专题1.5 角平分线（寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

角平分线 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 角平分线的性质 考点梳理 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 典例引领 考向01 角平分线的性质定理 【例1】如图， 在中， ， 是的角平分线， 于点E，连接．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，勾股定理等，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点D作于F，根据角平分线的性质定理得，利用三角形面积法计算出，，再利用勾股定理计算出，进而计算出，根据即可求解． 【详解】解：如下图所示，过点D作于F， 平分，，， ， ， ， 即， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 设点E到的距离为h， 则，， ， ， 故选：C． 对点提升 【对点1】下列命题为假命题的是 （   ） A．三角形的外角和等于 B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．全等三角形的对应边上的高相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题的真假，涉及三角形外角和，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质，根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外角和为，原说法错误，是假命题，符合题意； B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，原说法正确，是真命题，不符合题意； C、角的平分线上的点到角的两边的距离相等，原说法正确，是真命题，不符合题意； D、全等三角形的对应边上的高相等，原说法正确，是真命题，不符合题意． 故选：A． 考点02 角平分线的判定 考点梳理 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 典例引领 考向01 角平分线的判定定理 【例1】以下说法中错误的是（　　） A．如果直线是线段的垂直平分线，点在上，那么 B．如果点到线段两个端点的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上 C．如果点是内一点，、分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，是上一点，那么点到、的距离相等 【答案】C 【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质与判定定理逐项判断即可；本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线和角平分线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，点在上， ∴（垂直平分线的性质），故A正确； ∵点到线段两个端点的距离相等， ∴点在线段的垂直平分线上（垂直平分线的判定），故B正确； ∵点是内一点，、分别在、上，， 但和不一定是点到、的距离， ∴无法推出是角平分线，故C错误； ∵是的平分线，是上一点， ∴点到、的距离相等（角平分线的性质），故D正确； 故选：C． 对点提升 【对点1】在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定定理，掌握在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 由题意可知，是的角平分线，结合，角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：如图，∵两个完全一样的三角板， ，， 平分（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）， ， ， ， 故选：D． 考点03 作已知角的平分线 考点梳理 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 典例引领 考向01 角平分线性质的实际应用 【例1】上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 对点提升 【对点1】某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，平分交于点P，作，垂足分别为R、S，若，则下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，角平分线定义及角平分线的性质定理，关键是由证明． 由角平分线定义得到，由垂直的定义推出，而，由证明，推出，由等腰三角形的性质推出，又，得到，推出，由条件得不到． 【详解】解：∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， 已知，但不能确定与，与的数量关系， ∴由条件不足，不能得到，故④不符合题意． ∴其中结论正确的序号有①②③． 故选：A． 2．如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键． 先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以． 【详解】解：在长方形中， ∵，， ∴， 由作法得：平分， ∴． 故选：C． 3．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，交于点E，过点E作于F．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，由作图可知，射线平分，即可判断选项A；根据角平分线的性质可得，即可判断选项B；根据等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质推出，即可判断选项C；根据含30度角的直角三角形的性质推出，再根据，即可判断选项D． 【详解】解：由作图可知，射线平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵即，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 4．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧在的内部相交于点．作射线交于点．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点和点．分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点．连接交于点．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了作图—角平分线和垂线、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质，理解题意是解决本题的关键． 由作图可得，是的角平分线，，则根据角平分线的性质，证明，可得，进而即可求解． 【详解】解：由作图可得，是的角平分线，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长为 ． 又∵，且， ∴， ∴ ． 故选：B． 5．如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．先根据角平分线的性质得，证明，可得，继而证得①；又由线段垂直平分线的判定，可得②垂直平分；然后利用三角形的面积公式求解即可得③． 【详解】解：①∵三角形中，的平分线交于点D，过点D作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴点D在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故②正确； ③∵，，， ∴； 故③正确； ④∵不一定等于， ∴不一定平行． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故选：A． 6．如图，在中，，按以下步骤作图：①利用尺规在上分别截取，使；②分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若的面积为为上一动点，则的最小值为（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的作图，垂线段最短和角平分线的性质．过G点作于H，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用面积公式计算出，则，然后根据垂线段最短得到的最小值． 【详解】解：过G点作于H，如图，    由作法得平分， ， ， 的面积， ， ， 为上一动点， 点P与H点重合时，有最小值， 的最小值为1． 故选：D． 7．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 过点作、、的垂线，垂足分别为，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为， ∵是的三条角平分线， ∴． ∵的面积为，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 故选：B． 8．如图，在中，，的平分线交于D．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，三角形面积公式，过点D作于H，由角平分线的性质定理可得，由勾股定理可得，再由，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点D作于H，如图： ∵，平分， ∴． 由勾股定理得． ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C． 9．如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．有如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，点到的距离为，则的面积为； 上述结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据现有条件无法证明，即可判断①；根据角平分线的定义及平行线的性质推出，，即可判断②；根据三角形内角和定理得，继而推出，即可判断③；如图，过点作于点、作于点，作于点，连接，根据角平分线的性质推出，再根据，即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 但根据已知条件无法说明， ∴不一定等于，故结论①不正确； ∵，， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故结论③正确； 如图，过点作于点、作于点，作于点，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵，点到的距离为，， ∴， ∴， 即的面积为，故结论④正确； ∴结论正确的有个． 故选：C． 10．如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点，若过点的直线平分面积，那么的值为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理；过点O作，垂足分别为H、G、P，连接，由角平分线的性质得到，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，再由过点的直线平分面积，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点O作，垂足分别为H、G、P，连接， ∵平分，平分， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵过点的直线平分面积， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故选B． 2、 填空题 11．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键． 作交于，根据角平分线的性质定理可得，从而得到答案． 【详解】解：如图，作交于， ，平分，， ， 则点D到的距离为5， 故答案为：5． 12．如图，中，，，平分，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出．过点作于，于， 由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式求出的长，从而可得的面积． 【详解】解：如图，过点作于，于， 平分， ， 的面积为， ，即， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，在中，，平分，平分，相交于点，则 度；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义，勾股定理，作出辅助线，求得是解题的关键．过点作于，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质分别求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：；． 14．已知，如图， 点为的平分线上的点， 连接； 如图，点为的平分线上的两点， 连接；如图，点为的平分线上的三点， 连接 依此规律，第个图形中总共有全等三角形 对． 【答案】 【分析】本题考查了对全等三角形的判定以及图形变化规律，关键是根据已知图形得出规律．由图可知，第个图形，共有1对全等三角形，第个图形，共有对全等三角形，第个图形，共有对全等三角形，依此规律，第个图形，共有对全等三角形． 【详解】解：图中，当有点D时，有1对全等三角形， 图中，当有点时，有对全等三角形， 图中，当有点时，有对全等三角形， 当有个点时，图中有对全等三角形， 故第个图中有点，全等三角形的对数为． 故答案为：． 15．如图，在四边形中，已知，平分，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质．作，，垂足分别为，，利用勾股定理求得，设，，利用等积法求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，得到，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，， ∵平分，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 设，， ∵，即， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 16．如图，已知是锐角三角形，． (1)用不带刻度的直尺和圆规，试求作一点P，使得点P到点B，C的距离相等，并且到边，的距离也相等； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求． （2）由题意得，为的平分线，则，．根据，可得，求出． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求． （2）解：点到、两点的距离相等， ， ． 点到、两边的距离相等， 为的平分线， ． ， ． 17．如图，已知在中，． (1)用直尺和圆规在边上求作一点，使点到边和的距离相等（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）； (2)如果，点是边上一点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知识点． （1）作出的平分线与的交点即为点，根据角平分线的性质定理即可求解； （2）连接，先证明，则，再由直角三角形锐角互余得到，再证明为等腰三角形即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：连接， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，平分交于点，于点，于点，．若，求的长． 【答案】 【分析】该题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，根据角平分线的性质得出，再根据等面积得出，即可求解． 【详解】解：平分，，， ， 设中边上的高为， ， 又， ， ∵， ， ． 19．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等直四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如，在图1中，若，，则四边形为邻等直四边形，邻等角为． (1)如图1，已知四边形为邻等直四边形，，，，求的度数； (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：四边形为邻等直四边形； (3)如图3，在中，，，，若四边形为邻等直四边形，请画出示意图（温馨提示：不限作图工具），并直接写出四边形的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析，当时，周长为；当时，周长为；当时，周长为16；当时，周长为；当时，周长为；当时，周长为 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． (1)根据平行线的性质可以求出，根据四边形为邻等直四边形，可知，根据角之间的关系即可求出的度数； (2)根据角平分线的定义和平行线的性质可证，根据，，可知，可以判断四边形为邻等直四边形； (3)根据四边形为邻等直四边形，分情况求出四边形的周长． 【详解】（1）解：， ， ， 又， ， 又， ， ， ； （2）证明：在四边形中，，， ， 对角线平分， ， ， ， ， ， 四边形为邻等直四边形； （3）情况一：当时， ，，， ， 如下图所示，过点作， 则，， ， ， 四边形的周长为； 情况二：当时， ，，， ， 如下图所示，过点作， 则，， ， ， 四边形的周长为； 情况三：当时，如下图所示，过点作， ，，， ，， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 四边形周长为； 情况四：当时， 如下图所示，过点作， ，，， 设，则，， ， ， 解得：， ， 四边形的周长为； 情况五：当时， ，，， ， 如下图所示，过点作， 则， 设，则， ， ， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 四边形的周长为； 情况六：当时， ，，， ， 如下图所示，过点作， 则，， ， , 四边形的周长为． 综上所述，当时，周长为；当时，周长为；当时，周长为16；当时，周长为；当时，周长为；当时，周长为． 20．如图，分别以的边，向外作等边三角形和等边三角形，线段与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用． （1）根据等边三角形性质得出，，，求出．根据证即可． （2）根据全等求出，在中根据三角形的内角和定理和即可求出答案． （3）过点分别作，，垂足为点，．根据三角形的面积公式求出，根据角平分线性质求出即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 在中， ． （3）证明：过点分别作，，垂足为点，． 由（1）知：， ， ， 点在的平分线上， 即平分． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 角平分线 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 角平分线的性质 考点梳理 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 典例引领 考向01 角平分线的性质定理 【例1】如图， 在中， ， 是的角平分线， 于点E，连接．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】下列命题为假命题的是 （   ） A．三角形的外角和等于 B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．全等三角形的对应边上的高相等 考点02 角平分线的判定 考点梳理 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 典例引领 考向01 角平分线的判定定理 【例1】以下说法中错误的是（　　） A．如果直线是线段的垂直平分线，点在上，那么 B．如果点到线段两个端点的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上 C．如果点是内一点，、分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，是上一点，那么点到、的距离相等 对点提升 【对点1】在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点03 作已知角的平分线 考点梳理 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 典例引领 考向01 角平分线性质的实际应用 【例1】上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 对点提升 【对点1】某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，平分交于点P，作，垂足分别为R、S，若，则下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，交于点E，过点E作于F．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧在的内部相交于点．作射线交于点．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点和点．分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点．连接交于点．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．如图，在中，，按以下步骤作图：①利用尺规在上分别截取，使；②分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若的面积为为上一动点，则的最小值为（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，在中，，的平分线交于D．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D．20 9．如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．有如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，点到的距离为，则的面积为； 上述结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点，若过点的直线平分面积，那么的值为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 2、 填空题 11．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为 ． 12．如图，中，，，平分，若的面积为，则的面积为 ． 13．如图，在中，，平分，平分，相交于点，则 度；若，，则 ． 14．已知，如图， 点为的平分线上的点， 连接； 如图，点为的平分线上的两点， 连接；如图，点为的平分线上的三点， 连接 依此规律，第个图形中总共有全等三角形 对． 15．如图，在四边形中，已知，平分，．若，，则的长为 ． 3、 解答题 16．如图，已知是锐角三角形，． (1)用不带刻度的直尺和圆规，试求作一点P，使得点P到点B，C的距离相等，并且到边，的距离也相等； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 17．如图，已知在中，． (1)用直尺和圆规在边上求作一点，使点到边和的距离相等（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）； (2)如果，点是边上一点，且，求的长． 18．如图，在中，平分交于点，于点，于点，．若，求的长． 19．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等直四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如，在图1中，若，，则四边形为邻等直四边形，邻等角为． (1)如图1，已知四边形为邻等直四边形，，，，求的度数； (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：四边形为邻等直四边形； (3)如图3，在中，，，，若四边形为邻等直四边形，请画出示意图（温馨提示：不限作图工具），并直接写出四边形的周长． 20．如图，分别以的边，向外作等边三角形和等边三角形，线段与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $