2025年北师大版数学中考专题—— 图形小题 复习

2025年北师大版数学中考专题——《图形小题》复习及解析 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF，点D为∠ABC的平分线与边AC的交点，则线段EF长度为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE与BC相交于点E、与BD相交于点F，则下列结论中正确的有（　　） ①OB＝OE ②∠BOE＝75° ③OE2＝OF•OD ④若OE＝1，则EC＝ ⑤若∠AOB≠60°，△BOE的面积是矩形ABCD面积的，则BC＝AB A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3. 图1是扳手和六角螺母的实物图，图2是它们的示意图，，，，，六边形为正六边形，若，则螺母对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为△ABC的角平分线，且，为延长线上一点，，过作于点，则下列结论：①为的中点；②为等腰三角形；③平分；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则的值为（　　） A． B． C． D． 6. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，于点．若，，则折痕长为（ ） A. B. C. D. 7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（　　） A. B． C． D．2 8.如图，平行四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝6，AB＝8，在BC延长线上取一点E，使，连接OE交CD于点F，则CF的长为（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，若点C的对应点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上，则CE的长度为 　 　． 10．如图，在△ABC中，∠C＝60°，，点D是AC上一点，连接BD，若tanA＝，tan∠ABD＝，则CD＝　 　． 11．如图，Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点H处，此时恰好有CH⊥AB．若CB＝2，那么CH的长度为 　 　． 12．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为 ． 13．如图，在矩形中，为的中点，与相交于点．若，，则的长为 ． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝　 　 ． 15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若，则BE的长为 　 　 ． 16.如图，在▱ABCD中，，AD＝12，∠C＝30°，点M，N分别在边BC，AD上，沿MN折叠平行四边形，使点C与点A重合，则线段BM的长度为 　　． 17．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF＝OF，∠CBD＝30°，，则AF的长为　 　． 18. 如图，在矩形中，，，是边上一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点，垂直平分，分别交，，于点，，．若，则的长为________． 19. 如图，在中，，．若点是边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，且以线段为边构造等边，若，则线段的最小值是_________． 20．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝6，∠BAC＝120°，点D在BC上（不与B、C重合），连接AD，分别将△ABD和△ACD沿直线AB、AC翻折得到△ABF和△ACE，连接EF，给出下列结论： ①EF＝AF； ②当AD⊥AF时，CD的长为2； ③当D、A、F三点共线时，四边形ADCE是菱形； ④△AEF面积的最小值为． 则正确结论有 　 　．（填序号） 21．如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE＝3，DF＝2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　 　． 22．如图，在正方形ABCD中，边长为4的等边三角形BMN的顶点M，N分别在AD，CD上．下列结论正确的有：　 　.（填写序号） ①DM＝DN； ②∠AMB＝75°； ③AM+CN＝MN； ④BD＝2+2． 23. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，，，下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的是_______．（只填写序号） 24．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到△EC′F，连接AC′，则AC′的最小值是　 　． 25． 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为 　 　． 26．如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（　　） A． B．2 C． D． 27．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，连接AE，BF，点G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　． 29．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E是边BC的中点，连接AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，则四边形OPEQ的周长为 　 　． 30. 如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，平分交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 31. 如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，作，分别交，于点，．若点，分别是，的中点，则______． 32. 如图，在正方形中，点E，点F分别在边上（点E不与点B，C重合），且．连接交于点G，连接交于点H．若，则_______． 33．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列选项说法正确的有 　 　.（填序号） ①EG＝DF； ②∠AEH+∠ADH＝180°； ③△EHF≌△DHC； ④若，则S△EDH＝13S△CFH． 34．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动且不与点A、B重合，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连结EC、EF，EG．则下列结论正确的是 　 　．（填写序号） ①EG＝BE+DG； ②△AEG的周长为2a； ③△EAF的面积的最大值是； ④当BE：AE＝1：2时，G是线段AD的中点． 35. 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB=3，BE=1，则DH=_________． 36. 如图正方形的边长为，、分别为、的中点，连接、，交点为．将△BCF沿对折，得到，延长与线段的延长线交于点，如下结论： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的是____________（填序号）． 2025年北师大版数学中考专题——《图形小题》复习解析 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF，点D为∠ABC的平分线与边AC的交点，则线段EF长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BD，交EF于点O，证明四边形BEDF是菱形，∠BFD＝120°，OE＝OF，证出∠FDA＝90°，由直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：连接BD，交EF于点O， ∵将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF， ∴BF＝DF，BE＝DE， ∵∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴△DEF也是等边三角形， ∴BE＝BF＝DE＝DF， ∴四边形BEDF是菱形， ∴∠BFD＝120°，OE＝OF， ∴∠FDA＝90°， 设BF＝DF＝x，则AF＝2x， ∴x+2x＝AB＝2， ∴x＝， ∴BF＝， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EDB＝30°， ∴OF＝BF＝， ∴EF＝． 故选：C． 【点评】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE与BC相交于点E、与BD相交于点F，则下列结论中正确的有（　　） ①OB＝OE ②∠BOE＝75° ③OE2＝OF•OD ④若OE＝1，则EC＝ ⑤若∠AOB≠60°，△BOE的面积是矩形ABCD面积的，则BC＝AB A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据矩形的性质可得∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，再利用角平分线的性质可得∠BAE＝45°，从而可得AB＝BE，再根据∠AOB＝60°，可得△AOB是等边三角形，然后利用等边三角形的性质AB＝OB，∠ABO＝60°，从而可得OB＝BE，∠OBE＝30°，即可判断①；根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形内角和定理，即可判断②；根据三角形的内角和定理可求出∠AFB的度数，从而求出∠OFE的度数，进而可得∠OFE＝∠BEO＝75°，然后利用两角相等的两个三角形相似证明△OFE∽△OEB，再利用相似三角形的性质即可判断③；过点E作EG⊥OC，垂足为G，根据平角定义可求出∠EOC＝45°，从而可得△OGE是等腰直角三角形，进而求出EG的长，然后根据OB＝OC，求出∠OBC＝∠OCB＝30°，从而求出EC的长，即可判断④，过点O作OJ⊥BC，垂足为J，利用等腰三角形的三线合一性质可得BJ＝JC，从而可得OJ是△ABC的中位线，进而可得OJ＝AB，然后再根据已知△BOE的面积是矩形ABCD面积的，进行计算即可判断⑤． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠BAD＝45°， ∴△AEB是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB，∠ABO＝60°， ∴OB＝BE，∠OBE＝∠ABE﹣∠ABO＝30°， ∴OB≠OE， 故①不正确； ∵OB＝BE，∠OBE＝30°， ∴∠BOE＝∠BEO＝75°， 故②正确； ∵∠BAE＝45°，∠ABF＝60°， ∴∠AFB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝75°， ∴∠OFE＝∠AFB＝75°， ∴∠OFE＝∠BEO＝75°， ∵∠BOE＝∠FOE， ∴△OFE∽△OEB， ∴＝， ∴OE2＝OB•OF， ∵OB＝OD， ∴OE2＝OD•OF， 故③正确； 过点E作EG⊥OC，垂足为G， ∵∠AOB＝60°，∠BOE＝75°， ∴∠EOC＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝45°， ∴△OGE是等腰直角三角形， ∴GE＝＝， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴EC＝2GE＝， 故④正确； 过点O作OJ⊥BC，垂足为J， ∵OB＝OC， ∴BJ＝JC， ∵OA＝OC， ∴OJ是△ABC的中位线， ∴OJ＝AB， ∵△BOE的面积是矩形ABCD面积的， ∴BE•OJ＝AB•BC， ∵AB＝BE， ∴AB•AB＝AB•BC， ∴BC＝AB， 故⑤正确； 所以，上列结论中正确的有4个， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的中位线的定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3. 图1是扳手和六角螺母的实物图，图2是它们的示意图，，，，，六边形为正六边形，若，则螺母对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，平行四边形、矩形的性质和判定方法是正确解答的关键． 根据平行四边形的性质和判定方法可得四边形是平行四边形，在根据平行线的性质以及矩形的判定和性质得到，由正六边形的性质得到是含有的直角三角形，根据直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∵，即， ∴． 故选：A． 4. 如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过作于点，则下列结论：①为的中点；②为等腰三角形；③平分；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】易证，可得，可得①正确，再根据角平分线的性质可求得，可得②正确，证明，则③不正确，根据③可求得④正确．本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 不能得出为的中点； 故①不符合题意； ∵为的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，，， ∴， ∴为等腰三角形， 故②符合题意； 过E作于G点， ∵E是的角平分线上的点，且， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分；不平分； 故③不符合题意； ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故④符合题意； 故选：B． 5．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝4，再由勾股定理求出AC，再求得EF的长即可． 【解答】解：设AC与EF交于点O，连接AE，如图： ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC，AE＝CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE＝5， ∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8， ∴AB＝＝＝4， ∴AC＝＝＝4， ∴AO＝2， ∴EO＝＝， ∴EF＝2， ∴＝＝． 故选：A． 6. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，于点．若，，则折痕长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形的计算，掌握解直角三角形的计算方法是关键． 根据菱形，折叠的性质，勾股定理得到，，如图所示，过点作于点，则，设，可得，，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∵， ∴，则， 在中，， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 解得，， ∴ ∴， ∴， 故选：A ． 7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可． 【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°， ∴FD＝MD＝， ∴FM＝DM×cos30°＝， ∴MC＝＝， ∴A′C＝MC﹣MA′＝﹣1． 故选：B． 8.如图，平行四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝6，AB＝8，在BC延长线上取一点E，使，连接OE交CD于点F，则CF的长为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】作BC的中点G，连接OG，根据中位线的性质可得OG∥CD，，从而得出△CEF∽△GEO，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长． 【解答】解：如图，作BC的中点G，连接OG， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝6，AB＝8， ∴BC＝AD＝6，OB＝OD，AB＝CD＝8， ∴， ∵点G为BC的中点，OB＝OD， ∴OG∥CD，， ∴△CEF∽△GEO， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，若点C的对应点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上，则CE的长度为 　2　． 【分析】过点C′作C′G⊥AD于点G，交BC于点H，取AB的中点F，连接C′F，由四边形ABCD是矩形得AB＝DC＝6，AD∥BC，由点C′在线段AB的垂直平分线上得AC′＝BC′，则C′F⊥AB，AF＝BF＝AB＝3，再证明四边形AFC′G和四边形ABHG都是矩形，则C′G＝AF＝3，GH＝AB＝6，所以C′H＝3，由叠得DC′＝DC＝6，C′E＝CE，∠DC′E＝∠C＝90°，根据勾股定理求得DG＝3，再证明△EHC′∽△C′GD，即可根据相似三角形的对应边成比例求得CE＝C′E＝2． 【解答】解：如图，过点C′作C′G⊥AD于点G，交BC于点H，取AB的中点F，连接C′F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC＝6，AD∥BC， ∵点C′在线段AB的垂直平分线上， ∴AC′＝BC′， ∴C′F⊥AB，AF＝BF＝AB＝3， ∵∠C′GA＝∠GAB＝∠C′FA＝∠ABH＝90°， ∴四边形AFC′G和四边形ABHG都是矩形， ∴C′G＝AF＝3，GH＝AB＝6， ∴C′H＝3， ∴由折叠得DC′＝DC＝6，C′E＝CE，∠DC′E＝∠C＝90°， ∵∠C′GD＝90°， ∴DG＝＝＝3， ∵∠EHC′＝∠C′GA＝90°， ∴∠EHC′＝∠C′GD，∠EC′H＝∠C′DG＝90°﹣∠DC′G， ∴△EHC′∽△C′GD， ∴＝， ∴＝， ∴CE＝C′E＝2， 故答案为：2． 【点评】此题考查矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠C＝60°，，点D是AC上一点，连接BD，若tanA＝，tan∠ABD＝，则CD＝　3+　． 【分析】过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，由含30°角的直角三角形的性质得CE＝，则BE＝3，再由锐角三角函数定义得AE＝2BE＝6，AF＝2DF＝2a，BF＝3DF＝3a，则AB＝5a，AD＝a，然后在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，求出a＝，则AD＝x＝3，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AB于点F， 则∠BEC＝∠BEA＝∠DFA＝∠DFB＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠CBE＝90°﹣∠C＝30°， ∴CE＝BC＝×2＝， ∴BE＝＝＝3， ∵tanA＝＝， ∴AE＝2BE＝2×3＝6， ∴AC＝CE+AE＝+6， 设DF＝a， ∵tanA＝＝，tan∠ABD＝＝， ∴AF＝2DF＝2a，BF＝3DF＝3a， ∴AB＝AF+BF＝5a，AD＝＝＝a， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE2+AE2＝AB2， 即32+62＝（5a）2， 解得：a＝（负值已舍去）， ∴AD＝x＝3， ∴CD＝AC﹣AD＝+6﹣3＝3+， 故答案为：3+． 11．如图，Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点H处，此时恰好有CH⊥AB．若CB＝2，那么CH的长度为 　2　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AD＝BD＝，根据等边对等角得∠A＝∠ACD，再由同角的余角相等得∠OCB＝∠A，由折叠的性质可知∠ACD＝∠OCD，AC＝CH，进而可算出∠A＝30°，在Rt△ABC中，AC＝，以此即可求解． 【解答】解：如图，设CH交AB于点O， ∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝AD＝BD＝， ∴∠A＝∠ACD， ∵CH⊥AB， ∴∠COB＝90°， ∴∠B+∠OCB＝90°， ∵∠A+∠B＝90°， ∴∠OCB＝∠A， 根据折叠的性质可知，∠ACD＝∠OCD，AC＝CH， ∴∠ACD+∠OCD+∠OCB＝3∠A＝90°， ∴∠A＝30°， 在Rt△ABC中，AC＝＝＝， ∴CH＝AC＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形斜边上的中线性质、解直角三角形，理解题意，根据折叠的性质推出∠A＝30°是解题关键． 12．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为 ． 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．根据菱形的面积公式求出对角线的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13 ．如图，在矩形中，为的中点，与相交于点．若，，则的长为 ． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质证明，得到，再根据，代入计算即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝　　 ． 【分析】过E作EH⊥CF于H，通过证明△ABE∽△EHC，可得，可求EH的长，即可求解． 【解答】解：过E作EH⊥CF于H， 由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∴EF＝CE， ∴∠FEH＝∠CEH， ∴∠AEB+∠CEH＝90°， 在矩形ABCD中， ∵∠B＝90°， ∴∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC， ∴△ABE∽△EHC， ∴， ∵AE＝＝＝10， ∴ ∴EH＝， ∴sin∠ECF＝＝＝， 方法二、连接BF，交AE与BF于O， ∵将△ABE沿AE折叠， ∴AB＝AF，BE＝EF， ∴AE垂直平分BF， ∴BO＝OF， 又∵BE＝EC， ∴AE∥CF， ∴∠AEB＝∠ECF， ∴sin∠ECF＝sin∠AEB＝＝＝， 故答案为：． 15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若，则BE的长为 　　 ． 【分析】过点E作EH⊥BD于H，由菱形的性质可证△ABD为等边三角形，设BE＝x，则EG＝AE＝4﹣x，再由锐角三角函数定义得BH＝x，EH＝x，GH＝3﹣x，然后在Rt△GEH中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥BD于点H， 由折叠的性质得：EG＝AE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝BC， 又∴∠C＝60°， ∴∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB＝BD＝4， 又∵DG＝BG， ∴BD＝DG+BG＝BG+BG＝4， ∴BG＝3， 设BE＝x，则EG＝AE＝4﹣x， 在Rt△EHB中，∠HEB＝90°﹣60°＝30°， ∴BH＝BE•sin30°＝x，EH＝BE•cos30°＝x， ∴GH＝3﹣x， 在Rt△GEH中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝（x）2+（3﹣x）2， 解得：x＝， 即BE＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，翻折变换的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和翻折变换的性质，运用勾股定理列出方程是解题的关键． 16.如图，在▱ABCD中，，AD＝12，∠C＝30°，点M，N分别在边BC，AD上，沿MN折叠平行四边形，使点C与点A重合，则线段BM的长度为 　　． 【分析】连接AC交MN于O，过A作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据四边形的性质得到AB∥CD，得到∠ABH＝∠DCB＝30°，根据直角三角形的性质得到AH＝＝2，BH＝AB＝6，根据勾股定理得到AC＝＝＝4，根据折叠的性质得到AO＝OC＝AC＝2，AC⊥MN，根据相似三角形的性质得到CM＝，于是得到结论． 【解答】解：连接AC交MN于O，过A作AH⊥BC交CB的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABH＝∠DCB＝30°， ∵AB＝4， ∴AH＝＝2，BH＝AB＝6， ∴CH＝BC+BH＝18， ∴AC＝＝＝4， ∵沿MN折叠平行四边形，使点C与点A重合， ∴AO＝OC＝AC＝2，AC⊥MN， ∴∠COM＝∠H＝90°， ∵∠OCM＝∠HCA， ∴△COM∽△CHA， ∴， ∴， ∴CM＝， ∴BM＝12﹣＝． 故答案为：． 17．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF＝OF，∠CBD＝30°，，则AF的长为　2　． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OD＝BD＝． ∵∠CBD＝30°， ∴∠ADB＝30°． ∵EO⊥BD于O， ∴∠DOF＝90°． 在Rt△ODF中，tan30°＝， ∴OF＝3， ∴FD＝6． 过O作OG∥AB，交AD于点G． ∴△OGD∽△BAD， ∴． ∵EF＝OF， ∴AF＝GF． ∵O是BD中点， ∴G是AD中点． 设AF＝GF＝x，则AD＝6+x， ∴AG＝x+x，可得：． 解得x＝2． ∴AF＝2， 故答案为：2． 18. 如图，在矩形中，，，是边上一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点，垂直平分，分别交，，于点，，．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识．连接，由矩形的性质可得：，，由，推出，，，进而得到，得到，由线段垂直平分线的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，进而得到，证明，则，即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，， ， ，，， ， ， 垂直平分， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ，， ， ， ，即， ， 故答案为：． 19. 如图，在中，，．若点是边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，且以线段为边构造等边，若，则线段的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，确定当时，线段取最小值，根据等边三角形的性质可得和，过点作于点，交于点，根据勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一求出的长度，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当时，线段取最小值， ∵线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ∴当时，线段取最小值， 过点作于点，交于点， ∵，， ∴，由勾股定理得， 根据等腰三角形的三线合一可得，点是中点，且， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝6，∠BAC＝120°，点D在BC上（不与B、C重合），连接AD，分别将△ABD和△ACD沿直线AB、AC翻折得到△ABF和△ACE，连接EF，给出下列结论： ①EF＝AF； ②当AD⊥AF时，CD的长为2； ③当D、A、F三点共线时，四边形ADCE是菱形； ④△AEF面积的最小值为． 则正确结论有 　①②③④　．（填序号） 【分析】先根据折叠的性质证明△AEF是顶角是120°的等腰三角形，作辅助线，可得EF＝AF；如图1可知：AD最小时，△AEF的面积最小，由图2知：当AD⊥BC时，AD最小，此时最小值是1，代入计算可作判断；当D、A、F三点共线时，正确画图3，证明AD＝CD可作判断；证明∠CAD＝∠CDA可得CD＝AC＝2． 【解答】解：由折叠得：AD＝AF＝AE，∠DAB＝∠BAF，∠DAC＝∠EAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAF+∠DAC+∠EAC＝240°， ∴∠EAF＝360°﹣240°＝120°， 如图1，过点A作AM⊥EF于M， ∵AE＝AF， ∴∠F＝30°，∠AMF＝90°， ∴AF＝2AM，EF＝2FM＝2AM， ∴EF＝AF； 故①正确； ∴△AEF的面积＝•EF•AM＝×AF•AF＝AF2＝AD2， ∵当AD最小时，△AEF面积最小， ∴当AD⊥BC时，△AEF面积最小， 如图2，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝6， 同理得：CD＝3，AD＝， ∴△AEF面积的最小值为； 故④正确； 当D、A、F三点共线时，如图3，则∠BAD+∠BAF＝180°， 由折叠得：∠BAD＝∠BAF，CD＝CE，AE＝AD， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ABD＝30°， ∴∠ADB＝60°， ∵∠ACB＝30°， ∴∠DAC＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AD＝CD＝CE＝AE， ∴四边形ADCE是菱形； 故③正确； 如图4，此时AF⊥AD， ∴△AFD是等腰直角三角形，且∠BAD＝45°， ∵∠BAC＝120°，∠ACB＝30°， ∴∠CAD＝120°﹣45°＝75°＝∠CDA， ∴CD＝AC＝2； 故②正确； 本题正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 21．如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE＝3，DF＝2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　　． 【分析】连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，易证△OHM≌△EHC，然后结合三角形中位线定理和勾股定理求解． 【解答】解：如图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M， ∵O为正方形对角线AC和BD的交点， ∴OM＝CM＝DM＝CE＝3， 在△OHM与△EHC中， ， ∴△OHM≌△EHC（AAS）， ∴点H、点G分别为OE、FE的中点， ∴GH为△OEF的中位线， ∴GH＝OF， 在Rt△OMF中，FM＝DM+DF＝3+2＝5， 由勾股定理可得OF＝＝＝， ∴GH＝OF＝， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是根据AAS证明△OHM≌△EHC解答． 22． 如图，在正方形ABCD中，边长为4的等边三角形BMN的顶点M，N分别在AD，CD上．下列结论正确的有：　①②④　.（填写序号） ①DM＝DN； ②∠AMB＝75°； ③AM+CN＝MN； ④BD＝2+2． 【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①③的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据三线合一的性质，可判定BD⊥MN，然后分别求得BG与BG的长，继而求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC， ∵△BMN是等边三角形， ∴BM＝BN， 在Rt△ABM和Rt△BCN中，， ∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL）， ∴AM＝CN， ∵AD＝DC， ∴AD﹣AM＝CD﹣CN， ∴DM＝DN，故①正确； ∵DM＝DN， ∴△DMN是等腰直角三角形， ∴∠DMN＝45°， ∵∠BMN＝60°， ∴∠AMB＝75°，故②正确； 如图，连接BD，交MN于G点， ∴BD⊥MN，且BD平分MN， ∵∠ABM≠∠MBG， ∴AM≠MG， ∴AM+CN≠MN，故③错误； ∵△BMN是边长为4的等边三角形，∠ADB＝∠BDC， ∴BD⊥MN，MG＝NG， ∴BG＝BM•sin60°＝4×，DG＝， ∴BD＝BG+DG＝2+2；故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 23. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，，，下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的是_______．（只填写序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，熟练掌握正方形边、角、对角线的性质是解题关键． 根据正方形对角线相等而且平分每一组对角，可得，由角的和差求出即可判定①，根据是等腰直角三角形求出，即可得出，故②正确；连接交于，过点作于，由勾股定理可求得，故③正确；过点作于，由的面积是．故④错误． 【详解】解：∵四边形、是正方形， ∴，， ∵，故①错误； ∵， ∴， ∴，故②正确； 连接交于，过点作于， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，故③正确； 过点作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积是．故④错误； 综上所述：正确的结论是②③． 故答案为②③． 24.如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到△EC′F，连接AC′，则AC′的最小值是　3﹣3　． 【分析】根据E是CD边上的中点，CE＝DE＝CD＝3，由折叠可知，CE＝C'E，推出EC＝ED＝EC'，所以点C'在以E为圆心，3为半径的⊙E上运动，连接AE与⊙E交于点G，AC′的最小值为AG，据此解答即可． 【解答】解：∵E是CD边上的中点， ∴CE＝DE＝CD＝3， 由折叠可知，CE＝C'E， ∴EC＝ED＝EC'， ∴点C'在以E为圆心，3为半径的⊙E上运动， 连接AE与⊙E交于点G， ∴AC′的最小值为AG， ∵AE＝＝＝3， ∴AG＝AE﹣GE＝3﹣3． 故答案为：3﹣3． 【点评】本题考查了翻折问题，正确构建隐圆是解题的关键． 25． 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为 　　． 【分析】过点G作GT⊥CF交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M，AE交DF的延长线于点N，设BE＝a，则AE＝2a，根据全等三角形的性质可知EM＝a，再证四边形DGTF是正方形，可得TG和CT的值，根据勾股定理求出CG的值，易证△CMH∽△CTG，根据相似三角形的性质可得MH，进一步得出BH的值，即可求的值． 【解答】解：过点G作GT⊥CF交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M，AE交DF的延长线于点N，如图所示： 设BE＝a，则AE＝2a， 根据题意，得EM＝a， ∵GT⊥CF，GD⊥DF， ∴∠T＝∠GDF＝90°， ∵∠TFD＝∠NFM＝90°， ∴四边形TFDG是矩形， ∵∠TFG＝∠MFE＝45°， ∴∠TGF＝45°， ∴TF＝TG， ∴四边形TFDG是正方形， ∵FD＝BE＝a， ∴TG＝a，CT＝3a， 根据勾股定理，得CG＝， ∵MH∥TG， ∴∠MHC＝∠TGC，∠HMC＝∠GTC， ∴△CMH∽△CTG， ∴MH：TG＝CM：CT＝1：3， ∴MH＝， ∴BH＝2a+＝， ∴＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的综合，涉及正方形的性质和判定，全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理等，本题综合性较强． 26． 如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】过E作EG⊥FG于G，由七巧板和正方形的性质可知，EG＝1，FG＝1+4＝5，再利用勾股定理可得答案． 【解答】解：如图，过E作EG⊥FG于G， 由七巧板和正方形的性质可知：EG＝1，FG＝1+4＝5， 在Rt△FEG中，由勾股定理得，EF＝＝， 故选：A． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键． 27．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】在AB上截取AM＝CE，连接EM，可以证明△AME≌△ECF，得到AE＝EF，CF＝ME＝BE，由于点E是动点，因此∠DAF与∠CEF不一定相等；由二次函数的性质即可求出△AEM的最大值． 【解答】解：在AB上截取AM＝CE，连接EM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°， ∴BM＝BE， ∴△BME是等腰直角三角形， ∴∠BME＝45°，ME＝BE， ∴∠AME＝180°﹣∠BME＝135°， ∵CF平分∠DCN， ∴∠FCN＝∠DCN＝45°， ∴∠ECF＝180°﹣∠FCN＝135°， ∵∠FEC+∠AEB＝∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠MAE＝∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF，CF＝ME＝BE，∠MAE＝∠CEF， ∴①②正确； ∵△FAE是等腰直角三角形， ∴∠EAF＝45°， ∵点E是边BC上一动点， ∴∠MAE不一定等于∠DAF， ∴∠CEF不一定等于∠DAF， ∴③错误； 设AM＝x，则BE＝MB＝1﹣x， ∴△AME的面积＝AM•BE＝x•（1﹣x）＝﹣+， ∴△ECF面积的最大值是． ∴④错误． 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值，关键是通过作辅助线构造全等三角形． 28．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，连接AE，BF，点G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的长为 　　． 【分析】连接AH并延长交BC于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠C＝90°，AD∥BC，CD＝BC＝AD＝4，根据全等三角形的性质得到PB＝AF＝2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【解答】解：连接AH并延长交BC于P，连接PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，AD∥BC，CD＝AD＝BC＝4， ∵E，F分别是边CD，AD的中点， ∴CE＝AF＝4＝2， ∵AD∥BC， ∴∠BPH＝∠FAH， 在△PBH和△AFH中， ， ∴△PBH≌△AFH（AAS）， ∴PB＝AF＝2， ∴CP＝BC﹣PB＝2， ∴PE＝＝2， ∵点G，H分别是AE，BF的中点， ∴GH＝EP＝． 故答案为：． 29．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E是边BC的中点，连接AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，则四边形OPEQ的周长为 　　． 【分析】要求得四边形的OPEQ的周长，即求OP+PE+QE+OQ线段和，由于全等三角形可得，OP＝OQ，PE＝QE，则周长转化为求2倍的PE+OP的长，则利用相似三角形，找到OP和PE与已知线段长之间的关系，则需要这样的三角形，题目中没有，因此需要作辅助线，构造相似三角形． 【解答】解：连接OE． ∵E是BC的重点，四边形ABCD为正方形 ∴OE⊥BC，OE＝1，BE＝CE＝1 在Rt△ABE中，AE＝ 在Rt△EBO中，OB＝ ∵AB∥BC，OE⊥BC ∴AB∥OE ∴∠BAP＝∠PEO，∠ABP＝∠POE ∴△ABP∽EOP ∴ ∴2PE＝AP，2OP＝BP ∴PE＝，OP＝ ∴四边形OPEQ的周长＝2（PE+OP）＝ 30. 如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，平分交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转可证明，故，设，则，，在中，由勾股定理可得：，解得，即可由求解． 【详解】解：∵正方形的边长为5， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 中，由勾股定理可得：， 解得， ∴． 故选：D． 31. 如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，作，分别交，于点，．若点，分别是，的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，，，证明四边形为矩形，得出，作于，于，于，交于，则，证明，，求出，计算可得 ，证明为等腰直角三角形，得出，证明四边形为矩形，得出，，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是边长为正方形，点在边上，， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 如图，作于，于，于，交于， ， 则， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 32. 如图，在正方形中，点E，点F分别在边上（点E不与点B，C重合），且．连接交于点G，连接交于点H．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得，，再证明，推导出，则，，再推导出，再证明，得到，，设设，利用勾股定理计算，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， 连接，则垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ， ∴，， ∴， 故答案为：． 33．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列选项说法正确的有 　①②③④　.（填序号） ①EG＝DF； ②∠AEH+∠ADH＝180°； ③△EHF≌△DHC； ④若，则S△EDH＝13S△CFH． 【分析】①根据题意可知∠ACD＝45°，则GF＝FC，则EG＝EF﹣GF＝CD﹣FC＝DF； ②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF＝∠HDC，从而∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝180°； ③同②证明△EHF≌△DHC即可； ④若＝，则AE＝2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG＝∠DHF且EH＝DH，则∠DHE＝90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM＝x，则DM＝5x，DH＝x，CD＝6x，则S△DHC＝×HM×CD＝3x2，S△FHC＝x2，S△EDH＝×DH2＝13x2． 【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD， ∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°， ∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF＝FC， ∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC， ∴EG＝DF，故①正确； ②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD， 在△EHF和△DHC中， ， ∴△EHF≌△DHC（SAS）， ∴∠HEF＝∠HDC， ∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确； ③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD， 在△EHF和△DHC中， ， ∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确； ④∵＝， ∴AE＝2BE， ∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝GH，∠FHG＝90°， ∵∠EGH＝∠FHG+∠HFG＝90°+∠HFG＝∠HFD， 在△EGH和△DFH中， ， ∴△EGH≌△DFH（SAS）， ∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG+∠DHG＝∠DHF+∠DHG＝∠FHG＝90°， ∴△EHD为等腰直角三角形， 过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示： 设HM＝x，则DM＝5x，DH＝x，CD＝6x， 则S△DHC＝×HM×CD＝3x2，S△EDH＝×DH2＝13x2， ∵DF：CF＝2：1， ∴S△FHC＝S△DHC＝x2 ∴S△EDH＝13S△CFH，故④正确； 故答案为：①②③④． 34．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动且不与点A、B重合，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连结EC、EF，EG．则下列结论正确的是 　①②③④　．（填写序号） ①EG＝BE+DG； ②△AEG的周长为2a； ③△EAF的面积的最大值是； ④当BE：AE＝1：2时，G是线段AD的中点． 【分析】①②正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题； ③正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题； ④正确．当BE：AE＝1：2时，设DG＝x，则EG＝x+a，利用勾股定理构建方程可得x＝a即可解决问题． 【解答】解：如图中，延长AD到H，使得DH＝BE，连接CH，则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCH， ∴∠ECH＝∠BCD＝90°， ∴∠ECG＝∠GCH＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS）， ∴EG＝GH， ∵GH＝DG+DH，DH＝BE， ∴EG＝BE+DG，故①正确， ∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②正确， 设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x， ∴S△EAF＝（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2， ∵﹣＜0， ∴x＝a时，△EAF的面积的最大值为a2．故③正确， 当BE：AE＝1：2时，BE＝AB＝a， 设DG＝x， ∵EG＝BE+DG， ∴EG＝x+a， 在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2， 解得x＝， ∴AG＝GD，故④正确， 故答案为：①②③④． 35 . 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB=3，BE=1，则DH=_________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质得出∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称，证出∠EAH=∠BAD=∠GHA=45°，设DF交AH于点N，由折叠性质可知AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH，得出∠DHF=90°，连接BD，证明△ABE≌△BCM，得出BE=CM，根据三角形BDM的面积可求出答案． 【详解】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处， ∴∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称， ∴AG⊥BF， ∴∠AGF=90°， ∵AH平分∠DAF， ∴∠FAH=∠FAD， ∴∠EAH=∠GAF+∠FAH=∠BAF+∠FAD=（∠BAF+∠FAD）=∠BAD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∴∠EAH=∠BAD=45°， ∴△AGH是等腰三角形， ∴∠EAH=∠GHA=45°， 如图，设DF交AH于点N， ∵AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH， ∴AH⊥DF，FN=DN， ∴DH=HF，∠FNH=∠DNH=90°， 又∵∠GHA=45°， ∴∠NFH=45°=∠NDH=∠DHN， ∴∠DHF=90°， 连接BD， 由折叠可知AE⊥BF， ∴∠ABG+∠CBM=90°，∠ABG+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBM， ∴Rt△ABE≌Rt△BCM， ∴BE=CM=1，AE=BM， ∴DM=2， ∴S△BDM=DM•BC=3， ∵AE2=AB2+BE2， ∴， ∴AE=BM=， S△BDM=BM•DH=3， ∴DH=． 故答案为：． 36. 如图正方形的边长为，、分别为、的中点，连接、，交点为．将沿对折，得到，延长与线段的延长线交于点，如下结论： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的是____________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证得，通过角的关系求得，即可得①正确；利用翻折的性质推得，求出的长度，通过即可证得②正确；证得，可得，利用勾股定理求得，代入，求出、的值，即可得证③正确；利用正方形的性质结合翻折的性质证得，设，在中，利用勾股定理构建方程，解方程，求出，通过即可证得④错误；通过即可得证⑤错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 、分别为、的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， 沿对折，得到， ，， 在和中， , , , ，故②正确； 在中，， ， 由①得：，， ，， ， ， ， 由②得：， ， ， 解得：，， ， ，， ，故③正确； 四边形是正方形， ， ， 沿对折，得到， ，，，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ，则， 在中，，故④错误； 由③得：，， ，故⑤错误． 故答案为：①②③． 学科网（北京）股份有限公司 $