2026年高一寒假作业一 集合概念与基本运算

高一寒假作业 2025-2026学年第一学期高一寒假作业一 集合概念与基本运算 一、单选题 1．设集合，且，则（    ） A． B． C．8 D．6 2．已知集合，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5. 已知集合，若，则（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 0或1 6．设全集，集合，，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 7．已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 10．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11.已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 . 12.定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 14. 设全集为，集合，，． （1）求，； （2）若，求实数a的取值范围． 15．设集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $高一寒假作业 2025-2026学年第一学期高一寒假作业一 集合概念与基本运算【解析】 一、单选题 1．设集合，且，则（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】C 【解析】由，可得或，即或，而， ∵，∴，可得. 故选：C 2．已知集合，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由知：， 当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当，即或，若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若，则，，满足要求.综上，. 故选：A 3．如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由韦恩图可知，， 因为，， 则，，因此，. 故选：D. 4．已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为，所以，如图， 对于选项A：由题意知 P是 Q的真子集，故，，故不正确， 对于选项B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正确. 对于选项C：由是的真子集知，，，故不正确， 对于选项D：Q是的真子集，故，，故不正确， 故选：B 5. 已知集合，若，则（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 0或1 【答案】A 【解析】∵，∴集合中必有元素1． ①当时，． 集合，，满足条件． ②当时：，集合，那么，不满足， ∴舍去． 综上，， 故选：A． 6．设全集，集合，，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 【答案】A 【解析】由集合知，，即，而，全集， 因此，，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0. 故选：A 7．已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，， 若中有且仅有三个整数，则只能是，故，解得， 故选：B． 8．对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合新定义可知，又，所以． 故选：A 二、多选题 9．设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的. 【详解】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 10．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用集合的交并补运算逐一判断即可得结果. 【详解】对于选项A：由，得4，所以，则，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：由于，故，故C正确； 对于选项D：由于，故，故D错误 故选：BC 三、填空题 11.已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 . 【答案】 【解析】方程化为：，由已知集合只有一个元素， ①，解得，此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 12.定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【答案】 【分析】求出集合，利用题中定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合，确定集合的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数. 【解析】因为，则， 又因为，故， 所以，集合有个元素，故集合的真子集个数. 故答案为：. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）应用集合的并运算求集合； （2）由题设有，讨论、列不等式求参数范围. 【解析】（1）由题设，故； （2）由， 若，有满足题设； 若，有，可得； 综上，或. 14. 设全集为，集合，，． （1）求，； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）化简集合，根据交、并、补集的概念计算； （2）将集合运算转化为集合间关系求解. 【解析】（1）由题，又， 所以， 又或，所以； （2）若，则，因为，或， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 15．设集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据交集先将元素2代入集合，求出的值再逐一验证； （2）对进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集. 【解析】（1）由题意得． ， 即，化简得：， 即，解得：， 经检验当，满足 当，满足 （2），故 ①当为空集，则，即，得或； ②当为单元素集，则，即，得或， 当，舍去；当符合； ③当为双元素集，则，则有，无解， 综上：实数的取值范围为. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $