2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：二次函数

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：二次函数 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝- B．y＝2x2-x+2 C．y＝ D．y＝2x+2 2．二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是(　　) A．(－1，3) B．(1，－3) C．(－1，－3) D．(1，3) 3．抛物线y＝﹣（x+3）2 ﹣7的对称轴是（　　） A．y轴 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝﹣7 4．已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为 （　　） A．x1=-1，x2=3 B．x1=-2，x2=3 C．x1=1，x2=3 D．x1=-3，x2=1 5．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（ ，y1），点N（ ，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣ ＜a＜﹣ ．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 7．如图，已如抛物线 开口向上，与 轴的一个交点为 ，对称轴为直线 .下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，抛物线的对称轴为1，与轴的一个交点位于两点之间.下列结论：①；②；③；④若为方程的两个根，则.其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 12．抛物线的顶点坐标　 　． 13．二次函数 的图象的对称轴为直线　 　. 14．二次函数 的最大值是　 　． 15．抛物线y＝－2x2向左平移1个单位，再向上平移　 　个单位得到的抛物线与x轴的两交点及顶点构成的三角形是正三角形． 16．如图，已知抛物线y=-x2-2x+3与坐标轴分别交于A，B，C三点，在抛物线上找到一点D，使得∠DCB=∠ACO，则D点坐标为　 　 17．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a= 时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是　 　． 三、解答题 18．知函数 (b，c为常数)的图象经过点 ( - 1，0)， (3，0). （1）求二次函数表达式； （2）当-4≤x≤0时，求函数y的最大值和最小值. 19．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，求m的最大值． 20． 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，顶点坐标为（1，2） （1）该抛物线的对称轴为直线　 　，当x=　 　时，函数有最　 　值； （2）求抛物线的解析式； （3）当0≤x≤2时，写出y的取值范围　 　. 21． 如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为xm，矩形场地的面积为Sm2 （1）S与x的函数关系式为S＝ ▲ ，其中x的取值范围是 ▲ ； （2）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值． 22．如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC． （1）求点C的坐标； （2）求二次函数的解析式． 23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （1）求出点A、B的坐标； （2）已知点． ①请求点P的坐标，使得对于任意非零实数a，点P都不在抛物线G上； ②当时，是否存在非零实数a，使得点P恒在的内部？若存在，请求出a的取值范围．若不存在，请说明理由． 24．如图，抛物线经过点和. （1）求抛物线的函数表达式和对称轴. （2）抛物线交轴于点，点在线段OA上，过点作轴的平行线交抛物线于B，C两点（点B在点的左侧).若AP，求的值. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A、y＝-不是二次函数，故此选项不符合题意； B、y＝2x2-x+2是二次函数，故此选项符合题意； C、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意； D、y＝2x+2是一次函数，故此选项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是(1，3). 故答案为：D. 【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），利用二次函数图象可得答案。 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵y＝﹣（x+3）2﹣7 ∴对称轴是直线x＝﹣3 故答案为：C． 【分析】根据抛物线y=a（x-h）2+k的对称轴是x=h即可确定． 4．【答案】A 【解析】【分析】由图象可得二次函数y=-x2+2x+m的图象的对称轴为x=1，且图象与x轴的一个交点坐标为（3，0)，根据抛物线的对称性即可得到结果. 由图象可得对称轴为x=1，且与x轴的一个交点坐标为（3，0) 则关于的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x1=-1，x2=3 故选A. 【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：①由开口可知：a＜0， ∴对称轴x=− ＞0， ∴b＞0， 由抛物线与y轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）， 对称轴为x=2， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0）， ∴x=3时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0，故②正确； ③由于 ＜2＜ ， 且（ ，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（ ，y2）， ∵ ＜ ， ∴y1＜y2，故③正确， ④∵− =2， ∴b=-4a， ∵x=-1，y=0， ∴a-b+c=0， ∴c=-5a， ∵2＜c＜3， ∴2＜-5a＜3， ∴- ＜a＜- ，故④正确 故答案为：D 【分析】根据抛物线的开口向下得a＜0，又对称轴在y轴的右边，故b＞0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，故c＞0，所以abc＜0；根据抛物线的对称性，由抛物线与x轴交于点A（-1，0）且对称轴为x=2，故抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0；由于 ＜2＜ ，且（ ，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（ ，y2），又＜，根据对称轴左侧，y随x的增大而增大，即可得出y1＜y2；根据抛物线的对称轴直线公式得出b=-4a，又x=-1，y=0，即a-b+c=0，故c=-5a，又2＜c＜3，从而得出. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线上有两点，，且， ， ，或或， 故答案为：D． 【分析】根据抛物线的性质得出，得出或或，且，从而得出或或，即可得出答案. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ， ∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0， ∴abc＞0，故A不符合题意； ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）； ∴ 即 故B不符合题意； 当x=2时， ，即 ，故C符合题意； ∵抛物线对称轴为直线 ∴ ，即 ，故D不符合题意， 故答案为：C. 【分析】由抛物线开口向上且与y轴负半轴相交，对称轴为直线 ，可得a＞0，b＜0，c＜0，据此判断①；抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0），可得抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），，可得，据此判断B、D；当x=2时，，据此判断C. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：抛物线开口向上， 则a＞0，③正确； 抛物线与y轴交于正半轴， 则c+2＞2，即c＞0 对称轴在y轴的左侧， 则b＞0， ∴abc＞0，①错误； 抛物线与x轴只有一个交点， 则b2﹣4ac=0，②正确； 当x=﹣2时，y＞0， 则4a﹣2b+c+2＞0，即4a﹣2b+c＞﹣2，④错误； 故选：B． 【分析】根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即，故①错误； ∴，故②正确； ∵二次函数的图象过点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，故③正确； ④若点在该函数图象上，则； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴在图象上的对称的点坐标为， ∵当时，y随x的增大而减小，且， ∴，故④正确； ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为， ∵方程的两根是二次函数与直线的两个交点的横坐标，如图： 由函数图象可知：，故⑤正确； 综上，正确的结论有4个． 故选：C． 【分析】根据函数图象可得二次函数的图象开口向下，则，与y轴的交点在y轴的正半轴，即当x=0时，得到的函数值，再抛物线的对称轴为直线，则，根据a，b，c的符号情况，可判定①②； 由图象过点可得，从而可得，再结合可得，然后代入即可判定③； 先根据对称性可得在图象上的对称的点坐标为，再利用二次函数的增减性，当x大于2时，y随着x的增大而减小，即可得④；方程的两根是二次函数与直线的两个交点的横坐标，结合函数图象即可判断⑤是正确的． 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴为直线 故①错误； ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ， 故②错误； ∵抛物线 的对称轴为直线x=1，且x=3时 ∴时， 即 故③正确； 若x1， x2为方程的两个根，由函数图象与x轴交点可知 故④正确， ∴正确的有： ③④， 共2个， 故答案为：B. 【分析】根据抛物线 的对称轴为直线 可得 判断①错误；由图象可得 知 ，判断②错误； 而 时 知 时， 即 可得 判断③正确； 由 可得 判断④正确. 11．【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①错误； ， ∴根据图像可得：当时，有， ，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，函数取得最小值， ∴， ，故④正确； 综上所述，正确的结论个数为3个， 故答案为：C． 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②；根据当时，有，结合可判断③；根据当时，函数取得最小值，可判断④. 12．【答案】 【解析】【解答】解：对照抛物线的顶点式：y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k）， 在本题中抛物线的解析式为：， 得：h=3，k=6， 所以顶点坐标为：， 故答案为：. 【分析】 抛物线，根据顶点式的特点，找出顶点即可. 13．【答案】x=2 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ； 故答案为：x=2. 【分析】二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=，据此解答. 14．【答案】8 【解析】【解答】∵ ， ∴ 有最大值， 当 时， 有最大值8． 故答案为8． 【分析】二次函数的顶点式 在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在 时有最大值. 15．【答案】 【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=-2x2先向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=-2(x+1)2. 设向上平移k个单位，即y=-2(x+1)2+k， ∴顶点坐标为（-1，k），与x轴的交点为 ∵抛物线与x轴交点构成正三角形， ∴ ∴ 故答案为：. 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则得到y=-2(x+1)2+k，再根据顶点和两个交点构成正三角形，需要满足顶点到两个交点的距离相等目等于两个交点之间的距离即可求解. 16．【答案】 或（-4，-5） 【解析】【解答】解：如图，符合题意的有 ，过点A作AG⊥CD1，交CD1于点G，交OC于点H；过G分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F. 由抛物线 可得 ， ∴OB=OC=3，OA=1. ∴ ， ∴ ∴ 即 又∵AG⊥CD1， ∴△ACG是等腰直角三角形， ∴CG=AG= ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴GE=GF， 则四边形OEGF是正方形， ∴GE=GF=OF=OE， 在Rt△AEG中，由 ，解得EG=1， 则G（-1，1）， 可求得直线CG：y=2x+3， 由 ，解得 ， ∴D1（-4，-5）； ∵ ∴直线CD1与直线CD2关于直线BC对称， 可设点G（-1，1）关于直线BC的对称点为G’（m，n）， 则线段GG’的中点 在直线BC：y=x+3上，且CG=CG’， ∴ ， 解得 ∴点G’（-2，2）， 则可求得直线CG’为：y= . 由 解得 ， ∴D2 . 故答案为 或（-4，-5） 【分析】符合条件的两个点D分别在直线BC的两旁，作出图形；分别求出点A，B，C的坐标可得OB=OC=3，OA=1， ，则可转化得到 作AG⊥CD1，构造△ACG等腰直角三角形，构造弦图可证明 ，结合勾股定理求出点G的坐标，从而可求得直线CG的解析式，联立两个解析式求出D1；由对称的性质及中点坐标公式，求出点G关于直线BC的对称点G’，从而可得直线CG’的解析式，联立两个解析式，可得点D2的坐标. 17．【答案】①④ 【解析】【解答】.①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴AB=4， ∴对称轴x= =1， 即2a+b=0； 故①正确； ②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而 ＞0 ∴b＜0， ∵对称轴x=1， ∴当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0； 故②错误； ③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴当x=2时y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 又∵b＜0， ∴4a+b+c无法确定； 故③错误； ④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半； D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值． 当x=1时，y=a+b+c， 即|a+b+c|=2， ∵当x=1时y＜0， ∴a+b+c=﹣2， 又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴当x=﹣1时y=0即a﹣b+c=0； x=3时y=0． ∴9a+3b+c=0， 解这三个方程可得：b=﹣1，a= ，c=﹣ ； 故④正确； ⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC， 当AB=BC=4时， ∵AO=1，△BOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2=16﹣9=7， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c=﹣ ， 与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= ； 同理当AB=AC=4时， ∵AO=1，△AOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2=16﹣1=15， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c=﹣ 与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= ； 同理当AC=BC时 在△AOC中，AC2=1+c2， 在△BOC中BC2=c2+9， ∵AC=BC， ∴1+c2=c2+9，此方程无解． 经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误． 所以正确的额结论有：①④ 【分析】根据抛物线的对称性得出x= =1，即2a+b=0；由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，根据对称轴在y轴的右侧判断出a，b异号，故b＜0；根据对称轴是x=1得出当x=1的时候函数有最小值，即x=1对应的点使函数的顶点，根据顶点位置判断出该点的函数值小于0，故a+b+c＜0；当x=2时y＜0，故4a+2b+c＜0，又b＜0，故4a+b+c无法确定；根据抛物线的对称性可知AD=BD，故要使△ABD为等腰直角三角形，只能∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．当x=1时，y=a+b+c，即|a+b+c|=2，a+b+c=﹣2，然后将A，B两点的坐标分别代入解析式得出两个关于a，b，c的方程，解三个方程组成的方程组即可求出a，b，c的值，从而 只有当a= 时，△ABD是等腰直角三角形； 要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，由AO=1，△BOC为直角三角形，OC的长即为|c|，故c2=16﹣9=7，c=﹣ ，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= ；同理当AB=AC=4时，AO=1，△AOC为直角三角形，又OC的长即为|c|，c2=16﹣1=15，故c=﹣ ，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= ；同理当AC=BC时 在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，根据AC=BC，建立方程，由于此方程无解．综上所述即可得出答案。 18．【答案】（1）解：∵函数的图象经过点 (-1， 0)， (3， 0)， 且a=-1， ∴函数解析式为 y=-(x+1)(x-3)； 或 推出 （2）解：由 (1) 得： 函数解析式为y=-(x+1)(x-3)=， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∵-4≤x≤0， ∴当x=0时， y的值最大， 最大值为3， 当x=-4时， y的值最小， 最小值为-21. 【解析】【分析】(1)利用二次函数的交点式可得解析式为 y=-(x+1)(x-3)； (2)由二次函数解析式知开口方向和对称轴，根据函数的增减性，可得函数的最大值与最小值. 19．【答案】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3， ∴a＞0． ∵抛物线过原点所以c=0， ∴=，即b2=12a， ∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根， ∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3， ∴m的最大值为3． 【解析】【分析】利用抛物线顶点坐标公式求得该抛物线的纵坐标.，即b2=12a；然后由一元二次方程的根的判别式得到△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0， 解得m≤3． 20．【答案】（1）x=1；1；大 （2） （3） 【解析】【解答】(1) 解： ∵抛物线 经过原点，顶点坐标为(1，2)， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∵抛物线开口向下， ∴当x=1时，函数有大值； 故答案为： x=1， 1， 大； (2) 解： ∵抛物线的顶点坐标为(1，2)， 设抛物线的解析式为 ∵抛物线 经过原点， 解得：a=-2， ∴抛物线的解析式为 整理得： (3)解：由函数图象可知，当x=1时，函数有最大值y=2， 当x=0时， 当x=2时， ∴当 时， 故答案为： 【分析】(1)因为抛物线的顶点在抛物线的对称轴上，根据抛物线的顶点坐标为(1，2)，可知抛物线的对称轴是x=1，因为抛物线开口向下，所以抛物线一定有最大值； (2)已知抛物线的顶点坐标为(1，2)，设抛物线的解析式为 因为抛物线过原点，可得： 解方程求出a的值，即可得到抛物线的解析式； (3)由函数图象可知，当x=11时，函数有最大值y=2，当x=0和x=2时，对应的函数值均为0，即可得到纵坐标的取值范围. 21．【答案】（1）－2x2＋20x ；5≤x＜10 （2）解：∵S＝－2x2＋20x＝－2（x－5）2＋50， ∴当x＝5时，S最大是50， 此时20－2x＝10， 答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是10m，宽是5m，矩形场地面积的最大值是50m2． 【解析】【解答】解：（1）∵AD=BC=x m， 篱笆总长20m， ∴AB=(20-2x)m， 又∵墙长10米， ∴20-2x≤10， 解得x≥5， ∴5≤x<10， ∴S=x(20-2x)=-2x2+20x(5≤x<10). 故答案为：-2x2+20x；5≤x<10. 【分析】（1）由AD=BC=xm，根据总篱笆长，可得出AB=(20-2x)m，由墙长10米，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，最后根据矩形的面积公式求出S关于x的函数关系式； （2）把二次函数的解析式配方成顶点式，即可求出矩形场地面积的最大值，并得到长与宽. 22．【答案】（1）解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）， ∴AB=1+4=5， ∵AB=OC， ∴OC=5， ∴C点的坐标为（0，5） （2）解：设过A、B、C点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C的坐标代入得： ， 解得：a=﹣ ，b= ，c=5， 所以二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+5 【解析】【分析】（1）根据A、B的坐标，求出AB的长度，根据AB=OC，求出C点坐标。 （2）设出二次函数的解析式，将A、B、C三点的坐标代入得到三元一次方程组，求出二次函数的解析式。 23．【答案】（1）解：令y=0，得， 整理得， 解得x=-6，x=1， ∵点A在点B左侧， ∴A(-6，0)，B(1，0)． （2）①根据题意，得， ∴ ∴ ∴ ∴点P (-3，0)或(-6，21)． ②存在，且a＞．理由如下： ∵点， 设x=t-1，则y=， ∴点P的轨迹是抛物线y=， ∴对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，-4）， 故当a＞0时，点P可能在的内部， 设直线AC的解析式为y=kx+b， 根据题意，得， 解得b=6k， 故解析式为y= kx+6k， 当直线AC与抛物线y=相切时，点P在角的边上， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得k=或k=（舍去）， ∴直线AC的解析式为y= (）x-60+， 直线经过(0，-6a)， 故-6a= -60+， ∴a=， ∴a＞． 【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再解方程求出x的值，最后求出点A和点B的坐标即可； （2）①根据题意先求出，再求出t的值，最后求出点P的坐标即可； ②先求出点P的轨迹是抛物线y=，再求出，最后计算求解即可. （1）令y=0，得， 整理得， 解得x=-6，x=1， ∵点A在点B左侧， ∴A(-6，0)，B(1，0)． （2）①根据题意，得， ∴ ∴ ∴ ∴点P (-3，0)或(-6，21)． ②存在，且a＞．理由如下： ∵点，设x=t-1，则y=， ∴点P的轨迹是抛物线y=， ∴对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，-4）， 故当a＞0时，点P可能在的内部， 设直线AC的解析式为y=kx+b， 根据题意，得， 解得b=6k， 故解析式为y= kx+6k， 当直线AC与抛物线y=相切时，点P在角的边上， ∴ ∴， ∴△=， ∴， 解得k=或k=（舍去）， ∴直线AC的解析式为y= (）x-60+， 直线经过(0，-6a)， 故-6a= -60+， ∴a=， ∴a＞． 24．【答案】（1）解：∵抛物线经过点(-2，0)和(0，4)， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为： ∴对称轴直线： （2）解：∵抛物线交y轴于点A， ∴A(0，4)， 设BP=m，则， ∵抛物线对称轴直线x=1， ∴， ∴BC=2m+2，， ∵ ， ∴ 解得：m1=1，（舍去）， ∴CP=3，BP=1， ∴n=3 【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得； (2)首先求得A的坐标，然后设BP=m，则，，根据抛物线的对称性求得，即可得出BC=2m+2，，由得到关于m的方程，解方程求得m的值，从而求得CP=3，BP=1，即可求得n=3. 学科网（北京）股份有限公司 $