云南龙陵县第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年高三上学期期中考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则（ ） A.       B. C.       D. 2.已知，则（ ） A. 0    B. 1    C. 0或1    D. 2 3.已知函数，若，，，则实数、、的大小关系为（ ） A.       B.       C.       D. 4.已知函数 ，方程 的根的个数为（ ） A. 2    B. 3    C. 4    D. 5 5.已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ） A. 1    B.       C.       D. 6.已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（ ） A. 3    B. 2    C. -2    D. -3 7.已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624    B. 625    C. 626    D. 650 8.已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（ ） A. 2    B. 3    C. 4    D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数，则（ ） A. 有一个零点 B. 的极小值为 C. 的对称中心为 D. 直线是曲线的切线 10.已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 的最大值为1 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为 11.已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的图象在点处的切线方程为      ． 13.已知函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为          . 14.已知，，且，则在上的投影向量为       四、解答题 15.已知函数． （1）当时，写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由． （2）设，当时，，求的取值范围． 16.某企业近年来的广告费用x（百万元）与所获得的利润y（千万元）的数据如下表所示，已知y与x之间具有线性相关关系. （1）求y关于x的线性回归方程： （2）若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回归方程，预测2025年该企业可获得的利润. 参考公式：， 17.记为数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和. 18.已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19.已知的角所对应的边为，，. （1）若，求； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，求证：. 一、单选题 1. C【解析】由，得或，所以. 由，得，则，所以. 所以. 故选：C. 2. B【解析】令，则. 设，那么，同时，又. 所以，移项得，解得，即. 故选：B. 3. D【解析】已知函数，求导得. 当时，，所以，则在上单调递增. 因为的定义域为，且， 所以是偶函数，那么. 指数函数单调递增，所以. 对数函数在单调递增，所以，即. 由此可得，有，即. 故选：D. 4. B【解析】当时，，可知函数在时周期为. 当，，则. 设，需确定与图象交点个数. ，，，即. ，，，即. 结合与的图象可知两函数图象交点个数为. 故选：B. 5. D【解析】函数，，其导数. 当时：在区间上，，则，单调递增. 在上最小值为，由，与矛盾，舍去. 当时：令，得.在上，单调递减； 在上，单调递增. 若：在上单调递增，最小值为，，与最小值为不符，舍去. 若：在递减，在递增，最小值为. 由，即，解得. 若：在上单调递减，最小值为. 由，得，与矛盾，舍去. 综上，. 故选：D. 6. B【解析】因为方程是实系数方程，且是根. 根据实系数一元二次方程虚根成对原理，也是该方程的根. 由韦达定理，两根之积 ，所以 . 故选：B. 7. C【解析】当（）时，， 则奇数项构成首项为，公差为的等差数列， 前项（到）和为. 当（ ）时，， 则偶数项构成首项为，公比为的等比数列， 前项（到）和为. 所以为=. 故选：C. 8. B【解析】过、作抛物线准线的垂线，垂足为、 . 由梯形中位线性质， . 抛物线中，，，故 . 设，，由抛物线定义， . 联立，消得 . 由韦达定理， . 所以： . 解得 . 故选：B. 二、多选题 9. ABD【解析】对于A，由，得， 令，得；令，得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以当时，，当时，存在唯一零点， 故函数在上只有一个零点，故A正确； 对于B，由选项A可知，函数的极小值为，故B正确； 对于C，令，定义域为，则， 所以函数为奇函数，对称中心为，将函数图象向下平移1个长度单位，得函数的图象， 所以的对称中心为，故C错误； 对于D，由选项A知，，令，又， 所以切线方程为，即， 所以直线是曲线在点处的切线，故D正确， 故选：ABD. 10. BC【解析】利用二倍角正弦公式， . 选项A：中，最大值为，所以最大值为，A错误 . 选项B：正弦函数单调递增区间是， 令，则， 解得 . 当时，单调递增区间是， ，所以在上单调递增，B正确 . 选项C：正弦函数对称轴方程是， 令，则， 解得 . 当时，， 所以图象关于直线对称，C正确 . 选项D：对于，最小正周期， 中，则，D错误 . 故选：BC. 11. ACD【解析】选项A：由，得定义域，， 求导， 因是极大值点，故，解得，A正确. 选项B：，令，得或； 令，得，故在递减， 当时，，则，B错误. 选项C：， 故，C正确. 选项D：由且，得， 因在递增，故， 则， 计算，故，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 【解析】对函数求导可得， 则，此为切线斜率. 由于. 由点斜式方程可得切线方程为， 整理得. 13. 【解析】. 当，则. 函数在上有个极大值点、个极小值点， 对应（）在内有次最大值、次最小值. 需满足：， 解得. 故答案为：. 14. 【解析】设，由，得， ，， 则，， 因，故， 整理得， 结合，所以，解得， 将代入，得，， 故或. 由于，， 则在上的投影向量为=. 故答案为：. 四、解答题 15. 解：(1)当时，，定义域，. 第一条切线：取，，， 切线方程：，即. 第二条切线：因两切线垂直，斜率乘积为，故另一切线斜率. 令，即，解得. 计算. 切线方程：，整理得. （2）令，需时， ， 令，得或， 当：时，，递增， ，不满足. 当：，递减，但，不满足. 当时：时，，递减， 只需，解得. 综上，的取值范围是. 16. 解：(1)，. ，. 由公式，，可得，. 故关于的线性回归方程为. (2)2025年广告费用为百万元. 将代入，得千万元. 所以预测2025年该企业可获得的利润为千万元. 17. 解：（1）当时，，由，即， 移项可得，，解得. 当时，. ，展开得， 化简得，即. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 根据等比数列通项公式，可得. （2）已知在与之间插入个数，组成公差为的等差数列，则. ，，所以. 则，那么. 设为数列的前项和. 当为偶数时，设（）， ， 每一组的值都为，共组，所以. 为偶数，.. 所以. 18. （1）证明：取中点，连、. 是中点，故，且 . 底面是矩形，是中点，所以，且 . 则且，四边形是平行四边形 . 所以，又平面，平面，故平面 . （2）以为原点，、、为、、轴建空间直角坐标系. 各点坐标：，，，， . 向量，， . 设平面法向量为，由，得 . 令，则，，即 . 设直线与平面所成角为，则 . （3）向量，平面法向量 . 点到平面的距离 . 19. （1）解：由，根据正弦定理，得. 已知，则. 结合，将代入得： ，即. 因，，故. （2）解：由，得， 则：，即. 由和角公式，. 因，，故，即. 有两种情况： （即），则，与矛盾，舍去. （即），代入，得，故. （3）证明：由，且，得. 化简得，即（）. 利用二倍角， 代入得：. 整理得. 令，因（），故，. 设， 求导， 在时，单调递减. 由于，，故，即. 由，，因，，且， 故，即，则. 由正弦定理： 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $