计数原理与排列组合 课件-2026届高三数学一轮复习

统计与概率 计数原理与排列组合 知识清单 1.两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法． (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法． m＋n m×n 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照____________排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 知识清单 2．排列与组合的概念 3.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________的个数，用符号________表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________的个数，用符号________表示． 不同排列 不同组合 一定顺序 知识清单 4．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)＝_________________________________＝____________(n，m∈N*，且 (2)＝＝______________(n，m∈N*，且m≤n) 性质 (1)0！＝________；＝________ (2)＝1；＝；＝__________________ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 1 n！ 知识清单 【常用结论】 1．排列数、组合数常用公式 (1)＝. (2)＝. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)＝. (5)＝. 热点命题——1.计数原理 例1 (1)用数字0，1，2，3，4，5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为(　　) A．76　 　B．38 C．36　 　D．30 B (2)现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同区域)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方法有(　　) A．48种 　B．64种 　C．96种 　D．144种 C 热点命题——1.计数原理 (3)一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为__________． 8 热点命题——1.计数原理 (4)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 24 112 热点命题——1.计数原理 方法归纳： 在综合应用两个计数原理解决问题时应注意： (1)一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理． (2)对于较复杂的两个原理综合应用问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化． (3)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成． (4)对于情况较少的计数问题，还可利用列举法得出结果. 热点命题——1.计数原理 1　(1)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是(　　) A．12 B．24 C．64 D．81 (2)如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法． D 180 热点命题——1.计数原理 (3)平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则共有________个交点；空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，则共有________条交线． 解析：平面内：1条直线，0个交点； 2条直线，1个交点； 3条直线，3＝1＋2(个)交点； 4条直线，6＝1＋2＋3(个)交点； 5条直线，10＝1＋2＋3＋4(个)交点；……， 则n条直线，共有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(个)交点； 热点命题——1.计数原理 (3)平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则共有________个交点；空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，则共有________条交线． 空间中：1个平面，0个交线； 2个平面，1 个交线； 3个平面，3＝1＋2(个)交线； 4个平面，6＝1＋2＋3(个)交线； 5个平面，10＝1＋2＋3＋4(个)交线；……， 则n个平面，共有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(个)交线． 热点命题——2.排列问题 例2 (1)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 解析：先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式； 再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式， 所以不同的安排方式共有＝60(种)．故选B. B 热点命题——2.排列问题 (2)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 (3)(2025·河北邯郸模拟)已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为(　　) A．24 B．26 C．32 D．40 B D 热点命题——2.排列问题 方法归纳： 求解排列问题的四种常用方法： 热点命题——2.排列问题 2　(1)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的方法种数是(　　) A．48 B．144 C．288 D．576 解析：4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有＝24(种)排法； 3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有＝6(种)排法； 2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有＝2(种)排法； 故共有24×6×2＝288(种)排法． 热点命题——2.排列问题 2　(2)我校田径队有十名队员，分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，J，K，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将A，B，C，D，E五人排成一行形成甲队，要求A与B相邻，C在D的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F与G不相邻，则不同的排列方法种数为(　　) A．432 B．864 C．1 728 D．2 592 解析：甲队，先用捆绑法，将A与B捆绑有＝2(种)，将A与B看作一个整体，再用除序法得＝12(种)，利用分步乘法计数原理可知，一共有2×12＝24(种)；乙队，利用插空法得＝72(种)；按照分步乘法计数原理可知，一共有24×72＝1 728(种). 热点命题——2.排列问题 2　(3)由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成比5 000 000大的无重复数字的正整数有________个． 解析：依题意，可得最高数位上的数字为5或6，其它6位数可从剩下的6个数中自由排，故由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成＝2×720＝1 440(个)比5 000 000大的无重复数字的正整数． 热点命题——3.组合问题 例3 (1)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 解析：由题意，初中部和高中部学生人数之比为＝，所以抽取的60名学生中初中部应有60×＝40(人)，高中部应有60×＝20(人)，所以不同的抽样结果共有种．故选D. 热点命题——3.组合问题 例3 (2)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案； 第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案； 第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)． 热点命题——3.组合问题 (3)如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑(不能跨越通行)．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有________种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有________种最短路径的走法． 210 90 热点命题——3.组合问题 方法归纳： 组合问题常有两种题型 (1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 热点命题——3.组合问题 3　从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛． (1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 综合应用——1.分组分配问题 例1 (1)导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为导师既面向全体授课对象，又对指定的若干学生的个性、人格发展和全面素质提高负责．已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为(　　) A．90 B．15 C．60 D．180 A 解析：先将6名同学平均分为3组，不同的分组方式为＝15， 然后再将分好的3组，分配给3位科任教师，不同的分配方式为＝6， 所以不同的分配方法的种数为15×6＝90． 综合应用——1.分组分配问题 (2)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有，然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有，最后剩下的3名同学去丙场馆，故不同的安排方法共有＝6×10＝60(种). C 综合应用——1.分组分配问题 (3)暑期将至，甲、乙、丙等六名学生准备各自从A，B，C，D四个景点中选一个景点去旅游．已知每个景点都有人选，且甲没有选景点A，则所有不同的选法种数为(　　) A．540 B．720 C．1 080 D．1 170 解析：因为甲没有选景点A，所以甲有＝3(种)选法，其余5名学生可以选3个景点或4个景点． 当其余5名学生选3个景点时，有＝150(种)选法； 当其余5名学生选4个景点时，有＝240(种)选法． 故共有(150＋240)×3＝1 170(种)不同的选法． 综合应用——1.分组分配问题 方法归纳：平均分配给不同人的分法等于平均分组的分法乘以组数的全排列. 分组到位相当于分组后各堆再全排列，平均分组不到指定位置，其分法数为：. 对于分配与分组问题应注意： ①处理分配问题要注意先分组再分配； ②被分配的元素是不同的(如“名额”等，则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)； ③分组时要注意是否均匀，如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组． 综合应用——1.分组分配问题 1 在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是(　　) A．38 B．42 C．50 D．56 C 综合应用——2.定序问题倍缩法 例3 (1)某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为(　　) A．10 B．20 C．24 D．30 解析：6位同学排成一排准备照相时，共有种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有＝30(种)排法，故D正确． D 综合应用——2.定序问题倍缩法 (2)花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为________． 解析：由题意，对6盏不同的花灯进行取下，先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取，所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，故不同取法总数为＝90. 综合应用——2.定序问题倍缩法 方法归纳： 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变(不一定相邻)的排列问题，称之为定序(排列)问题． 定序问题可以用倍缩法(消序法)，还可用空位法（定序元素用组合数计算，非定序元素用排列数计算）． 综合应用——2.定序问题倍缩法 2　(1)现有五人并排站成一排，若甲与乙不相邻，并且甲在乙的左边，则不同的安排方法共有(　　) A．128种 B．36种 C．72种 D．84种 (2)四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是(　　) A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 B A 综合应用——3.元素相同问题隔板法 例4 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有(　　)种不同分配方案． A．9　 B．36 C．84 D．120 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案＝84(种)． 综合应用——3.元素相同问题隔板法 方法归纳： 把n个相同的元素分成m(n，m为正整数，n≥m)组，每组至少有一个元素，可以用m－1块隔板插入n个元素排成一排形成的(n－1)个空隙中，所以分法种数为. 提醒：(1)需要根据题意确定题目能否转化为所分的每个组至少有一个元素的问题，这样才能使用隔板法；(各盒允许空时，即为“隔板可相邻”，转化为“隔板不相邻”，每个盒子补一个) (2)一般来说，两端不能插隔板． 综合应用——3.元素相同问题隔板法 3　将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为________． 解析：先把8个相同的小球排成一行，然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，故每个盒子都不空的方法数共有＝35(种)． $