期末专项复习题----三角形中的线段和角 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

期末复习题----三角形中的线段和角 题型1 三角形的个数问题 1．如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 2．请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 4．如图，图中共有 个三角形． 题型2 构成三角形的条件 5．若条长度均为整数厘米的线段，，满足，且这条线段中的任意条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 6．两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 7．能围成三角形的一组线段是（   ）．（单位：厘米） A．1，1，2 B．3，3，4 C．1，2，3 D．4，3，1 8．在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 题型3 确定第三边的取值范围 9．，，分别为的三边， (1)当，时，求的取值范围； (2)化简． 10．设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 11．已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 12．已知，，是的三边长，满足，为奇数，则的周长为 ． 题型4 三角形三边关系的应用 13．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为奇数，求c的值． 14．已知的三边长为． (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 15．若是三角形的三边，化简： ． 16．如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 题型5 根据三角形中线求长度 17．如图，在中，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 19． 如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若的面积为48，，求点B到线段的距离． 20．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 题型6 根据三角形中线求面积 21．如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是的中点，则四边形AFDG的面积是（    ）    A．6 B．5 C．4.5 D．4 22．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． (1)画出中边上的高，垂足为． (2)画出中边上的中线． (3)直接写出 ． 23．如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 24．如图，中，点E是上一点，，点D是的中点，若，则 ． 题型7 重心的概念 25．在如图所示的平面直角坐标系中，，， (1)作在边上的中线； (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 26．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 27．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 28．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．下列结论：①DE＝DF；②AE＝AF；③∠EAF+∠EDF＝180°；④AD垂直平分EF；⑤点G一定是△ABC的重心．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型8 三角形角平分线的定义 29．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 30．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 31.下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 32．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 题型9 画三角形的高 33.如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形． (1)请在图中画出的边上的高 (2)请在图中画出的中线 (3)请直接写出的面积． 34.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点、点都在网格的格点上． (1)平移，使点A与重合，画出平移后得到的； (2)连接、，四边形的面积是___________． (3)画出的高． 35.如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将经过一次平移得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，仅用无刻度的直尺画图： (1)补全，则的面积为__________； (2)画出的中线、高线； (3)若连接、，则线段、的关系为__________． 题型10 与三角形的高有关的计算问题 36.如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 37.如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． (1)求的面积； (2)求的长． 38.我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 39.如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 题型11 利用网格求三角形面积 40.在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B、C三点在格点上． (1)作出 关于y轴对称的 ，并写出点的坐标； (2)作出 关于x轴对称的 ； (3)求 的面积． 41.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出向下平移2个单位，再向左平移3个单位的图形，并写出顶点的坐标； (2)已知为轴上一点，若与的面积相等，直接写出点的坐标． 42.如图，在所给正方形网格（每个小正方形的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在小正方形的顶点上）的面积为_________； (2)画出格点关于直线l对称的图形； (3)在直线l上画出点P，使最小． 43.如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且． (1)求证：点D在的平分线上； (2)连接，若，，求的值． 参考答案 题型1 三角形的个数问题 1．B 解：在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、、、、，共6个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个； 在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、，共3个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个； 所以一共可以组成三角形的个数为个， 故选：B． 2．A 解：有，，，，，共5个三角形． 故答案为：A． 3． 8 解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 4．116 解：图中1个小三角形个数为：． 4个小三角形组成的三角形的个数为：， 9个小三角形组成的三角形的个数为：， 16个小三角形组成的三角形的个数为：， 所以图中三角形的个数为：， 故答案为：116． 题型2 构成三角形的条件 5．D 解：若厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，由任意3条线段都不能构成三角形，可知须满足（）。当时，可构造一个各项取值最小的数列：取最小整数，后续项取，得到数列。由于此数列的第9项恰好为，与题干条件相符，且任何其他满足条件的数列都会导致，故该数列是唯一解。因此， 故选：． 6． 解：设第三根木棒的长为x， ∵两根木棒的长分别是m和， ∴， ∴． ∵由张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务， ∴， ∴． 7．B A、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； B、，，满足条件，可以构成三角形； C、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； D、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形。 故选B． 8．（1）解：把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， 根火柴不能搭成三角形； （2）12根火柴能搭成三种不同的三角形， 第一种边长分别为：4，4，4； 第二种边长分别为：5，5，2； 第三种边长分别为：3，4，5， 示意图如下： 题型3 确定第三边的取值范围 9．（1）解：∵，，分别为的三边， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵，，分别为的三边， ∴，，， ∴ ． 10． 解：∵，且，， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 又∵c为最长边， ∴ 故答案为：． 11．解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，． 12．或或 解：∵a，b满足， ∴，， 解得， ∵，， ∴， 又∵c为奇数， ∴或或 ∴当时， 当时， 当时， 的周长为或或． 故答案为：或或． 题型4 三角形三边关系的应用 13．（1）解：，，是的三边长， ，，， ； （2）∵，， ， 即， c为奇数， ． 14．（1）解：∵的三边长为，且， ∴，即； （2）解：∵是的三边长， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 15． 解：∵是三角形的三边， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 16．（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 题型5 根据三角形中线求长度 17．B 解：①∵， ∴平分． ∴是的角平分线，故①正确； ②F为的中点，但F不是的边对边的顶点， ∴不是的边上的中线；故②错误； ③④根据三角形的高的概念可知不是的边上的高，是的边上的高．故③错误，④正确， 综上所述，正确的个数是2个． 故选B． 18．（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴． 19．（1）∵AD是的中线， ∴． ∵的周长，， ∴的周长； （2）∵和的高为同一条，， ∴． 同理可得，． 设点B到线段AD的距离为h， 则， 解得， ∴点B到线段AD的距离为6． 20． 解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 题型6 根据三角形中线求面积 21．A 解：∵点D为中点， ∴， ∴与等底同高， ∴， 同理可得，， ，，，， ∴． 故选：A 22．（1）解：在网格上找所在水平网格线与点C所以竖直网格线的交点即为D点，连接、， ∵水平网格线与竖直网格线互相垂直， ∴， 即是边上的高． （2）解：∵长为6个小方格的对角线， ∴从点B沿数3个小格的对角线，此点即为的中点K，连接，则是边上的中线． （3）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 23．（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 24．6 解：如图，连接， 点D是的中点， 设， ， ，， 设，则， ， ， 即， ， ， 故答案为：6． 题型7 重心的概念 25．（1）解：如图，即为所求， （2）解：，，， ，边上的高为， ； （3）解：如图，取的中点，连接交于点， 此时点． 26．5 解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 27．（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 28．D 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠EAG=∠FAG，故①正确， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF，∠EDA=∠FDA，故②正确； ∵∠EAD+∠EDA=90°，∠FDA+∠DAF=90°， ∴∠EAD+∠EDA+∠FDA+∠DAF=180°，即∠EAF+∠EDF=180°，故③正确； ∵AE=AF，ED=FD， ∴点A，D都在线段EF的垂直平分线上， ∴AD是EF的垂直平分线，故④正确； ∵AD是△ABC的角平分线，只有当AB=AC时，AD才是中线， ∴点G不一定是△ABC的重心，故⑤错误； 故选D． 题型8 三角形角平分线的定义 29．D 解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 30．（1）证明：∵分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 31．A 解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意； ②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； ③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意； ④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意； 综上，正确的有②，共1个， 故选：A． 32．解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 题型9 画三角形的高 33.（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：． 34.（1）解：由图形可知：先向右移动三个单位，再向上移动一个单位得到，则如图：即为所求． （2）解：四边形的面积是． 故答案为：5． （3）解：如图：线段即为所求． 35.（1）解：如图，即为所求． 的面积为． 故答案为：7． （2）如图，中线、高线即为所求； （3）由平移性质得，线段、的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等． 题型10 与三角形的高有关的计算问题 36. 解：∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵此时， ∴． 故答案为：． 37.（1）解：∵的边上的高为， ∴， ∵为的中线， ∴； （2）解：∵为的高， ∴， ∴． 38.（1）解：不是“比高三角形”，理由如下： ∵， ∴为最短边上的高，为最长边上的高， ∵， ∴， ∴，k不是整数， ∴不是“比高三角形”； （2）解：∵周长为的是“比高三角形”，且一边长为， ∴为的最长边， 当其中一边为时，则另外一边为，此时不满足各边互不相等且均为整数的条件， 故的三边长分别为，，或，，． 设最短边上的高为，最长边上的高为， 当三边长分别为，，时， ， 解得：，即， 当三边长分别为，，．时， ， 解得：，即， 综上所述， 的“比高系数"k为3或2． 39.（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：． （2）∵，点是边的中点， ∴， ∵点速度为每秒2个单位长度， 当时，在上，， 当时，在上，， ∴； （3）解：∵， ∴ ，则在上， ∴， 解得：； （4）解：∵，点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当在上时，， 解得：， ∴， 当在上时，∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. 题型11 利用网格求三角形面积 40.（1） 解：如图，即为所求，点的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图，． 答：的面积为16． 41.（1）解：如图，即为所作， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：由图可知，， ∵点P为y轴上一点， 不妨设， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的面积相等， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 42.（1）解：由网格可得： ， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，点P即为所求， 43.（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 点D在的平分线上； （2）解：由（1）可得：，，， ， 的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $