2026年山西省中考数学第一轮复习 第四章练习题课件

第四章　三角形 　三角形的基本概念及其性质 多设问串讲基础知识 1. (人教八上练习改编)下列各组数中，能构成三角形三边长的是(　C　) A. 1，1，2 B. 1，1，3 C. 1，2，2 D. 1，3，4 2. (人教八上内文改编)空调安装在墙上时，一般都会用三角形支架进行固 定，这种固定方法应用的几何原理是 ⁠. C 三角形具有稳定性 3. (北师七下习题改编)若长度分别为a，2，5的三条线段能组 成一个等腰三角形，则a的值为 ⁠. 【解析】解法一：根据题意可知，a的值可取2或5，当a=2时，2＋2＜5， ∴不能构成等腰三角形；当a=5时，满足任意两边之和大于第三边，两边 之差小于第三边，∴a=5. 解法二：根据三角形的三边关系可知，5－2＜a＜5＋2，即3＜a＜7. 又∵三条线段要组成等腰三角形， ∴a取2或5，∴a=5. 5 4. (人教八上习题，华师七下例题改编)如图，在△ABC中，D为BC上一 点，连接AD，已知∠B=42°，∠C=36°，∠BAD=66°. (1)∠BAC的度数为 ⁠； 【解析】∵∠B=42°，∠C=36°，∴∠BAC=180°－∠B－∠C=102°. (2)∠ADC的度数为 ⁠； 【解析】∵∠B=42°，∠BAD=66°，∴∠ADC=∠B＋∠BAD=108°. (3)△ABC的形状为 三角形(填“钝角”“锐角”或“直角”). 可知，∠BAC=102°＞90°，∴△ABC为钝角三角形. 102° 108° 钝角 可知，∠BAC=102°＞90°，∴△ABC为钝角三角形. 5. (北师八下习题改编)根据已知条件回答下列问题： (1)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，S△ABD=9，则点D到AC 的距离为 ⁠； 【解析】∵AB=6，S△ABD=9，则点D到AB边的距离为2×9÷6=3， 由角平分线性质可得，点D到AC边的距离为3. 3 (2)如图②，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，连接CE，若△AEC的面 积为1，则△ABD的面积为 ⁠； 【解析】∵E为AD的中点，S△AEC=S△DEC=1， ∴S△ADC=2， ∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD=S△ADC=2. 2 (3)如图③，AB=8，BC=10，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则四 边形BDEF的周长 为 ⁠. 18 【解析】∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴DE，EF为△ABC的中位线， ∴DB=EF=AB=4，BF=DE=BC=5， ∴四边形BDEF的周长=BD＋DE＋EF＋BF=4＋5＋4＋5=18. (4)如图④，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 若AB=6，AC=4，则= 　  　. ​ 【解析】∵在△ABC中，AD是中线， ∴S△ABD=S△ADC. ∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=6，AC=4. ∴AB∙DE=AC∙DF， ∴×6×DE=×4×DF，∴=. 6. (习题改编)(1)如图①，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB； 解：(1)∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC=∠ABP， 同理，得∠PCB=∠ACP， ∴∠P=180°－∠PBC－∠PCB=180°－(180°－∠A)=90°＋∠A， 即∠P=90°＋∠A； (2)如图②，点D在BC的延长线上，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACD； 解：(2)由三角形外角性质， 得∠ACD=∠A＋∠ABC，∠PCD=∠PBC＋∠P， ∵BP，CP分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD， ∴∠A＋∠ABC=∠ABC＋∠P， ∴∠P=∠A； (3)如图③，点D，E分别在AB，AC的延长线上，BP，CP分别平分 ∠DBC，∠ECB. 探究上述∠P与∠A之间的数量关系. 解：(3)∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB， ∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB， ∴∠P=180°－∠CBP－∠BCP=180°－(∠DBC＋∠ECB)， ∵∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC=180°＋∠A， ∴∠P=180°－(180°＋∠A)=90°－∠A. $第四章　三角形 　全等三角形的性质与判定 多设问串讲基础知识 类型一　平移型 1. (北师七下习题改编)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次 在同一条直线上.若BC=8，CE=5，求CF的长. 解：∵△ABC≌△DEF，BC=8， ∴BC=EF=8， ∵CE=5， ∴CF=8－5=3. 模型分析 类型一　平移型 解题思路： (1)找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等； (2)找等角：利用平行线性质找对应角相等. 答题规范 得分要点 类型二　轴对称型 2. 如图△ABC与△ACD的边BC，AD相交于点E，∠B=∠D， AB=CD，求证：∠EAC=∠ECA. 证明：在△ABE和△CDE中， ​ ∴△ABE≌△CDE(AAS)， ∴AE=CE， ∴∠EAC=∠ECA. 利用对顶角性质得一组对应角相等 按照顺序依次罗列出对应关系并写出判定定理，得到相应三角形全等 利用全等三角形性质得出结论 模型分析 类型二　轴对称型 1. 有公共边 2. 有公共顶点 解题思路： (1)找等边：找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得到 对应边相等； (2)找等角：找公共角、对顶角、垂直找直角、等腰等条件得到对应角 相等. 类型三　旋转型 3. (2025山西4题)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一 起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO. 测得C，D两点之间的距离后，利 用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB 与△COD全等的依据是(　B　) A. SSS B. SAS C. ASA D. HL B 4. (北师八下例题改编)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，点 E，F是对角线BD上的两点，BF=DE，若△ABE的面积为6，求△CDF的 面积. 解：∵AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDF， ∵BF=DE， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， ​ ​ ∴△ABE≌△CDF(SAS)， ∴S△CDF=S△ABE=6. 5. 将△ABC和△DEF按如图所示方式摆放，点A和点D重合，点E在BC边 上，DC交EF于点G，若∠BDE=∠GDF，∠F=∠C，DF=CD. 求证：△DBE为等腰三角形. 证明：∵∠BDE=∠GDF， ∴∠BDE＋∠CDE=∠GDF＋∠CDE，即∠CDB=∠FDE， 在△CDB和△FDE中， ​ ∴△CDB≌△FDE(ASA)， ∴DB=DE， ∴△DBE是等腰三角形. 模型分析 类型三　旋转型 1. 共顶点 2. 不共顶点 解题思路： (1)找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等； (2)找等角：找对顶角、(和差)公共角、或平行线相关的角得到对应角相等. 类型四　一线三等角型 几何画板动态演示 温馨提示：点击查看原文件 6. (人教八上习题改编)如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点， AC⊥CE，AB=CD，求证：AB＋DE=BD. 证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠ACE=∠B=∠D=90°， ∴∠BCA＋∠DCE=90°，∠BCA＋∠A=90°， ∴∠DCE=∠A， 在△ABC和△CDE中， ​ ∴△ABC≌△CDE(ASA)， ∴AB=CD，BC=DE， ∵CD＋BC=BD， ∴AB＋DE=BD. 模型分析 类型四　一线三等角全等 条件：A，B，P三点共线，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD). 同侧一线三等角： 结论：△APC≌△BDP. 异侧一线三等角： 7. (人教八上习题改编)如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D， E在同一直线上，连接BE. 求∠AEB的度数. 解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°∠CDE=∠CED=60° ∵∠DCB=∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ​ ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴∠CEB=∠CDA=180°－∠CDE=120°， ∴∠AEB=∠CEB－∠CED=60°. 模型分析 类型五　手拉手全等 条件：△ABC和△ADE是共顶点的等腰三角形；绕共顶点A旋转 结论：①△ABD≌△ACE(SAS)； ②两条拉手线BD，CE所在直线的夹角与∠BAC相等或互补. 8. (北师九上习题改编)如图，∠AOB=2∠DCE=120°，∠DCE的顶点在 ∠AOB的平分线OC上，两边分别与射线OA，OB交于点D，E. 求证： CD=CE. 证明：如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N， ∴∠CMD=∠CNE=90°， ∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB=120°， ∴∠AOC=∠BOC=60°，CM=CN， ∴∠MCO=∠OCN=30°， ∴∠MCN=∠MCO＋∠OCN=60°， M N ∴在△CDM和△CEN中， ​ ∴△CDM≌△CEN(ASA)， ∴CD=CE. M N ∵∠AOB=2∠DCE=120°， ∴∠DCE=60°， ∴∠MCD＋∠DCN=∠DCN＋∠NCE， ∴∠MCD=∠NCE， 模型分析 类型六　对角互补全等 条件：在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC=180°，AD=CD. 情形1：作垂线 结论：△ADE≌△CDF. 结论：△ABD≌△CED，△BDE为等腰三角形. 情形2：作等角 $第四章　三角形 　线段、角、相交线与平行线 多设问串讲基础知识 1. (人教七下习题改编)高速公路的建设带动我国经济的快速发展.在高速公 路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程. 这样做包含的数学道理是(　B　) A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 两条直线相交，只有一个交点 D. 直线是向两个方向无限延伸的 B 2. (北师七下习题改编)如图，直线MN与CD相交于点O，∠MOC=80°， ∠1=35°，则∠2的度数是(　C　) C A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 3. 如图，AB∥CD，点O在直线AB上，OE⊥OF(点F在AB下方)，OE交CD 于点G，若∠BOF=32°，则∠CGE的度数为(　C　) A. 48° B. 58° C. 122° D. 148° 【解析】∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°， ∵∠BOF=32°，∴∠BOE=58°，∵AB∥CD，∴∠DGE=∠BOE=58°，∵∠CGE＋∠DGE=180°，∴∠CGE=180°－58°=122°. C 4. (北师八上习题改编)下列命题中，真命题是　　(　D　) A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 不相交的两条直线是平行线 D. 等角的余角相等 D 5. (人教七上复习题改编)如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，点E 在OD上，EF⊥OA. (1)若∠COD=35°，则∠AOD= ⁠； (2)若EF=3，则点E到OC的距离为 ⁠， 其依据是 ⁠. 35° 3 角平分线上的点到角两边的距离相等 6. (新人教七上新增习题)已知线段AB，延长AB至点C，使BC=AB，D是 线段AC的中点，若DC=2，则AB的长为 ⁠. 【解析】如解图， ∵D是线段AC的中点，DC=2， ∴AC=2DC=4， ∵BC=AB， ∴AC=AB＋BC=AB，∴AB=AC=×4=3. 解图 3 7. (北师八下习题改编)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连 接BD. 若BD=3，CD=5，则AC的值为 ⁠. 【解析】∵△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D， ∴AD=BD=3， ∴AC=AD＋CD=3＋5=8. 8 8. (人教七下练习改编)如图，在四边形ABCD中，延长BC至点E. (1)若∠B=∠DCE，则 ∥ ⁠； (2)若∠D=∠DCE，则 ∥ ⁠； (3)若∠B＋∠A=180°，则 ∥ ⁠. AB CD(或CD，AB) AD BC(或BC，AD) AD BC(或BC，AD) 题后思考 想一想上述三问，直线平行的依据分别是什么？ 解：(1)同位角相等，两直线平行； (2)内错角相等，两直线平行； (3)同旁内角互补，两直线平行 真题、模拟题随堂练 命题点 平行线性质求角度 1. (2022山西6题)如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C=90°， ∠BAC=30°.直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为　 (　B　) A. 100° B. 120° C. 135° D. 150° B 2. 如图，一个弯曲管道，当AB∥CD时，∠C=60°，为方便维修，AB可以绕B点转动±10°(＋表示顺时针，－表示逆时针)，则在转动过程中，∠B的度数不可能是(　D　) A. 115° B. 120° C. 125° D. 135° 【解析】∵AB∥CD，∠C=60°，∴∠B=120°.又∵AB可以绕B点转动 ±10°，∴∠B的取值范围为110°≤∠B≤130°，故选D. D 3. (2023山西7题)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折 射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=155°， ∠2=30°，则∠3的度数为(　C　) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° C 【解析】如解图，∵AB∥OF，∴∠1＋∠OFB=180°， ∵∠1=155°， ∴∠OFB=25°， ∵∠POF=∠2=30°， ∴∠3=∠POF＋∠OFB=30°＋25°=55°. 解图 变式 3.1变背景——折射改为反射 (2025太原一模)如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之 间，平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°.一支激光笔从点A 处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C 处.设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若∠DBF=∠CBE=52°，则 ∠BCD的度数为(　A　) A. 75° B. 76° C. 104° D. 105° A 【解析】如解图，延长CB交n于点K， ∵平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°， ∴∠EFK=23°， ∵∠FBK=∠CBE=52°， ∴∠CKL=∠FBK＋∠EFK=75°， ∵m∥n， ∴∠BCD=∠CKL=75°. 解图 4. (2024山西5题)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的 方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平 行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为 (　C　) A. 155° B. 125° C. 115° D. 65° C 【解析】如解图，∵重力G的方向竖直向下， ∴∠α＋∠1=90°， ∴∠2=∠1=90°－25°=65°， ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠β＋∠2=180°， ∴∠β=180°－∠2=180°－65°=115°. 解图 5. 机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人 大赛，如图①是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图②的数学 模型，AB∥CD，AB⊥AE，∠AEF=130°，∠D=120°，则∠EFD的度 数为(　A　) A. 100° B. 110° C. 120° D. 135° A 【解析】如解图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥CD， ∵AB⊥AE，∠AEF=130°， ∴∠MEF=130°－90°=40°， 易得AB∥EM∥NF∥CD， ∴∠EFN=∠MEF=40°，∠NFD=180°－∠D=60°， ∴∠EFD=∠EFN＋∠NFD=40°＋60°=100°. 解图 $