精品解析：贵州省毕节市实验高级中学2025-2026学年高二第一学期数学期末考试试卷

2025-2026高二第一学期数学期末考试试卷 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C D. 7. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多选题（部分选对得部分分，全部选对得6分，错选得0分，共18分） 9. 为了解2025年贵州省青少年科普知识挑战赛，现将1000名学生科普竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. a的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的第85百分位数为85 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 为偶函数 D. 在上单调递增 11. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 D. 将向左平移个单位长度，得到函数 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 从1,2,4,5这4个数字中任取2个，则这2个数字之差的绝对值大于2的概率为______. 13. 已知点，，若直线与线段有公共点，则取值范围是______. 14. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆心为圆经过两点，且圆心在直线 : 上. （1）求圆的标准方程; （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 16. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 17. 如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC的中点， （1）求证：MN平面PAD； （2）求PD与平面PMC所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交该椭圆于、两点，且，为坐标原点，当的面积最大时，求的方程. 19. 已知数列前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列. （i）记，求数列的通项公式; （ii）求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二第一学期数学期末考试试卷 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由，可得， 故选：B 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，利用复数的除法，求出，得到，可知的虚部. 【详解】复数满足，则， 所以，的虚部为. 故选：A 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式和特殊角的余弦值，根据分段函数解析式求值即可. 【详解】. 故选：C 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有，解得或， 当时，与重合，不合题意； 当时，直线与平行； 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 5. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值，从而求得所求. 【详解】根据题意易知两两相互垂直， 由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设， 则 故，， 设所成角为，， 则， 所以，即与所成角的正弦值是. 故选：C. 6. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理可得. 【详解】，点为中点，故， 又，，，故. 故选：B 7. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性的定义，在上为增函数，又函数为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，即可得解． 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 二、多选题（部分选对得部分分，全部选对得6分，错选得0分，共18分） 9. 为了解2025年贵州省青少年科普知识挑战赛，现将1000名学生科普竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. a的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的第85百分位数为85 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，落在组的学生最多，估计众数；C选项，求出成绩低于60分的频率，从而计算出C正确；D选项，先得到这组数据的第85百分位数落在，设第85百分位数为，从而得到方程，求出答案. 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，显然落在组的学生最多，估计这组数据的众数为，B正确； C选项，成绩低于60分的频率为， 故估计成绩低于60分的有人，C正确； D选项，因为，， 故这组数据的第85百分位数落在，设第85百分位数为， 则，解得，估计这组数据的第85百分位数为，D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 为偶函数 D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】A直接代入计算并验证；B利用换元法得到，结合基本不等式确定最值；C根据奇偶性的定义判断即可；D由B中换元法，所得对勾函数的性质可直接判断单调区间. 【详解】A：，错误； B：令，则当且仅当，即时取等号，正确； C：且，为偶函数，正确； D：由B，若，，则 在 上递减，在 上递增，所以在上递减，上递增，错误； 故选：BC. 11. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 D. 将向左平移个单位长度，得到函数 【答案】AD 【解析】 【分析】先由函数图象过及可得，进而可得，故可判断ABD，对于C可将方程的根转化为函数与有两个不同的交点，利用图象判断可得. 详解】由图可知，函数图象过点，所以，即， 所以，解得，又因为，所以，故A正确； 由，， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 又由，，令， 所以方程在上有两个不相等的根， 等价于函数与有两个不同的交点，如图： 由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数与有两个不同的交点，则， 故方程在上有2个不相等的实数根，则，故C错误； 又将向左平移个单位长度，得 ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 从1,2,4,5这4个数字中任取2个，则这2个数字之差的绝对值大于2的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法列举所有可能结果，选出符合条件的结果，利用古典概型公式即可求解 【详解】任取两个不同的数有共6种， 2个数之差的绝对值大于2的有， 由古典概型可知，所求概率为． 故答案为： 13. 已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 14. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________． 【答案】##4.75 【解析】 【分析】根据题意，分别设出的表达式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，可设， 则． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线 : 上. （1）求圆的标准方程; （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 . 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程； （2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，再讨论直线的斜率，代入点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 故圆心的坐标为， 因为圆心在直线上， 所以 因为是圆上两点，所以 ，根据两点间的距离公式，有 ，即 ， 由①②可得 ， 故圆的方程为 ， 【小问2详解】 由(1)知，圆心，半径为， 设圆心到直线的距离为,则 , 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为3，符合题意; 若直线的斜率存在，设直线的方程为,即, 由题意可得 ，解得， 此时，直线的方程为,即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 17. 如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC中点， （1）求证：MN平面PAD； （2）求PD与平面PMC所成角正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取PD中点Q，连接AQ，QN，说明四边形AMNQ为平行四边形，然后证明MN平面PAD； （2）建立空间直角坐标系，求出平面PMC法向量，设PD与平面PMC所成角为θ，然后利用空间角的向量求法求解即可． 【小问1详解】 证明：取PD中点Q，连接AQ，QN，N分别为PC的中点，则，， 又因为为矩形，则，M分别为AB的中点，则， 故，所以四边形AMNQ为平行四边形， 所以，因为平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD； 【小问2详解】 以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系如图， 因为， 所以， ，． 设平面PMC法向量为：， 则，令，则． 设PD与平面PMC所成角为，， 则. 即PD与平面PMC所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交该椭圆于、两点，且，为坐标原点，当的面积最大时，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）由对称性可知，直线过轴上的定点，分析可知，直线不与轴重合，设该直线方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合与韦达定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合对勾函数的单调性求出面积的最大值及其的值，即可得出直线的方程. 小问1详解】 由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由对称性可知，直线过轴上的定点，易知点， 若直线与轴重合，与矛盾， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 因为， 则 ， 即， 因为直线不过点，则，故， 即直线的方程为， 所以 ， 令， 则， 由对勾函数的单调性可知， 函数在上为增函数， 故当时， 即当时，取最大值，且其最大值为， 故当的面积最大时，直线的方程为. 19. 已知数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列. （i）记，求数列的通项公式; （ii）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据和与项的关系结合等比数列的通项公式即可求解； （2）（i）根据题意可得，从而可求； （ii）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，，即. 又 所以数列是1为首项，2为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 （i）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则为新数列的第1项，为新数列的第项， 即，即； （ii）①， ②， ①一②得，， ， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $