2 - 3x ，则函数f (x) 的单调增区间为 ． 16 ．已知定义在R 上的函数f (x) ， f,(x)为f (x) 的导函数， f, (x ) 定义域也是R ， f (x)满足f (x +1012)-f (1014 - x) = 4x - 4 ，则 f, ． 四、解答题 17 ．设二次函数f(x)=x⃞+bx+c, f(1)=3 ，且函数图象与y 轴交于(0, 2) . （1）求函数f (x) 的解析式； （2）求f (x) 的图象在点(2,f (2)) 处的切线方程； （3）若函数g(x ) = f (x )-kx 在区间[0, 3] 上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围； 18 ．已知函数 f e2x + ex - 2ax （1）当a = 2 时，求f (x) 的单调区间； （2）当a = 0 时，求证：对任意的x ∈(0, +∞) ， f + 4ex > 2x 恒成立； 寒假作业（十一）导数与函数的单调性 一、单选题 1 ．已知函数f (x) 的部分图象如图所示，则 ( ) A ． f' (3) < f' (4) < f (4) -f (3) B ． f, (4) > f (4)-f (3) > f, (3) C ． f' (4) < f' (3) < f (4) -f (3） D ． f(4) -f(3) < f '(3) < f '(4) 2 ．已知函数f (x) 的定义域为R ，且f (x)的图象是一条连续不断的曲线， f (x)的导函数为 f, (x ) ，若函数g (x) = (x + 2)f, (x) 的图象如图所示，则 ( ) A ． f (x) 的单调递减区间是(-∞, 0) B ． f (x) 的单调递增区间是(-1, 1), (2, +∞) C ．当x = 2 时， f (x)有极值 D ．当x = 1 时， f,(x) < 0 3 ．已知定义在R 上的函数f (x) 的导函数为f, (x ) ，若f,(x)< 6x 恒成立，且f (1) = 2 ，则f (2x) ≤12x2 -1 的解集为 A ． B ． [1, + ∞) C ． 4 ．已知a = log2025 , b = , c = log2026 ，则 ( ) A ．b > c > a B ．b > a > c C ． a > c > b D ． a > b > c 5 ．若函数 f (x) = m - x2 + 2lnx 在区间 上有两个零点，则实数 m 的取值范围为 ( ) A ． (|(1,4 + ), B ． C ． (|(4 + ,e 2 - 2), D ． (1,e2 - 2) 6 ．若实数a, b 满足a (b-1) = b ，设 w = 2 + b2 )- 30(lna + lnb) ，则 w 的最小值为 ( ) A ． - 30ln5 B ． 6 - 30ln6 C ． ln5 D ． 12 - 30ln6 7 ．定义在 R 上的奇函数 f(x) ，满足f(2) = 0 ，且当x < 0 时，不等式 f(x) > -xf,(x) 恒成立，则函数g(x) = lg | x -1| -xf(x) 的零点的个数为 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 8 ．已知函数f = 3ln 且f(t2 )+ f (2t - 3) > 2 ，则实数t 的取值范围是 ( ) A ． (-3, 1) B ． (-∞ , -1) (3, +∞ ) C ． (-∞,-3) (1,+∞) D ． (-1, 3) 二、多选题 9 ．下列函数中，既是奇函数，又在(0, +∞) 单调递增的有 ( ) A ． y = x3 B ． y = x - sin x C ． y = x cos x D ． y = log 10 ．如图是y = f(x) 导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是 ( ) A ． f(x) 在[-2, -1] 上是增函数； B ．当x = -1 时， f(x) 取得极小值； C ． f(x) 在[-1, 2]上是增函数、在[2, 4] 上是减函数； D ．当x = 3 时， f(x) 取得极小值． 11 ．已知函数f = x x2 - 6x +1 ，则 ( ) A ． f(x) 在(-∞, -1] 上单调递增 B ． f(x) 的极大值点是(-1, ) C ． f(x) 的极小值是-9 D ．方程f(x) = 有 1 个实数根 12 ．已知正数 β 满足e 则 ( ) A ． ln (α - β+1) > 0 B ． 2α +α < 2β + β C ． D ． + > + 三、填空题 13 ．已知函数fa lnx 在(1, 2) 上单调递减，则实数 a 的最小整数是 . 14 ．已知函数 f(x) = x - ln(x +1) 对任意x ∈[0, +∞) 有f(x) ≤ kx2 成立，则 k 的最小值为 ． 15 ．若a > 0 ，且关于x 的不等式(alnx - x)(aex - x)≤ 0 恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 16 ．设a 为正实数，若实数x0 是关于x 的方程ex + (1- a)x = lna + lnx 的解，则ex0 - ax0 = ． 四、解答题 17 ．（1） 已知函数f = e2x - ex 求f (x)在(0, +∞) 上的单调区间； （2）若k ，证明： ke2x ≥ 1+ ln2x ． 18 ．已知函数 f(x) = (x - a -1)e x + a(a +1)x ． （1）当a = -1时，求f(x) 的最小值； （2）若g = f 讨论g (x) 的单调性； （3）若-1< a h(a) 为g = f x2 在(ln(a + 1), +∞) 上的最小值，求证： h(a) < 0 ． 寒假作业（十二）导数与函数的极值与最值 一、单选题 1 ．函数f (x ) = (x + 2)(x -1)2 的极小值为 ( ) A ． -1 B ．0 C ．2 D ．4 2 ．已知函数f (x) 的定义域为R 且导函数为 f, (x ) ，函数y = (x + 2). f, (x)的图象如图，则下列说法正确的是 ( ) A ．函数f (x) 的增区间是(-2, 0), (2, + ∞) B ．函数f (x) 的减区间是(-∞, - 2), (2, + ∞) C ． x = 2 是函数的极大值点 D ． x = 0 是函数的极大值点 3 ．已知函数 f (x) = axex - ln (-x) - x 恰有 3 个不同的极值点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (-∞, -e) B ． (-∞, -e] C ． D ． 4 ．已知直线y = kx +b 是曲线y = x2 - (a + 1) 的切线，也是曲线y = a lnx - 1 的切线，则 a 的最大值是 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 2e D ． 4e e e 5 ．已知函数f ax2 + b ，x = -1 是f (x) 的一个极值点，且f (x)在[-2,2] 上有且仅有 1 个零点，则实数b的取值范围是 ( ) A B ． |L「- , - ), (|(0, C ．「|L- , 0), , ), D 6 ．已知函数f (x) = x3 + x2 + bx - 在x =1 处的切线与直线y = 1平行，且在区间(a - 8, a ) 内存在最小值，则实数a的取值范围是 ( ) A ． (1, 9) B ． [1, 9) C ． [3, 9) D ． (3, 9] 7 ．已知函数f = e2x-1,g lnx ，若f (a ) = g (b ) ，则b- a 的最小值为 ( ) A ． e -1 B ． 1+ ln2 C ． D ． 8 ．已知f (x ) = (aex + x )(-x -b-1) ，满足x < 0 时， f (x) ≤ 0 恒成立，则 a > 0 时 的最小值为 ( ) A ． e3 B ． e2 C ． D ． ( 4 ) ( 2 )e e 二、多选题 9 ．若函数f (x) = x3 - 3x 在(a - 5, a2 - 8) 上有最小值，则实数 a 的可能取值为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，其中函数f (x ) = 是神经网络的一种激活函数，则 ( ) A ． f (x)有且仅有一个零点 B ． y = f (x) 图象关于原点对称 C ． f (x)在(0, +∞) 上单调递增 D ． f (x)有极小值点 11 ．已知f (x) = ax3 + bx + c 为奇函数，且x 时，f (x)取得极小值- ，过点Q(m, 0)(m > 0) 至少能作出曲线y = f (x ) 的两条切线，则下列说法正确的是 ( ) A ． f (x) = x3 - x B ． C ． m ≥ 1 D ． < m < 2 12 ．已知函数f(x) = xex ， g(x) = xlnx ，则下列说法正确的 ( ) A ．函数f(x) 与函数g (x) 有相同的极小值 B ．若方程f(x)= a 有唯一实根，则a 的取值范围为a ≥ 0 C ．若方程g(x) = m 有两个不同的实根x1 , x2 ，则x1x D ．当x1 > 0, x2 > 0 时，若f(x1 ) = g(x2 ) = t ，则x1x2 = t 成立 三、填空题 13 ．函数f (x ) = x3 + ax2 -bx + a2 在x = 2 时有极小值-4 ，那么b- a 的值为 . 14 ．已知f (x a ，存在实数b ，使得f (x) = bx 有四个不同的解，则 a 的取值范围是 . 15 ．已知函数f(x) = ax2 - x + ln x 有两个不同的极值点x1 , x2 ，若不等式f (x1 ) + f (x2 ) > 2(x1 + x2 ) + t 有解，则t 的取值范围是 . ( 8 ) ( 3 )16 ．已知实数x1, x2 满足ex1 + x1 = 10, ln + x2 = ，则x1 + 3x2 = . 四、解答题 17. 已知函数f(x) = 2ln x - ax ． （1）若a = 1 ，求曲线y = f(x) 在x =1处的切线方程； （2）讨论f(x) 的单调性； （3）若a > 0 ， f(x) ≤ eax - x2 恒成立，求a 的取值范围． 18 ．已知函数 f(x) = ex - ax -1(a ∈ R) ． （1）讨论f(x) 的单调性； （2）若f(x) 在(0, 1] 上存在唯一零点，求 a 的取值范围； （3）函数g(x) = f(x)+ 2ln x + x2 - ax - ex +1有两个极值点为x1, x2 (x1 < x2 ) ，若x2 ≥ 2x1 ，求g(x2 )-g (x1 ) 的最大值． 寒假作业（十三）圆锥曲线解答题练习 1 ．已知直线l : x — 2y + 2 = 0 与抛物线C : y2 = 2px (p > 0) 相切于点P . （1）求 C 的方程以及点 P 的坐标. （2）过点Q(—1, —2) 的动直线l 与 C 交于 A, B 两点（均不与点 P 重合）， AB 的中点为M . （i）当PM //x 轴时，求l 的方程； （ii）设直线 PA, PB 的斜率分别为k1 ， k2 ，证明： k1 . k2 为定值. 2 ．已知双曲线 C a > 0, b > 0) 的左顶点为 A ，右焦点为F ，动点B 在C 上. 当BF 丄 AF 时， | BF |=| AF | . （1）求C 的渐近线方程； （2） 已知a = 1 ，M , N 两点在C 的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若 = 2 ，求△MON 的面积. ( a b 2 )3 ．已知椭圆 Γ : + = 1(a >b > 0) 的短轴长为 2 ，离心率为 ·、i2 ，左、右顶点分别为 C 和D ， O 为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点T(4, 0) 的直线与椭圆依次相交于不同于D, C 的 A, B 两点. ( ⅰ ) 求 △AOB 面积的最大值； ( ⅱ ) 若直线BD 与 AC 交于点G ，求证：点 G 在定直线上. 4．已知点M(m, 4) 在抛物线 Γ ：x2 = 2py(p > 0) 上，点F 为Γ 的焦点，且 MF = 5 ．过点F 的直线l 与Γ 及圆x2 + (y —1)2 = 1依次相交于点A, B, C, D ，如图． （1）求抛物线 Γ 的方程及点M 的坐标； （2）求 AC . BD 的值； （3）过 A, B 两点分别作 Γ 的切线l1 ， l2 ，且l1 与l2 相交于点P ，三角形ABP 外接圆的圆心为N ，求 . 的最小值． 5 ．已知椭圆M : + = 1 (a >b > 0 ) 的离心率为 ，左焦点为F ，左、右顶点分别为A, B ，上顶点为C ，且△ACB 的面积为 6 . （1）求椭圆M 的标准方程； （2）设斜率存在的直线l 交椭圆M 于P, Q 两点（P, Q 位于x 轴的两侧），记直线AP, BQ 的斜率分别为k1 , k2 ，若kk1 . （i）试判断直线PQ 是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）设直线l 与x 轴的交点为T ，记△APT 与△BQT 的面积分别为S1 , S2 ，求 的取值范围. 寒假作业（十四）数列解答题练习 1 ．已知数列{an } 的前n 项和Sn 满足Sn Sn-1 + 2 ， (n ≥ 2,n∈N) ，且a1 = 4 . （1）求数列{an } 的通项公式 an ；（2）记bn ，求数列{bn } 的前n 项和Tn . 2 ．已知数列{an } 前n 项和为Sn ， a1 = 1 ， Sn = an+1 -1 ，在数列{bn } 中，b1 = 1 且bn + bn+1 = 3n +1． （1）求数列{an } ， {bn } 的通项公式；（2）求数列{an .bn } 前2n 项中所有奇数项的和Tn 3 ．在数列{an } ， {bn } 中， an+2 + 6an = 5an+1 ，bn = an+1 - 3an (n ∈ N*) ，且a1 = 1 ，b2 = 2 . （1）求a3 ，b1 的值； （2）求{bn } 的通项公式； （3）设cn 记{cn } 的前n 项和为Sn ，证明： Sn . 4 ．记数列{an } 的前 n 项和为Sn ，且a1 = 1, an = Sn-1 (n ≥ 2) . （1）求数列{an } 的通项公式； （2）设bn 为偶数 (n为奇)数 ，求数列bn 的前2n 项和 B2n； （3）设 m 为整数，且对任意n ∈ N* ， m 求 m 的最小值. 5 ．已知等比数列{an } 的公比q > 1 ，若a2 + a3 + a4 = 14 ，且a2 ， a3 + 1 ， a4 分别是等差数列{bn }第 1 ，3 ，5 项. （1）求数列{an }和{bn } 的通项公式； （2）记cn ，求数列{cn } 的前n 项和Sn ； （3）记dn = ，求 di 的最大值和最小值. 寒假作业（十五）导数解答题练习 1 1.（13 分） 已知函数f = lnx ． (1)当a = 1 时，判断函数f (x) 的单调性； (2)若函数f (x)的最小值为 0，求实数a 的值． 2.（15 分） 已知函数f x2 - 2ax + ln x （a 为常数）. (1)当a = 1 时，求曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程； (2)设函数f(x) 的两个极值点分别为x1 ， x2 （ x1 < x2 ），求f (x1 )-f (x2 ) 的取值范围. 3.（15 分） 已知函数f(x) = 2ln x - ax ． (1)若a = 1 ，求曲线y = f(x) 在x =1处的切线方程； (2)讨论f(x) 的单调性； (3)若a > 0 ， f(x) ≤ eax - x2 恒成立，求a 的取值范围． 4.（17 分） 已知函数f(x) = ex - ax - 3(a ∈ R) . (1)当x ≥ 1时，讨论f(x) 的单调性； (2)当x ≥ 0 时，若不等式f恒成立，求a 的取值范围； (3)若f(x) 有两个零点x1 , x2 ，且x1 < x2 ，证明： 3ex1 + ex2 > 3a . 5.（17 分）定义“下凸函数 ”f (x)在区间I 上，对任意 x1 、 x2 、 … 、 xn ∈ I ，均有f 当且仅当 x1 = x2 = = xn 时，等号成立．若函数f (x)在区间I 上存在二阶可导函数，则f (x)为区间I 上的“下凸函数 ”的充要条件是f,, (x) ≥ 0 （f,, (x ) 为f, (x ) 的导函数）． (1)若f (x) = aex - x2 是[0, 2] 上的“下凸函数 ”，求a 的取值范围． (2)①证明：函数g(x) = -cosx 在 上为“下凸函数 ”．②证明：当x 时， cos 3x - 3cos x (3)已知正实数x1 ,x2 , … ,xn 满足x1 + x2 + + xn = 1 ，求(ex1 - x1 )(ex2 - x2 ) (e xn - x n ) 的最小值（用n 的代数式表示）． 寒假作业（十六）导数解答题练习 2 1 ．已知函数f (x) = lnx + x2 + ax + 2 在点(2, f (2))处的切线与直线2x + 3y = 0 垂直. （1）求实数a 的值； （2）求f (x) 的单调区间. 2 ．已知函数 f(x) = cos x + x sin x . （1）判断f(x) 在区间 的单调性； （2）证明：当x ∈[0, +∞) 时， f(x) ≤ ex ； （3）证明： g(x) = f(x) - cos x -1在 上有且只有一个零点. 3 ．正弦型函数被广泛运用于信号处理领域，不同周期的正弦型函数叠加是构造复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．已知函数fn = sin x x ∈ R, n ∈ N * （提示： sin 3α = 3sinα - 4sin3 α , cos 3α = 4 cos3 α - 3cos α ) . （1）求函数f2 (x) 的所有零点组成的集合； （2）求函数f3 (x) 的最值； 4 ．已知函数 f (x ) = xlnx - ax + 2 . （1）当a = 1 时，求f (x) 的极值； （2）若关于x 的不等式f (x) ≤ 0 在(0, +∞) 上恰有 3 个整数解，求a 的取值范围.（注：ln2 ≈ 0.69 ，ln3 ≈ 1.10 ，ln5 ≈ 1.61） 5 ．已知函数 f = xlnx mx 2 - x （1）若m = 1 ，求曲线y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程； （2）若g(x) = f,(x) （f, (x ) 为f (x) 的导函数），求函数g(x ) 在区间[1, e]上的最大值； （3）若函数f (x)有两个极值点 x1 ， x2 ，证明： x1x2 > e2 ． 寒假作业（十七） 综合复习题（一） 一、单选题 1 ．已知直线 2x + y — 3 = 0 与直线4x — my — 3 = 0 平行，则它们之间的距离是 A ． B ． C ． D ． 2 ．圆 C1 : x2 + y2 — 4x + 2y +1 = 0 与圆 C2 : x2 + y2 — 2y — 3 = 0 相交于A, B 两点，则 AB 等于 A ． 2、/3 B ． 2、/2 C ． 、 D ． 、/2 3 ．设 Sn 是等比数列{an } 的前n 项和，若 S3 = 4, a4 + a5 + a6 = 6 ，则 3 19 5 19 A ． B ． C ． D ． 2 10 3 6 4 ．设抛物线 x2 = 4y 的焦点为F ，过 F 的直线l 与抛物线交于 A, B 两点，且 = 3 ， O 是坐标原点，则 ΔAOB 的面积为 A ． B ． 4·、 C ． 2S3 D ． 5．已知椭圆E : + = 1 (a >b > 0)，过原点斜率不为 0 的直线交 E 于 A, B 两点，过 A作x 轴的垂线，垂足为M ，直线BM交椭圆 E 于另一点D ，记直线AB ， AD 的斜率分别为k1 ， k2 ，若k 则 E 的离心率为 A ． B ． C ． D ． 6 ．等比数列{an } 的公比为q = ，Sn 为其前n 项和，且Tn ,n ∈ N * ，则当Tn 取得最大值时，对应的n 为 A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 7 ．已知双曲线 C a > 0, b > 0) 的左顶点为 A ，过 A的直线l 与C 的右支交于点 B ，若线段AB 的中点在圆O : x2 + y2 = a2 上，且 OB = ·OA ，则双曲线C 的离心率为 A ． 、/2 B ． ·、/3 C ． 2 D ． 3 8 ．已知函数f (x) 的定义域为(—∞, 0) ， f (—1) = —1 ，其导函数f, (x)满足xf,(x)— 2f (x) > 0 ，则不等式f (x + 2025)+ (x + 2025)2 < 0 的解集为 A ． (—2026, 0) B ． (—2026, —2025) C ． (—∞, —2026) D ． (—∞, —2025) 二、多选题 9 ．下列命题正确的有 A ．已知函数f (x) = ln (2x +1) ，若f,(x0 ) = 1 ，则x0 = 0 B ．已知函数f (x)在R 上可导，若f, (1) = 2 ，则 D ．设函数f (x) 的导函数为f, (x) ，且f (x) = x2 + 3xf, (2) + ln x ，则f 10 ．已知椭圆 C： ，P为椭圆上一个动点，F1, F2 为其左右焦点，当PF2 垂直于x 轴时， PF 则下列选项正确的有 A ． b = 2 B ． PF1 的最小值为 1 C ．当PF1F2 构成三角形时， ΔPF1F2 面积的最大值为2·、 D ．当PF1F2 构成三角形时，满足ΔPF1F2 为直角三角形的点P的个数为 8 个 11 ．已知函数f = x 则 A ．对任意 x 不等式f (x ) > 0 恒成立 B ．函数 f (x )在区间(e, +∞) 上单调递增 C ．函数 f (x ) 的极大值为1 D ．当函数f (x )取得极小值时， 自变量 x = e 三、填空题 12 ．设等比数列{an } 的前n 项和为Sn ，若S10 = 40 ， S20 = 120 ，则S30 = ． 13 ． 曲线y1 = x2 —1与 y2 = a ln x 在交点处存在公切线，则a = ． 14．双曲线 C a > 0, b > 0) 左、右焦点分别为 F1 , F2 ，点 P是C 的右支上一点，连接PF1 与y 轴交于点M ，若 F1O = 2 OM （O 为坐标原点）， PF1 丄 PF2 ，则双曲线C 的渐近线方程为 . 四、解答题 15 ．设数列{an }满足a1 = 1 ， an+1 - an = 2 ● 3n-1 . （1）求数列{an } 的通项公式; （2）令bn = (2n +1)an ，求数列{bn } 的前n 项和Sn . 16 ．已知函数f （1）当a = 0 时，求f (x) 的最大值； （2）若f (x)有且只有 1 个极小值点，求a 的取值范围． 17 ．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，且 F1F2 = 2 ，过点F2 作两条直线l1 ， l2 ，直线l1 与 C 交于 A ， B 两点， ΔF1AB 的周长为4· . （1）求C 的方程； （2）若ΔF1AB 的面积为 ，求l1 的方程； （3）若l2 与C 交于M ， N 两点，且l1 的斜率是l2 的斜率的 2 倍，求 MN - AB 的最大值. 18 ．已知f (x ) = ex - ax . （1）若 f (x ) ≥ 0 恒成立，求a 的范围； （2）证明不等式： xex - 2e ln x ≥ e (x2 - 2x + 2) . 19 ．已知F1, F2 分别为椭圆C 的上、下焦点， F1F2 = 2 ，点 E (1,·、) 为椭圆 C 上一点． （1）求椭圆 C 的方程； （2）椭圆 C 与直线l : y = kx + t(k ≠ 0, t ≠ 0) 有唯一公共点 M，过点 M 且与 l 垂直的直线分别交 x 轴、y 轴于A(x, 0), B(0, y) 两点． （i）当点 M 运动时，求点P(x, y) 的轨迹方程； （ii） 已知以椭圆 m > 0, n > 0, m ≠ n )上一点(p, q) 为切点的切线方程为 + = 1 ，若直线 l 交直线x + y-1 = 0 于点 Q (x0,y0 )，由点 Q 引椭圆 C 的另一条切线，切点为 N，求证：直线MN 过定点. 寒假作业（18） 综合复习题二 一、单选题 1 ．设f（x）为可导函数，且满足 lim f (3)-f (3 + Δx ) = 3 ，则曲线y = f（x）在点（3，f（3））处的切线的斜率是 ( ) Δx→0 3Δx A ． -9 B ． -3 C ． 3 D ． 9 2 ．函数f(x) = 的图像大致是 A ． B． C ． D． 3 ．已知正项等差数列{an }满足 a (a)3 (1) a (a)5 (3) a (a)2n (2n)1 (1) = *) ，则 = ( ) A ．670 B ．675 C ．2025 D ．4050 4 ．已知f (x ) = f, (2025)lnx - x2 + x ，则f, (2025) = ( ) A ．0 B ． -2025 C ．1 D ．2025 5 ．已知数列{an }是各项均为正数的等比数列，若a2, a2025 是方程x2 - 3x + 2 = 0 的两个根，则log2a1 + log2a2 + log2a3 ++ log2a2026 的值为 ( ) 2026 A ． B ．1013 C ．2023 D ．1022 3 6 ．若函数f(x) = x2 - x + a ln x 有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围为 ( ) 7 ．已知f (x)满足2f (x ) + f |(( ), = 3x .若y = f (x )- a ln x 为增函数， a ∈ R ，则 a 的取值范围是 ( ) A ． , +∞) B ． 2 , +∞) C ． (-∞ , 2 ) D ． (-∞, 2 8．已知双曲线C： - = 1( a > 0，b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2 ， 过原点 O 的直线与C 的左、右两支分别交于 A，B ( 两点，点 D 在 C 上且 F 2 D = 2 BF 2 ，若以 AB 为直径的圆过点 F 1 ，则 的值 为 ( ) ) b a A ． B ． C ． D ． 二、多选题 9 ．已知数列{an } 的前n 项和为Sn ，若an = 3n - 5 ，则 ( ) A ． {a2n+3 } 是等差数列 B ． {an + a2n-1 } 不是等差数列 C ． {2Sn - 3n2 }是等差数列 D ． 不是等差数列 10 ．已知 O 为坐标原点， F 是抛物线C ： y2 = 8x 的焦点， A, B, D 是C 上的三个点，且A(m, 2·、) ，则下列说法正确的 是 ( ) A ． C 的准线方程为x = -2 B ． | AF |= 4 C ．直线OA 的斜率为、 D ．若B, D, F 三点共线，则| BD | 的最小值为 8 11 ．已知函数fx + m 过点A ，下面说法正确的是 ( ) A ． x = -1 是f (x) 的极小值点 B ．点(0, 1) 是曲线y = f (x) 的对称中心 C ．若f (x)在区间(a, a2 ) 有最大值，则a 的范围为[ - ·、i2 , -1) D ．若方程f (x) - t = 0 （ t 为常数）有一个绝对值不大于 2 的根，则其所有根的绝对值都不大于 2 三、填空题 12 ．已知数列{an } 满足a ， an+1 + an = 2 ，则S20 = . 13 ．函数g x + ln x的最小值为 . 14 ．已知无穷数列{an }满足lgan+1 = lgan - lgan-1 , n = 2, 3, 4, ．给出下列四个结论： ①若0 < a1 < 2 且0 < a2 < 2 ，则 n ∈ N*，an < 2 ； ②若a1 = 1 ，则{an } 中有无穷多项是 1； ③存在一组a1 , a2 ，使得{an }单调递增； ④{an } 中一定存在一项ak < 2 ．其中所有正确结论的序号为 ． 四、解答题 15 ．记等差数列{an } 的前 n 项和为Sn ，已知a3 = 5 ， S7 = 49 ． （1）求数列{an } 的通项公式； （2）若数列{cn }满足cn ，记数列{cn } 的前 n 项和为Tn ，求Tn ； （3）若an+1 < man 恒成立，求实数 m 的取值范围． 16 ．已知函数f(x) = x2 - 2aln x - 2a(a ∈ R) . （1）讨论f(x) 的单调区间和极值. （2）若a > 0 ，不等式f(x) > -2aln a + e2 的解集为(0, +∞) ，求a 的取值范围. 17 ．已知椭圆C 的离心率为 ，点P(2, 1) 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程. （2）过点Q(4, -2) 的直线l 与椭圆C 交于 A ， B （异于点P ）两点，分别记直线PA ， PB 的斜率为k1 ， k2 . ①当直线l 的斜率为-1时，求PAB 的面积； ②证明： k1k2 为定值. 18 ．已知数列{an }满足a ， an ． （1）求证：数列为等比数列； （2）求满足 的正整数n 的最大值； a1 a2 a3 an （3）若bn = (2n 求数列{bn } 的前n 项和． 19 ．已知函数f (x) = lnx - ax . （1）若曲线y = f (x ) 在x =e处的切线与在x 处的切线的倾斜角互补，求a 的值. （3）设x1, x2, x3 (x1 < x2 < x3 ) 是f (x) 的三个零点. （i）求a 的取值范围； （ii）证明： x2x3 (2)x1 (3) > e2 . 学科网（北京）股份有限公司 $寒假作业（一）直线的方程及交点坐标、距离公式 参考答案 1 3 4 5 6 8 9 10 11 12 D D C A D B CD AC ABD BD 13、-3 14、4 15、3x+y+7=0 16、⑤ 【部分题目详解】 3.【详解】当0-号+kx(∈2时，直线1：x=-2,则其倾斜角为： 当9时+c任ez)时，直线：y=心0 2 coscos' 则其斜率k=- cos0(n-小[L+o),即tande(m1ul+o, 又ae®，a后] 综上所述：直线的倾斜角α的取值范围为 4。【详解】过O作x轴平行线O,E,则∠OO,E=≈16°， 由五角星的内角为36°，可知∠BAO3=18°， 所以直线AB的倾斜角为18°-16=2°. AB趴 03 品 8.【详解】因直线1分别与△ABC及△DEF各恰有一个交点，则直线只能过三角形的顶点，注意到 。-3-(7）-3-3)-k,则D,C,E三点共线，又结合图形，可知直线只能是4D,A那，CF中的一条 55-2 又。1曰=8，点的1，日3则编半摄孙位为3. 1 1-8 x+3_y+3+1=0 12.【详解】设点A(化，)，因点A与B(3,3)关于直线（对称，则2,2 y-3-1 x-3 =4则4(2,4).由题可知，斜率不为0且存在 x=2 → 若2过原点，则12的方程为y=2x; [2,4 =1.「a=-2 若1，不过原点，设，：工+=1，则a+)1→ a b (a+b=0b=2, 即： =1→x-y+2=0. 22 16。【详解】由于x+y-m=x+m(y-)=0,经过的定点为(0,1)，所以A(0,1), 由x-y-m+3=(x-1)-y+3=0,经过定点(1,3)，故B(1,3), 因为1·m+m(1)=0，所以两直线垂直，如图， YA D 因此18P为直角三角形，所以PgA-2-y妒+6-1-5. 17.【详解】(1)飞=1+6 =-1 3-8 若A,B,C三点共线，所以kaa=kc, 即7+1 f-3-1,解得1=-5： (2)|CA=CB, 则√t-8)+132=Vt-3)2+82,解得t=16. 18.【详解】(1)证明：直线1方程(2-m)x+(2+1)y+3+4=0可化为(2x+y+4)+(-x+2y+3)=0 该方程对任意实数恒成立，所以{ 2x+y+4=0 -x+2y+3=0 解海1 y=-2’所以直线恒过定点（仁12列： (2)点P(3,)与定点（1，-2)间的距离，就是所求点P(3,1)到直线1的距离的最大值，即V(3+1)+(1+2)=5. 寒假作业（二）圆的方程及位置关系 参考答案 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 B D A D B D D BD AD ABD ABD 13、 (x+1)2+y2=1 14、 互 2 15、-1 16、v17 【部分题目详解】 7.【详解】如图所示， 圆C圆心(O,0),半径ACF2,由切线性质得CA⊥PA,△PCA为直角三角形： cos∠PCA=ACL2 5 PCPC,1PC越小，os∠PCA越大：圆心到直线距离为PCa-V2H =V5 此时，1PA非VW5-2=1,tam∠PCA=1PA=， 4C2 8.【详解】设A(x,y),B(x2,2), [x+y=a 联立 {+=4消去y可得2x2-2ax+a-4=0,△=(-2a-4x2x(a2-4=32-42>0,即-2W5<a<2, =a-,waad-《+国x2 由0A=(G,y),0B=(,y),则cos∠AOB= o410,即co120= OA.OB Xx2+yy2 √++好’ 代入可海子解得a=5或5 12.【详解】点A(-2,0),B(1,0),设C(x,y), 由CA=2CB到，得Vx+2)+y2=2Vc-1)+y2,整理得x2+y2-4x=0.所以A正确： 对于B,因为点C的轨迹方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)+y2=4. 所以点C的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆. 因为△4BC的面积为SeAB以=以，所以当例取最大值2时，△ABC的面积取得最大值，最大值为×2=3。 所以B正确： 对于C,当C,A,B共线时，∠CAB=0: 当C,4,B不共线时，cos∠C4B=C4+ABf-BC3BC+9_BC3 ≥2 BC 33 2CA 4B 12BC-44BC“Y4 4BC-2 当且仅当 33 44BC,即BC=VB时，等号成立 因为∠CAB∈(0，m),所以∠CAB∈O, 61 所以∠CB∈0所以C4B的最大位为石所以c错讽： 6 对于D,当C,A,B共线时，点B到直线AC的距离为0： 当C,A,B不共线时，点B到直线AC的距离d=ABsi∠CAB=3sin∠CAB, 由选织c知，C0所以m∠c4-0引所以点到宜线4C的距离o引 .1 鲶上点B到直线4C的距离的最大值为.所以D正确 x+y+1=0 15.〖详解】联立 x+y2=2，可得2x+2x-1=0,设M(,y),N(3,), 则x+=-1x=分=（←-0--=++名+1号所以o0N=x*y=1. 故答案为：-1 n.0 (2)x=0或4x-3y-3=0 【详解】(1)圆M的标准方程为(x-1)+(y-2)=4, 又因为(0-1)+(4-2)>4，即点P在圆M外， 若切线斜率不存在，则该直线的方程为x=0,圆心M到直线x=0的距离为1， 则直线x=0与圆M相交，所以切线的斜率存在，设切线的方程为y=x+4，即：-y+4=0, 所以 k+2-2,整理可得3-4k=0,解得k=0或k=号， Vk2+1 故两切线的斜率之和为0+1_4 33 (2)由题意可知，圆心M到直线l的距离为d AB V4-3=1, 2 当直线I的斜率不存在时，直线l的方程为x=0,此时圆心M到直线x=0的距离为1，符合题意： 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=tx-1,即x-y-1=0, 则圆心M到直线1的臣离为d-【一2一--上-1，整理可特-+8=0，解得1=4， V2+1Ve+1 此时直线/的方程为y=子-1，即4~3y-3=0 综上所述，直线1的方程为x=0或4x-3y-3=0. 18.(1)(x-3)2+(y+2)2=1 (2)3x+4y-6=0或4x+3y-1=0 【详解】(1)设圆心C的坐标为(a,b): 因为圆心C在直线l:2x+3y=0上， 所以a=-3b. 2 即C的坐标为 因为A,B是圆C上两点，所以CA=|CB. 即 得b=-2. 所以圆心C的坐标是(3，-2). 圆C的半径r=AC=1. 所以所求圆C的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=1. (2)根据光的反射原理，作点E关于y轴的对称点E(-2,3). 从E射出的光线经y轴反射后，反射光线所在的直线即为经过点E'的圆C的切线， 由题意得该直线的斜率存在，设切线的斜率为飞， 则切线方程为y-3=k(x+2),即x-y+2k+3=0, 由圆心C(3,-2)到切线的距离等于圆的半径1，得 5k+到=1. k2+1 解得名子名=子 故所求直线方程为3x+4y-6=0或4x+3y-1=0. 寒假作业（三）直线和圆综合复习题 参考答案 1 2 3 5 8 9 10 11 12 C A B A B D ABC AB AD ABD 13、 (3, 14、4 15、 ±V5 16、 2W2 【部分题目详解】 8.D【详解】由题意可知：圆C:(x-3)+(y-1)2=9的圆心C(3,1),半径r=3,则PC=V3-0)2+1+3}=5, 设PC到直线AB的距离分别为d,d,因为AB=2F2-dξ=2V9-d=25,解得d,=2, 分别过P、C作CM⊥AB,PN⊥AB,垂足分别为M,N,再过C作CDL PN,垂足为D, 显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大， B 则d,=PDl+DW=VPC-D+d,=V25-D+27,当且仅当|CD=0,即直线AB与直线PC垂直时，等号成 立，所以点P到直线AB距离的最大值为7故选：D 11。AD 由题意，圆C:(x-3)+(y+3)'=9的圆心坐标为C(3,-3)，半径为r=3, 又PC=V4-3)+(-2+3)-√2<3，点P(4,-2)在圆c内部， 因为过点P(4,-2)的直线1与圆C:(x-3)+(y+3)=9交于A,B两点，所以川AB|的最大值为2r=6,所以A正确： 因为PC=V4-3)2+(-2+3}2=V2, 当直线I与PC垂直时，此时弦AB取得最小值， 最小值为AB=2V32-W22-2V万，所以B错误： 当直线1与OP垂直时，点O到直线l的距离有最大值， 且最大值为OP=√4-02+(-2-0)2-2√5，所以C错误： 由：=8=-=苦-1，可得长k山，即01C, 所以△POC的面积为0CPC,×32×5=3,所以D正确.放选：AD。 12。ABD【详解】解：对于A选项，因为直线1：x+(m+2)y-2m-2=0可变形为l:m(x+y-2)+2y-2=0,所以直 线1恒过定点(1,1)，故A选项正确： 对于B选项，因为12+12-4<0，所以点(1,1)在圆C:x2+y2-4x=0内，故直线1与圆C相交，由两个公共点，故B选 项正确： 对于C选项，对于圆C:x2+y2-4x=0,圆心为C(2,0),半径为r=2,当直线线1与圆C相交，故相交弦长的最大值 为圆C的直径，即为2r=4,故C选项错误 对于D选项，当m=-1时，直线1：x-y=0,故圆C:x2+y2-4x=0的圆心C(2,0)关于1：x-y=0对称的点的坐标为 (0,2),所以圆C:x2+y2-4x=0关于1：x-y=0对称的圆的方程为x2+(y-2)2=4,故D选项正确故选：ABD 15。±√3【详解】根据题意，圆C:x2+y2-6y十6=0即x2+0一3)2=3，其圆心为(0,3)，半径r=√5， 直线y=与圆C:x2十Jy2一十6=0相交于A,B两点， V1+a2解得a=V5 苦△4BC为等边三角形，则圆心C到直线y=心的距离d=rcos30=多，则有=3 16.2√2【详解】解：圆C:(x-2)2+(y-1)2=1的圆心C(2,1),半径r=1, 连接AC,BC,PC,可得PA⊥AC,PB⊥BC,且|PAPB|,|AC=BC=1, Sno22VPCP -BF-POF-1, 1PC的最小值是圆心(2，到直线3x-4y+13=0的距离d-164+3=3, V9+16 所以四边形APBC面积的最小值为V32-1=2√2。 故答案为：2√2。 17.()x=7或21x-20y-167=0.2(x-14)+y-3-M4=1或(x+14+(y-3+V14=1 【详解】(1)圆C方程化简为(x-2)+(y-1)2=25,所以圆心坐标为C(2,1),半径为5， 由于直线过点A(⑦，-1)，所以当直线l的斜率不存在时，方程为x=7. 此时圆心到直线的距离为5，等于圆的半径，所以直线l与圆C相切，符合题意： 当直线l的斜率存在时，方程设为y+1=k(x-7),即kx-y-7k-1=0. 此时为了直线4与圆c相切，则2达7-1-5，化简解得k-引 Vk2+1 20 此时直线4的方程为21x-20y-167=0.综上，直线的方程为x=7或21x-20y-167=0. (2)因为圆D的半径为1，圆心在直线l2:x-y+3=0上，所以设D(a,a+3). 由于圆D与圆C外切，所以两圆心距离为cD=√(a-2)'+(a+3-1)2=5+1. 化简解得a=±4，所以D(±14,3±M4),所以圆D的方程为(x-4+(y-3-M4=1或 (x+4+(y-3+V4=1. 18。(1)x2+y2+4y=0:(2)(i)证明见解析：(i)2+2W2 【详解】(1)设P(x,y),则由 A=k得x-0+-2少 =2,整理得x2+y2+4y=0, V(x-0)2+(y+1 即圆C的方程为x2+y2+4y=0. (2)(i)由直线1：(21+1)x+(2-)y+1-3=0,可得(x+2y+1)+(2x-y-3)=0, 所以直线l恒过直线x+2y+1=0与直线2x-y-3=0的交点， 由公解得即直线恒过定点化： x+2y+1=0 (i)由(1)圆C的方程为x2+y2+4y=0,即x2+(y+2)2=4,圆心C(0,-2),半径r=2. 设直线1恒过的定点(1-1)为N,则当CNL1时，弦Er最短，由，-1-2)1，所以直线/的斜率为-1，方程为 1-0 --1)=-(K-1),即x+y=0此时圆心C到直线！的距离d-D-V5,弦长2=2P--242=25. V1+1 又点M到直线/的最大距离为d+r=V反+2，所以(Ss)mE(d+）=×2反x(W2+2=2+2万 寒假作业（四)椭圆 参考答案 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 C B B B B D B D BD ACD ACD ACD 13、9V3 14、 3 5 15、1 【部分题目详解】 8。D【详解】设稀圆C君-1a>办0的半焦距为6，连接4R,,网， 由A(0,b),得ARAE卡C2+b2=a,由P为AE的中点，Pr⊥AF, 得aAR非2x,b=Vc,且△ARR为正三角形，∠PrR=30,直线N斜率为方 直线MN的方程为y方+0，椭圆C的方限为石+花1， 必 (+c) 1 y=- x2,y2 消去y并整理得13x248c32cE0,改6，则x+5 =1 13, 4c2+3c2 10N宁，+)不-后112，解相c华。 5V169+1313 =2,而N第直平分AR, 所以|AM|+|ANM|+|NF2=2a-|M|+2a-|N℉=4a-|MN=14.故选：D 10。ACD【详解】由题意可知：蒙日圆必过点（±a,±b),蒙日圆方程为x2+y2=2+b2, 对于A,蒙日圆为C:x+y=d,则a2+=a,则6=a, 4 4 4 则c=d-B=3,所以椭圆E的离心率为S-5 ,A正确： a 2 对于B,根据愿意得心+-d,又桃圆E过点(2，放兰+京1， 所以4-8,6=2，则椭圆E的方程为。+二-1，B错误： 8+2 对于C,PM⊥QM,则PO是圆的直径，经过原点，则A,B两点关于原点对称， 设D(x,),A(5,),B(-x,-y), b21,C正确： 二 七-￥七+5- d-4 0,直径PQV5立，点M到2的距离小于等于号P 则AMPe的面积的景大值为a,D正确， 故选：ACD 1山，AcD【详解】设动点P化川，由题得c-2y+T--8, 两边平方得2少矿-子8，展开得2-4+42-若-4+16， 移现合并将号产12，两边除以12将6若1，故A正晚 联立兰+二=1与x-2y-10=0,由直线方程得x=2y+10,代入椭圆方程得2y+10)+兰=1，化简得 1612 1612 16y2+120y+252=0,判别式△=1202-4×16×252=-1728<0，方程无实数解，故B错误. 由OP=5得+P=5,联立6+山，由椭圆方程得3x+4y48,将=15-代入得3x2+415-)=8 化简得x2=12,解得x=±25，对应y2=3,y=±V5,即(23,5)，(25，-5)（2B,B)（26,-5),共4个点， 故c正确设韩因器后-1上第一象限内点4a2如0)(00引》，矩形面积 S=4×4cos0X2W3sind=32/3cos0sin0=163sin26,当0=元，sin20=1时，3=165，故D正确.故选AcD [a=2 [a=2 12。ACD【详解】如图：对椭圆C: →c=3,所以椭圆C: +x2=1 a=b2+c2 b=1 寒假作业（一）直线的方程及交点坐标、距离公式 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D D C A D C B CD AC ABD BD 13、 -3 14、 4 15、 3x + y + 7 = 0 16、 【部分题目详解】 3 ．【详解】当 θ = + k π (k ∈Z) 时，直线l : x = -2 ，则其倾斜角为 ；当 θ ≠ + kπ (k ∈ Z) 时，直线l : y = - x - ， 则其斜率k [1,+∞ ) ，即tan α ∈(-∞, -1] [1, +∞)，又 α ∈ [0, π ) ， : α ∈ , ), (|( , ； 综上所述：直线的倾斜角 α 的取值范围为 . 4 ．【详解】过O3 作x 轴平行线O3E ，则 OO3E = α ≈ 16 ，由五角星的内角为36。，可知 BAO3 = 18。， 所以直线 AB 的倾斜角为18。-16。= 2。. 8 ．【详解】因直线 l 分别与△ABC 及△DEF 各恰有一个交点，则直线只能过三角形的顶点，注意到 kCD kCE ，则 D ，C，E 三点共线，又结合图形，可知直线只能是 AD ，AF，CF 中的一条 又kAD = = 8 ， kAF = = -1 ， kCF = = -3 .则斜率最小值为-3 . 12 ．【详解】设点 A(x, y) ，因点 A 与B(3, 3) 关于直线l1 对称，则 → , 则A (2, 4) . 由题可知l2 斜率不为 0 且存在.若l2 过原点，则l2 的方程为y = 2x ; 若l2 不过原点，设l2： + = 1 ，则 即l2： - = 1 x - y + 2 = 0 . 16 ．【详解】 由于x + my - m = x + m(y -1) = 0 ，经过的定点为(0, 1) ，所以A(0, 1)，由mx - y - m + 3 = m (x -1)-y + 3 = 0 ，经过定点(1, 3) ，故B(1, 3) ， 因为1. m + m . (-1) = 0 ，所以两直线垂直，如图， 因此 ABP 为直角三角形，所以PQAB 若 A ，B ，C 三点共线，所以kAB = kBC ，即 解得t = -5 ； （2） CA = CB ， 则 2+82 ，解得t = 16 . 18 ．【详解】（1）证明：直线l 方程(2 - m)x +(2m +1)y + 3m + 4 = 0 可化为(2x + y + 4) + m(-x + 2y + 3) = 0该方程对任意实数m 恒成立，所以 ( = - 1 = - 2 ) ( 〔 x ) ( l y )解得{ , 所以直线恒过定点(-1,-2)； （2）点P (3, 1) 与定点(-1, -2) 间的距离，就是所求点P (3, 1) 到直线l 的距离的最大值，即 ·(3 +1)2 + (1+ 2)2 = 5 . 寒假作业（二）圆的方程及位置关系 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D A D B D A D BD AD ABD ABD 13、 (x +1)2 + y2 = 1 14、 15、 -1 16、 【部分题目详解】 7. 【详解】如图所示， 圆C 圆心(0, 0) ，半径| AC |= 2 ， 由切线性质得CA 丄 PA ， △PCA 为直角三角形； cos 上PCA | PC | 越小， cos 上PCA 越大；圆心到直线距离为| PC |min = = ·、i5 ； 此时， | PA tan 上PCA 8.【详解】设A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) ， 联立 ，消去y 可得2x2 - 2ax + a2 - 4 = 0 ， Δ = (-2a)2 - 4× 2 × (a2 - 4) = 32 - 4a2 > 0 ，即-2 · < a < 2 i2 ， 由 = (x1,y1 ), = (x2,y2 ) ，则cos 上AOB = ，即cos120o 代入可得 解得a = - 或 . 12.【详解】点 A(-2, 0) ， B (1, 0) ，设C(x, y)， 由 CA = 2 CB ，得 2+y2 ，整理得x2 + y2 - 4x = 0 .所以 A 正确； 对于 B ，因为点C 的轨迹方程为x2 + y2 - 4x =0 ，即(x - 2)2 + y2 = 4 . 所以点C 的轨迹是以(2, 0) 为圆心，2 为半径的圆. 因为ABC 的面积为S ABC AB 所以当y 取最大值2 时， ABC 的面积取得最大值，最大值为 所以B 正确； 对于 C ，当C, A, B 共线时， 上CAB = 0 ； ( 2 2 )2 2 ( CA ) ( + AB - BC 2 CA AB ) ( BC ≥ 2 4 ) ( × 3 = 4 BC ) ( 3 )3 BC + 9 BC 3 ( 当 C , A , B 不共线时， ) ( cos 上 CAB = ) ( . )= = + ( 2 )12 BC 4 4 BC 当且仅当 = = ，即 BC = 时，等号成立. 因为上CAB ∈(0, π ) ，所以上CAB ∈ (|(0, . 所以上CAB ∈「|L0, 」 (7)|.所以 上CAB 的最大值为 .所以 C 错误； 对于 D ，当C, A, B 共线时，点B 到直线AC 的距离为0 ； 当C, A, B 不共线时，点B 到直线 AC 的距离d = ABsin 上CAB = 3sin 上CAB . 由选项 C 知， 上CAB ∈ (|(0, ，所以sin 上CAB ∈ |((0, ，所以点B 到直线AC 的距离d ∈ (|(0, 」 (7)| . 综上点B 到直线 AC 的距离的最大值为 .所以D 正确. ( l x + y = 2 )15.【详解】联立{〔x2+ y 2 (+)1 = 0 ，可得2x2 + 2x - 1 = 0 ，设M (x1, y1 ) , N (x2, y2 ) ， 则x1 + x2 = -1, x1x2 = - ， y1y2 = (-x1 -1)(-x2 -1) = x1x2 + x1 + x2 +1 = - ，所以 . = x1x2 + y1y2 = -1 .故答案为： -1 17. (1) (2) x = 0 或4x - 3y - 3 = 0 【详解】（1）圆M 的标准方程为(x -1)2 + (y - 2)2 = 4 ，又因为(0 -1)2 + (4 - 2)2 > 4 ，即点P 在圆M 外， 若切线斜率不存在，则该直线的方程为x = 0 ，圆心M 到直线x =0 的距离为1， 则直线x =0 与圆M 相交，所以切线的斜率存在，设切线的方程为y = kx + 4 ，即kx -y + 4 = 0 ，所以 整理可得3k2 - 4k = 0 ，解得k = 0 或k = ， 故两切线的斜率之和为0 + = . （2） 由题意可知，圆心M 到直线l 的距离为d = · = ·i4 - 3 = 1， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x = 0 ，此时圆心M 到直线x =0 的距离为1 ，符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y = tx -1 ，即tx - y -1 = 0 ， 则圆心M 到直线l 的距离为d ，整理可得-6t + 8 = 0 ，解得t = ，此时直线l 的方程为y x - 1 ，即4x - 3y - 3 = 0 . 综上所述，直线l 的方程为x = 0 或4x - 3y - 3 = 0 . 18. (1) (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1 (2)3x + 4y - 6 = 0 或4x + 3y -1 = 0 【详解】（1）设圆心 C 的坐标为(a, b).因为圆心 C 在直线l ： 2x + 3y = 0 上，所以a b . 即 C 的坐标为(|(- b, b), . 因为 A ，B 是圆 C 上两点，所以CA = CB . 即 得b = -2 . 所以圆心 C 的坐标是（3 ，-2）. 圆 C 的半径r = AC = 1. 所以所求圆 C 的标准方程是 (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1 . （2）根据光的反射原理，作点 E 关于y 轴的对称点E, (-2, 3) . 从 E 射出的光线经y 轴反射后，反射光线所在的直线即为经过点E, 的圆 C 的切线，由题意得该直线的斜率存在，设切线的斜率为 k， 则切线方程为y- 3 = k (x + 2) ，即kx -y + 2k + 3 = 0 . 由圆心C(3, -2) 到切线的距离等于圆的半径 1 ，得 . 解得k 故所求直线方程为3x + 4y- 6 = 0 或4x + 3y -1 = 0 . 寒假作业（三）直线和圆综合复习题 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B D A B A D ABC AB AD ABD 13、 (- ·、i3, ·、i3 ) 14、 4 15、 ± 16、 2s2 【部分题目详解】 8 ．D【详解】 由题意可知：圆 C： (x - 3)2 + (y -1)2 = 9 的圆心C(3, 1) ，半径r = 3 ，则 PC ，设 P、C 到直线 AB 的距离分别为d1 , d2 ，因为AB = 2 = 2 · = 2 · , 解得d2 = 2 ， 分别过 P、C 作CM 丄 AB, PN 丄 AB ，垂足分别为M , N ，再过 C 作CD 丄 PN ，垂足为D ， 显然当 P、C 位于直线 AB 的同侧时，点 P 到直线 AB 的距离较大， 则d2 = PD + DN 当且仅当CD = 0 ，即直线 AB 与直线 PC 垂直时，等号成立，所以点 P 到直线 AB 距离的最大值为 7.故选：D. 11 ．AD 由题意，圆C : (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 的圆心坐标为C(3, -3) ，半径为r = 3 ，又 PC ，点P(4, -2) 在圆C 内部， 因为过点P(4, -2) 的直线l 与圆C : (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 交于A ， B 两点，所以| AB | 的最大值为2r = 6 ，所以 A 正确； 因为PC 当直线l 与PC 垂直时，此时弦| AB | 取得最小值，最小值为AB = 2 ·32 - (·、2 )2 = 2、，所以 B 错误； 当直线l 与OP 垂直时，点 O 到直线l 的距离有最大值， 且最大值为OP = = 2·、 ，所以 C 错误； 由kOC = = -1, kPC = = 1 ，可得kOC .kPC = -1 ，即OC 丄 PC ， ( 2 2 )所以△POC 的面积为 1 | OC | .| PC |= 1 × 3 × = 3 ，所以 D 正确．故选：AD． 12 ．ABD【详解】解：对于 A 选项，因为直线l : mx +(m + 2)y - 2m - 2 = 0 可变形为l : m(x + y- 2) + 2y- 2 = 0 ，所以直线l 恒过定点(1, 1) ，故 A 选项正确； 对于 B 选项，因为12 +12 - 4 < 0 ，所以点(1, 1) 在圆C : x2 + y2 - 4x = 0内，故直线l 与圆C 相交，由两个公共点，故 B 选项正确； 对于 C 选项，对于圆C : x 2 + y2 - 4x = 0 ，圆心为C(2, 0) ，半径为r = 2 ，当直线线l 与圆C 相交，故相交弦长的最大值为圆C 的直径，即为2r = 4 ，故 C 选项错误； 对于 D 选项，当m = -1 时，直线l : x - y = 0 ，故圆C : x2 + y2 - 4x = 0 的圆心C(2, 0) 关于l : x - y = 0 对称的点的坐标为(0, 2) ，所以圆C : x2 + y2 - 4x = 0 关于l : x - y = 0 对称的圆的方程为x2 + (y - 2)2 = 4 ，故 D 选项正确.故选：ABD 15 ． ± ·、 【详解】根据题意，圆 C：x2＋y2－6y＋6 ＝0 即 x2＋(y－3)2 ＝3 ，其圆心为(0 ，3) ，半径 r = · ,直线y ＝ax 与圆 C：x2＋y2－6y＋6 ＝0 相交于 A ，B 两点， 若△ABC 为等边三角形，则圆心 C 到直线y ＝ax 的距离d = r cos 30o = ，则有 解得a = ± ·、 16 ． 2·、 【详解】解：圆C : (x - 2)2 + (y -1)2 = 1的圆心C(2, 1) ，半径r = 1 ， 连接 AC ， BC ， PC ，可得PA 丄 AC ， PB 丄 BC ，且| PA |=| PB | ， | AC |=| BC |= 1， ( 1 2 2 2 )S四边形APBC = 2SΔPBC = 2 . 2 BC . PB = BC . · = 、 ， | PC | 的最小值是圆心(2, 1) 到直线3x - 4y + 13 = 0 的距离d = | = 3 ，所以四边形 APBC 面积的最小值为 ·、 = 2、 ． 故答案为： 2·、 ． 17 ．(1) x = 7 或21x - 20y -167 = 0 .(2)(x - v14 )2 + (y - 3 - ·、)2 = 1 或(x + ·、i14)2 + (y - 3 + ·、i14)2 = 1 【详解】（1）圆C 方程化简为(x - 2)2 + (y -1)2 = 25 ，所以圆心坐标为C(2, 1) ，半径为 5， 由于直线l1 过点 A(7, -1) ，所以当直线l1 的斜率不存在时，方程为x = 7 . 此时圆心到直线l1 的距离为 5 ，等于圆的半径，所以直线l1 与圆 C 相切，符合题意；当直线l1 的斜率存在时，方程设为y +1 = k (x - 7) ，即kx - y - 7k-1 = 0 . 此时为了直线l1 与圆 C 相切，则 化简解得k 此时直线l1 的方程为21x - 20y -167 = 0 .综上，直线l1 的方程为x = 7 或21x - 20y -167 = 0 . （2）因为圆 D 的半径为 1 ，圆心在直线l2 : x - y + 3 = 0 上，所以设D(a, a + 3) .由于圆D 与圆C 外切，所以两圆心距离为CD2 = 5 +1 . 化简解得a = ±s14 ，所以D( ± ·、, 3 ± ·、) ，所以圆 D 的方程为(x - s14)2 + (y - 3 - )2 = 1 或(x + s14)2 + (y -3 +、i 14)2 = 1. 18 ．(1) x2 + y2 + 4y = 0 ；(2)（i）证明见解析；（ii） 2 + 2·、 【详解】（1）设P(x, y) ，则由 k 得 整理得x2 + y2 + 4y = 0 ，即圆C 的方程为x2 + y2 + 4y = 0 . （2）（i） 由直线l : (2 λ +1)x +(2 - λ)y +1- 3λ = 0 ，可得(x + 2y +1) + λ (2x -y - 3) = 0 ， 所以直线l 恒过直线x + 2y +1 = 0 与直线2x - y - 3 = 0 的交点，由 解得 即直线l 恒过定点(1, -1) ； （ii） 由（1）圆C 的方程为x2 + y2 + 4y = 0 ，即x2 + (y + 2)2 = 4 ，圆心C(0, -2) ，半径r = 2 . 设直线l 恒过的定点(1, -1) 为 N，则当CN 丄l 时，弦EF 最短， 由kCN 1 ，所以直线l 的斜率为-1 ，方程为y - (-1) = - (x -1) ，即x + y = 0 此时圆心C 到直线l 的距离d ，弦长EF = 2·、ir2 -d2 = 2s4 - 2 = 2s2 . 又点M 到直线l 的最大距离为d + r = ·、+ 2 ，所以(SMEF )max = · EF·(d + r ) = × 2·、× ( ·、 + 2) = 2 + 2s2 寒假作业（四）椭圆 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B B B D B D BD ACD ACD ACD 13、 9 14、 15、 1 【部分题目详解】 8 ．D【详解】设椭圆C : + = 1(a > b > 0) 的半焦距为 c ，连接 AF1 ,MF2 , NF2 ，由 A(0, b) ，得| AF1 |=| AF2 |= ·、= a ， 由P 为 AF2 的中点， PF1 丄 AF2 ， ( 1 )得a =| AF1 |= 2c ，b = ·、c ，且△AF1F2 为正三角形， 上PF1F2 = 30 ，直线MN 斜率为 v3 ，直线MN 的方程为y 椭圆C 的方程为 ， 由 消去y 并整理得13x2 + 8cx - 32c2 = 0 ，设M(x1, y1 ), N(x2, y2 ) ，则x1 + x x1x | MN 2-4x ，解得c ，而MN 垂直平分 AF2 ，所以| AM | + | AN |=| MF2 | + | NF2 |= 2a- |MF1 | +2a- | NF1 |= 4a- | MN |= 14 .故选：D 10 ．ACD【详解】 由题意可知：蒙日圆必过点( ±a, ±b) ，蒙日圆方程为x2 + y2 = a2 + b2 ，对于 A ，蒙日圆为C : x2 + ya2 ，则a2 + b2 = a2 ，则b a2 ， 则c2 = a2 -b 所以椭圆 E 的离心率为 A 正确； 对于 B ，根据题意得 a a2 ，又椭圆 E 过点(2, 1) ，故 所以a2 = 8 ， b2 = 2 ，则椭圆 E 的方程为 1 ，B 错误； 对于 C ， PM 丄 QM ，则PQ 是圆的直径，经过原点，则 A ，B 两点关于原点对称，设D(x0, y0 ) ， A (x1, y1 ) ， B (-x1, -y1 )， 则k1k2 = x (y)0 (0) -- x (y)1 (1) . x (y)0 (0) x (y)1 (1) = x (y) -- x (y) =b2 1- x) -- 1- ,) = -ba (2)2 = -41 ，C 正确； 对于 D ，直径 PQ = ·、a ，点 M 到PQ 的距离小于等于 PQ = ， 则MPQ 的面积的最大值为 a2 ，D 正确， 故选：ACD． ( 2 )11 ．ACD【详解】设动点P(x, y) ， 由题得 ·、 = 1 x -8 ， 两边平方得(x - 2)2 + y ，展开得x2 - 4x + 4 + yx +16，移项合并得+ y2 = 12 ，两边除以 12 得 + = 1 ，故 A 正确. 联立 1 与x - 2y -10 = 0 ， 由直线方程得x =2y +10 ，代入椭圆方程得 + = 1 ，化简得 16y2 +120y + 252 = 0 ，判别式 Δ = 1202 - 4× 16× 252 = -1728 < 0 ，方程无实数解，故 B 错误. 由 OP = ·、 得x2 + y2 = 15 ，联立 ，由椭圆方程得3x2 + 4y2 = 48 ，将y2 = 15 - x 2 代入得3x2 + 4(15 - x2 ) = 48 ，化简得x2 = 12 ，解得x = ±2、 ，对应y2 = 3 ， y = ± ·、i3 ，即(2i3, s3 ), (2 、, - ·、), (-2 ·、 ), (-2 ·、 - ) ，共 4 个点，故 C 正确.设椭圆 + = 1 上第一象限内点 A(4cosθ, 2 ·sinθ) ，矩形面积 S = 4 × 4cosθ× 2sinθ = 323cosθsinθ = 163 sin 2θ, 当 θ = , sin2θ = 1时， Smax = 16 ，故 D 正确.故选 ACD 12 ．ACD【详解】如图：对椭圆 C1 ：{c (a) 2i3 → {〔c (a) 2 ，所以椭圆C1 ： y2 + x2 = 1； l a (a)2 = b (2)2 + c2 l b = 1 4 对抛物线 C2 ： y2 = 4x ，所以F(1, 0) ， P (-1, 0) . 设 A(x1, y1 ) ， B (x2, y2 ) .对 A 选项：设直线 AB 方程为： x = my +1 ，代入抛物线C2 ： y2 = 4x ，得： y2 = 4 (my +1) ，整理： y2 - 4my - 4 = 0 .所以y1 + y2 = 4m ， y1y2 = -4 ，所以x1 + x2 = m (y1 + y2 ) + 2 = 4m2 + 2 ， x1x2 = (my1 +1)(my2 +1) = m2y1y2 + m(y1 + y2 ) +1 = -4m2 + 4m2 +1 = 1 . 因为 = 2 ，所以y1 = -2y2 ，所以m → m所以AB = x1 + x2 + p = 4m2 + 2 + 2 = .故 A 正确；对 B 选项： 由 A 选项解答可知： k1k2 = . = = = - 4 ≠ - ，故 B 错误； 对 C 选项：直线l 的倾斜角为45o ，即m = 1 ，所以直线 AB ： x = y +1 ，即y = x -1 . 此时x1 + x2 = 6 ， x1x2 = 1 ， x1 > x2 ，所以x1 - x2 = · = 4v2 . ( x 1 + 1 x 1 + 1 ， x 2 + 1 x 2 + 1 ， )tan 上APF = y1 = x1 -1 tan 上BPF = - y2 = - x2 -1 所以 tan 上APB = tan (上APF + 上BPF) = x1 -1 x2 -1 tan 上APF + tan 上BPF x1 +1 x2 +1 = 1- tan 上APF . tan 上BPF 1 + . ( = )(x1 -1)(x2 +1)- (x2 -1)(x1 +1 ) = (x1 +1)(x2 +1)+ (x1 -1)(x2 -1 ) 2 (x1 - x2 ) 2x1x2 + 2 = = 2·、 ,故 C 正确； 〔 4 对 D 选项：因为直线OA： y = y1 x = 4 x ， 由{ y = y1 x 得： ( l 4 + x = )x1 y1 y2 2 1 ( y 2 + 16 〔 y + y = 4 m ) ( \ 4 + y 2 l y 1 y 2 = - 4 )同理ON = · , 且{ 1 2 , y1 (2) + y2 (2) = (y1 + y2 )2 - 2y1y2 = 16m2 + 8 . ( OM ON = y 2 1 + 16 + y 2 2 + 16 = ( y 2 1 + 16 )( y 2 2 + 16 ) )因为 1 2 + 1 2 y1 (2) + 4 y2 (2) + 4 (y1 (2) + 4)(y2 (2) +16)+ (y2 (2) + 4)(y1 (2) +16) 2y1 (2)y2 (2) + 20(y1 (2) + y2 (2)) + 128 32 + 20 (16m2 + 8 )+128 20m2 + 20 = 5 - 45 = y1 (2)y2 (2) +16(y1 (2) + y2 (2)) +162 = 16 +16 (16m2 + 8 )+162 = 16m2 + 25 4 4 (16m2 + 25) ， 又 ( m 2 + 1 5 45 9 1 6 m 2 + 25 = 4 - 4 ( 16 m 2 + 25 ) + · 1 - 16 m 2 + 25 1 ( 1 1 ) 2 5 45 t )( 1 1 )2 1 1 2 5 45 ( 设 t = 16 m 2 + 25 ， 则 0 < t ≤ 25 ， 所以 ( | OM + ON , = 4 - 4 + ·、 ， 0 ) ( < t ≤ 25 . 因为 | ( OM + ON , = 4 - 4 + ·、 )所以|( OM + ON, = OM2 + ON2 + OM . ON = 4 - 4 (16m2 + 25)+ 4 · 1 1 ( 1 1 ) 2 5 45 t 在(|(0, 」 (7)|上单调递减，所以((| + ), 2 ≥ - × + J1- = - + = .所以故 D 正确.故选：ACD 15 ．1【详解】 在△MF1F2 中，连接F1I, F2I ，因I 是△MF1F2 的内心，则F1I, F2I 分 ( MI MF MF MI MF + MF IN F 1 N F 2 N IN F 1 N + F 2 N )别平分上MF1F2 和上MF2 F1 ， 由角平分线分线段成比例定理得： = 1 = 2 ，则 = 1 2 ， 因为MF1 + MF2 = 2 a, F1N + F2 N = F1F2 = 2 c，所以 又因为椭圆的离心率e = ，所以e .故答案为：1. 【详解】因为椭圆方程为 则a = 2, b = , c = 1 ，设 PF2 = m ，则 PF1 = 4 - m ， 又点P 是椭圆上异于左右顶点的一点，则1 = a - c < m < a + c = 3 ，在F1PF2 中， 由余弦定理知， 所以cosα + cos β+ cosy = + + - = = 3 + - ， 因为1 < m < 3 ，则-4 ≤ m2 - 4m < -3 ，所以 所以cosα + cos β+ cosy 的取值范围为(|(1, 」 (7)| ，故答案为： . 17 ．【详解】（1）因为点( , 1)在椭圆上，所以 又椭圆C a > b > 0) 的焦距为2s2 ，所以2c = 2·、i2 ，即c = s2 . 又因为a2 = b2 + c2 = b2 + 2 ，所以 解得b2 = 2 或b2 = -1 （舍去）；所以椭圆C 的方程 . （2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x = 0 ，此时M ， O ， N 三点共线，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y = kx - 2 ，M (x1, y1 ), N (x2, y2 ) ， 与椭圆方程联立 ，消去y 得 展开并整理得(1+ 2k2 )x2 -8kx + 4 = 0 ，则Δ = (-8k )2 - 4(1+ 2k2 )×4 > 0 ，所以k 或k 所以x1 + x x1x 所以 MN 点 O 到直线y = kx - 2 的距离d 所以SMON MN ×d 所以32k2 -16 = 2 + 8k2 + 8k4 ， 所以4k4 -12k2 + 9 = 0 ，所以(2k2 - 3)2 = 0 ，所以k2 = ，即k 所以直线方程为y x - 2 ，所以弦长MN 18 ．【详解】（1） 由椭圆 C : + = 1(a > b > 0) 的离心率为 ，得e 则ba2 ，由椭圆C 过点 解得a2 = 4,b2 = 3 ，所以椭圆C 的标准方程是 （2）（i）记A(x1,y1),B(x2,y2 )，依题意， y1 > 0, y2 < 0 ， ( 则 k + k = y 1 + y 2 = 2 my 1 y 2 - 3 ( y 1 + y 2 ) = + = 0 ， )设直线 AB 的方程为l : x = my +1 ，代入椭圆方程得： (3m2 + 4)y2 + 6my- 9 = 0，则有y1 + yy1y ① , 设AP 与BP 的斜率分别为k1 , k2 ， 1 2 x1 - 4 x2 - 4 (my1 - 3 )(my2 - 3 ) (my1 - 3 )(my2 - 3 )所以上APF = 上BPF . （ii）设T(x0,y0)满足 BM (AM) = BF (AF) = BT (AT) ，则 = ② , 将x1 =my1 +1,x2 =my2 +1代入② , 并化简得x0 (2) + y0 (2) - 2x0 (1+ m . ) - 2y0 . + 2m . +1 = 0 ③ ,将（2）中①代入③得： xy0 + 4 = 0 ， ( 5 2 3 2 9 9 3 )即(x0 - 2) + (y0 - 2 m) = 4 m 2 + 4 ，又直线AB 和直线x = 4 的交点为R(4, m ) ， ( AM AF AT BM BF BT )因此满足 = = 的T 点都在以FR 为直径的圆上，又R, P, F, M, N 都在以FR 为直径的圆上，则 ( = = ， NF 是 上 AN B 的角平分线，则 S ANF + S BNF = S ABN ， )AT AF AN BT BF BN | NA || NF | sin上ANF + | NB || NF | sin上BNF =| NA || NB | sin上ANB ，于是 ( 1 1 2cos 上 ANF ·、 ·、 1 ) ( NA NB NF NF 2 2 ) ( . )则 + = = ，解得cos上 ANF = ，所以cos 上ANB = 2 cos 2 上ANF -1 = 寒假作业（五） 双曲线 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A C D B B C D ABC AB ACD BCD 15、4 【部分题目详解】 5.【详解】 由题，不妨取点P 为右支上的点，设 PF1 = m, PF2 = n, 上F1PF2 = θ , 根据双曲线的定义知： m - n = 2a ， 在三角形F1PF2 中， 由余弦定理可得： cos 又因为 . = -a2 可得mn cosθ = -a2 ，即m2 + n2 = 4c2 - 2a2 ， 又因为m ≥ a + c, n ≥ c - a ， 所以(c + a)2 + (c - a)2 ≤ 4c2 - 2a2 → c 2 ≥ 2a2 , 即e2 ≥ 2 ， : e ≥ 、 . 故选：B. 6.【详解】 由题意可知c = 3 ， a = 2 ，b = ·、 ， 可得双曲线C 的方程为 ，渐近线方程为 、x ± 2y = 0 ，如图，设点P 的坐标为(m, n)， 则 化简可得5m2 - 4n2 = 20 ， ( · m - 2 n ·、 + 2 n 5 m 2 - 4 n 2 3 3 9 ) ( 20 9 )由点到平面的距离公式得PM . PN = 、 × = = . 故选：B. 7.【详解】 由题意可得图象如图， CD 是双曲线的一条渐近线y = x ， 即bx - ay = 0 ， F (c, 0) ， AC 丄 CD ， BD 丄 CD ， FE 丄 CD ，则四边形 ACDB 是梯形，F 是AB 的中点， ( 2 )EF = d1 + d2 = 4 ， EF = bc = b ，所以b = 4 ， 双曲线 - = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 ， 可得 c = ·、i3 ，可得： a2 2 = 3 ，解得a = 2·、i ， a a 则双曲线的方程为 故选：C． 8.【详解】设双曲线的左焦点为F1 ，连接MF 、 PF1 、 NF1 、MF1 ，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形PF1MF 为平行四边形，又因为 . = 0 ， 所以 PF 丄 MF ，所以四边形PF1MF 为矩形， 设 NF = t (t > 0) ，因为 则 MF = 3t ， 由双曲线的定义可得NF1 = 2a + t ，则 MF = PF1 = 3t ， PF = 3t - 2a ， 又因为ΔPF1N 为直角三角形，所以PF1 2 + PN2 = F1N 2 ，所以9t2 + (4t - 2a )2 = (2a + t)2 ，解得t a ， ( 5 a a ) ( 1 2 , 2 )所以PF = PF = ， 又因为ΔPFF1 为直角三角形， FF1 = 2c ， 所以PF2 + PF1 2 = FF1 2 ，即4ca2 ，所以 = ，即 故选：D 11.【详解】对于 A 选项，易知E : x 中实半轴长a = 1 ，虚半轴长b = ，半焦距c = = 2 ，则 E 的渐近线方程为y = ± ·、x ，故 A 正确； 对于 B 选项，易得 E 的焦距为 4 ， F1 (-2, 0)， 故圆 T 的方程为(x + 2)2 + y2 = 16 ，即T : x2 + y2 + 4x -12 = 0 ，故 B 错误；对于 C 选项，联立 可得4x2 + 4x -15 = 0 ， 故x 或x 代入x可得y ( 3 、) ( 3 ·、) 不妨令 P 在第一象限，则P(| 2 , 2 , ， Q |( 2 , - 2 , ，显然PQ = ·、i15 ，故 C 正确； 对于 D 选项，显然 ， ( 2 2 2 ) ( PF 1 + QF 1 - PQ 16 + 16 - 15 17 )故由余弦定理可得cos 上PF1Q = 2 × PF1 × QF1 = 2 × 4 × 4 = 32 ，故 D 正确．故选：ACD． 12.【详解】设焦点F(c, 0) ，一条渐近线方程为bx - ay = 0 ，则焦点F 到渐近线的距离d = = b ， 所以圆F 的半径等于焦点F 到渐近线的距离b ，A 选项错误；因为 A 为线段FD 的中点，且OA 丄 FD ， 故 OD = OF = c ，又 FD = 2b ， FB = b ， 上FBD = 90 O，所以上FDB = 30O ，故上OFA = 上OFB = 30O ， Rt△OFB 中， OF = c ， FB = b ，则 OB = a ，所以c = 2a ， 故 BD = c + a = 3a ，双曲线离心率e B ，C 选项正确；因为在 上的投影为 ，所以 . = 2 = b 2 ， 又b2 = c2 - a2 = (2a )2 - a2 = 3a2 ，故 D 正确． 故选：BCD． 16.【详解】双曲线的左准线方程为x 设P(x0, y0 ) ，在右支上，由双曲线的第二定义可知 e ，得 PF1 = a + ex0 ， 再由PF1 - PF2 = 2a ，得 PF2 = ex0 - a ，即P 在右支 ( 〔 PF = - a - ex ) ( l PF 2 = a - ex 0 )同理可得： P 在左支{ 1 0 ， PF1 . PF2 = (a - ex0)( -ex0 - a) = x20 - a2 ( a b 0 0 0 a 2 0 )又 - = 1 ， | OP |2 = x2 + y2 = x2 + b2 x2 -b2 ， ( a ( a , )PF1 . PF2 = x02 - a 2 = (|1+ b2 (2) )x02 - a 2 = b 2 - a 2+ |OP |2 ， 即 PF1 . PF2 = b2 - a2 + | OP |2 ， 又 即 = =4 +2 =6，即存在四个点P 满足4 + = 6 ，所以| OP |2 = 2b2 ， 由于OP2 > a2 ，所以2b2 > a2 ，即e ， 故答案为 17.【详解】（1） 由题意可知 解得a b = 1 ，所以双曲线C 的方程为y2 = 1 . （2）（i）当m = 0 时，易知不符合题意； 当m ≠ 0 时，联立 ，得(m2 - 2)x2 - 4x - 2 - 2m2 = 0 ， 因为直线l : x +1 = my 与双曲线C 的左支交于A, B 两点，所以 ， 解得1< m < ·、 或- ·、 < m < -1 ，故实数m 的取值范围为(1, ·、i2 ) (- , -1) . （ii）证明：设A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) ，则D(x1, -y1 ),由（i）可知x1 + x x1x 直线BD 的方程为y2+y1x2-x1 ，即 m m 令y = 0 可得x 把x1 + x x1x 代入可得x 即直线BD 恒过(-2, 0) ，所以直线BD 过x 轴上一定点，该定点的坐标为(-2, 0) . 18.【详解】（1） 由已知得： y2 = 2 ，所以 化简可得： x ，即动点E 的轨迹为双曲线x （2）因为 所以sin上PMF = sin上QMF ，即上PMF = 上QMF ，所以kPM + kQM = 0 ． 显然过点F 的动直线不与 x 轴重合，故设直线方程为x = my + 2 ， P (x1, y1 ) ， Q (x2, y2 ) ，M (t, 0)， 联立 ，可得(3m2 -1)y2 +12my + 9 = 0 ， 首先有3m2 -1≠ 0 ，且Δ > 0 ， 由韦达定理得y1 + y y1y 因为kPM + kQM = 0 ，所以 即 整理得2my1y2 + (2- t)(y1 + y2 ) = 0 ， 所以2m 化简得18m +(-12m)(2- t) = 0 ，当m = 0 时，方程恒成立，当m ≠ 0 时，解得t 故在x 轴上存在点M ，使得 ． 寒假作业（六）抛物线 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A D C C B C B BCD BC ABD BCD 13、 14、8 15、12x — 6y — 5 = 0 16、 【部分题目详解】 6 ．【详解】 由题知点 A(4, 4) 在抛物线E : y2 = 2px(p > 0) 上，故42 = 8p ，即p = 2 .所以抛物线E 的方程为y2 = 4x ，焦点为F(1, 0) ，准线方程为x = —1 ， ( 1 1 ) ( 2 2 )如图， SBCF = CF . BC sin 上FCB ， S ACF = CF . CA sin 上FCB ， BF = xB +1，AF = xA +1 所以 又由点A(4, 4) 知xA = 4 ，故xB = 1 ，所以BF = xB +1 = 2故选：B 7 ．【详解】 由题知直线l 的斜率不为0 ，故设方程为x = my + 3 ，M (x1, y1 ) , N (x2, y2 ) ， ( 〔 x = my + 3 ) ( l y = 4 x )联立方程{ 2 得 y2 — 4my —12 = 0 ，所以y1 + y2 = 4m, y1y2 = —12 ， 因为 + 4 = ， = (x1 — 3, y1 ) , = (x2 — 3, y2 ) ，所以(x1 — 3) + 4(x2 — 3) = 0, y1 + 4y2 = 0 ，即y1 = —4y2 ，所以y y1y 解得m 所以OMN 的面积为SOMN = . OA . y 1 — y 2 = ·= 2 (3) ·、= 2 (3) × 故选：C 8 ．【详解】因为AF = 8 ， 由抛物线的定义可知 A 到准线距离为8 ，即 6 + = 8 ，解得： p = 4 ，即抛物线方程为y2 = 8x ，代入点 A 坐标得m2 = 48 ，即m = ±4、 . 不妨取 A(6, 4·、) ，又F(2, 0)， 则直线AF 的斜率为k 所以直线 AF 为y = (x — 2)， 联立 ，消去y 整理得： 3x2 — 20x +12 = 0 ，解得x1 = 6 ， x2 = ，即B 点的横坐标为 ，由此可得： BF 即得： 故选：B 11 ．【详解】对于 A ， 由题意可得p = 4 ，所以抛物线 C : x2 = 8y ，所以抛物线C 的准线方程为： y = 故 A 正确； 对于 B ，设 A(x1, y1 ), B (x2, y2 ), M (x0, y0 )， 由 AB = y1 + y2 + p = y1 + y2 + 4 = 16 → y1 + y2 = 12 ，所以y 所以点M 到x 轴的距离为 6 ，故 B 正确； 对于 C ，过点A, B 分别作准线y= 2 的垂线，垂足分别为 A1 , B1 ， 过点 A 作BB1 的垂线，垂足为点H ， 由3 = ， 设 AF = t ，则 BF = 3t ，所以AA1 = AF = t, BB1 = BF = 3t ， 所以BH = 2t ，在Rt△ABH 中，有上BAH = 30。，此时直线AB 的倾斜角为30。， 根据抛物线的对称性有直线AB 的倾斜角为30。或150。，故 C 错误； 对于 D ，设直线AB : y = kx + 2 ， A (x1, y1 ), B (x2, y2 ) ， 所以 → x2 8kx 16 = 0 ， 所以x1x2 = 16 ，所以y1y 所以 所以4AF + BF4 AF + BF )= 2 (||(5 + + ≥ 2((|5 + 2· ), = 18 ，当且仅当 ，即 BF = 2 AF = 6 时，等号成立，故 D 正确； 故选：ABD. 12 ．【详解】不妨设P 位于第一象限，又n2 < 8m ，所以点 P 位于抛物线下方，如下图所示，利用抛物线的光学性质可知AB 过焦点F(2, 0) ， AF = x1 + 2, BF = x2 + 2 ， 设直线AB 方程为x = ky + 2 ，与抛物线方程联立有y2 — 8ky —16 = 0 ，则 k ，对于 A 项， (y1y2 )2 = 8x1 .8x2 , : x1x2 = 4 ，故 A 错误； 对于 B 项，若P(4, 2) ，则y1 = 2, :x 由上可知x2 = 8 ， ( 1 25 2 2 )所以AB = AF + BF = x1 + 2 + x2 + 2 = 12 + = ，故 B 正确； 对于 C 项， 由 A 知： AF + 4BF = x1 + 4x2 +10 ≥ 2 · +10 = 18 ， 当且仅当x1 = 4x2 = 4 时取得最小值，故 C 正确； 对于 D 项，易知D(—2, y1 ) ，且OD, OB 的斜率存在， 所以kDO kOB kOD ，所以B , O , D 三点共线，故 D 正确.故选：BCD 16 ．【详解】设M(x1, y1 ) ， N (x2, y2 ) ， 由抛物线定义得MF = xNF = x 又 MN = ·、1+k FM — FN : = MN 故答案为： . x 1 — x2 = 、2 x 1 — x2 ( ( p ) ( p ) ) ( 2 x 1 x 2 )|(x1 + 2 , — |(x2 + 2 , — , 2 . = 2 17 ．【详解】（1） 点 A(2, y0 ) 为抛物线上一点，且| AF |= 4 ，根据抛物线的定义可得2 + = 4 ，解得p = 4 ， :抛物线的标准方程为y2 = 8x . （2）不过原点的直线l： y = x + m 与抛物线交于不同两点 P，Q， 设P(x1, y1 ), Q (x2, y2 ) ，联立得m ，得x2 + (2m — 8)x + m2 = 0 ， :Δ = (2m —8)2 — 4× 1 × m2 = —32m + 64 > 0，解得m < 2 . 由韦达定理，得x1 + x2 = 8 — 2m ， x1x2 = m2 ， 又 . = 0 ， : x1x2 + y1y2 = 0 ， 又两点 P ，Q 在直线 l： y = x + m 上， : y1 = x1 + m, y2 = x2 + m 故上式化为x1x2 + (x1 + m)(x2 + m) = 0 ，化简得2x1x2 + m(x1 + x2 ) + m2 = 0 ， 把韦达定理代入，得2m2 + m(8 — 2m) + m2 = 0 → m2 + 8m = 0 ，解得m = 0 或m = —8 ， 直线 l 不过原点， : m ≠ 0 ， 故 m 的值为 —8 . 18 ．【详解】（1） 由抛物线的定义可得PF = xP 解得p = 2 ，所以抛物线方程为： y2 = 4x ； 设M 直线l 的方程为y = —x + m ，则 m 消去x 可得y2 + 4y — 4m = 0 ， 故Δ = 42 — 4× 4 . (—m) = 16m +16 > 0 ，则m > —1 ，所以y1 + y2 = —4, y1y2 = —4m ， 则 MN = · . y1 — y2 = ·、i2 . · = ·、i2 × · = 4·、i2 × vm +1 = 8 ，解得m = 1，检验符合题意，故直线l 的方程为y = —x +1； （3）证明：因为点P(1, y0 )(y0 > 0)在抛物线C : y2 = 4x 上，所以y0 = 2 或y0 = —2 （舍），故P(1, 2)，由 可得k 所以k1 + k 因为y1 + y2 = —4, y1y2 = —4m ，所以k 即k1 + k2 为定值. 寒假作业（七）等差数列 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C B D A A B BCD BC AC AD 13、 18 14、 ; 15、 6 16、Tn 为 (为)奇 (偶)数 (数) 【部分题目详解】 7 ．A 【详解】当n ≥ 2 时， 由an Sn Sn-1 ，可得an = Sn - Sn 因为各项均不为零，所以Sn - Sn-1 ≠ 0 ，可得Sn - Sn-1 = 2 ， 所以数列{Sn }是首项为S1 = a1 = 2 ，公差为 2 的等差数列，所以Sn = 2 + 2(n -1) = 2n, S2026 = 2026× 2 = 4052 . 8 ．B 【详解】因为数列{an }满足a1 = ， 可得 ， 可得数列是首项为 3 ，公差为 1 的等差数列，则 = 3 + n -1 = n + 2 ，即an 则a1a2 a3 . . . an ( n 4 n + 2 4 )可得a1 + a1a2 + a1a2 a3 + . . . + a1a2 a3 . . . an = 2 |(( - + - + - + . . . + - ), = 2 - ,) = 1 - ，因为a1 + a1a2 + a1a2 a3 + . . . + a1a2 . . . a ≤ 3 ，可得 2 ≥ 1 ，解得n ≤ 6 ，即所求n 的最大值为 6. 故选：B. 9 ．BCD 【详解】解： 由题意，等差数列{an } 的公差d ≠ 0 ，前n 项和为Sn ， 因为S7 = S12 ，可得S12 - S7 = a8 + a9 + a10 + a11 + a12 = 5a10 = 0 ，即a10 = 0 ，对于 A 中， 由a10 = 0 ，可得a1 + 9d = 0 ，所以a1 = -9d ，所以 A 不正确； 对于 B 中， 由等差数列的前n 项和公式，可得Sa10 = 0 ，所以 B 正确； 对于 C 中，若d > 0 ，数列{an }为递增数列，且a10 = 0 ，可得a11 > 0 ，则a6 < 0, a15 > 0 ， 由a15 + a6 = a10 + a11 > 0 ，即-a6 < a15 ，所以 a6 < a15 ； 若d < 0 ，数列{an }为递减数列，且a10 = 0 ，可得a11 < 0 ， 所以a6 > 0, a15 < 0 ， 由a15 + a6 = a10 + a11 < 0 ，即a6 < —a15 ，所以a6 < a15 ，综上可得， a6 < a15 ，所以 C 正确；对于 D 中，当d > 0 ，数列{an }为递增数列，且a10 = 0 ，可得a11 > 0 ，可得a15 + a6 = a10 + a11 > 0 ，所以 D 正确.故选：BCD. 10 ．BC 【详解】A 选项，设公差为d ，则 解得 故an = a1 + (n —1)d = —8 + n —1= n — 9 ， a7 = —2 < 0 ，A 错误； B 选项，因为d = 1 > 0 ，故{an }为单调递增数列，B 正确； C 选项，Sn = —8n n ，令Sn > 0 得n > 17 或n < 0 （舍去），故使Sn > 0 的n 的最小值为 18 ，C 正确； D 选项， an = n — 9 ，当n ≤ 8 时， an < 0 ，当n = 9 时， an = 0 ，当n > 9 时， an > 0 ，故当n = 8 或 9 时， Sn 最小，D 错误.故选：BC 11 ．AC 【详解】因为{an } 是等差数列， a3 + 12a7 = S12 ， 所以a1 + 2d +12(a1 + 6d ) = 12a1 + d ，即a1 + 8d = 0 ，亦即a9 = 0 ，故 A 正确； 所以S18 = = 9(a 1 + a1 8) = 9(a 8+ a 9) = 9a 8 ， a8 的值无法确定，故 B 错误； S11 — S6 = a7 + a8 + a9 + a10 + a11 = 5a9 = 0 ，则S6 = S11 ，故 C 正确； a8 . a10 = (a9 —d )(a9 + d ) = a9 (2) —d2 = —d2 ≤ 0 ，故 D 错误． 故选：AC． 12 ．AD 【详解】对于 A ，当 λ = —1 时， an+1 — an = —2 ，数列{an }为等差数列，A 正确；对于 B ， = = — n+ 1+ a1 ，则{} 是公差为 —1的等差数列，B 错误； 对于 C ，当λ = 1 时， an+1 + an = 2 ，则an+1 —1= —(an —1) ， an —1 = (—1)n—1(a 1 —1) ，因此a2025 —1 = (—1)2024 (a1 —1) = a1 —1 ， a2025 = a1 = 2 — a2 ，C 错误； 对于 D ， S2024 = (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + + (a2023 + a2024 ) = 1012× 2 = 2024 ，D 正确. 故选：AD 14． 11 19 17 22 【详解】若 = ，则 = = = ；若 = = ，则可设Sn = (2n2 — n )k ，Tn = (3n2 + n )k 所以a5 = S5 — S4 = 45k — 28k = 17k ，b4 = T4 —T3 = 52k — 30k = 22k ，所以 ，故答案为： ； 15 ．6 【详解】设等差数列{an } 的公差为d ，所以等差数列{an } 的前n 项和为Sn = na1 + d， 则 = a1 + d = n + a1 — ), ， = (n +1) + a1 — ,) ， — = ，所以数列{l (〔) 是等差数列，公差为 . 因为 > ，所以数列{l (〔) 单调递减，所以 < 0 ，即d < 0 ，所以等差数列{an }单调递减. ( 〔 S n ) S 11 S 13 )因为数列{l n ,} 单调递减，所以 11 > 13 ， 因为d = a1 + 5d = a 6 ， = a1 + d = a1 + 6d = a 7 ，所以a6 > a7 . 因为等差数列{an }单调递减，且a6a7 < 0 ，所以a6 > 0, a7 < 0 ，所以当n = 6 时， Sn 取最大值. 故答案为：6 为 (为)奇 (偶)数 (数) ( 1 2 1 )【详解】 Sn = 2 n + 2 n ，当n = 1 时， a1 = S1 = 1 ， 当n ≥ 2 时， an = Sn — Sn—1 = n2 + n — )2 + ) = n ，满足a1 = 1， :an = n ， ( ( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 n ) ( 当 n 为偶数时， T n = — |( 1+ 2 , + (| 2 + 3 , — | ( 3 + 4 , + + |( n + n + 1 , = — 1 + n + 1 = — n + 1 ， ) 当n 为奇数时， Tn = — 1+,) + +), — (|( +,) + — |(( +1), = —1 —1 = —nn 1 (2)， 故答案为为 (为)奇 (偶)数 (数) 17 ． 【详解】（1） 由nan — (n —1)an+1 = 1 ， ①当n ≥ 2 时， (n —1)an—1 — (n — 2)an = 1 ． ② ①-② , 得(2n — 2)an — (n —1)(an—1 + an+1 ) = 0 ， 又n ≠ 1 ，则2an = an—1 + an+1 ．即an+1 — an = an — an—1 (n ≥ 2) ，故数列{an }是等差数列． （2） 由nan — (n —1)an+1 = 1 ，令n = 1 得a1 = 1， 由a4 — a2 = 4 ，可知等差数列{an } 的公差d = 2 ，所以an = 2n —1 ． 设bn = an — 8 = 2n — 9 ，则数列{bn }为递增数列，其前 4 项为负，从 5 项开始为正，设bn 的前 n 项和为Pn ， 若n ≤ 4 ， Tn = b1 + b2 + . . . + bn = — (b1 + b2 + ...+ bn ) = —Pn = 8n — n2 ． 若n ≥ 5 ， Tn = a1 + a2 + . . . + an = — (a1 + a2 + a3 + a4 ) + (a5 + ...+ an ) = —P4 + (Pn — P4 ) = Pn — 2P4 = n2 —8n + 32 ．综上，当n ≤ 4 时，Tn = 8n — n2 ；当n ≥ 5 时， Tn = n2 — 8n + 32 ． 18 ．【详解】（1）因为a1 + 3a2 ++ (2n —1)an = n ， ①故当n ≥ 2 时， a1 + 3a2 + +( 2n — 3) an— 1 = n —1． ② ①— ②得(2n —1)an = 1 ，所以an 又当n =1 时， a1 = 1 符合an ，从而{an } 的通项公式为（2）记 的前 n 项和为Sn ， 由（1）知 则Sn 寒假作业（八）等比数列 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B C A A B C BC BD AC AD 3 13、 1 14、 · 15、 2 16、64 【部分题目详解】 8.【详解】在等比数列{an } 中， 由Sn = 2n + p ，得a1 = S1 = 2 + p ， a2 = S2 - S1 = 22 + p -2 - p = 2 ， a3 = S3 - S2 = 23 + p - 22 - p = 4 ，因此公比q p = a ，解得p = -1， 此时Sn n -1 ，符合题意，所以p + q = -1+ 2=1 . 故选：C. 10.【详解】设 {an } 的公比为q(q ≠ 1) ，数列{an }递增， a1 = 1 ，所以q > 1 ， 因为S3 = a 所以 解得q = 或q = （舍去），因为a1 = 1 ，所以an = a1q nn-1 ， a A 错误； Sn n -2 ， S B 正确； lnan = lnn-1 = ln n . lnln 所以数列{ln an }是等差数列，且公差为ln ，C 错误； 所以{Sn + 2}是首项为 3 ，公比为 的等比数列，D 正确. 故选：BD 11.【详解】对于选项 A： {an }是等差数列，设其公差为 d， 因为S2 = a1 + a2 ， S4 - S2 = a3 + a4 = a1 + a2 + 4d ， S6 - S4 = a5 + a6 = a1 + a2 + 8d则2(S4 - S2 ) = S2 + (S6 - S4 ) 所以S2 ， S4 — S2 ， S6 — S4 ， 成等差数列，故 A 正确； 对于选项 B：例如an = (—1)n ，则S2 = a1 + a2 = —1+1 = 0 ，可得S2 ， S4 — S2 ， S6 — S4 不成等比数列，故 B 错误； 对于选项 C：例如周期数列1, 0, —1, 0, 1, 0, —1, 0, . . . ，满足an+1 — an = 1 ，且a1 = 1，此时S102 = 25× (1+ 0 —1+ 0) +1+ 0 = 1 ，故 C 正确； 对于选项 D：因为an+1 — an = 1 ，且a1 = 1 ，所以该数列的项奇偶交替，且为整数， 而前4k +1 项包含2k + 1个奇数， 2k 个偶数，这些项的和为奇数，而S4k+1 = 100 为偶数，矛盾，故 D 错误； 故选：AC 12.【详解】设首项为a1 ，因为数列{an }是等比数列，公比为q ， 1 1 所以an = a1qn—1 ， an+1 = a1qn ，则 1 1 = n—1 ， an a1q 1 1 对于 A 为等比数列，故 A 正确， 1 1 对于 B ，令a1 = 1 ， q = 2 ，则an = 2n—1 ， 1 n—1 1 1 即an + an = 2 + 2n—1 ，而a1 + a1 = 1+1 = 2 ， 得到 则 不为等比数列，故 B 错误， 对于 C ，当an < 0 时， {log2 an } 无意义， 则{log2 an } 不一定为等差数列，故 C 错误，对于 D ，当n = 1 时， S1 = a1 = 1 + r ， 当n ≥ 2 时， Sn — Sn—1 = an = 3n—1 +r — (3n—2 + r )= 2 × 3n—2 ， 故a1 = 2 × 31—2 = ，则1+ r = ，解得r = — ，故 D 正确.故选：AD 17.【详解】（1） 由已知有a2 = 1 + d ， a5 = 1 + 4d ， a14 = 1 + 13d ，则(1 + 4d)2 = (1 + d)(1 +13d) ，解得d = 2(d > 0) ， 故an = 1+ (n -1) . 2 = 2n -1 ．又b2 = a2 = 3 ，b3 = a5 = 9 ， 则数列{bn } 的公比为 3 ，故bn = 3.3n-2 = 3n-1 ． （2） 由 an+1 得当n ≥ 2 时， an ．两式相减得当n ≥ 2 时， an+1 - an = 2 ， cn = 2bn = 2 .3n-1 又当n = 1 时， a2 ， c1 = 3 ， 所以cn 18.【详解】解：（1）因为Sn + n = 2an (n ∈ N*) ①当n = 1 时， a1 +1 = 2a1 得a1 = 1． 当n ≥ 2 时， Sn -1 + n -1 = 2a n-1 ② , ①②两式相减得an = 2an - 1 + 1(n ≥ 2)即an +1 = 2 (an-1 +1)(n ≥ 2) ， 所以数列{an +1} 是以 2 为公比，以 2 为首项的等比数列， （2） 由（1）知an +1 = 2n(n ∈ N*) ，即an = 2n -1(n ∈ N*) ． 则Tn = b1 + b2 + … + bn = |((1 - ), + (|( - ,) + … + - ), = 1 - ， 寒假作业（9）数列的通项与求和 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C B A B A D A BC BD ACD ACD 13、 14、 15、 an = 2 .3n-1 -1 16、2n - 1 ； 部分题目详解： 6 ．答案：A 详解：数列{an }满足a1 + 2a2 + 3a3 + + nan = 2n -1(n ∈ N, n ≥ 1) ①, 当n = 1 时， a1 = 2 × 1-1 = 1 ；当n ≥ 2 时， a1 + 2a2 + 3a3 + + (n -1)an-1 = 2 (n -1) -1 = 2n - 3 ② , ( 〔 1 l n l n ( n + 2 ) , n ≥ 2 )①- ②得nan = 2 ， : an 又因为a1 = 2 × 1-1 = 1 ，不满足上式，故an = {〔n,n=2 ， : = { 3，2 (n) = 1 当n ≥ 2 时， 设数列{l (〔) 的前 9 项和为S9 , 则S9 = + (|( - ), + |(( - ,) + |(( - ,) + + (|(9 (1) - 1,) = + + - - = ，故选： A . 7 ．答案：D 详解： an+1 = 2an + 2 ，所以an+1 + 2 = 2 (an + 2) ，所以{an + 2} 是以a1 + 2 = 4 为首项、2 为公比的等比数列，所以an + 2 = 4 × 2n-1 ，所以bn = (n - λ)log2 (an + 2) = (n - λ)(n +1) = n2 + (1- λ)n - λ , 若数列{bn }是递增数列，则bn+1 > bn 恒成立，所以bn+1 -bn = (n +1)2 + (1- λ)(n +1) - λ - n2 + (1- λ)n - λ = 2n +1+1- λ = 2n + 2 - λ> 0 恒成立，所以 λ < 2n + 2 恒成立，所以λ< (2n + 2)min = 4 ，所以实数λ 的取值范围是(-∞, 4) .故选：D. 8.答案：A 详解：因为an an 所以2 an+1 = n2 an + n +1 ，即(n +1)2 an+1 - n2 an = n +1 ，所以当n ≥ 2 时， n2 an = n2 an - ( n -1)2 an-1 + ( n -1)2 an-1 -( n -2) 2 an-2 + +( 2 2 a2 -12 a +12 a1 = n +( n -)1 + + = n (n +1) ，所以a = n +1 ， a1 = 1 也满足，所以 a = n +1 ， n ∈ N+ ， 2 n 2n n 2n 所以ta + n + 41+1 ≥ 0 恒成立，即-t ≤ n2 + 2n + 82 ， n 2 n n +1 因为 当且仅当n = 8 时，等号成立，所以-t ≤ 18 ，即t ≥ -18 ，所以实数 t 的取值范围是[-18, +∞) ，故选：A 10 ．答案：BD 详解：设{an } 的公比为q(q ≠ 1) ，数列{an }递增， a1 = 1 ，所以q > 1 ， S 19 ( 1) ( 1 ) 19 3 2 ( a 2 6 ( q , ( q , 6 2 3 )因为 3 = , S3 = a2 | 1 + q + ，所以|1+ q + = ，解得q = 或q = （舍去）， 因为a1 = 1 ，所以an = a1qn—1 = (|( ), n—1 ， a3 = ，A 错误； lnan = ln(|( ), n—1 = (n —1)ln = n . ln — ln ，所以数列{ln an }是等差数列，且公差为ln ，C 错误； 所以{Sn + 2}是首项为 3 ，公比为 的等比数列，D 正确.故选：BD 11 ．答案：ACD 详解： 已知a1 = 2 ，根据递推公式an+1 + (—1)n an = 2n ，分n 为奇数和偶数讨论： 当n = 1 （奇数）时： a2 — a1 = 2 × 1 ，即a2 = a1 + 2 = 2 + 2 = 4 ； 当n = 2 （偶数）时： a3 + a2 = 2 × 2 ，即a3 = 4 — a2 = 4 — 4 = 0 ； 当n = 3 （奇数）时： a4 — a3 = 2 × 3 ，即a4 = a3 + 6 = 0 + 6 = 6 ； 当n = 4 （偶数）时： a5 + a4 = 2 × 4 ，即a5 = 8 — a4 = 8 — 6 = 2； 当n = 5 （奇数）时： a6 — a5 = 2 × 5 ，即a6 = a5 + 10 = 2 + 10 = 12 ； 当n = 6 （偶数）时： a7 + a6 = 2 × 6 ，即a7 = 12 — a6 = 12 —12 = 0 ； 当n = 7 （奇数）时： a8 — a7 = 2 × 7 ，即a8 = a7 + 14 = 0 + 14 = 14 ； 选项 A：计算前8 项和： a1 + a2 + + a8 = 2+ 4+ 0+ 6+ 2+ 12+ 0+ 14 = 40 ，因此选项 A 正确； 选项 B：观察奇数项规律： a1 = 2, a3 = 0, a5 = 2, a7 = 0, ，发现奇数项以2, 0 为周期循环， 因为2025 是奇数， 2025 = 2 × 1012 +1 ，对应周期中的第1项，即a2025 = a1 = 2 ≠ 0 ，因此选项 B 错误； 选项 C：分析偶数项{a2n } ，当n 为奇数时， a2(n+1) — a2n = 2 ；当n 为偶数时， a2(n+1) — a2n = 6 ， 由于a2(n+1) — a2n 恒为正数，所以数列{a2n }单调递增，C 正确；选项 D：奇数项： a1 = 2, a3 = 0, a5 = 2, a7 = 0, ，周期为2 ，即a2n—1 是周期为2 的周期数列，因此选项 D 正确.故选：ACD. 12 ．答案：ACD 详解： 由题意知an+1 — an = —2n + 11 ， 当n ≥ 2 时， an = + 经检验n =1 也满足上式，所以an = —n2 +12n ，即a3 = 27 ，故 A 正确； 对于 B ，令an ≥ 0 ，解得1≤ n ≤ 12 ，所以n =12 时， Sn 取得最大值，故 B 错误； 对于 C ，令an+1 — an < 0 ，解得n > ，又n ∈ N* ，所以n ≥ 6 ，所以a6 > a7 > a8 > > an ，故 C 正确； 对于 D ，当n ≤ 7 时， 当n ≥ 8 时，bn = = =— ——5),， 则Tn = + × 1 — + — + — + + — — — ,) = + × |(( — — — — ), < + = ，故 D 正确.故选：ACD 三、填空题 15．答案：an = 2 .3n—1 —1 详解：由an+2 + 3an = 4an+1 得：an+2 — 3an+1 = an+1 — 3an ，又a3 — 3a2 = 17 —15 = 2 ，所以数列{an+1 — 3an }是各项均为 2 的常数列，所以an+1 = 3an + 2 ，即an+1 +1 = 3(an +1) ，又a2 — 3a1 = 5 — 3a1 = 2 ，所以a1 = 1 ，所以a1 +1 = 2 ，所以数列{an +1} 是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，所以an +1 = 2 .3n—1 ，所以an = 2 .3n—1 —1 . 16 ．答案： 2n —1 ， 详解：设每次插入项的个数构成数列{bn } ，则b1 = 1, b2 = 2, b3 = 4, ， 所以数列{bn }是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列，而数列{bn } 的前 n 项和为 k ，所以k n — 1 ， an+1 = log2 (1 × x1 × x2 ×× xk × 2). (1 × x1 ). (x1 × x2 ) (xk—1 × xk ). (xk × 2) 由an +1 = 3an — 1 知， an 所以数列{l (〔)an — 是以 为首项，3 为公比的等比数列，所以an — = .3n—1 = .3n ，即an 所以 ( 「( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )7 ( 1 1 ) 1 2 )故其前 n 项和为2|L|( 4 — 10, + |( 10 — 28, + + |( 3 n +1 — 3 n +1 +1,」| = 2 (| 4 — 3 n +1 +1, = 2 — 3 n +1 +1 ．故答案为： 2n 17 ．答案：(1) an = n ，bn = 2n -1 (2)证明见解析 详解：（1）设等差数列{an } 的公差为d ，因为a2 + a10 = 12 ， a8 = 8 ，所以 即 解得 ， an = 1+ (n -1)×1 = n ，所以数列{an } 的通项公式an = n ； 因为bn+1 = 2an + bn ，所以bn+1 = 2n + bn ，所以bn+1 -bn = 2n ， 又b1 = 1 ，适合上式，所以{bn } 的通项公式为： bn = 2n -1； （2） 由（1）知an = n 和bn = 2n -1 ，得： cn 两式相减得Sn Sn 所以Sn 因n ∈ N* ，则Sn < 2 ， 当n ≥ 2 时， Sn - Sn Sn 单调递增，又S 所以 Sn < 2 . 18． 详解：（1）因为函数f 所以an+1 = f 所以数列是以 为首项， 为公比的等比数列. （2） 由（1）可知n-1 → 所以 （3） 由（2）可知： Tn n ，所以由 因为n ∈ N* ，所以由 → k 设bn 由bn+1 -bn 由二次函数性质可知：当 n ∈ N* 时，函数g(n 是减函数， g (1) = 3 > 0 ， g (2) = -3 < 0 ，于是有n > 1, n ∈ N* 时， g (n 所以b2 > b1 ，b2 > b3 > b4 > > b n ，因此(bn )max = b ，存在n ∈ N* ，使得 成立，则有k ≤ ,因此实数 k 的最大值 . 寒假作业（10）导数的概念、计算及几何意义 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A D A A B C AC AC CD BD 13、 和[1, +∞) 16、4050 部分题目详解： 7 ．B【详解】令 f (x ) = 0 ，可得ex = 2x +b.因为函数f (x)恰好有一个零点x0 ，所以由指数函数图象可知，直线y = 2x +b 与曲线g(x) = ex 相切. 易知g, (x ) = ex ，设切点坐标为(x0, ex0) ，则2 = ex0 ，解得x0 = ln2 . 又切点(ln2, 2) 在切线y = 2x +b 上，所以b = 2 - 2ln2 ，所以x0 + b = ln2 + 2 - 2ln2 = 2 - ln2 .故选：B 8 ．C【详解】设y = ex-1 的切点为(x1, ex1 -1 ) ， y = x2 的切点为(x2 , x2 (2) ) ， y, = (ex-1 ), = ex-1 ， y, = (x2 ), = 2x ，所以y = ex-1 在(x1, ex1 -1 ) 处的切线方程为y = ex1 -1 (x - x1 ) + ex1 -1 ，即y = ex1 -1x + (1- x1 )ex1 -1 ， y = x2 在(x2 , x2 (2) ) 处的切线方程为y = 2x2 (x - x2 ) + x2 (2) ，即y = 2x2x - x2 (2) ，故ex1-1 = 2x2 且(1- x1 )ex1 -1 = -x2 (2) ， 故 ex1 -1 = x 即4(x1 -1) = ex1 -1 ，令x1 -1 = t ，构造f (t ) = 4t - et ，则f, (t ) = 4 - et ，当t (ln 4, f, (t ))0, f (t ) 在区间(-∞ , ln 4) 单调递增， t > ln 4, f, (t ) < 0, f (t ) 在区间(ln 4, +∞) 单调递减， 故f (t )max = f (ln 4) = 4 (ln 4 -1) > 0 ，且当t → -∞, f (t ) → -∞ , t → +∞, f (t ) → -∞ ,故f (t ) = 4t - et = 0 有两个不相等的实数根，故公切线的条数为 2 ，故选：C 11 ．CD【详解】 由导函数f, (x ) 的图像可知， x ≤ 3 时， f, (x) ≥ 0 ， f (x)在(-∞, 3] 上单调递增，当x > 3 时， f,(x) < 0 ， f (x)在(3, +∞) 上单调递减，则f (x)在(2, 3) 上单调递增，故 A 错误， x = 0 不是f (x) 的极小值点，故 B 错误， x = 3 是f (x)的极大值点，故 C 正确， 由导函数f, (x ) 的图像可知f, (2) = 2 ，所以曲线y = f (x)在x = 2 处的切线斜率为 2 ，故 D 正确．故选：CD． 12 ．AD【详解】对于 A： f (x) = x2 - x, f, (x) = 2x -1 ，因为 x2 + x1 - 1 所以f (x) = x2 - x 是“对称导数函数” ，故 A 正确. 对于 B： f = lnx ,f , 令 得ln ln t 则g, 所以g (t ) 为增函数，又g (1) = 0 ， 所以g(t ) = 0 在(0, 1) (1, +∞) 上无实数解，所以f (x) = lnx 不是“对称导数函数” ，故 B 错误.对于 C： f (x) = ex , f, (x) = ex ，令 即e - e = x2 - x1 ，令g (x) = ex - e-x - 2x ， 则g, (x) = ex + e-x - 2 ≥ 0, g(x)是增函数，又因为g(0) = 0 ，所以g(x)有唯一零点 0，所以e -e = x2 - x1 等价于 而x1 ≠ x2 ， 所以f (x) = ex 不是“对称导数函数” ，故 C 错误. 对于 D：对于f (x) = sinx, f, (x) = cosx ，令 得 cos 因为sinx2 -sinx1 = 2cos sin 当cos 时，方程成立，所以f (x)= sinx 是“对称导数函数” ，D 正确.故选：AD 15 ． 和[1, +∞) 【详解】函数f (x) = ln x + x2 - 3x 的定义域为(0, +∞) . f, 令f, (x) ≥ 0 ，则 解得 ，或x ≥1.所以函数f (x) 的单调增区间为 和[1, +∞) .故答案为： 和[1, +∞) . 16 ． 4050 【详解】因为f (x +1012) - f(1014 - x) = 4x +1，所以f, (x +1012) + f, (1014 - x) = 4 ，所以y = f,(x) 的对称中心为(1013, 2) ，又因为1+ 2025 = 2 + 2024 = . . . = 1012 +1014 = 1013× 2 ，所以f,(1) + f,(2025) = f,(2) + f,(2024) = . . . = f,(1012) + f,(1014) = f,(1013)×2 = 4 ， 所以 f, + ... + f f, = 1012× 4 + 2 = 4050 ，故答案为： 4050 . 17 ．(1) f (x) = x2 + 2 ；(2)4x - y - 2 = 0 ；(3) 【详解】（1） 由函数f (x) 的图象与y 轴交于(0, 2) 可得c = 2 ，由f (1) = 3 可得b+ 3 = 3 ，解得b = 0 ，所以函数f (x) = x2 + 2 ； （2） 由（1）可知f (2) = 6 ，求导可得f,(x) = 2x ， 所以函数f (x)在点(2,f (2))切线斜率为 f, (2) = 4 ，故切线方程为4x -y - 2 = 0 ； （3） g (x ) = f (x )- kx = x 2 - kx + 2 ， g (x ) 在[0, 3] 上有两个不同零点， 需满足： ① 判别式 Δ > 0 ； ② 对称轴在区间(0, 3) 内； ③ 区间端点函数值非负； 所以 Δ = k2 -8 > 0 ，解得k > 2、i2 或k < -2v2 ；对称轴为x 故 即0 < k < 6 ； g (0) = 2 > 0（恒成立）； g (3) = 9 - 3k + 2 = 11 - 3k ≥ 0 ，解得k ；综上， 18 ．(1)函数f (x) 的单调递减区间是(-∞ , ln 2) ，单调递增区间是(ln 2, +∞) (2)证明见解析【详解】（1）当a = 2 时， f e2x - 4x ，则f, (x) = e2x - 4 ． 令f,(x) < 0 ，得x < ln 2 ；令f, (x) > 0 ，得x > ln 2 ． 所以函数f (x) 的单调递减区间是(-∞, ln 2) ，单调递增区间是(ln 2, +∞)． （2）证明：当 a = 0 时， f e2x - 2ex ．要证f + 4ex > 2x 即证 e2x + 2ex - 2x 构建h e2x + 2ex - 2x 则h, (x) = e2x + 2ex - 4x ． 构建m (x) = e2x + 2ex - 4x (x > 0) ，则m, (x ) = 2e2x + 2ex - 4 = 2 (ex -1)(ex + 2) > 0 ．所以函数m (x)在(0, +∞) 上单调递增，则m (x) > m(0) = 3 > 0 ，即h,(x) > 0 ， 可知函数h (x)在(0, +∞) 上单调递增，则h (x) > h (0) = 0 ，即 e2x + 2ex - 2x 寒假作业（十一）导数与函数的单调性 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C B B D D C ABD BC AC ACD 13、 5 ( 14 、 ) 1 2 15、 「 1 7 |Le , e」| 16、0 【部分题目详解】 6 ．D【详解】 由题易知a +b = ab ，令a +b = t ，则ab = t ， 所以a, b 可以看作方程m2 - tm + t = 0的解，则 Δ = t2 - 4t ≥ 0 ， 又因为a, b 为真数，所以a, b ∈ (0, +∞) ，则t > 0 ， 所以t ≥ 4, w = 2 + b2 )- 30(lna + lnb ) = (a + b)2 - ab - 30lnab = t2 - t - 30lnt ，令f (t ) = t2 - t - 30lnt ，则f, (t ) = t -1- = = ， 当t ∈[4, 6) 时， f, (t ) < 0, f (t ) 单调递减；当t ∈(6, +∞) 时， f,(t ) > 0, f (t ) 单调递增，所以， f(t)min = f (6) = 12 -30ln6 ，即 w 的最小值为12 -30ln6 .故选：D. 7 ．D【详解】设函数F(x) = xf (x) ，则F, (x) = f (x)+ xf, (x) ， 可知当x < 0 时，不等式f(x) > -xf,(x) 恒成立，即F,(x) = f (x)+ xf,(x) > 0 恒成立，所以当x < 0 时，F,(x) > 0 ， F (x)在(-∞, 0) 上单调递增， 因为f(x) 是 R 上的奇函数，即f (-x)= -f (x) ， 可得F(-x) = -xf (-x) = xf (x) = F (x) ，所以函数F(x) = xf (x)是 R 上的偶函数，所以F(x)在(0, +∞) 上单调递减， 因为f(2) = 0 ， f (0) = 0 ，所以F(2) = 2f (2) = 0, F (0) = 0 ， 函数g (x) = lg | x -1| -xf(x) 的零点的个数，即方程lg | x -1| -xf(x) = 0 的解的个数， 即函数y = lg | x -1| 和函数y = xf(x) 图像交点的个数，在坐标系中作出函数大致图像，如下图所示， 由图像可知，函数y = lg | x -1| 和函数y = xf(x) 图像有 3 个交点，所以函数g (x) = lg | x -1| -xf(x) 的零点的个数为 3.故选：D. 8 ．C【详解】设h (x ) = 3ln(x 则f (x) = h (x)+1， 所以f (t2 ) + f (2t - 3) > 2 可以转化为h(t2 )+1+ h (2t - 3) +1 > 2 ，即h(t2 )+ h (2t - 3) > 0 ，因为h = 3ln ln = -3ln (x + s1+ x 2 )- +1 = -3ln (x + ·)- +1 = -3ln (x + )+ -1= -h (x )所以函数h (x)为奇函数， h, 所以函数h (x) 在R 上单调递增， h (t2 )+ h (2t - 3) > 0 ，即h(t2 ) > -h (2t - 3) ，因为h (x) 为奇函数，所以-h (2t - 3) = h (3 - 2t) ，所以h(t2 ) > h (3 - 2t) ，所以t2 > 3 - 2t t2 + 2t - 3 > 0 即t < -3 或者t >1 ，所以实数t 的取值范围是(-∞, -3) (1, +∞) 故选：C 9 ．ABD【详解】选项 A：设f(x) = x3 ，定义域为 R ，则f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)，所以f(x) = x3 为奇函数，又f,(x) = 3x 2 ≥ 0 ，所以f(x) = x3 在 R 上单调递增，故 A 正确； 选项 B：设g(x) = x -sin x ，定义域为 R ，则g(-x) = -x - sin(-x) = -(x - sin x) = -g(x) ，所以g(x) = x -sin x 为奇函数，又g,(x) = 1 - cos x ≥0 ，所以g(x) = x -sin x 在 R 上单调递增，故 B 正确； 选项 C：当x = 时，y cos 当x = 时，y cos 所以y = x cos x 在(0, +∞) 不是递增函数，故 C 错误； 选项 D：设y = h(x) = log2 ( + x ) ，定义域为 R ，则h(-x) + h(x) = log2 ( - x )+ log2 ( + x ) = log2 1 = 0 ，所以h(-x) = -h(x) ，则y = h(x) = log2 ( + x )为奇函数， 当x > 0 时，令t = 、i+1 + x ， t 所以t = 、 + x 单调递增，根据复合函数“同增异减”可得： h(x) = log2 t 在(0, +∞) 上单调递增， 即y = log2 ( ·、ix2 +1+ x )在(0, +∞) 上单调递增，故 D 正确.故选：ABD 11 ．【详解】函数f(x) = x3 - x2 - 6x +1 的定义域为 R ，求导得f, (x) = 3x2 - 3x - 6 = 3(x +1)(x - 2) ， 当x < -1或x > 2 时， f,(x) > 0 ；当-1 < x < 2 时， f,(x) < 0 ， 函数f(x) 在(-∞, -1], [2, +∞) 上单调递增，在(-1, 2) 上单调递减， 函数f(x) 在x = -1 处取得极大值f(-1) = ，在x = 2 处取得极小值f(2) = -9 ，则其极大值点为-1 ，则 AC 正确，B 错误； ( 7 ) ( , )对于 D ， 由f(x) = 9 ，得2x3 - 3x2 - 12x - 7 = 0 ，则(x +1)2 (2x - 7) = 0 ，解得x = - 1 或x = 2 2 因此方程f(x) = 有 2 个实数根，D 错误.故选：AC ( 2 β + sin β 2 α + sin α , 2 α + sin α 2 β + sin β , )12 ．ACD【详解】因为正数 α , β 满足eα + 1 > e β + 1 所以eα — 1 > e β — 1 构造函数f = ex x > 0 ，令g(x) = 2x + sinx ， g,(x) = 2 + cosx > 0 恒成立，所以g(x)在[0, +∞) 上单调递增，所以g(x) > g(0) = 0 对任意x ∈(0, +∞) 恒成立， 由复合函数的单调性可知 — 在(0, +∞) 上单调递增，所以f(x) = ex — 在(0, +∞) 上单调递增，由f(α) > f(β) ，可得 α > β > 0 ， 对于 A ， 由 α > β , 可得α — β+1> 1 ，所以ln (α — β+1) > 0 ，故 A 正确； 对于 B ， 由 α > β > 0 ，可得2α > 2β , 则2α +α > 2β + β , 故 B 错误； 对于 C ，当且仅当 α = β 时等号成立，但 α 不等于β ,故等号无法取到，则 所以 + > ，故 C 正确； 对于 D ，令mx > 0 ) ， m,(x) = —e—x + x—2 = — = ，再令h (x) = ex — x2 ， h, (x) = ex — 2x ， 令n (x) = ex — 2x ， n,(x) = ex — 2 ，易得： y = n,(x)在(0, +∞) 上单调递增且n, (ln 2) = 0 ,故y = n,(x)在(0, ln 2) 上小于 0 ，在(ln 2, +∞) 上大于 0； 即y = n (x)在(0, ln 2) 上单调递减，在(ln 2, +∞) 上单调递增， 又n (ln 2) = eln 2 — 2 ln 2 = 2 (1— ln 2) > 0 ，所以n (x) = h, (x) > 0 对任意x ∈(0, +∞) 恒成立， 所以y = h (x)在(0, +∞) 上单调递增，所以h (x) = ex — x2 > h (0) = 1 > 0 对任意x ∈(0, +∞) 恒成立所以m,(x)> 0 对任意x ∈(0, +∞) 恒成立，所以y = m (x)在(0, +∞) 上单调递增， 又由 α > β , 得： m(α) > m(β) ，即 — > — ，即 + > + ，故 D 正确.故选：ACD. 14 ． 【详解】 由题意，函数f (x) = x – ln (x +1) 对x ∈[0, +∞) 有f (x) ≤ kx2 成立，当k ≤ 0 时，取x =1 时，可得f (1) = 1— ln2 > 0 ，所以k ≤ 0 不符合题意，舍去； ( 2 k ， )当k > 0 时，令g (x) = f (x)—kx2 = x — ln(x +1) —kx2 ，则g, kx 令g, (x) = 0 ，可得x1 = 0 或x2 = 1— 2k > —1 当k 时，则 则g,(x) ≤ 0 在[0, +∞) 上恒成立， 因此g(x)在[0, +∞) 单调减，从而对任意x ∈[0, +∞) ，总有g(x) ≤ g(0) = 0 ， 即对任意x ∈[0, +∞) ，都有f (x) ≤ kx2 成立，所以k ≥ 符合题意； （2）当0 < k < 时， > 0 ，对于x ∈(0, ), g , (x )> 0 ，因此g(x)在(0, ) 内单调递增，所以当x ∈(0, ) 时， g (x) > g(0) = 0 ，即f (x) > kx2 ，所以0 < k < 不符合题意，舍去， 综上可得，实数k 的取值范围是k ≥ , 即实数k 的最小值为 ．故答案为： ． ( 「 1 7 )15 ． |Le , e」| 【详解】因为a > 0, x > 0 ，所以ax > 0 ， 所以不等式(alnx - x )(aex - x ) ≤ 0 等价于(|( - ), (|( - ), ≤ 0 ， 设f (x ) = ，则f, (x ) = ，令f, (x) > 0 ，解得0 < x < e ，令f, (x) < 0 ，解得x >e，故f (x)在区间(0，e) 上单调递增，在区间(e, +∞) 上单调递减，故f (x ) ≤ f (e) = ； 设g 则g, (x ) = ，令g,(x) > 0 ，解得x > 1 ，令g, (x) < 0 ，解得0 < x <1，故g(x)在区间(0, 1) 上单调递减，在区间(1, +∞) 上单调递增，故g(x )≥ g (1) = e > ≥ f (x )， ( ( ln x 1 )( e x 1 ) 1 1 1 「 1 7 )因为|( x - a, |( x - a , ≤ 0 恒成立，所以 e ≤ a ≤ e ，即 e ≤ a ≤ e ．故答案为： |Le , e」| 16 ．0【详解】 由方程ex + (1- a)x = lna + lnx ，变形可得ex + x = ax + ln a + ln x = eln ax + ln ax ，即ex + x = ln ax + eln ax ，令f (x) = ex + x ，则f,(x) = ex +1> 0 ，所以f (x)为单调递增函数， 因为ex + x = ln ax + eln ax ，可得f (x) = f (ln ax) ，可得x = ln ax ，即ax = ex ， 因为实数x0 是关于x 的方程ex + (1- a)x = lna + lnx 的解，可得ln ax0 = x0 ，可得ax0 = ex0 ，所以ex0 - ax0 = 0. = e2x - e x 求导得f,(x) = 2e2x - (x + 2)e x + x = (e x -1)(2e x - x) ， 由x > 0 ，得ex -1 > 0 ，令函数φ(x) = 2ex - x, x > 0 ，则φ,(x) = 2ex -1> 0, x > 0， 函数φ(x) 在(0, +∞) 上单调递增，则当x > 0 时， φ(x) > φ(0) = 2 > 0 ，即f,(x) > 0 ，因此函数f(x) 在(0, +∞) 上单调递增，所以函数f(x) 在(0, +∞) 上的递增区间为(0, +∞) ，无递减区间； （2） 由k ≥ , 得ke2x 则要证ke2x ≥ 1+ ln2x ，只需证明 ≥ 1+ ln 2x ， 令2x = t > 0 ，即证 ≥ 1+ ln t -1- ln t ≥ 0 ，令h ln t ，求导得h,(t) = - ，因为函数y = ,y = - 在(0, +∞) 上都是增函数，所以函数h,(t) 在(0, +∞) 上单调递增， 又h,(1) = 0 ，则当0 < t < 1 时， h, (t) < 0 ；当t > 1时， h,(t) > 0 ， 函数h(t) 在(0,1)上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增，h(t)min = h(1) = 0 ，则 ≥ 1+ ln 2x ，所以当k ≥ 时，ke2x ≥ 1+ ln2x . 18.（1）当a = -1 时， f(x) = xe x ， f,(x) = (x +1)e x ．当x > -1 时， f,(x) > 0 ，当x < -1时， f,(x) < 0 ． ∴当x= - 1 时， f(x) 取最小值- ． （2） g(x) = f(x) - (a +1)x2 = (x - a -1)ex - (a +1)x2 + a(a +1)x ． g ,(x) = ex + (x - a -1)ex - (a +1)x + a(a +1) = (x - a)ex - (a +1)(x - a) = (x - a)ex - (a +1) ，若a +1 ≤ 0 ，即a ≤ -1 时，则由g ,(x) = 0 得x = a ， 当x ∈(-∞, a) 时， g,(x) < 0 ；当x ∈ (a, +∞) 时， g ,(x) > 0 ； g (x) 在(-∞, a) 上单调递减，在(a, +∞) 上单调递增． 若a > -1 ，则由g ,(x) = 0 得x = a 或x = ln(a +1) ， 构造函数k(a) = a - ln(a +1)(a > -1) ，则k,(a) = ． 由k,(a) = 0 ，得a = 0 ， :k(a) 在(-1, 0) 单调递减，在(0, +∞) 单调递增． k(a)min = k(0) = 0 ， :a ≥ ln(a +1) （当且仅当a = 0 时等号成立）． 若a = 0 ， g ,(x) ≥ 0 ， g (x) 在(-∞, +∞) 上单调递增． 若-1 < a < 0 或a > 0 ，当x ∈(ln (a +1) , a ) 时， g,(x) < 0 ；当x ∈ (-∞, ln(a +1)) (a, +∞) 时， g ,(x) > 0 ； : g ( x) 在(ln (a +1) , a ) 上单调递减，在(-∞, ln(a + 1)) ， (a, +∞) 上单调递增；综上：当a ≤ -1 时， g (x) 在(-∞, a) 上单调递减，在(a, +∞) 上单调递增． 当-1 < a < 0 或a > 0 时g (x) 在(ln (a +1) , a ) 上单调递减，在(-∞, ln(a + 1)) ， (a, +∞) 上单调递增； 当a = 0 时， g (x) 在(-∞, +∞) 上单调递增． （3） 由（2）知，若-1< a < - ， g (x) 在(ln (a +1) , a ) 单调递减，在(a, +∞) 单调递增． g(x)min = 3 + a 2 )- e a ．令h(a) = 3 + a 2 )- e a ，则h,(a) = a 2 + a - e a ，令φ(a) = h,(a) = a2 + a - ea ， φ ,(a) = 3a +1- e a < 0 ， ∴h,(a) 在(|(-1, - ), 上单调递减， h,(-1) = - > 0 ， h : 存在唯一的a0 ∈ (|(-1, - ), ，使得h,(a0 ) = 0 ， : h(a) 在(-1, a0 ) 单调递增，在(|( a0 , - ), 单调递减，故当a0 ∈ (|(-1, - ), 时， h(a)max = h (a0 )， 又h, (a0 ) = a0 (2) + a0 - ea0 = 0 ． : h (a )max = h (a0 ) = 0 (3) + a0 (2) )- (|( a0 (2) + a0 ), = a0 (a0 (2) - 2a0 - 2) < 0 ， : 当a ∈ (|(-1, - ,) 时， h(a) = 3 + a 2 )- e a < 0 ． 寒假作业（十二）导数与函数的极值与最值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D A A B C D B BC ACD AC ACD 13、 30或6 14、 (- ·、 , 0) (2, +∞) 15、 (-∞, -11+ 2 ln 2) 16、8 【部分题目详解】 5 ．【详解】 f (x ) = x3 + ax2 + b ， :f, (x) = x2 + ax ， x = -1是f (x) 的一个极值点， :f, (-1) = 1- a = 0 ， : a = 1 ， : f (x ) = x3 + x2 + b ， :f, (x) = x2 + x ， 由f,(x) > 0 可得x > 0 或x < -1 ，则f (x)在(-∞ , -1) 和(0, +∞) 上为增函数，由f,(x) < 0 可得-1 < x < 0 ，则f (x)在(-1, 0) 上为减函数， :x = -1是f (x)的一个极大值点， x = 0 是f (x) 的一个极小值点， f (x)在[-2,2] 上有且仅有 1 个零点， ( 〔 f ( - 1) < 0 〔 f ( - 1) = 0 〔 f (0) > 0 〔 f ) ( 则有四类情况，分别为 ① { l f (2) ≥ 0 ； ② { l f (2) < 0 ； ③ { l f ( - 2 ) ≤ 0 ； ④ { l f ) ( 由 ① { 8 ，解得 - ≤ b < - ； 由 ② { ，解得 b ∈ ⑦ ; )〔 - + +b < 0 14 1 〔 - + +b = 0 l3 + 2 +b ≥ 0 3 6 l + 2 +b < 0 ( 〔 b > 0 〔 b = 0 ) ( 由 ③ { 8 解得 0 < b ≤ 2 ； 由 ④ { 8 解得 b ∈ ⑦ ; )l- 3 + 2 + b ≤ 0 ， 3 l- 3 + 2 + b > 0 ，综上，可得- ≤ b < - 或0 < b ≤ . 故实数b 的取值范围是「|L- , - ,) (|(0, . 故选：B. 6 ．【详解】 f,(x) = x2 + 2x +b ， 由题意得f, (1) = 12 + 2 +b = 0 ，解得b = -3 ， f (x) = x3 + x2 - 3x - ， f,(x) = x2 + 2x - 3 ， 令f, (x ) > 0 得x >1 或x < -3 ，令f, (x ) < 0 得-3 < x <1， 故f (x)在(-3, 1) 上单调递减，在(-∞, -3) ， (1, +∞) 上单调递增，所以f (x)在x =1 处取得极小值， (0) = 0 (-2) > 0 , 又f (1) = +1-3 - = - ，令 x3 + x2 - 3x - = - ， 即x3 + 3x2 - 9x + 5 = 0 ，变形得到(x -1)(x2 + 4x - 5) = 0 ，即(x -1)2 (x + 5) = 0，故x = 1 或x = -5 ，即f (1) = f (-5) = - ， ( l a - 8 < 1 < a )要想在区间(a - 8, a )上存在最小值，需满足{〔a -8 ≥ -5 ， 解得a ∈[3, 9) . 故选：C 7 ．【详解】 由y = e2x-1 > 0 ，可得2x -1 = lny ，即x = ，同理由y = + lnx ，可得x = ey- ， 设f (a ) = g (b ) = t ，易知t > 0 ， 代入上述式子可得a = , b = et- ，则b - a = et - - ，令h (t ) = et - - t > 0 ) ，则h, (t) = et- - ， 易知h,(t ) 在(0, +∞) 上单调递增，且h, (|( ), = 0 ， 则当0 < t < 时， h,(t ) < 0 ，当t > 时， h,(t ) > 0 ， 所以函数h (t )在(|(0, ), 上单调递减，在(|( , +∞), 上单调递增，则h (t )min = h (|( ), = ，即b- a 的最小值为 . 故选：D 8 ．【详解】当a > 0 时，令g(x ) = aex + x ，显然g(x ) 是R 上的增函数， 且x = 0 时， g (x) = a > 0 ， x → -∞ 时， g (x) → -∞ ,故存在x0 ∈ (-∞ , 0) 使得g(x0 ) = 0 ， 当x ∈(-∞, x0 ) 时， g (x) < 0 ，当x ∈(x0, +∞) 时， g (x ) > 0 ；令-x -b-1 = 0 ，解得x = -1 -b < 0 ， 当x ∈(-∞, -1-b) 时， y = -x -b-1 > 0 ，当x ∈(-1-b, +∞) 时， y = -x -b-1< 0 ；要使得x < 0 时， f (x) ≤ 0 恒成立，则x0 = -1-b ， 可得ae-1-b -1-b = 0 ，即a = e1+b (1+b)，则 e1+b 令t = 1 + b > 0 ， h (t ) 则h, 当t ∈ (0, 2) ， h,(t ) < 0 ；当t ∈ (2, +∞) ， h,(t ) > 0 ； 可知h (t )在(0, 2) 内单调递减，在(2, +∞) 内单调递增，则h (t ) 最小值为h 所以 的最小值为 故选：B. 10 ．【详解】对于 A ，令f (x ) = = 0 ，解得x = 0 ，所以f (x)有且仅有一个零点，故 A 正确；对于 B ， f (x) 的定义域为 R ， f ，所以f (x)不是奇函数， 所以y = f (x)图象不关于原点对称，故 B 错误；对于 C ， f, 当x ∈(0, +∞) 时， f,(x) > 0 ，所以f (x)在(0, +∞) 上单调递增，故 C 正确；对于 D ，令g (x) = 1+ (x +1)e-x ， g,(x) = -xe-x ， 当x ∈(-∞, 0) 时， g, (x) > 0 ，故g(x)在(-∞, 0) 上单调递增， 当x ∈(0, +∞) 时， g, (x) < 0 ，故g(x)在(0, +∞) 上单调递减， 又当x = -2 时， g (-2) = 1- e2 < 0 ，当x = 0 时， g (0) = 2 ， 则3x0 ∈ (-2, 0) ，使得当x ∈(-2, x0 ) 时， g (x) < 0 ，即f, (x) < 0 ， 当 x ∈(x0, 0) 时， g (x) > 0 ，即f, (x) > 0 ， 所以f (x)在(-2, x0 ) 上单调递减，在(x0, 0) 上单调递增，故f (x)有极小值点，故 D 正确.故选：ACD. 11 ．【详解】对于 A ， f (x) 为奇函数，则f (-x ) = -ax3 -bx + c = - (ax3 + bx + c ) = -f (x ) ， :c = 0 ，则f (x) = ax3 + bx ， f, (x) = 3ax2 + b ， x = 时， f (x)取得极小值- 2 ， 3 9 ( 〔 ( ) ) f, |( 3 , = a + b = 0 〔a = 1 :{l f ((| ), = a + b = - ，解得{lb = -1 ，当a = 1 ， b = -1 时， f (x) = x3 - x ， f, (x) = 3x2 -1 ， :f (x) 在((| -∞ , - ), ， ((| , +∞), 上单调递增，在((|- , ), 上单调递减， 满足f (x)在x = 处取得极小值； 3 综上： f (x) = x3 - x ，A 正确； 对于 BCD ，设切点坐标为(t, t3 - t) ， f,(x) = 3x2 -1， :f, (t ) = 3t2 -1， :y = f (x)在(t, t3 - t) 处的切线方程为y - (t3 - t) = (3t2 -1)(x - t) ， 切线过点Q(m, 0)， :-t3 + t = (3t2 -1)(m - t)； 当t 即t 时，方程不成立，即3t2 -1 ≠ 0 ， 令g 则g , : 当t ∈(-∞, -1) (1, +∞) 时， g,(t ) > 0 ；当t ∈ ((|-1, - ), : g (t ) 在(-∞, -1) ， (1, +∞) 上单调递增，在((|-1, - ), ，又g(-1) = -1 ， g (1) = 1 ，可作出g(t ) 大致图象如下， ((|- , ), , 1), 时， g, (t ) < 0 ； ((|- , ), ， ((| , 1), 上单调递减； 过点Q(m, 0)(m > 0) 至少能作出曲线y = f (x) 的两条切线， 等价于直线y = m (m > 0) 与g(t ) 至少有两个不同的交点，则m ≥1 ，BD 错误，C 正确.故选：AC. 12 ．【详解】对于 A ，函数f(x) = xe x 定义域(-∞, +∞) ，求导得f,(x) = (x +1)e x ，当x < -1时， f,(x) < 0 ， 当x > -1 时， f,(x) > 0 ，函数f(x) 在(-∞ , -1) 上单调递减，在(-1, +∞) 上单调递增，函数f(x) 在x = -1 处取得极小值f (-1) = - ； 函数g(x) = xln x 定义域(0, +∞) ，求导得g ,(x) = ln x +1 ，当0 < x < 时， g,(x) < 0 ，当x > 时， g ,(x) > 0 ，函数g (x) 在(0, ) 上单调递减，在( , +∞) 上单调递增， 函数g (x) 在x = 处取得极小值 g () = - ，A 正确； 对于 B ， 由选项 A 知， f(x)min = f(-1) = - ，则当a = - 时， f(x) = a 也有唯一实根，B 错误；对于 C ，因为当x 趋近于 0 时， g (x)趋近于 0， ( ln x + ln x x + x x + x x x ) ( 消去 m 得 ln x 1 1 - ln x 2 2 = x 2 2 - x 1 1 ， 则 ln x 1 + ln x 2 = x 2 2 - x 1 1 . ln x 1 2 ，令 x 1 2 = u ∈ (0, 1) ， )所以， 由方程g (x) = m 有两个不同的实根x1 , x2 ，得- < m < 0 ，不妨令0 < x1 < < x2 < 1 ，由 ( x 2 - ux 2 1 - u ， 1 2 1 - u 1 - u )于是ln x1 + ln x2 = x2 + ux2 .ln u = 1 + uln u ln x + ln x + 2 = 1 + u ln u + 2 = ln u + u ln u - 2u + 2 ， 令h(u) = ln u + u ln u - 2u + 2, 0 < u < 1 ，求导得h,(u) = + ln u -1 ，令φ(u) = h,(u), 0 < u < 1 ，求导得 ，函数h,(u) 在(0,1)上单调递减， h,(u) > h,(1) = 0 ， 函数h(u) 在(0,1)上单调递增， h(u) < h(1) = 0 ，因此ln x1 + ln x2 + 2 < 0 ，即x1x2 < ，C 正确；对于 D ， x1 > 0, x2 > 0 ， 由f(x1 ) = g(x2 ) = t ，得t = x1ex1 > 0 ， x2 ln x2 > 0 → x2 > 1 所以x1ex1 = x2 ln x2 = t ，则x1ex1 = (ln x2 )elnx2 = t ， ln x2 > 0 ，于是f(x1 ) = f(ln x2 ) ，而函数f(x) 在(0, +∞) 上单调递增，则x1 = ln x2 ，因此x1x2 = x2 ln x2 = t 成立，D 正确. 故选：ACD 14 ． (- ·、 , 0) (2, +∞) 所以x =0 是f (x) = bx 的一个解，则存在实数b ，使得f (x) = bx 有四个不同的解， 即当x ≠ 0 时， = b 有三个不同的解. f (x) = {〔 , x ≥ a ，令g (x ) = , x ≥ a ， x lx2 - 4, x < a lx2 - 4, x < a 当x < a 时， g (x) = x2 - 4 ，且g (- )= 2 . 当x ≥ a 时， g g , 所以当x ≥ 0 时， g, (x) ≤ 0 ， g (x)单调递减； 当x < 0 时， g, (x) > 0 ， g (x)单调递增，且g(0) = 2, g(-0.5) = 0 ，当x → +∞ 时， g (x) → 0 ， ( 4 x + 2 2 )在同一平面直角坐标系中，作出函数y = e2x ,y = x - 4 的图象，如图： 由图知： 当a ≤ - ·、时， g (x)的图象与直线y = b 至多有两个交点，不符合题意； 当- ·、< a ≤ -0.5时， g (x) 的图象与直线y = b (0 < b < 2) 有三个交点，符合题意；当-0.5 < a < 0 时， g (x) 的图象与直线y = b 有三个交点，符合题意；当0 ≤ a ≤ 2 时， g (x)的图象与直线y = b 至多有两个交点，不符合题意； 当a > 2 时，存在实数b ，使得g(x)的图象与直线y = b 有三个交点，符合题意.综上， a ∈ (- ·、, 0) (2,+∞) . 故答案为： (- ·、 , 0) (2, +∞) . 15 ． (-∞, -11+ 2 ln 2) 【详解】因为f(x) = ax 2 - x + ln x(x > 0) ，所以f, = 2ax 因为函数有两个不同的极值点x1 , x2 ， 所以2ax2 - x +1 = 0 有两个不同的正实数根x1 , x2 ， 所以 解得 又因为不等式f (x1 ) + f (x2 ) > 2(x1 + x2 ) + t 有解，所以t < f (x1 ) + f (x2 )- 2(x1 + x2 ) 有解，又因为f (x1 ) + f (x2 )- 2(x1 + x2 ) = ax1 (2) - x1 + ln x1 + ax2 (2) - x2 + ln x2 - 2x1 - 2x2 = a x1 + x2 2 - x1x2 - x1 + x2 ) + (x1x2 ) = - -1- ln(2a) ，令hln 则h, ， 所以h(a) 在 上单调递增，所以h < hln 2 ，所以t < -11+ 2 ln 2 ，所以实数t 的取值范围为(-∞, -11+ 2 ln 2) . 故答案为： (-∞, -11+ 2 ln 2) 16 ．8 【详解】因为ln x2+2 + x 所以ln + x 所以ln (3x2 + 2) + (3x2 + 2) = 10 ，所以ln (3x2 + 2)+eln (3x2 +2) = 10 ， 因为ex1 + x1 = 10 ， 令g(x) = x + ex ，求导得g,(x) = 1+ ex > 0 ，所以g (x) 在R 上单调递增，所以ln (3x2 + 2) = x1 ，所以x1 + 3x2 = ln (3x2 + 2) + 3x2 = 8 . 故答案为：8． 17 ．【详解】（1）若a = 1 ，则f(x) = 2 ln x - x ， f(1) = -1．又f, ，所以f,(1) = 2 -1 = 1 ， 故曲线y = f(x) 在x = 1 处的切线方程为y- (-1) = 1 × (x -1) ，即x - y - 2 = 0 ； （2） f(x) 的定义域为(0, +∞) ， f, 当a ≤ 0 时， f, 故f(x) 在(0, +∞) 上单调递增； 当a > 0 时，令f, 解得 ， 故f(x) 在 上单调递增，在 上单调递减； （3） 由f(x) ≤ eax - x2 ，可得x2 + 2 ln x ≤ eax + ax ，即elnx2 + ln x2 ≤ eax + ax ， 令g(x) = ex + x ，易知g (x) 单调递增， 由elnx2 + ln x2 ≤ eax + ax ，可得g (ln x2 ) ≤ g(ax) ，则ln x2 ≤ ax ，即 ． 设h ，则h ，当x >e 时， h,(x) < 0 ， h(x) 单调递减，当0 < x < e 时， h,(x) > 0 ， h(x) 单调递增，所以hmax 所以 ，因此a 的取值范围为 18 ．【详解】（1）函数f(x) 的定义域为R, f,(x) = e x -a ， 当a ≤ 0 时，在R 上f,(x) > 0 恒成立，所以f(x) 在R 上单调递增；当a > 0 时，令f,(x) = 0 得x = ln a ， 当x ∈(-∞, ln a) 时， f, (x) < 0, f(x) 单调递减； 当x ∈(ln a, +∞) 时， f, (x) > 0, f(x) 单调递增．综上，当a ≤ 0 时， f(x) 在 R 上单调递增； 当a > 0 时， f(x) 在(-∞, ln a) 上单调递减，在(ln a, +∞) 上单调递增． （2） 由题意知， f(x) 在(0, 1] 上存在唯一零点,等价于方程ex - ax -1 = 0在(0, 1] 上有唯一实数根, 等价于函数y = ex 与y = ax + 1 的图象在(0, 1] 上有唯一交点，因为直线y = ax + 1 过定点(0, 1), a 为直线的斜率， 根据题意，直线y= ax + 1 所在区间为下图中阴影部分， 由图，下临界线为函数y = ex 在x = 0 处的切线， k切 = y, x=0 = e0 = 1，上临界线过点(1, e) ，则k e -1 ， 所以 a 的取值范围为(1, e -1] ． （3） 由题意得 g(x) = 2ln x + x2 - 2ax ，定义域为(0, +∞) ，则g, 因为x1, x2 是函数g (x) 的两个极值点，所以x1, x2 是方程2x2 - 2ax + 2 = 0 的两个实数根，则x1 + x2 = a, x1x2 = 1． g (x2 ) - g (x1 ) = 2ln + (x2 (2) - x1 (2) )- 2a (x2 - x1 ) = 2ln + (x2 (2) - x1 (2) )- 2(x2 + x1 )(x2 - x1 ) ( . ) ( x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 ( x 1 x 2 , )= 2ln x2 -(x2 (2) -x1 (2)) = 2ln x2 - 1 ( x2 (2) -x1 (2)) = 2ln x2 -|( x2 - x1) ( 1 )令t = ， 由x2 ≥ 2x1 > 0 ，可得t ≥ 2 ， 令h(t) = 2ln t - t - ), , t ≥ 2 ，则h,(t) = - 1+,) = - < 0，所以h(t) 在[2, +∞) 上单调递减，可得h(t) ≤ h(2) = 2ln 2 - ， ( 2 )故g(x2 )-g (x1 ) 的最大值为2ln 2 - 3 . 寒假作业（十三）圆锥曲线解答题练习 参考答案 1.【详解】（1） 由 可得y2 — 4py + 4p = 0 （*）， 由题意知 Δ = 16p2 —16p = 0 ，解得p = 1 （p = 0 舍去），所以 C 的方程为y2 = 2x . 将p = 1 代入（*）式可得y2 — 4y + 4 = 0 ，解得y = 2 ，将y = 2 代入 C 的方程可得： x = 2 ，即P(2, 2) . （2）（i）易知 L 的斜率存在且不为 0 ，设x = m (y + 2)—1(m ≠ 0) ，与 C 的方程联立，得y2 — 2my— 4m + 2 = 0 . ( 4 4 )由Δ = 4m2 — 4(2 — 4m) > 0 及点 P 不在 L 上，得m < — ·、 — 2 或 ·、 — 2 < m < 3 或m > 3 . 设 A(x1, y1 ) ， B (x2, y2 ) ，则y1 + y2 = 2m ， y1y2 = 2 — 4m .当PM //x 轴时， ，即m = 2 ，满足题意， 所以 L 的方程为x — 2y — 3 = 0 . （ii） 由（i）可得x1 + x2 = m (y1 + y2 ) + 4m — 2 = 2m2 + 4m — 2 ， x1x2 = (my1 + 2m —1)(my2 + 2m —1) = m2y1y2 + (2m2 — m)(y1 + y2 ) + (2m —1)2 = 4m2 — 4m +1 . 所以k1 . k2 = . = = = 9 (6)—— 12 (8m)m =23， 即k1 . k2 为定值. 2.【详解】（1） F (c, 0) ， A (—a, 0) ， AF = a + c当x = c 时， ，则y ， ∵ BF 丄 AF ， ∴ B 或B 则| BF ∵ AF = BF ， ∴ a + c ，即 由a + c 可得a2 + ac = b2 = c2 — a2 ，即c2 — ac — 2a2 = 0 ∴ c2 — ac — 2a2 = 0 ， ∴e2 — e — 2 = (e — 2)(e +1) = 0 ， ∴ e = 2 或e = —1 ， ∵ e > 1 ， ∴ e = 2 ， e = 3 ，即 = ± ,即C 的渐近线方程y = ± ·、x . （2）当a = 1 时， c = 2, b = ·、i3 ，即 C : x ，取B(x0, y0 )， 由（1）可知C 的渐近线方程y = ± ·、i3x ，设M (t , 、t ) ， N (s , — 、s ) (t > 0, s > 0) 则 = (x0 —t,y0 — 、 ) ， = (s — x0 , — 、 — y 0 ) ∵ = 2 ， ∴ (x0 — t, y0 — v3t ) = 2 (s — x0 , — ·、i3s — y0 )， 即 解得 s ， ∵ x 即 ， ∴ st ∴ S MON = 3.【详解】（1） 由椭圆a > b > 0) 的短轴长为 2 ，得b = 1， 由椭圆 Γ 的离心率为 ，得 解得a = s2 ，所以所求椭圆的标准方程为 x2 = 1. （2）( ⅰ ) 显然直线 AB 不垂直于y 轴，设其方程为x = ty + 4 ，设 A(x1,y1),B(x2,y2 )，由 消去x 得(2t2 +1)y2 +16ty + 30 = 0 ， 由 Δ = 256t2 一120(2t2 +1) > 0 ，解得| t 且y1 + y2 = 一 y1y 则 △AOB 的面积为S AOB = STOB 一 STOA 当且仅当t2一 即t 时取等号，所以△AOB 面积的最大值为 . ( ⅱ ) 由（1）得C(-1, 0), D(1, 0) ， 由 ( ⅰ ) 得8ty1y2 = 一15(y1 + y2 ) ， 直线 AC 的方程为y 直线BD 的方程为y 则 解得x = ，因此直线 BD 与 AC 交点 G 的横坐标为 ， 所以点 G 在定直线x 上. 4.【详解】（1）因为点M(m, 4) 在抛物线Γ ： x2 = 2py(p > 0) 上，点 F 为Γ 的焦点， MF = 5 ，所以点M(m, 4) 到抛物线准线的距离为+ 4 = 5 ，得p = 2 ， 所以抛物线 Γ 的方程为x2 = 4y ， 代入M (m, 4) ，得m2 = 4 × 4 = 16 ， 所以m = ±4 ，所以M(4, 4) 或M(—4, 4) . （2） 由题意得，抛物线 Γ 的焦点与x2 + (y —1)2 = 1 的圆心重合，即为F(0, 1)， 显然直线 AB 斜率存在，所以设直线AB 方程为y = kx +1 ，点 A(x1, y1 ) 、 B (x2, y2 ) ，将直线 AB 的方程与抛物线Γ 的方程联立 ，消去y 并整理得x2 — 4kx — 4 = 0 ， Δ = 16(k2 +1) > 0 ， 由韦达定理得x1 + x2 = 4k ， x1x2 = —4 . 由抛物线的定义可知AF = y1 +1 ， BF = y2 +1 ， x1 < 0 ， x2 > 0 . 故 AC . BD = ( AF — 1). (BF — 1)= y y1 2 = = = 1 ，即 AC . BD 的值为1. （3）因为y = x2 ，所以y ' = x ， 所以切线AP 的方程为y — = x1 (x — x1 ) ，即y = — ，同理可得，切线BP 的方程为y = — ， 联立两切线方程 解得y (x) x (x)1 (1) —=12k ，即P(2k, —1) . 由kPA ·kPB = · = = —1 得PA 丄 PB ，故N 是 AB 的中点，而y1 + y2 = k (x1 + x2 )+ 2= 4k 2 + 2,y1y2 = . = 1 ， 由中点坐标公式得N(2k, 2k2 +1) ，故 = (—2k , 2 ), = (0, 2k 2 + 2 ) ， = (x2 — x1, y2 — y1 )， 法一： 由平面向量数量积的坐标运算得 . = 4k2 + 4 ≥ 4 ，当且仅当k = 0 时等号成立，故 . 的最小值是 4． 法二： 由题意得 . = —2k (x 2 — x 1 )+ 2 (y 2 — y 1 ) = —2k (x2 — x1 ) + 2(kx1 +1— kx2 —1) = 0 ，所以PF 丄 AB ， 即PF 丄 FN ， ( 2 2 )所以PF .(PF + FN) = PF + PF .FN = PF ， 由向量模长公式得2 = 4k2 + 4 ≥ 4 ，当且仅当k = 0 时等号成立，故 . 的最小值是 4． ( a 2 )5.【详解】（1） 由题意得， c = ， S ACB = ab = 6 ， a2 = b2 + c2 ，解得b = ·、 , a = 2·、i3, c = 3 ， 则椭圆M 的标准方程为 （2）（i） 由题知直线l 的斜率存在，且不为 0 ，设直线l : x = my + t(m ≠ 0) ， 联立 可得(m2 + 4)y2 + 2mty + t2 —12 = 0 ， 依题意， Δ = 4m2t2 — 4(m2 + 4)(t2 —12) > 0 ，即3m2 — t2 + 12 > 0 ，设P(x1, y1 ), Q (x2, y2 ) ，则y1 + yy1y 则k (设直)1k (线)BP的斜率为k3，因为A(—2·,3,0),B ·k3,0)，且 1 (x) + 3 (y)1 (2) = 1 ， 又因为k2 = k1 ，故k2k3 = — ，即有 . — = — ，即y1y 因x1x2 = (my1 + t)(my2 + t) = m2y1y2 + tm(y1 + y2 ) + t2 = m2 . + tm|((), + t2 = ， x1 + x2 = my1 + t + my2 + t = 2m(y1 + y2 ) + 2t = 2m), + 2t = ， 代入(*) ，可得 — —2 ×+12), =4 (2)， 化简得2t2 — 3t — 6 = 0 ，解得t = 2、i3 或t = — ， 因k1, k2 同号，所以y1y2 = < 0 ，解得 —2 < t < 2 ，所以t ( ( ·、 ) )故直线PQ 的方程x = my — ，故必过定点|( — 2 , 0, . （ii） 由（i） 已得直线l 过定点T ， 则Sy1 , Sy2 于是 ，令 ，则y1 = λy2 ， 由（i）可得y1 + yy1y 由 ，解得y 再代入y1y 可得 化简得 因为 所以 即： 15λ2 + 34λ +15 < 0 ， 解得 ，即 则 故 故 的取值范围为 寒假作业（十四）数列解答题练习 参考答案 1 、【详解】（1）因 ·JSn = JSn—1 + 2 ，则 ·、 — · = 2 ， 则数列{·、} 是以·、= ·、= 2 为首项， 2 为公差的等差数列，则 ·、= 2n ，即Sn = 4n2 ，则an = Sn — Sn —1 = 4n2 — 4(n —1)2 = 8n — 4, n ≥ 2 ， 又a1 = 4 满足上式，故an = 8n — 4, n ∈ N* ，则数列{an } 的通项公式为an = 8n — 4, n ∈ N* （2） 由（1）知，bn 则Tn 2.【详解】（1） ∵ Sn = an+1 —1 ， ∴Sn+1 = an+2 — 1 两式相减得 an+2 = 2an+1 ，又a1 = 1 ， a2 = a1 + 1 = 2 ， ∴ {an }是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列 ∴ an = 2n—1 ， ∵ bn + bn+1 = 3n +1 , bn—1 + bn = 3(n —1) +1 （ n ≥ 2 ）两式相减得bn+1 —bn—1 = 3 （ n ≥ 2 ），又b2 = 4 —b1 = 3 ( n 为奇数 n 为偶数 )由此可得{b2n—1 } 是首项为 1 ，公差为 3 的等差数列，b2n—1 = 3n — 2 {b2n }是首项为 3 ，公差为 3 的等差数列，b2n = 3n ，所以bn （2）令cn = an .bn ， {cn }前2n 项中所有奇数项和为Tn则Tn = 1× 20 + 4× 22 + 7× 24 ++ (3n — 2)22n—2 4Tn = 1× 22 + 4× 24 + 7× 26 ++ (3n — 5)22n—2 + (3n — 2)22n —3Tn = 1— (3n — 2)×4n + 3(22 + 24 + + 22n—2 ) ∴Tn = (n —1)4n +1 3.【详解】（1）因为an+2 + 6an = 5an+1 ，bn = an+1 - 3an (n ∈ N*) ， 所以又a1 = 1 ，b2 = 2 ，所以 解得 ， 所以b1 = a2 - 3a1 = 1； （2） 由an+2 + 6an = 5an+1 可得an+2 - 3an+1 = 2 an+1 -6 an ，即an+2 - 3an+1 = 2 (an+1 - 3an ) ，又bn = an+1 - 3an (n ∈ N*) ，所以bn+1 = 2bn ，则数列{bn }是以2 为公比的等比数列， 又b1 = 1 ，所以bn = 2n-1 ； ( b 1 2 n 1 ( 2 n + 2 - 1 ) - ( 2 n - 1 ) 1 ( 1 1 ) )（3） 由（2）可得cn = (bn+1 -1bn+3 -1) = (2n -1)(2n+2 -1) = 3 × ( 2n -1)( 2n+2 -1) = 3 × |( 2n -1 - 2n+2 -1, ，因此{cn } 的前 n 项和为 Sn = - - ), + - ,) + - ), + . . . + × - ), 因为n ∈ N* ，所以 则Sn 又Sn 显然单调递增， 所以Sn ≥ S 综上 Sn 4.【详解】（1）在数列{an } 中， a1 = 1, an = Sn-1 (n ≥ 2) ，则a2 = a1 = 1， 当n ≥ 2 时， an+1 = Sn = an + Sn-1 = 2an ，则数列{an+1} 是以a2 = 1 为首项，2 为公比的等比数列，因此，当n ≥ 2 时， an = a2 . 2n-2 = 2n-2 ，而a1 = 1 不满足上式， 所以数列{an } 的通项公式为an （2） 由（1）得bn 为偶数 (为奇数) ， 则b1 + b3 + b5 + + b2n （3）设Tn ，则T1 = 1 ， 当n ≥ 2 时， Tn = 1+ 2 . 20 + 3. 2-1 + + n . 22-n ，于是 + n . 21-n ， 则 因此Tn = 7 - (n + 2) . 22-n ， 由(n + 2) . 22-n > 0 ，得Tn < 7 ，又 所以符合题设条件的 m 的最小整数值为 7. 5.【详解】（1）依题意， 解得a1 = 1, q = 2 ，所以an = 2n-1 ， 则b1 = a2 = 2, b3 = a3 +1 = 4 +1 = 5, b5 = a4 = 8 ，设等差数列{bn } 的公差为d ，则d ，所以bn = 2 + 两式相减得Sn 当n 为偶数时， di 令 （n 为偶数），则{Tn }是单调递增数列，最小值为 且Tn 当n 为奇数是， di 令Mn （n 为奇数），则{Mn } 是单调递减数列，最大值为 且Mn 综上所述， di 的最大值为 ，最小值为 . 寒假作业（十五）导数解答题练习 1 参考答案 1.【详解】（1）当a = 1 时，f = ln x 其定义域为(0, +∞) ，求导得：f ,(x) = - = ，当0 < x <1时，f,(x) < 0 ；当x > 1 时， f,(x) > 0 ， ∴ f(x) 在(0,1)上单调递减； f(x) 在(1, +∞) 上单调递增． （2） f(x) = ln x + 的定义域为(0, +∞) ，求导得： f, 若a ≤ 0, f , (x) > 0 恒成立， f(x) 单调递增，无最小值，不符合；若a > 0 ，令f,(x) = 0 得x = a ： 当0 < x < a 时， f,(x) < 0, f(x) 单调递减；当x > a 时， f,(x) > 0, f(x) 单调递增． ∴ f(x) 的最小值为f(a) = ln a +1 ， 由ln a +1 = 0 ，解得a 2．【详解】（1）当a = 1 时， f(x) = x2 - 2x + ln x， 则f f' = x 则f' (1) = 0 ，故曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程为 （2） f (x) 的定义域为(0, +∞) ， f' = x a ， 由对勾函数可知， f' (x)min = f' (1) = 2 - 2a ， 当2 - 2a ≥ 0 ，即a ≤ 1 时， f' (x)min ≥ 0 ，则f (x)在(0, +∞) 上单调递增，则f (x)无极值，不符合题意； 当2 - 2a < 0 ，即a > 1 时， f' (x)min = f' (1) < 0 ，又f' 则由零点存在性定理可知，存在x x2 ∈ (1, 2a ) ，使得f, (x1 ) = f, (x2 ) = 0 ， 则f,(x) > 0 得0 < x < x1 或x > x2 ；f, (x) < 0 得x1 < x < x2 ，则f (x)在(0, x1 ) ，(x2, +∞) 上单调递增，在(x1, x2 ) 上单调递减，则f (x) 的极大值点和极小值点分别为 x1 ， x2 ，故 x1 ， x2 是方程f' (x) = x + - 2a = 0 即x2 - 2ax +1 = 0 的两根， 则2ax1 = x1 (2) +1, 2ax2 = x2 (2) +1 ，则f (x1 )-f (x2 ) = x12 - 2ax1 + lnx1 - x22 + 2ax2 - lnx2 令t = x1 (2) ∈ (0, 1) ， g (t ) = - t - ), + ln t ，则g, (t ) = - 1+ ), + = - < 0 ，则g (t ) 在(0, 1) 上单调递减， 因t → 0+ 时， g (t ) → +∞ , g (1) = 0 ，则g(t ) ∈ (0, +∞) ，故f (x1 )-f (x2 ) 的取值范围为(0, +∞) . 3.【详解】（1）若a = 1 ，则f(x) = 2 ln x - x ， f(1) = -1 ．又f, 所以f,(1) = 2 -1 = 1 ，故曲线y = f(x) 在x = 1 处的切线方程为y- (-1) = 1 × (x -1) ，即x - y - 2 = 0 ； （2） f(x) 的定义域为(0, +∞) ， f, 当a ≤ 0 时， f, 故f(x) 在(0, +∞) 上单调递增； 当a > 0 时，令f,(x) = > 0 ，解得0 < x < ，故f(x) 在|((0, ,) 上单调递增，在(|( , +∞,) 上单调递减； （3） 由f(x) ≤ eax - x2 ，可得x2 + 2 ln x ≤ eax + ax ， 即elnx2 + ln x2 ≤ eax + ax ，令g(x) = ex + x ，易知g (x) 单调递增， 由elnx2 + ln x2 ≤ eax + ax ，可得g (ln x2 ) ≤ g(ax) ，则ln x2 ≤ ax ，即 设h 则h, 当x >e 时， h,(x) < 0 ， h(x) 单调递减， 当0 < x < e 时， h,(x) > 0 ， h(x) 单调递增，所以hmax 所以 ≥ , 因此a 的取值范围为 4.【详解】（1）函数f(x) = ex - ax - 3 ， x ≥ 1 ，求导得f,(x) = ex - a ， 当a ≤ e 时， f,(x) ≥ 0 ，函数f(x) 在[1, +∞) 上单调递增； 当a > e 时， 由f,(x) < 0 ，得1 ≤ x < ln a ； 由f,(x) > 0 ，得x > ln a ， 函数f(x) 在[1, ln a)上单调递减，在(ln a, +∞) 上单调递增，所以当a ≤ e 时，函数f(x) 在[1, +∞) 上单调递增；当a > e 时，函数f(x) 在[1, ln a)上单调递减，在(ln a, +∞) 上单调递增. （2）当x ≥ 0 时，不等式f e x -ax e x 恒成立，令g = ex ax -1, x ≥ 0 ，求导得g ,(x) = ex - x - a ，令h(x) = g ,(x), x ≥ 0 ， 求导得h,(x) = ex -1≥ 0 ，则函数g, (x) 在[0, +∞) 上单调递增， g ,(x) ≥ g ,(0) = 1 - a ， 当1- a ≥ 0 ， a ≤ 1 时， g ,(x) ≥ 0 ，则g (x) 在[0, +∞) 上单调递增， g(x) ≥ g(0) = 0 ，符合题意；当1- a < 0 ， a > 1 时， g ,(0) < 0 ， x → +∞ 时g ,(x) → +∞ , 则3x0 ∈ [0, +∞) ，使g,(x0 ) = 0 ，当x ∈[0, x0 ) 时， g,(x) < 0 ， g (x) 在(0, x0 ) 上单调递减， 当x ∈(0, x0 ) 时， g(x) < g(0) = 0 ，不符合题意，所以a 的取值范围a ≤ 1 . （3） 由f(x1 ) = f(x2 ) = 0 ，得ex1 = ax1 + 3 ， ex2 = ax2 + 3 ，且x1 < x2 ， 则ex2 - ex1 = a(x2 - x1 ) ，解得a 要证3ex1 + ex2 > 3a ，需证3ex1 + ex 需证 令t = x2 - x1 > 0 ，即 即证tet + 3t > 3et - 3， 只需证明 令F且t > 0 ，则F , 函数F(t) 在(0, +∞) 上单调递增， F (t) > F (0) = 0 ，即 (t - 3)et + 3 > 0 ，所以3ex1 + ex2 > 3a . t +1 学科网（北京）股份有限公司 5.【详解】（1） 由f (x) = aex - x2 ，可得f,(x) = aex - 2x ，则f,, (x) = aex - 2 ， 因为f (x) = aex - x2 是[0, 2] 上的“下凸函数 ”，所以f,, (x)≥ 0 对任意的x ∈[0, 2]恒成立，即aex - 2 ≥ 0 恒成立，所以a ≥ 在[0, 2] 上恒成立， 令m (x ) = ，则函数m (x)在[0, 2] 上单调递减，所以m (x)max = h (0) = 2 ，所以a ≥ 2 ，所以实数a 的取值范围为[2, +∞) ． （2）①由g (x) = -cosx ，可得g, (x) = sin x ， g,, (x) = cosx ，当x ∈「|L0, 」 (7)|时， g,, (x) = cos x ≥ 0 ，根据“下凸函数 ”的充要条件可知函数g(x)= -cosx 在「|L0, 」 (7)|上为“下凸函数 ”． ②因为cos 3x = cos (x + 2x ) = cos x cos 2x - sin x sin 2x = cos x (2 cos2 x -1)- 2 sin2 x cos x = 2 cos3 x - cos x - 2(1- cos2 x )cos x = 4 cos3 x - 3cos x ，所以cos3x - 3cosx = 4cos3x - 6cosx ． ( 「 π π 7 「 1 7 )令t = cosx ，因为x ∈|L 6 , 3」| ，所以t ∈|L2 , 2 」| ，则cos3x - 3cosx = 4t3 - 6t ， 令h (t ) = 4t 3 - 6t ， t ∈「|L , ，则h, (t ) = 12t2 - 6 ， 由h, (t ) < 0 可得 ≤ t < ， 由h, (t ) > 0 得 < t ≤ ,所以函数h (t )在L|「 , ), 上单调递减，在((|, 」 (7)|上单调递增， 所以h (t )min = h |(( ,) = 4× |(|( ,) 3 - 6× = -2 ，即cos3x - 3cosx ≥ -2 ． （3）令p (x ) = ex - x ，则(ex1 - x1 )(ex2 - x2 ) (exn - xn ) = p (x1 ) p (x2 ) p (xn ) ， 考虑函数φ (x ) = ln p (x ) = ln (ex - x ) ，求导得 φ, (x ) = ，则 当x ∈(0, 1) 时， (2 - x )ex -1 = (1- x )ex + (ex -1) > 0 ，则φ,,(x) > 0 ， 故φ(x)在(0, 1) 上为“下凸函数 ”，所以 ≥ φ(|( ), ，即ln (ex1 - x1 )+ ln (ex2 - x2 )++ ln (exn - xn ) ≥ nφ |((), = n ln (|(e - ,) = ln |((e - ,) n ， 即ln (ex1 - x1 )(ex2 - x2 ) ( exn - xn ) ≥ ln -),n ，即(ex1 - x1 )(ex2 - x2 ) (exn - xn ) ≥ (|(e - ), n ， 当且仅当x1 = x2 = = x n = 1 时，等号成立，因此(ex1 - x1 )(ex2 - x2 ) (exn - xn ) 的最小值为(|e - 1 ) n ． n ( n, 学科网（北京）股份有限公司 寒假作业（十六）导数解答题练习 2 参考答案 1 ．【详解】（1） f, (x ) = + 2x + a ，则f, (2) = + 2× 2 + a = + a ， 由题意可得 + a), × |((- ), = -1 ， 解得a = -3 . （2） 由a = -3 ，故f (x) = lnx + x2 - 3x + 2 ，定义域(0, +∞)，则f, (x) = + 2 x -3 = 1 = ， x > 0 ， 由f,(x) = 0 得到x1 = ， x2 = 1.故当0 < x < 时， f, (x) > 0 ，当 < x < 1 时， f, (x) < 0 ，当x >1 时， f, (x) > 0 ，故f (x) 的递增区间为(|(0, ), 、 (1, +∞) ， f (x) 的递减区间为(|( , 1), . 2 ．【详解】（1） 由题意可得f,(x) = -sin x + sin x + x cos x = x cos x ，当- < x < 0 时， f, (x) < 0, f(x) 单调递减； 当0 < x < 时， f, (x) > 0, f(x) 单调递增； 所以f(x) 在「|L0, 」 (7)|单调递增，在「|L- , 0」 (7)|单调递减. （2）令φ(x) = ex - (x +1) ， φ,(x) = ex -1 ， φ , (x) 在R 上单调递增，且φ,(0) = 0 ， 当x < 0 时， φ , (x) < 0 ， φ(x) 单调递减；当x > 0 时， φ, (x) > 0 ， φ(x) 单调递增； 所以φ(x)min = φ(0) = 0 ，即ex ≥ x +1 ， 因为sin x ≤1, x > 0 ，所以x sin x ≤ x ，所以f(x) = cos x + xsin x ≤1+ x ≤ ex . （3）依题得， g(x) = x sin x -1, x ∈ , π , g ,(x) = sin x + x cos x ，令h (x) = g, (x) ， 则h, (x) = cos x + cos x - x sin x = 2 cos x - x sin x ， 当x 时， cos x ≤ 0 且xsin x ≥ 0 ，且两项不同时为 0，所以h,(x) < 0 ， g, (x) 在 , π 」 (7)|上单调递减， 因为g , (|( ), = 1 > 0 ， g,(π) = -π < 0 ， 由零点存在定理得，存在x0 ∈ , π , 使得g,(x0 ) = 0 ，所以当 < x < x0 时， g ,(x) > 0 ， g (x) 单调递增；当x0 < x < π 时， g,(x) < 0 ， g (x) 单调递减； 因为g (|( ), = -1> 0 ，所以g (x0 ) > g (|( ), > 0 ， 又因为g(π) = -1< 0 ， 由零点存在定理得，存在x1 ∈ [x0, π ] ，使得g(x1 ) = 0 ，因为g(x)在[x0, π ]上单调递减，所以零点x1 唯一， 又因为当x ∈ , x0 」 (7)|时， g (x)单调递增，所以g(x ) ≥ g |(( ), = -1 > 0 ，在此区间无零点. 综上， g(x) = f(x) - cos x -1在 , π 」 (7)|上有且只有一个零点. 3 ．【详解】（1） f2 (x ) = sin x sin x sin3 x sin x ∵ 3 - 2 sin 2 x ≥ 3 - 2 = 1 > 0 ． 则由f2 (x) = 0 ，得sin x = 0 ，解得x = kπ, k ∈ Z ． 故f2 (x) 的所有零点组成的集合为{xx = kπ, k ∈ Z}． （2） ∵ sin 5x = sin 2x cos 3x + cos 2x sin 3x = 2 sin x cos x (4 cos3 x - 3cos x ) + (1- 2 sin2 x )(3sin x - 4 sin3 x ) = 2 sin x (4 cos4 x - 3cos2 x )+ (1- 2 sin2 x )(3sin x - 4 sin3 x ) = 2sin x「|L4(1- sin2 x)2 - 3( 1- sin2 x) -10 sin3 x + 3sin x + 8sin5 x = 16sin5 x - 20sin3 x + 5sin x ， 令t = sin x ∈[-1, 1] ，则F t5 ， F , (t ) = 3 -16t2 +16t4 = (4t2 -1)(4t2 - 3), F , (t ) 为偶函数． ∵F(t ) 为奇函数，故只需考虑t ∈[0, 1]上的情形． 当 时， F, (t ) ≥ 0, F (t ) 单调递增； 当 时， F, (t ) < 0, F (t ) 单调递减． 4 ．【详解】（1）当a = 1 时， f (x) = xlnx - x + 2 ， x > 0 ，所以f, (x ) = lnx +1-1 = lnx ，则当0 < x <1时， f, (x ) < 0 ， f (x)单调递减； 当x > 1 时， f, (x ) > 0 ， f (x)单调递增， 所以f (x) 的极小值为f (1) = 0 -1+ 2 = 1 ，无极大值. （2）不等式f (x)≤ 0 在(0, +∞) 上恰有 3 个整数解，等价于a ≥ lnx在(0, +∞) 上恰有 3 个整数解，令g = lnx x > 0 ， 则g , 所以当x ∈(0, 2) 时， g , (x ) < 0 ， g (x ) 单调递减；当x ∈(2, +∞) 时， g , (x ) > 0 ， g (x ) 单调递增，所以g (x)min = g (2) = ln2 +1 ≈ 1.69 ， 又g = 2, g = ln 所以要使a ≥ g(x )有 3 个整数解，需满足g(4) ≤ a < g(1) ，即ln a < 2 ，此时的整数解为：2 ，3 ，4. 所以a 的取值范围为 . 5．【详解】（1）当m = 1时，f = x ln x x2 - x +1，f 的定义域为(0, +∞), f,(x) = lnx - x ．所以f,(1) = -1 ，f(1) = - ，因此曲线y = f(x) 在点(1, f (1))处的切线方程为y 即切线方程为： x + y ． （2）因为g (x) = lnx - mx ， g , ①当m ≤ 0 时，因为x ∈[1, e] ，所以g, (x) > 0 ，所以函数g(x)在[1, e]上单调递增，则g(x)max = g (e) = 1- me ； ②当 e ，即0 < m ≤ 时， x ∈ [1, e] ， g, (x) ≥ 0 ，所以函数g(x)在[1, e]上单调递增，则g(x)max = g (e) = 1- me ； ③当 e ，即 时，函数g(x)在(|(1, ,) 上单调递增，在|(( , e), 上单调递减，则g max = g lnm -1； ④当 即m ≥ 1 时， x ∈ [1, e] ， g, (x) ≤ 0 ，函数g(x)在[1, e]上单调递减，则g(x)max = g (1) = -m ．综上，当m ≤ 时， g (x)max = g (e) = 1- me ；当 < m < 1 时， g max = g lnm -1； 当m ≥ 1 时， g (x)max = g (1) = -m . （3）要证x1x2 > e2 ，只需证： lnx1 + lnx2 > 2 若f (x)有两个极值点x1 , x2 ，即函数f, (x )有两个零点，又f,(x) = lnx - mx ， 所以x1, x2 是方程f, (x) = 0 的两个不同实根，即 解得m ( l ln x 2 - mx 2 = 0 2 1 2 1 x 2 - x 1 x 1 + x 2 )另一方面， 由{〔lnx1 - mx1 = 0 ，得lnx - lnx = m (x - x ) ，从而可得 lnx2 - lnx1 = lnx1 + lnx2 ， 于是lnx1 + lnx 不妨设0 < x1 < x2 ，设t = ，则t > 1 ．因此， lnx1 + lnx t > 1． 要证lnx1 + lnx2 > 2 ，即证： t > 1 ，即当t > 1时，有lnt 设函数h = lnt t ≥ 1 ，则h, 所以h (t ) 为(1, +∞) 上的增函数． h (1) = 0 ，因此， h (t ) ≥ h (1) = 0 ． 于是，当t > 1时，有lnt > ．所以lnx1 + lnx2 > 2 成立， x1x2 > e2 ． 寒假作业（十七） 综合复习题（一） 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B B A D B A B BD ACD ACD 12、 280 13、2 14、 y = ±2x 【部分题目详解】 6. 【详解】 由题设 an+1 = a1qn = a1 n ， Sn 所以Tn 当且仅当·、i3n n ，即n =3 时取等号，所以当Tn 取得最大值时，对应的n 为 3. 故选：B 7. 【详解】设线段 AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F1 , F2 ，连接DE, DB ， 因为线段AB 的中点E 在圆O : x2 + y2 = a2 上，所以DE 丄 AB ，所以△ADE ≌ △BDE ，所以AD = BD = 2a ， 因为OB = ·OA ，所以OB = ·a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos 上ODB ， 因为上ODB ∈(0, π ) ，所以上ODB = ，所以上BDF2 = ，过B 作BF 丄 x 轴于F ，则 BF = a, DF = a ， 所以B(2a, s3a ) ，所以 得a2 = b2 ，所以a2 = c2 - a2 ， 2a2 = c2 ，所以c = ·、a ，所以离心率e = = · ,故选：A 8. 【详解】根据题意可令g(x) = (x < 0) → g, (x) = < 0 ，所以g(x) = 在(-∞ , 0) 上单调递减，则原不等式等价于 < -1 ， 由g(x + 2025) = < -1 = g (-1) → 0 > x + 2025 > -1 ， 解之得x ∈(-2026, -2025) . 故选：B 10. 【详解】 由椭圆方程可知， a 2 = 9 ， a = 3 ， ( 4 4 4 14 3 3 3 3 )当PF2 垂直于x 轴时， lPF2 = ，则 PF1 = 2a - = 6 - = ， 勾股定理得PF1 2 = F1F2 2 + PF2 2 ，即 解得c 2 = 5 ， c = ，则b2 = a2 - c2 = 4 ，b = 2 ，A 正确； PF1 的最小值为a - c = 3 - ·、 ，B 选项错误； 当PF1F2 构成三角形时，当 P 为上顶点或下顶点时， ΔPF1F2 面积最大，为 c . b C 选项正确；当PF1F2 构成三角形时，若直角顶点为F1 或F2 时，满足ΔPF1F2 为直角三角形的点 P 有 4 个， 若直角顶点为点 P 时， 由c >b ， 以F1F2 为直径的圆与椭圆有 4 个交点，点 P 有 4 个，所以满足ΔPF1F2 为直角三角形的点 P 的个数为 8 个，D 选项正确. 故选：ACD ( l ln x - 1 ≠ 0 ， , , ． )11. 【详解】 由{〔x > 0 得函数f (x ) 的定义域为(0 e) (e +∞) 对于 A ， f 当x ∈(0, ) 时， 2lnx -1 < 0 ， lnx -1 < 0 ，所以f (x ) = > 0 ，所以 A 正确；对于 BCD ， 由f (x ) = x + - ，得f, 由f, (x ) > 0 ，得0 < x <1或x > e 由f, (x ) < 0 ，得1 < x < e 或e < x < e ， 所以f (x )在(0, 1) ， 上单调递增，在(1, e) ， (|(e, e 上单调递减， 所以f (x ) 的极大值为f (1) = 1 ，极小值为f 所以 B 错误，C ，D 正确．故选：ACD． 13. 【详解】设两曲线的公切点为(x0, y0 ) ，因为y1, = 2x ， y ，依题意得xlnx0 ， 2x0 = a 由2x0 = a 解得x 将x 代入xlnx0 ， 整理得 - 2ln -1 = 0 ，令t = > 0 ，则t 2 - 2lnt -1 = 0 ，令f (t ) = t2 - 2lnt -1(t > 0) ， 则f, 令f,(t ) = 0 ，解得t = 1 （舍负）， 当t ∈(0, 1) 时， f,(t ) < 0 ；当t ∈(1, +∞) 时， f,(t ) > 0 ， 所以f (t ) 有最小值f (1) = 0 ，所以方程t 2 - 2lnt -1 = 0有唯一解t = 1 ，此时 = 1 ，解得a = 2 ． 故答案为：2. 14. 【详解】 由题意双曲线的图形如图， 设 PF1 = m, PF2 = n ，点P 是C 的右支上一点， 连接PF1 与y 轴交于点M ，若 F1O = 2 OM ， PF1 丄 PF2 ，易知MF1O 与PF1F2 相似， 可得： 所以m = 2n ，又m - n = 2a ，所以n =2a, m = 4a ， 可得16a2 + 4a2 = 4c2 = 4a2 + 4b2 ，解得 所以双曲线的渐近线方程为： y = ±2x ． 故答案为： y = ±2x 15. 【详解】（1） 由已知，当n ≥ 2 时， an - an-1 = 2 .3n-2 ， an = a1 + (a2 - a1 ) + (a3 - a2 ) ++ (an - an-1 ) = 1+ 2(1+ 3 + 32 ++ 3n-2 ) = 1+ 2× - = 3n-1当n = 1 时， a1 = 31-1 = 1 符合上式， : an = 3n-1 ， n ∈ N* . （2） 由（1）知bn = (2n +1)an = (2n +1)×3n-1 ， Sn = 3 × 30 + 5× 31 ++ (2n +1)×3n-1 ① 3Sn = 3 × 31 + 5× 32 ++ (2n -1)×3n-1 + (2n +1)×3n ② ①-②得-2Sn = 3 + 2(31 + 32 + + 3n-1 )- (2n +1).3n 所以Sn = n .3n ， n ∈ N* . 16. 【详解】（1）当a = 0 时， f (x) = = - - lnx ， x > 0 ，则f, (x ) = - = ，当x ∈(0, 1) 时， f, (x ) > 0 ，当x ∈(1, +∞) 时， f, (x ) < 0 ， 所以f (x )在(0, 1) 上单调递增，在(1, +∞) 上单调递减，所以f (x )在x =1 时取最大值，最大值为f (1) = -1． 当a ≤ 0 时， ax -1< 0 ，所以当x ∈(0, 1) 时， f, (x ) > 0 ， f (x )单调递增； 当x ∈(1, +∞) 时， f, (x ) < 0 ， f (x )单调递减，所以f (x )无极小值点，不符合题意； 当0 < a < 1时， > 1 ，在(0, 1) ， (|( , +∞), 上， f, (x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；在(|(1, ), 上， f, (x ) < 0 ， f (x ) 单调递减，所以当x = 时， f (x )取得极小值，且只有一个，符合题意； 当a = 1 时 所以f (x )单调递增， f (x )不存在极小值点，不符合题意； 当a > 1 时， 0 < < 1 ，在(|(0, ,) ， (1, +∞) 上， f, (x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；在(|( , 1,) 上， f, (x ) < 0 ， f (x ) 单调递减，此时当x =1 时， f (x )取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上， a 的取值范围为(0, 1) (1, +∞)． 17. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c (c > 0) ， 由题意知2c = 2 ，所以c = 1 ， ΔF1AB 的周长为AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 4a = 4·、i2 ，所以a = V2 ，所以b2 = a 2 - c2 = 1 ，故C 的方程为+ y2 = 1. （2）若l1 的斜率为0 ，则 A, B, F1 共线，与条件矛盾， 所以l1 的斜率不为 0 ，设l1 : x = my +1 ， A (x1, y1 ) ，B (x2, y2 ) ，联立{l 得(m2 + 2) y2 + 2my -1 = 0， 所以y1 + y2 = ， y1y2 = .所以 y1 - y2 = ·( y1 + y2)2 -4 y1y2 ( = )2 ·2 (m2 + 1) ， m2 + 2 由S△AB F1F2 y 1 - y 解得m = ±1 ，所以l1 的方程为x - y -1 = 0 或x + y -1 = 0 . （3） 由（2）可知AB = y1 - y2 = = 2 |((1 - ,) ， 因为l1 的斜率是l2 的斜率的 2 倍，所以m ≠ 0 ，同理可得MN = 2 ·i2 (|(1 - ), . 所以MN - AB = 2s2 (|( - ,) = = ≤ = ， 2 m 当且仅当m = ±1时，等号成立，所以MN - AB 的最大值为 ·、 . 3 18. 【详解】（1） f (x) ≥ 0 ex - ax ≥ 0 ex ≥ ax ， 当x = 0 时，不等式显然成立，当x > 0 时， a ≤ 恒成立，令 g 则g, (x ) = 因此0 < x <1时， g,(x) < 0 ， x > 1 时， g,(x) > 0 ，所以g(x)在(0, 1) 单调递减，在(1, +∞) 单调递增， 所以当x > 0 时， a ≤ g(x)min = g (1) = e ，当x < 0 时， a ≥ 恒成立，令 g(x) = ，此时g, (x ) = < 0 恒成立， 所以g(x)在(-∞, 0) 单调递减，而x → -∞ 时， g (x) < 0 且g(x) → 0 ，所以当x < 0 时， a ≥ 0 ，综上0 ≤ a ≤ e . （2） 由（1）知ex ≥ ex 恒成立，当且仅当x =1 时等号成立， 所以lnex ≥ ln (ex) → x ≥ ln x +1→ x -1 ≥ ln x ，当且仅当x = 1 时成立， 所以xex - 2elnx ≥ ex2 - 2elnx ≥ ex2 + 2e (1- x ) = e (x2 - 2x + 2) 所以xex - 2elnx ≥ e( x2 - 2x + 2) . 19. 【详解】（1） F1F2 = 2 · , : 2c = 2 ·、 ， :c = ·、 ， E(1, )为椭圆 + = 1上一点， ( : a 2 + b 2 = 1 ， 联立方程组 { c a = 2 + c 2 ， 解得 { l c b $ ， : 椭圆 C 的方程为 y 4 + x 2 = 1 ； ) 2 1 + = 1 〔 a = 2 2 2 ( l ) ( 〔 y 2 x 2 )（2）（i）直线l 和椭圆C 联立方程组{ 4 + 2 = 1 ，消去y ，整理得到(k2 + 2)x2 + 2ktx +( t2 - 4) = 0， ly = kx + t 椭圆 C 与直线l：y = kx + t(k ≠ 0，t ≠ 0) 有唯一公共点 M， : Δ = 0 ， :(2kt )2 - 4 (k 2 + 2 )(t 2 - 4 )= 0 ， : t 2 = 2k 2 + 4 ，且(k2 + 2)x2 + 2ktx +( t2 - 4) = 0 的解为x ， x = 代入l：y = kx + t 解得y = k. + t = ，则M (|( , ), ， t 2 = 2k 2 + 4 ， : t2 = k2 + 2 ， ( t ( t ) ) ( 设 x = 0 ，则 y = k 2 + 2 ， 则 B |( 0, k 2 + 2 , ， ):k2 = t2 - 2 ， ， 过点 M 且与 l 垂直的直线方程为y - = - x + ), ， ( kt ( kt ) )设y = 0 ，则x = k2 + 2 ，则 A|(k2 + 2 , 0, ， （ii）椭圆 C 的方程为 ， Q (x0,y0 ) 引椭圆 C 的另一条切线，切点为 N， 设M(x1,y1 ), N (x2,y2 ) ，则M(x1,y1 ) 为切点的切线方程为 ，则N(x2,y2 ) 为切点的切线方程为 ， 这两条切线都过Q(x0,y0 )， :直线MN 的方程为， Q (x0,y0 ) 在直线x + y-1 = 0 上， : x0 + y0 -1 = 0 ， : y0 = 1- x0 ， :直线MN 的方程为 :y(1- x0 ) + 2xx0 = 4 ， : x0 (-y + 2x) + (y - 4) = 0 ， :直线MN 过定点(2, 4) . 寒假作业（18）综合复习题二 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C B B B A D C AC AD BCD 12、 20 13、 e -1 14、 ②④ 【部分题目详解】 5 ．答案：B 详解： 由韦达定理，可得a2 . a2025 = 2 ， 由等比数列性质可得an . a2027-n = 2, n ∈ [1, 2026], n ∈ N* ．设S = log2a1 + log2a2 + log2a3 + ... + log2a2026 ，所以S = log2 a2026 + log2 a2025 + log2 a2024 + ... + log2 a1 则2S = (log2 a1 + log2 a2026 ) + (log2 a2 + log2 a2025 ) + ... + (log2 a2026 + log2 a1 ) ， 得2S = log2 (a1 . a2026 ) + log2 (a2 . a2025 ) + ... + log2 (a2026 . a1 ) = log22 + log22 + ... + log22 = 2026 ，所以S = 1013 .故选：B 6 ．答案：A 详解： f (x) = x2 - x + aln x ，则f, (x ) = 2x ， 由题意f, (x ) = 2x -1+ = 0 有两个不同的异号零点，即a = -2x2 + x = -2|((x - ), 2 + 有两个不同的根，记g (x 当0 < x < 时，函数g(x)单调递增，在x 时，函数g(x)单调递减，所以当x = 时，函数g(x)有最大值 ，且g = 0, g ， 所以当x > 0 时， a = -2x2 + x 有两个不同的根， 等价于直线y = a 与函数g(x 有两个不同的交点，如图， ( ( 1 ) )所以a ∈|(0, 8 , .故选：A 7 ．答案：D 详解：因为2f (x ) + f x ，可得2f ( 〔 2 f ( x ) + f (| 1 ) = 3 x )联立方程{ ( x, 消去f(| 1 ) 可得f (x ) = 2x - 1 l 2f (|( ), + f (x ) = ， ( x , x ，因为y = f (x )- a lnx = 2x - - a lnx 为增函数， 则y, = 2 + - ≥ 0 在(0, +∞) 内恒成立，即2x + ≥ a 在(0, +∞) 内恒成立， ( 1 1 1 、/ 2 )又因为2x + ≥ 2 2x . = 2·、 ，当且仅当2x = ，即x = 时，等号成立， x \ x x 2 可得a ≤ 2i2 ，所以 a 的取值范围是(-∞, 2、i2 .故选：D. 8 ．答案：C 详解：连接 AF1 ， BF1 ， DF1 ， AF2 ， 由以 AB 为直径的圆恰好过左焦点F1 可得 AF1 丄 BF1 ， 由双曲线的对称性得四边形 AF2 BF1 为矩形， 可设| BF2 |= t ，则 F2D = 2t, BF1 = 2a + t,DF1 = 2a + 2t ，在直角三角形DBF1 中，可得| BD |2 + | BF1 |2 =| DF1 |2 ，即(3t)2 + (2a + t)2 = (2a + 2t)2 ，解得t = ，又在直角三角形BF1F2 中， | BF2 |2 + | BF1 |2 =| F1F2 |2 ， 即t2 + (2a + t)2 = 4c2 c2 ，因为c2 = a2 + b2 所以 = 4 (a2 + b2 ) ，即 = .故选：C． 11 ．答案：BCD 详解：对于 A：因为函数 f(x) 过点A 2, ), ，所以 = × 23 - × 2 + m ，解得m = 1 所以f(x) = x3 - x +1 ， f,(x) = x2 - = (x +1)(x -1) ，令f,(x) = 0 ，得x = -1 或 1 ，所以在(-∞ , -1) 上， f,(x) > 0 ， f(x) 单调递增，在(-1, 1) 上， f,(x) < 0 ， f(x) 单调递减，在(1, +∞) 上， f,(x) > 0 ， f(x) 单调递增， 所以在x = -1 处取得极大值，在x =1 处取得极小值，故 A 错误； 对于 B： 由上可知， f(x) = x3 - x +1 ， f(-x) = - x3 + x +1 ，所以f(x) + f(-x) = 2 ，所以点(0,1)是曲线f(x) 的对称中心，故 B 正确； 对于 C： 由上可知f(-1) = ，令 x3 - x +1 = ，解得x = -1 或 2， 若函数f(x) 在(a, a2 ) 上有最大值，则a < -1 < a2 ≤ 2 ，解得- ·、 ≤ a < -1， 所以 a 的取值范围为 -、 , -1) ，故 C 正确； 对于 D： 由上可知f(-1) = f(2) = ，又f(1) = ， 令 x3 - x +1 = ，解得x =1 或-2 ，当t = 或t = 时，方程f(x) - t = 0 两根显然满足结论.当t < 或t > 时，方程f(x) - t = 0 只有一个解，且绝对值大于 2 ，舍去. 当 < t < 时，方程f(x) - t = 0 有三根，且-2 < x1 < -1< x2 < 1 < x3 < 2 ，所以其所有根的绝对值都不大于 2 ，也满足结论，故 D 正确．故选：BCD． 14 ．答案： ②④详解： ①若0 < a1 < 2 且0 < a2 < 2 ，取a1 = 0.5, a2 = 0.5 ， lga3 = lga2 - lga1 lglg1 = 0, :a3 = 1 ，lga4 = lga3 - lga2 ( 2 )lg = lg = lg 2, :a2 = 2 ，不满足小于 2，故①错误； ② lgan+1 = lgan - lgan-1lgn = 2, 3, 4, ， a1 = 1 若a2 = 1, 可得a3 = 1, a4 = 1, a5 = 1, a6 = 1... ,若a2 > 1, 可得a3 = a2 ,a4 = 1,a5 = a2 ,a6 = a2 ,a7 = 1...,a n+6 = 1 , 若0 < a2 <1, 可得a综上，存在无穷多个 1 ， ②正确； ③存在一组a1 , a2 ，使得{an }单调递增，由②可知，数列周期为 6 ，若单调递增需满足a1 < a2 a1 矛盾， ③错误； ④{an } 中一定存在一项ak < 2 ，若初始值a1 , a2 ≥ 2 ， 则a 必然存在小于 2 的项， ④正确.故答案为： ②④ 15 ．解：（1）设等差数列{an } 的首项为a1 ，公差为 d，则 解得 ，所以数列{an } 的通项公式为an = 1+ 2(n -1) = 2n -1； （2） 由an = 2n -1 ，可得cn 所以Tn = c1 + c2 + + cn = × (|(1 - ), + × |(( - ), + + × - ,) = × (|(1 - ), = ； a 2n +1 2 （3）因为an+1 < man ，且an = 2n -1> 0 ，所以m > a (n)+1 = 2n - 1 = 1 + 2n - 1 ， n 易知f (n ) = , n ∈ N* 单调递减，所以f (n ) = ∈ (0, 2] ，所以 = 1+ f (n ) ∈ (1, 3]，故实数 m 的取值范围为m > 3 . ( 17 ．解 ：（ 1 ） 由题意可设椭圆 C 的半焦距为 c ， 由题意可得 { = , 解得 { b a 2 a 2 = b 2 + c 2 , l c l )16 ． f, ( ⅰ ) 当a ≤ 0 时， f,(x) > 0 ，所以f(x) 在(0, +∞) 上单调递增，无极值. ( ⅱ ) 当a > 0 时，令f,(x) < 0 ，得0 < x < · , 令f,(x) > 0 ，得x > v . :f(x) 在(0, ·、) 上单调递减，在( · , +∞) 上单调递增， :f(x) 在x = ·、处取得极小值， f( ·) = a - 2a ln· - 2a = -a - a ln a ，综上，当a ≤ 0 时， f(x) 在(0, +∞) 上单调递增，无极值； 当a > 0 时， f(x) 在(0, ·、) 上单调递减，在(·、 , +∞) 上单调递增，极小值为-a - a ln a ，无极大值. （2） f(x) 的定义域为(0, +∞) ， : f(x) > -2a ln a + e 2 在(0, +∞) 恒成立， a > 0 ， 由（1）知f(x) 在(0, ·) 单调递减，在 (·、 , +∞) 单调递增， :f(x)min = -a - a ln a ，所以-a - aln a > -2aln a + e2 即a - aln a + e2 < 0 . ①当0 < a < 1 时，不等式a - aln a + e2 < 0 不成立，不符合题意； ②当a > 1 时，设g(x) = x - xln x + e2 (x > 1) ，则g ,(x) = - ln x < 0 ，所以g (x) 在(1, +∞) 单调递减，又 g (e2 ) = 0 ， : a - a ln a + e2 < 0 等价于g(a) < g(e2 ) ， :a > e2 ；综上， a 的取值范围是a > e2 . 〔 4 1 ( c ·、 ) a2 + b2 = 1, 〔a 故椭圆C 的标准方程为 = 2、, = ·、, = ·、, （2）解： 由题意可知直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为y = k(x - 4) - 2 ， A (x1, y1 ) ， B (x2, y2 ) ，由 得(4k2 +1)x2 -16k(2k +1)x +16(2k +1)2 - 8 = 0 ， 则x1 + x2 = ， x1x ①因为直线l 的斜率为-1 ，所以x1 + x2 = ， x1x2 = ，所以 ABx 1 - x 因为直线l 的方程为x + y - 2 = 0 ，所以点P 到直线l 的距离d 则 PAB 的面积S = 1 | AB | .d = 1 × 8·、 × ·、i2 = 2·、i . 2 2 5 2 5 ②证明：因为P(2, 1) ，所以k 则k1k - ), = k2 -k (2k = k 所以k1k2 为定值 18． 解：（1）证明：因为a an ，所以an ≠ 0 ， = + ，所以 -1 = -1), ， 又 ，所以-1 ≠ 0 ，所以 所以{l (〔)-1 是以 为首项， 为公比的等比数列． （2） 由（1）得 = ，所以 = +1 ，记Sn 所以Sn n = n 因为 所以{Sn } 为递增数列， S99 = 99 +1 - = 100 - < 100 ， S100 = 100 +1- = 101- > 100 ， 所以使得成立的正整数n 的最大值为 99． a1 a2 an （3） 由（2）得bn = (2n 记{bn } 的前n 项和为Tn ， 则Tn 上式两边同乘以 ，得 Tn = + + + + + ， 两式相减，得 Tn = + + + + + -1 = 2 (1) - = +1 - - = - ， ( . ) ( n 2 n )所以T = 3 - 2n + 3 19 ．解（1） f (x ，所以f,(x ) ，则fe - a, f, a . 因为曲线y = f (x)在x =e处的切线与在x = 处的切线的倾斜角互补，所以(-e - a ) + (|( - a ), = 0 ，解得a = - . （2）（i）令f (x) = lnx - ax = 0 ，则a = lnx ， x 令g (x) = ，则g (x x < 1 ，所以g,(x 则g(x) 的单调递增区间为(1, e) ，单调递减区间为(0, 1), (e, +∞) ，当x → 0 ， g (x) → +∞ , 当x → +∞ , g (x) → 0 ，又g(1) = 0 ， g (e) = ， f (x)有三个零点，所以a 的取值范围为(|(0, ), . （ii）证明： 由（i）可知0 < x1 < 1 < x2 < e < x3 ，下面证明： x2 x3 (2) > e3 , x1 (3) > . ①要证明x2x3 (2) > e3 ，只需证明lnx2 + 2lnx3 > 3 ， ( x 2 + 2 x 3 . )又lnx2 = ax2 , lnx3 = ax3 ，即证ax2 + 2ax3 > 3 ，所以上式等价于证明a > 3 由lnx2 = ax2 , lnx3 = ax3 ，得ln 则a ，所以只需证明 > ，即证 ( ( x 3 ) )ln x3 > 3 (x3 - x2 ) = 3 |( x2 -1, ， ( 2 2 3 1 + 3 )x x + 2x 2x ( 2 )x 令t = ，则t >1 ，上式等价于证明lnt > ， 令h (t ) = lnt - ，则h, (t ) = - 3(1+t 2 (-)t6)2(t -1) = (t (1 (1)(2t (4t))2 (-) 1) ， 因为t >1 ，所以h, (t ) > 0 恒成立，所以h (t ) 在(1, +∞) 上单调递增，所以当t > 1 时， h (t ) > h (1) = 0 ，即 所以原不等式成立，即x2x3 (2) > e3 . ( e \ e )②要证明x1 (3) > 1 ，只需证明x1 > ， 由 知g ，则 L (「)|g ((| ),3 - (|(,)3 = - = >0 ，即g (|( ), > ， 又因为g (x1 ) = a ,a ∈ (|(0, ), ，所以g ((| ), > > g (x 1 ) ， ( \ e )因为g(x)在(0, 1) 上单调递减，所以1 > x1 > 成立，综上， x2x3 (2)x1 (3) > e2 . $