精品解析：宁夏吴忠市吴忠中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷

吴忠中学中学2025—2026学年第一学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 在等差数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆短轴长为（ ） A 4 B. 6 C. D. 3. 已知是等比数列前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 4. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 5. 如图，在正方体中，为线段中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 6. 等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（ ） A. 9或10 B. 8 C. 9 D. 10或11 7. 已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分． 9. 已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（ ） A. 的短轴长为7 B. 的最大值为 C. 的长轴长为6 D. 的离心率为 10. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的有（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. C. 直线这三线交于一点 D. 直线与平面夹角的正切值为 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分． 12. 设等差数列的前项和为，若，则__________. 13. 设点是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的离心率为________． 14. 若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列的前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围． 16. 如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点． （1）求异面直线、EF所成角的余弦值； （2）求点到平面AEF的距离． 17. 已知椭圆的右顶点为，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列前项和； （3）若，求的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． （1）求的方程； （2）双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠中学中学2025—2026学年第一学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 在等差数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求得的值. 【详解】在等差数列中，，故. 故选：C. 2. 椭圆的短轴长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的性质直接得到即可； 【详解】由题意可得，所以短轴长为. 故选：A. 3. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 4. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的模的公式计算后可得正确的选项. 【详解】 在  上的投影向量的模为 ， 因为，， 所以 ，， 所以投影向量的模为 ， 故选：A 5. 如图，在正方体中，为线段中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案. 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，因为，所以. 故选：D. 6. 等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（ ） A. 9或10 B. 8 C. 9 D. 10或11 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】， ∴， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 7. 已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义将转化为的距离，即可求解. 【详解】由已知得抛物线的焦点为，准线方程为， 设点到准线距离为，则， 则由抛物线的定义可知． ∵，当点、、三点共线时等号成立， ∴， 故选：. 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分． 9. 已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（ ） A. 的短轴长为7 B. 的最大值为 C. 的长轴长为6 D. 的离心率为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果. 【详解】由标准方程可知，，， 所以，，． 所以短轴长为，长轴长为，即选项C正确，A错误； 离心率，即D正确； 由椭圆性质得， 故选项B错误. 故选：CD. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A，结合题意并利用等差数列的性质判断B，利用等差数列的求和公式可判断C，令，结合等差数列的定义分析可知，，判断D即可. 【详解】对于A，若，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列， 则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确， 对于C，由A可知，，， 得到，， 则当时，的最大值为，故C错误， 对于D，由题意得，则， 则， 得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，， 由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 得到数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的有（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. C. 直线这三线交于一点 D. 直线与平面夹角的正切值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，B，由，，可得，进而判断得解；对C，设与相交于点，可得平面，平面，利用平面性质可得，得解；对D，由题可得是直线与平面所成角，求解判断. 【详解】对于A,B，如图，连接，因为分别是的中点， 所以，，则，所以共面， 故直线与直线是共面的，故A错误，B正确； 对于C，由题，平面，又与不平行， 如图，设与相交于点，又平面，平面， 则平面，平面，而平面平面， ，即直线三线交于一点，故C正确； 对于D，因为平面，所以是直线与平面所成角， 设正方体的棱长为，则，， 所以，即直线与平面所成角的正切值为，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分． 12. 设等差数列的前项和为，若，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】设公差为，由条件，根据等差数列的项与前项和的基本量运算，求出，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由，可得，解得， 则. 故答案为：6. 13. 设点是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的定义可求得、，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率. 【详解】由双曲线的定义可得，故， 由勾股定理可得，即，可得， 因此，该双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是_____． 【答案】100 【解析】 【分析】根据题设易知正项数列为等差数列，公差为，应用等差数列前n项和公式得，应用基本不等式求最大值. 【详解】由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列的前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求公式解方程得出数列的通项公式； （2）由裂项相消法求出，再由单调性结合恒成立条件确定m的取值范围． 【小问1详解】 设数列的公差为，则， 解得，即. 【小问2详解】 由题意得， 所以，即. 16. 如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点． （1）求异面直线、EF所成角的余弦值； （2）求点到平面AEF的距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角余弦作答. （2）由（1）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，， 所以异面直线所成角的余弦值为． 【小问2详解】 设平面AEF的一个法向量为，而， 则，令，得，又， 于是． 所以点到平面AEF的距离为． 17. 已知椭圆的右顶点为，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，可求椭圆的方程. （2）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出，，再表示出直线和的斜率，利用列式，求的值即可. 【小问1详解】 由题知， 且，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图： 联立，得， 由题意，即，解得. 设，，可得，， 由，得， 即，即 即，解得. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系把转化成关于的递推公式，再构造等比数列可得答案； （2）利用分组求和可得答案； （3）由（2）可得到，利用单调性可得到其最值，即得答案. 【小问1详解】 由 ，当  时，，解得 ； 当  时，， 整理得 ， 即 故数列  是首项为 、公比为  等比数列， 所以 因此 【小问2详解】 由 . ， 【小问3详解】 由（2）知， 由，知 易知  单调递减， 所以， 而  单调递增，所以， ， 只需， 即. 故  的取值范围是 . 19. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． （1）求的方程； （2）双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦距的概念求，再利用求，可得双曲线方程. （2）（i）设直线l的方程为，将直线方程代入双曲线方程，消去，利用韦达定理可得，再利用，得到的关系，即可判断直线经过定点. （ii）通过证明直线AQ与BC的斜率关系判断两直线的位置关系. 【小问1详解】 设双曲线焦距为2c，则，且，解得， 所以，所以的方程为. 【小问2详解】 （i）设直线的方程为， 联立与，消去，得， 所以， 由，得， 整理得， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线的方程为，过点，不符，故舍去； 当时，直线l的方程为，过点， 所以直线l过定点； （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下： 因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，即， 因为，所以直线AQ的斜率为，由， 得直线BC的斜率，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $