2026年中考数学二轮复习课件： 二次函数的综合

二次函数的综合 1 类型一 二次函数与线段及最值问题 此类题型一般选择抛物线上一点与过这点且平行于y轴的直线与已知直线交点形成的线段长度为定值或者最值时求点的坐标.突破口为设抛物线上点的坐标中横坐标为x，纵坐标为抛物线的表达式，与之相关点的横坐标也为x，纵坐标为直线的表达式，两点纵坐标之差的绝对值即为线段长度；或者建立关于线段长度的二次函数，通过求二次函数的最值进而求线段长度相关的最值；也有出现线段长度之和最小的问题，转化为对称点后用“两点之间线段最短”解决，有时还会用到“垂线段最短”. 解题策略 2 例1 (2024·渠县中学三模节选) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC. (1)求该抛物线的解析式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A(－4，0)，B(1，0)， ∴ 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2. 3 (2)Q为线段AC上方抛物线上的一动点(点Q不与点A，C重合)，过点Q作QE∥x轴交直线AC于点E，过点Q作QF⊥x轴交AC于点F，求△QEF周长的最大值及此时点Q的坐标. 解：如图，记△QEF的周长为C△QEF， △OAC的周长为C△OAC. ∵y＝－x2－x＋2， ∴当x＝0时，y＝2. ∴C(0，2).∴OC＝2. ∵A(－4，0)，∴OA＝4，AC＝＝2. ∴C△OAC＝4＋2＋2＝6＋2. 设直线AC的解析式为y＝mx＋n. ∵A(－4，0)，C(0，2)， ∴ 解得 ∴直线AC的解析式为y＝x＋2. 设Q，则F. ∴QF＝－t2－t＋2－＝－t2－2t. ∵QE∥x轴，∴∠FEQ＝∠CAO. ∵QF⊥x轴，即QF∥y轴， ∴∠EFQ＝∠ACO.∴△QEF∽△OAC. ∴＝－t2－t. ∴C△QEF＝C△OAC＝×(6＋ 2)＝－(t＋2)2＋6＋2. ∴当t＝－2时，△QEF周长的最大值为6＋2， 此时点Q的坐标为(－2，3). 1.(2024·开江县二模节选) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于 A(－2，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－6). (1)求该抛物线的函数表达式； 解：由题意，得y＝a(x＋2)(x－3)＝a(x2－x－6). ∵C(0，－6)，∴－6a＝－6，则a＝1. ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－x－6. 针对训练 (2)若点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴 的平行线交x轴于点E，过点P作x轴的平行线交BC于点F， 求2PF＋PE的最大值及此时点P的坐标. 解：由B(3，0)，C(0，－6)，得直线BC的函数表达式为 y＝2x－6. 设P(t，t2－t－6)，则F. ∴2PF＋PE＝2－(t2－t－6)＝－2(t－1)2＋8≤8.∴2PF＋PE的最大值为8，此时t＝1，则点P的坐标为(1，－6). 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点D的坐标为(1，4)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且点B的坐标为(3，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线和直线AC的解析式； 解：设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4. 把B(3，0)代入上式，得 0＝a(3－1)2＋4.解得a＝－1. ∴抛物线的解析式为 y＝－(x－1)2＋4. ∵顶点D(1，4)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1. 又∵B(3，0)，∴A(－1，0). 令x＝0，则y＝－(0－1)2＋4＝3.∴C(0，3). 设直线AC的解析式为y＝kx＋3. 把A(－1，0)代入上式，得0＝－k＋3. 解得k＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3. (2)在抛物线对称轴上找一点M，使点M到B，C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值. 解：延长AC交对称轴于点M，连接MB. ∵点A和点B关于对称轴直线x＝1对称， ∴MA＝MB.∴点M到B，C两点的距离之差的绝对值为 |MB－MC|＝|MA－MC|＝|AC|，此时点M到B，C两点的 距离之差的绝对值最大，最大值为AC的长. ∵A(－1，0)，C(0，3)， ∴AC＝. ∵点M在直线y＝3x＋3上， ∴当x＝1时，y＝3×1＋3＝6. ∴点M的坐标为(1，6)，最大绝对值为. 3.(2025·遂宁节选) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1，连接AC，BC. (1)求二次函数的表达式； 解：∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，且与 x轴交于A(－1，0)，B两点，∴B(3，0). ∴二次函数的表达式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3. (2)在x轴上方的二次函数图象上找一点Q，作射线AQ，使∠BAQ＝2∠ACO，M是线段AQ上的一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BM，求BM＋MN的最小值. 解：如图，在OC上取点D，使AD＝CD， 则∠ADO＝2∠ACO. ∵∠BAQ＝2∠ACO，∴∠BAQ＝∠ADO. 易得C(0，－3)，∴OC＝3.设OD＝m， 则CD＝AD＝3－m. 在Rt△AOD中，OA2＋OD2＝AD2， ∴1＋m2＝(3－m)2.解得m＝. ∴OD＝，AD＝. 作点B关于直线AQ的对称点E，连接BE交AQ于 点F，过点E作EG⊥x轴于点G，则BM＝EM， BF＝EF.∴BM＋MN＝EM＋MN≥EG.当E，M， N三点共线时，BM＋MN的最小值为EG的长. ∵∠BAQ＝∠ADO， ∴sin∠BAQ＝sin∠ADO，即. ∴BF＝AB＝.∴BE＝2BF＝. ∵∠AGE＝∠AFE＝90°， ∴∠BEG＝∠BAF＝∠ADO. ∴cos∠BEG＝cos∠ADO， 即.∴EG＝BE＝. ∴BM＋MN的最小值为. 类型二 二次函数与图形面积问题 铅垂法：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水 平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 △ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内 部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一 种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝×水平宽×铅垂高，也就是三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.在平面直角坐标系中，水平宽为B，C两点横坐标之差的绝对值，铅垂高为A，D两点纵坐标之差的绝对值.有时还可通过等底(同底)等高(同高)等方法进行转化. 解题策略 18 例2 (2020·达州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x－2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于另一点C(－1，0). (1)求抛物线的解析式； 解：∵直线y＝x－2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(4，0)，B(0，－2). 又C(－1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4). 将B点坐标代入上式，得－2＝－4a，即a＝. ∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－4)， 即y＝x2－x－2. (2)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在.如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，P'. ∵OP∥AB， ∴△PAB和△OAB是等底等高的两个三角形. ∴S△PAB＝S△OAB. ∵OP∥AB，∴直线OP的解析式为y＝x. 联立 解得或 ∴P(2－2，1－)，P'(2＋2，1＋)； 当点P″在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP″∥AB，交抛物线于点P″，连接AP″，BP″， 则AB∥EP″∥OP. ∵OB＝BE，∴E(0，－4).∴S△P″AB＝S△OAB. ∵EP″∥AB，且过点E(0，－4)， ∴直线EP″的解析式为y＝x－4. 联立解得 ∴P″(2，－3). 综上所述，点P的坐标为(2＋2，1＋)或(2－2，1－)或 (2，－3). (3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN＋ON的最小值. 解：如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于点F. 设M，则F. ∴MF＝m－2－＝－(m－2)2＋2. ∴△MAB的面积为×4×＝－(m－2)2＋4. ∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值， 此时M(2，－3). 如图2，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于点 K，过点M作MP⊥OK于点P，延长MF交直线OK于点Q. ∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KN＝ON. ∴MN＋ON＝MN＋KN. ∴当M，N，K三点共线时，MN＋ON有最小值，即最小值为PM的长. ∵∠KOB＝30°， ∴直线OK的解析式为y＝x. 当x＝2时，Q(2，2).∴QM＝2＋3. ∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠KOB＝30°. ∴PM＝QM＝. ∴MN＋ON的最小值为. 4.(2025·东安雄才学校三模) 如图1，抛物线y＝x2＋bx与x轴交于点A，与直线OB交于点B(4，4)，过点A作直线OB的平行线，交抛物线于点C. (1)求抛物线的函数表达式； 解：∵抛物线y＝x2＋bx与直线OB交于点B(4，4)， ∴16＋4b＝4.解得 b＝－3. ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x. 针对训练 图1 (2)D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴交直线OB于点E，交直线AC于点Q，过点Q作QF⊥OB于点F，连接DF，求△DEF面积的最大值及此时点D的坐标； 解：设直线OB的函数表达式为 y＝kx. ∵直线y＝kx 过点B(4，4)，∴4k＝4. 解得 k＝1.∴直线OB的函数表达式为y＝x. ∵OB∥AC，∴设直线AC的函数表达式为y＝ x＋n.当 y＝0时，x2－3x＝0.解得 x＝0或x＝3. ∴A(3，0).∴3＋n＝0.解得n＝－3. ∴直线AC的函数表达式为 y＝x－3. ∴直线AC与y轴的交点为G(0，－3). 设D(m，m2－3m)，则E(m，m). 图1中，过点F作FW⊥DE于点W，设AC交y轴于 点G.易得四边形OGQE是平行四边形. ∴EQ＝OG＝3. ∵QF⊥OB，DE⊥x轴交直线OB于点E， ∴QF⊥AC，即∠EFQ＝∠EWF＝90°. 易得∠BOA＝45°.∴∠OED＝45°. ∴∠EQF＝45°，即△EFQ 为等腰直角三角形. ∴FW＝EQ＝，则S△DEF＝DE·FW＝(m－ m2＋3m)×＝－m2＋3m＝－(m－2)2＋3≤3. ∴当 m＝2 时，△DEF面积的最大值为3，此时 点D的坐标为(2，－2). (3)如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过(2)中△DEF的面积取得最大值时对应的点D，新抛物线与x轴交于点M，N(点M在点N的左侧)，请直接写出点M，N的坐标. 解：M(1，0)，N(4，0).　[设将原抛物线向右平移了 m个单位长度，则新抛物线的函数表达式为y＝ (x－m)2－3(x－m). 将D(2，－2)代入上式，得－2＝(2－m)2－3(2－m). 解得m＝0(舍去)或m＝1. ∴新抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2－3(x－1)＝ x2－5x＋4，令y＝0，则x＝1或x＝4，即M(1，0)，N(4，0).] 图2 5.(2019·达州) 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过 点A(1，0)，B(－3，0). (1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标； 解：由A(1，0)，B(－3，0)，得 y＝－(x－1)(x＋3). ∴y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3， 顶点C的坐标为(－1，4). (2)设点D是x轴上一点，当tan(∠CAO＋∠CDO)＝4时，求点D的坐标； 解：∵抛物线顶点C的坐标为(－1，4)， ∴抛物线对称轴为直线x＝－1. 设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H(－1，0). 在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1， ∴tan∠COH＝＝4. ∵∠COH＝∠CAO＋∠ACO， ∴当∠ACO＝∠CDO时，tan (∠CAO＋∠CDO)＝tan∠COH＝4. 如图，当点D在对称轴左侧时. ∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠DAC， ∴△AOC∽△ACD.∴. ∵AC＝＝2，AO＝1， ∴.∴AD＝20.∴OD＝19. ∴D(－19，0)； 当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝－1的对称点D'的坐标为 (17，0). ∴点D的坐标为(－19，0)或(17，0). (3)如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m，n，求m－n的最大值. 解：设P(a，－a2－2a＋3)，－3＜a＜0， 直线PA的解析式为y＝kx＋d.将P(a，－a2－2a＋3)， A(1，0)代入y＝kx＋d，得 解得 ∴直线PA的解析式为y＝(－a－3)x＋a＋3. 当x＝0时，y＝a＋3.∴N(0，a＋3). ∵S△BMP＝S△BPA－S四边形BMNO－S△AON， S△EMN＝S△EBO－S四边形BMNO， ∴S△BMP－S△EMN＝S△BPA－S△EBO－S△AON＝ ×4×(－a2－2a＋3)－×3×3－×1×(a＋3)＝－2a2－a＝ －2. 由二次函数的性质知，当a＝－时， S△BMP－S△EMN有最大值，最大值为. ∵△BMP和△EMN的面积分别为m，n， ∴m－n的最大值为. 6.(2014·达州) 如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(5，0)，B(4，4). (1)求过O，B，A三点的抛物线的解析式； 解：∵该抛物线经过点A(5，0)，O(0，0)， ∴可设过O，B，A三点的抛物线的解析式为y＝ a(x－0)(x－5)，即y＝ax(x－5). ∵点B(4，4)在该抛物线上， ∴a×4×(4－5)＝4.∴a＝－1. ∴过O，B，A三点的抛物线的解析式为y＝－x(x－5)，即y＝－x2＋5x. (2)在第一象限的抛物线上存在点M，使以O，A，B，M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标； 解：以O，A，B，M为顶点的四边形中，△OAB的面积 固定，因此只要另外一个三角形面积最大，四边形面积 就最大.设M(x，－x2＋5x). ①当0＜x＜4时，点M在线段OB上方的抛物线上， 如图1所示. 由B(4，4)易知直线OB的解析式为y＝x. 图1 过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E(x，x). ∴ME＝(－x2＋5x)－x＝－x2＋4x. ∴S△OBM＝S△MEO＋S△MEB＝ME·(xE－0)＋ME· (xB－xE)＝ME·xB＝ME×4＝2ME， 即S△OBM＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8. ∴当x＝2时，S△OBM的最大值为8； 图1 ②当4＜x＜5时，点M在线段AB上方的抛物线上，易得 直线AB的解析式为y＝－4x＋20. 过点M作ME∥y轴，交AB于点E， 则E(x，－4x＋20).∴ME＝(－x2＋5x)－(－4x＋20)＝ －x2＋9x－20. ∴S△ABM＝S△MEB＋S△MEA＝ME·(xE－xB)＋ME·(xA－xE)＝ME·(xA－xB)＝ME×1＝ME，即S△ABM＝－x2＋x－10＝ 图1 －. ∴当x＝时，S△ABM的最大值为. 比较①②可知，当x＝2时，四边形面积最大， 此时y＝－x2＋5x＝6.∴M(2，6). 图1 (3)作直线x＝m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值. 解：由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上，P(m，－m2＋5m)，Q(m，m)，0＜m＜4. 当△PQB为等腰三角形时， ①若BP＝BQ，如图2，过点B作BE⊥PQ于点E， 则点E为线段PQ的中点. ∴E. ∵BE∥x轴，B(4，4)，∴＝4. 解得m＝2或m＝4(舍去).∴m＝2； 图2　 ②若PQ＝PB，如图3所示. 易知∠BOA＝45°.∴∠PQB＝45°， 则△PQB为等腰直角三角形. ∴PB∥x轴.∴－m2＋5m＝4. 解得m＝1或m＝4(舍去).∴m＝1； 图3　 ③若QP＝QB，如图4所示. ∵P(m，－m2＋5m)，Q(m，m)， ∴PQ＝－m2＋4m. 又∵QB＝(xB－xQ)＝(4－m)， ∴－m2＋4m＝(4－m). 解得m＝或m＝4(舍去).∴m＝. 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1或2或. 图4 7.(2025·东安雄才学校二模) 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，16)，且过点D(－6，c). (1)求抛物线的函数表达式； 解：∵C(0，c)，D(－6，c)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝－3＝－， 则b＝－6，且c＝16. ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－6x＋16. 图1 (2)如图2，P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作PF ∥y轴，交直线AC于点E，交x轴于点F，连接PC，BE， BC，若，求点P的坐标； 解：令y＝－x2－6x＋16＝0，则x＝2或x＝－8， 即A(－8，0)，B(2，0). 由点A，C的坐标，得直线AC的函数表达式为y＝2x＋16. 当点P在AC的上方时，过点B作直线BM∥AC交y轴于点M， 图2 过点P作直线PN∥AC交y轴于点N，则直线BM的函数表 达式为y＝2(x－2)，则M(0，－4).∴CM＝16＋4＝20. 若，则CM∶CN＝5∶4. ∴CN＝16，即N(0，32). ∴直线PN的函数表达式为y＝2x＋32. 令2x＋32＝－x2－6x＋16，则x1＝x2＝－4.∴P(－4，24)； 当点P在AC的下方时，同理可得P(－4－4，－8－8). 综上所述，点P的坐标为(－4，24)或(－4－4，－8－8). 图2 (3)如图3，点M是抛物线的顶点，P为抛物线对称轴上的一个动点，连接AP，求AP＋PM的最小值. 解：过点M作直线MR，使直线MR 和PM的夹角为45°，交x轴于点R， 过点P作PH⊥MR于点H，则AP＋ MP＝AP＋PH，当A，P，H三 点共线时，AP＋MP＝AP＋PH＝AH最小. 图3 ∵MR和PM的夹角为45°，∴△ARH为等腰直角三角形.由抛物线的函数表达式知，M(－3，25)，MR和x轴的夹角为45°，则直线MR的函数表达式为y＝－(x＋3)＋25.∴R(22，0)，则AR＝30.∴AP＋PM的最小值为AH＝AR＝30. 50 类型三 二次函数与角度问题 　　(1)特殊角问题：①利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；②遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°角构造等腰直角三角形，遇到30°，60°角构造等边三角形，遇到90°角构造直角三角形等. 　　(2)角的数量关系问题：①等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决；②二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解决；③角的和差问题：要善于转化. 　　(3)角的最值问题：利用辅助圆等知识来解决. 解题策略 51 例3 (2025·达州) 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，顶点为M. 备用图 (1)求抛物线的解析式； 解：把B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的解析式是y＝－x2＋2x＋3. (2)连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线.交x轴于点E，交y轴于点F. ①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的比值； 解：令y＝－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. ∴A(－1，0). ∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3. ∴△OBC是等腰直角三角形.∴∠OBC＝45°. ∵EF∥BC，∴∠FEA＝∠OBC＝45°. ∴当∠AFE＝90°时，△AEF是等腰直角三角形， 且FA＝FE.∴EO＝AO＝FO＝1. ∴△AEF的外接圆直径是AE＝2，则其外接圆的半 径R＝1. ∵AF＝EF＝AE·sin 45°＝2×， ∴AF·r＋EF·r＋AE·r＝AE·FO，即(＋2)·r＝2.解得r＝－1. ∴－1. ②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MP＋BP的值最小时，求△BPE的面积. 解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点M(1，4). ∴设直线x＝1与x轴交于点T(1，0). 如答图1，过点P作PQ⊥x轴于点P，则在Rt△BPQ 中，PQ＝BP·sin 45°＝BP. 答图1 ∴MP＋BP＝MP＋PQ. ∴当M，P，Q三点共线，即MQ⊥x轴时，MP＋BP 的值最小，此时点Q，T重合. 当点F在△AEC的内角∠ACE的平分线上，即∠ACO ＝∠ECO时，如答图2，∵∠COA＝∠COE＝90°， ∴∠CAO＝∠CEO，∴CA＝CE.∴AO＝EO＝1.∴点E，T重合. 答图2 ∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式是y＝－x＋3.当x＝1时，y＝2，∴P(1，2). ∴BE＝PE＝2.∴S△BPE＝×2×2＝2； 当点F在△AEC的内角∠CAE的平分线上时，如答 图3，过点F作FK⊥AC于点K，则OF＝KF.设OF＝ KF＝a，则CF＝3－a. ∵sin∠ACO＝，AC＝， 答图3 ∴.∴a＝.∴OF＝. ∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OBC＝45°. ∴OE＝OF＝. ∴BE＝3－OE＝3－. ∴S△BPE＝××2＝； 答图3 当点E，F重合于点O时，点F在∠AEC的平分线上， 符合题意，则BE＝BO＝3. ∴S△BPE＝×3×2＝3. 综上所述，△BPE 的面积为2或或3. 答图3 8.(2024·东安雄才学校三模节选) 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； 解：由题意，得解得 ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3. 针对训练 (2)如图，若点M是抛物线上任意一点，且满足∠MAB＝2∠ACO，求点M的坐标. 解：设抛物线对称轴交x轴于点N，则ON＝OA. ∴∠ACN＝2∠ACO. 过点A作AH⊥CN于点H. 由点A(－1，0)，C(0，3)，N(1，0)，得AC＝CN ＝，AN＝2. ∴S△ACN＝AN×CO＝×AH×CN， 即AH×＝2×3，则AH＝. ∴sin∠ACN＝＝sin∠MAB. ∴tan∠MAB＝. 易得直线AM的解析式为y＝(x＋1)或y＝－(x＋1). 令(x＋1)＝－x2＋2x＋3， 解得x＝－1(舍去)或x＝，∴M； 令－(x＋1)＝－x2＋2x＋3， 解得x＝－1(舍去)或x＝，∴M. ∴点M的坐标为或. 9.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点. (1)求抛物线的函数表达式； 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴 交于A(－1，0)，B(3，0)两点， ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3. (2)Q是抛物线对称轴上一动点，当∠OQA的值最大时，求点Q的坐标. 解：y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴对称轴为直线x＝1. 如图，作△AOQ的外接圆H，作HG ⊥x轴，连接AH，OH，HQ. ∴AG＝GO＝，∠AQO＝∠AHO. ∴当∠OQA最大时，∠AHG最大. ∵AH＝HO＝HQ，∴当AH最小时，HQ最小，此时∠OQA最大，此时HQ垂直于对称轴，HQ＝1＋. ∴AH＝.在Rt△AHG中，HG＝ . ∴Q； 根据对称性，则存在另一点Q. 综上所述，点Q的坐标为或. 类型四 二次函数与特殊三角形问题 与特殊三角形问题常见的有等腰三角形和直角三角形两类.若判断等腰三角形，可以对腰或底边进行分类讨论，经常要借助勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形等求点的坐标；若判断直角三角形，可以对直角顶点进行分类讨论.也会出现等边三角形、等腰直角三角形类问题，则综合以上方法，并结合其特殊性质进行探究.常借助勾股定理、相似三角形、全等三角形、锐角三角函数等求点的坐标. 解题策略 68 例4 (2024·达州) 如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式； 解：由题意，得y＝a(x＋3)(x－1)＝ax2＋2ax－3a ＝ax2＋bx－3.解得a＝1. ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. (2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标； 解：由抛物线的解析式知，C(0，－3)， D(－1，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝－1. 过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上 方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BL∥AC 交抛物线于点P，则点P即为所求点. 由点A，C的坐标，得直线AC的解析式为y＝ －x－3. ∵DG∥AC，∴直线DG的解析式为y＝－(x＋1)－4＝－x－5. ∴G(0，－5)，则CG＝5－3＝2. ∴CL＝4，则L(0，1). ∴直线LP的解析式为y＝－x＋1. 令x2＋2x－3＝－x＋1，解得x＝1或x＝－4. ∴点P的坐标为(1，0)或(－4，5). (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.设N(－1，m)，m＞－4. 由点A，C，N的坐标，得AC2＝18，AN2＝4＋m2，CN2＝1＋(m＋3)2. 当AC＝AN时，18＝4＋m2，解得m＝±.∴N(－1，±)； 当AC＝CN或AN＝CN时，18＝1＋(m＋3)2或4＋m2＝1＋(m＋3)2，解得m＝－3＋或m＝－3－(舍去)，或m＝－1. ∴N(－1，－3＋)或N(－1，－1). 综上所述，点N的坐标为(－1，)或(－1，－)或(－1，－3＋)或(－1，－1). 10.(2017·达州) 如图1，点A的坐标为(2，0)，以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于点E. (1)①直接回答：△OBC与△ABD全等吗? 解：全等. 针对训练 ②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行； 解：∵△ABD≌△OBC，△OAB为等边三角形， ∴∠BAD＝∠BOC＝∠OBA＝60°. ∴AD∥OB. ∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行. (2)当点C运动到使AC2＝AE·AD时，如图2，经过O，B，C三点的抛物线为y1.试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 解：存在.∵AC2＝AE·AD，∴. 又∠DAC＝∠CAE，∴△ACD∽△AEC. ∴∠ADC＝∠ACE. 由△ABD≌△OBC，得∠ACB＝∠BDE. ∴∠BDE＝∠ADC. 又△BDC是等边三角形，∴DE垂直平分BC. ∵AD∥OB，∴∠OBC＝90°. 在Rt△OBC中，∠BOC＝60°，OB＝OA＝2， ∴OC＝4.∴C(4，0). ∵yB＝2×sin 60°＝，xB＝2×＝1， ∴B(1，). ∵抛物线y1过点O，B，C，∴设y1＝ax2＋bx. ∴解得 ∴y1＝－x2＋x. ∵AE⊥BE，∴当∠BEP＝90°时，点P为直线AE与y1的交点. ∵E是BC的中点，∴E. 设直线AE的解析式为y＝kx＋c. ∴解得 ∴y＝x－2. 联立 解得 ∴P(－2，－4)或P(3，)； 当∠PBE＝90°时，点P与点O重合， ∴P(0，0). 综上所述，点P的坐标为(－2，－4)或(3，)或(0，0). (3)在(2)的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组 成的图形为M，函数y＝x＋m的图象l与M有公 共点.试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值. 解：m＝或0或－4或－. 11.(2025·达州适应) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，－6)，连接BC.若点P在线段BC上运动(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F.设点P的横坐标为m. 备用图 (1)求抛物线的解析式； 解：由题意，得y＝a(x＋2)(x－6)＝ax2－4ax－12a， 则－12a＝－6.解得a＝. ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－6. (2)若PF＝3PE，求m的值； 解：由B(6，0)，C(0，－6)，设直线BC的解析式为 y＝kx－6，则6k－6＝0.解得 k＝1.∴直线BC的解析 式为y＝x－6. ∵点P的横坐标为m，∴P(m，m－6)，F(m，0)， E(0＜m＜6). ∴PF＝－(m－6)＝6－m，PE＝m－6－＝－m2＋3m. ∵PF＝3PE，∴6－m＝3.解得m＝或m＝6(不合题意，舍去).∴m＝. (3)在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由. 解：存在m使得△CPE为等腰直角三角形，m的值为4或2.　[由(2)知P(m，m－6)，F(m，0)，E(0＜m＜6). ∵OC＝OB＝6，∴∠OCB＝∠OBC＝45°. 又∵PF⊥x轴，∴∠PFB＝90°，∠FPB＝90°－45° ＝45°.∴∠CPE＝∠FPB＝45°. 若△CPE是等腰直角三角形，分情况讨论： ①当∠CEP＝90°时，如答图1，∠CPE＝∠PCE ＝45°.∵∠FBC＝45°，∴∠PCE＝∠FBP. ∴CE∥x轴.∴FE＝OC＝6. ∴－＝6. 解得m＝4或m＝0(不合题意，舍去)； 答图1　　 ②当∠PCE＝90°时，如答图2，CP＝CE，过点C作CK⊥PE于点K，则PK＝KE＝PE，且CK∥x轴.∴FK＝OC＝6. ∵PE＝－m2＋3m，∴PK＝－m2＋m. ∴FK＝FP＋PK＝6－m－m2＋m＝－m2＋m＋6＝6. 解得m＝2或m＝0(不合题意，舍去). 综上所述，m的值为4或2.] 答图2 类型五 二次函数与特殊四边形问题 此类题型结合特殊四边形的判定和性质，对对应边 进行分类讨论，尤其求平行四边形及特殊平行四边形存 在类问题用平移法求坐标较简便.如图，点A到点B的平移 方式与点D到点C的平移方式相同.若A(1，2)，B(0，0)，D(x，y)，则可设C(x－1，y－2).也可根据“平行四边形的对角线互相平分”来利用对角线的中点坐标求解，如在▱ABCD中，xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝yB＋yD.其他特殊的平行四边形结合其判定和性质还可用边相等、角为直角等特殊性质来突破. 解题策略 87 例5 (2023·达州) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3). (1)求抛物线的解析式； 解：由题意设抛物线的解析式为y＝ a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)， 则－3a＝3.解得a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. (2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标； 解：由点B，C的坐标，得直线BC的解析式为y＝－x＋3. 过点P作y轴的平行线交CB于点H. 设P(m，－m2＋2m＋3)，则H(m，－m＋3). ∴S△PBC＝S△PHC＋S△PHB＝PH·OB ＝(－m2＋2m＋3＋m－3)＝－≤. ∴△PBC的最大面积为，此时P. (3)若M是抛物线对称轴上一动点，N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.点N的坐标为(4，)或(4，－)或(－2，＋3)或(－2，－＋3). [∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∴设M(1，t)，N(x，y).已知B(3，0)，C(0，3). ①若BC为菱形BCMN的边长， 则BC2＝CM2，即32＋32＝12＋(t－3)2. 解得t1＝＋3，t2＝－＋3. ∵ ∴N1(4，)，N2(4，－)； ②若BC为菱形BCNM的边长， 则BC2＝BM2，即32＋32＝(3－1)2＋t2. 解得t3＝，t4＝－. ∵ ∴N3(－2，＋3)，N4(－2，－＋3).] 12.(2021·达州) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A和C(1，0)，交y轴于点B(0，3)，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F. 针对训练 (1)求抛物线的解析式； 解：把C(1，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. (2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接AE'，BE'，求BE'＋AE'的最小值； 解：在OE上取一点D，使得OD＝OE， 连接DE'，BD. ∵OD＝OE＝OE'，抛物线对称轴为直线 x＝－＝－1， ∴E(－1，0)，OE'＝OE＝1，OD＝. ∵C(1，0)，∴A(－3，0)，OA＝3. ∴.又∵∠DOE'＝∠E'OA， ∴△DOE'∽△E'OA.∴DE'＝AE'. ∴BE'＋AE'＝BE'＋DE'. 当B，E'，D三点在同一条直线上时，BE'＋DE'最小为BD. 在Rt△BOD中， BD＝. ∴BE'＋AE'的最小值为. (3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在 一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形? 若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说 明理由. 解：存在.点N的横坐标为或或－1或2. [设N(n，－n2－2n＋3)，M(x，y).∵A(－3，0)，B(0，3)，∴AB2＝18，AN2＝(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2，BN2＝n2＋(n2＋2n)2.∵点A，B，M，N构成的四边形是矩形，∴△ABN是直角三角形.①若AB是斜边，则AB2＝ AN2＋BN2，即18＝(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2＋n2＋(n2 ＋2n)2.解得n＝0(舍去)或n＝－3(舍去)或n＝ 或n＝；②若AN是斜边，则AN2＝AB2＋BN2， 即(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2＝18＋n2＋(n2＋2n)2.解得n＝0(舍去)或n＝－1；③若BN是斜边，则BN2＝AB2＋AN2，即n2＋(n2＋2n)2＝18＋(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2.解得n＝－3(舍去)或n＝2.综上所述，点N的横坐标为或或－1或2.] 13.(2025·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(2，3)，与x轴交于点 A(－1，0)和点B. (1)求该抛物线的解析式； 解：把(2，3)，A(－1，0)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. (2)点C，D在直线y＝x＋上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象限的点.若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标； 解：过点F作FH⊥x轴于点H，设直线CD交y轴于点K.在y＝x＋中，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－1.∴K， 直线y＝x＋与x轴交于点A(－1，0). ∴tan∠KAO＝. ∵四边形CDEF是正方形， ∴EF∥CD，DE＝EF. ∴∠FEH＝∠KAO.∴tan∠FEH＝. 设FH＝t，则EH＝2t. ∴EF＝t.∴DE＝EF＝t. ∵∠ADE＝90°，∴tan∠KAO＝. ∴AD＝2DE＝2t. ∴AE＝＝5t. ∴AH＝AE＋EH＝5t＋2t＝7t. ∴OH＝AH－OA＝7t－1.∴F(7t－1，t). 把F(7t－1，t)代入y＝－x2＋2x＋3，得 t＝－(7t－1)2＋2(7t－1)＋3. 解得t＝0(舍去)或t＝. ∴点F的坐标为. (3)设点P(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上， 点Q(x1，y2)在抛物线y＝x2－(4m－2)x＋4m2＋2上， 当1≤x1≤2时，y2－y1的最小值为3，求m的值. 解：∵点P(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x＋3上， 点Q(x1，y2)在抛物线y＝x2－(4m－2)x＋4m2＋2上， ∴y1＝－＋2x1＋3，y2＝－(4m－2)x1＋4m2＋2.∴y2－y1＝－(4m－2)x1＋4m2＋2－(－＋2x1＋3)＝2－4mx1＋4m2－1＝2(x1－m)2＋2m2－1. ①当m≤1时，若1≤x1≤2，则x1＝1时，y2－y1的 值为3，即2(1－m)2＋2m2－1＝3. 解得m＝(大于1，舍去)或m＝； ②当1＜m＜2时，若1≤x1≤2， 则x1＝m时，y2－y1的值为3，即2m2－1＝3.解得 m＝或m＝－(舍去)； ③当m≥2时，若1≤x1≤2，则x1＝2时，y2－y1的 值为3，即2(2－m)2＋2m2－1＝3.解得m1＝m2＝1 (舍去). 综上所述，m的值为或. 类型六 二次函数与三角形全等、相似问题 (1)抓住全等、相似的两个目标三角形，找出已知条件(例如已知边、已知角度、已知点坐标等)；(2)找现成的等量关系，例如从相等的角度确定对应关系；(3)运用分类讨论的思想，几种不同的全等、相似情况逐一讨论；(4)充分运用全等、相似的性质，相似中利用相似比或者面积比等进行列式计算；(5)大胆设点的坐标，充分利用点在函数图象上从而代入函数表达式. 解题策略 107 例6 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，点D(4，m)在抛物线上. (1)求抛物线的表达式及m的值； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点A(1，0)， B(5，0)，∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－6x＋5. ∵点D(4，m)在抛物线上， ∴m＝42－6×4＋5＝－3. (2)如图2，连接AD，BD，CB，在线段CB上是否存在点Q，使得以A，B，Q为顶点的三角形与△ABD相似(包括全等)，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：在.点Q的坐标为(2，3)或. 14.(2024·开江县二模改编) 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于C(－2，0)，A(3，0) 两点，与y轴交于点B(0，－6).在抛物线的对称轴MN上 是否存在一点Q，使得△BGQ与△OAB相似?若存在， 请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 针对训练 解：存在.∵∠ABO＝∠MGA＝∠BGQ， ∴tan∠ABO＝tan∠MGA＝tan∠BGQ＝， 则sin∠BGQ＝＝sin α. 当∠GBQ＝90°时，BG＝. ∴BQ＝BG·tan α＝. 111 设Q.由点B，Q的坐标，得＋(m＋6)2＝.解得m＝ －(不合题意的值已舍去)，即Q； 当∠GQB＝90°时，点B，Q的纵坐标相同. ∴Q. 综上所述，点Q的坐标为或. 112 类型七 二次函数中的定值、定点问题 　　(1)定值问题：此类问题涵盖类型较多，面积(面积比)定值、线段(线段比)定值、线段和差倍分(定值)、线段乘积定值、横(纵)坐标定值等，常见做法是用代数式表示对应的线段、周长、面积的值后，通过代数运算，确定取值与参数无关. 解题策略 113 　　(2)图象过定点问题：常用方法为分离参数法，即先整理原函数表达式，对含有参数的项全部集中并把此参数用提公因式法提出来(即分离参数法).因为求出的顶点不受参数影响，所以只能令提出公因式后剩下的因式等于0，得到一个关于自变量的方程，方程的解就是定点的横坐标，将其解代入表达式得到的函数值就是定点的纵坐标，从而确定定点坐标.另外，方程的解有几个，定点就有几个. 例7 (2022·达州) 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (1)求该二次函数的表达式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(3，0)， ∴解得 ∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2. (2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在. 如图1，当点P在BC上方时， ∵∠PCB＝∠ABC， ∴CP∥AB，即CP∥x轴. ∴点P与点C关于该二次函数图象的对称轴对称. ∵y＝－x2＋x＋2＝－(x－1)2＋， ∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝1. ∵C(0，2)，∴P(2，2)； 当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D(m，0)， 则OD＝m，DB＝3－m. ∵∠PCB＝∠ABC，∴CD＝BD＝3－m. 在Rt△COD中，OC2＋OD2＝CD2， ∴22＋m2＝(3－m)2.解得m＝.∴D. 设直线CD的函数表达式为y＝kx＋d， 则解得 ∴直线CD的函数表达式为y＝－x＋2. 联立 解得∴P. 综上所述，点P的坐标为(2，2)或. (3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM＋EN的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 解：EM＋EN的值是定值. 由(2)知，二次函数y＝－x2＋x＋2图象的对称轴为 直线x＝1.∴E(1，0). 设Q，且－1＜t＜3. 设直线AQ的函数表达式为y＝ex＋f，则 解得 ∴直线AQ的函数表达式为y＝x－t＋2. 当x＝1时，y＝－t＋4，∴M. 同理，直线BQ的函数表达式为y＝x＋2t＋2， 当x＝1时，y＝t＋，∴N. ∴EM＝－t＋4，EN＝t＋. ∴EM＋EN＝－t＋4＋t＋. 故EM＋EN的值为定值. 15.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式； 解：将点A(－2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4. 针对训练 (2)P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM＋ON是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解：在点P运动过程中，OM＋ON为定值.设P(s，t)， 直线AP的表达式为y＝dx＋f，BP的表达式为y＝gx＋h. ∵A(－2，0)，B(4，0)，P(s，t)， ∴ 124 解得 ∴直线AP的表达式为y＝x＋， BP的表达式为y＝x＋. 对于y＝x＋，当x＝0时，y＝，即M.对于y＝x＋，当x＝0时，y＝，即N. 125 ∵P(s，t)在抛物线上，则t＝－s2＋s＋4＝ －(s－4)(s＋2)， ∴OM＋ON＝× ＝6. ∴OM＋ON为定值6. 126 16.(2024·宣汉县一模) 已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，顶点为P，与y轴交于点C，且△ABC的面积为6. (1)求抛物线的对称轴和解析式； 解：把A(－1，0)代入y＝ax2－2ax＋c，得 a＋2a＋c＝0.∴c＝－3a. ∴y＝ax2－2ax－3a. 令y＝0，得0＝ax2－2ax－3a. ∵a≠0，∴x＝－1或x＝3. ∴A(－1，0)，B(3，0). ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，AB＝4. ∵△ABC的面积为6，∴×4×yC＝6. ∴yC＝3.∴C(0，3). 把C(0，3)代入y＝ax2－2ax－3a，得 －3a＝3.解得a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. (2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上，当四边形APQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； 解：由(1)知P(1，4).设E(0，t). ∵AP是平行四边形的边，∴当点A向右平移2个单位长度、 向上平移4个单位长度得到点P，同样点E向右平移2个单 位长度、向上平移4个单位长度得到点Q，即Q(2，t＋4). ∴－22＋2×2＋3＝t＋4.解得t＝－1.∴Q(2，3). ∴平移后抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋3＝－x2＋4x－1. (3)若过定点K(2，1)的直线交抛物线于M，N两点(点N在点M的右侧)，过点N的直线y＝－2x＋b与抛物线交于点G，求证：直线MG必过定点. 证明：设M(p，－p2＋2p＋3)，N(q，－q2＋2q＋3)， 设直线MN解析式为y＝kx＋b. ∴解得 ∴直线MN解析式为y＝(－p－q＋2)x＋pq＋3. ∵直线MN过定点K(2，1)， ∴2(－p－q＋2)＋pq＋3＝1. ∴pq＝2p＋2q－6. ∵直线y＝－2x＋b过点N(q，－q2＋2q＋3)， ∴－q2＋2q＋3＝－2q＋b. ∴b＝－q2＋4q＋3. ∴y＝－2x－q2＋4q＋3. 由－2x－q2＋4q＋3＝－x2＋2x＋3，得 x＝q或x＝－q＋4.∴G(－q＋4，－q2＋6q－5). 设直线MG的解析式为y＝k'x＋b'. 把M(p，－p2＋2p＋3)，G(－q＋4，－q2＋6q－5)代入上式，得 解得 ∴直线MG解析式为y＝(－p＋q－2)x－pq＋4p＋3. ∵pq＝2p＋2q－6，∴直线MG解析式为y＝(－p＋q－2)x＋2p－2q＋9. 当x＝2时，y＝2(－p＋q－2)＋2p－2q＋9＝5. ∴直线MG必过定点(2，5). 17.(2025·成都) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx过点(－1，3)，且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx－k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C. (1)求抛物线的函数表达式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx过点(－1，3)，且对称轴 为直线x＝1， ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x. (2)当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E.若抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点，求h的取值范围； 解：当k＝1时，y＝x－1.∴当x＝0时，y＝－1； 当x＝2时，y＝1.∴D(0，－1)，E(2，1). ∵y＝(x－h)2－1， ∴顶点在直线y＝－1上移动. ∵抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点， ∴令(x－h)2－1＝x－1，整理，得x2－(2h＋1)x ＋h2＝0.∴当Δ＝(2h＋1)2－4h2＝0，即h＝－时， 如图1，满足题意. 将抛物线y＝(x－h)2－1从h＝－开始向右 平移，直至抛物线与线段DE只有一个交点 为E(2，1)时，抛物线y＝(x－h)2－1与线段 DE均有公共点，∴当抛物线y＝(x－h)2－1 过点E(2，1)时，如图2，(2－h)2－1＝1.解 得h＝2－或h＝2＋. ∴h的取值范围为－≤h≤2＋. (3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点.试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.∵y＝kx－k，∴当y＝0时，x＝1. ∴C(1，0).又∵抛物线的对称轴为直线x＝1. ∴点C在抛物线的对称轴上. ∵PQ过点C，且与直线AB垂直， ∴直线PQ的函数表达式为y＝－(x－1)， 即y＝－x＋.记A(xA，yA)，B(xB，yB). 令x2－2x＝kx－k，整理，得x2－(k＋2)x＋k＝0.∴xA＋xB＝k＋2，yA＋yB＝kxA－k＋kxB－k＝k(xA＋xB)－2k＝k2. ∵M为AB的中点，∴M. 令x2－2x＝－x＋， 同理可得N. 如图3，过点M作MH⊥CT于点H，过点N作NF⊥CT于点F. ∵TC 平分∠MTN，∴∠MTH＝∠NTF. ∴tan∠MTH＝tan∠NTF.∴. 设T(1，t)，则. ∴t＝－.∴点T的坐标为. $