21.1-21.2 四边形+平行四边形寒假讲义2025-2026学年人教版数学 八年级下册（重庆专用）

21.1 四边形及多边形 知识梳理 一、多边形的对角线条数 2、 多边形的内角和、外角和 典例分析 一、多边形的对角线条数 1．过n边形的一个顶点可以画6条对角线，则n的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形对角线的数量，熟悉掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 根据边形的每个顶点可画条对角线，列式运算即可． 【详解】解：∵过边形的每个顶点可画条对角线，且过n边形的一个顶点可以画6条对角线， ∴ ∴， 故选：D． 【变式】已知一个边形的内角和等于，则从这个多边形的一个顶点出发可以画 条对角线． 【答案】10/十 【分析】本题考查了多边形内角和以及多边形对角线，解题关键是掌握边形的内角和为，从一个顶点出发可以画条对角线．设多边形的边数为，利用多边形内角和公式求出边数，再求从一个顶点出发的对角线条数． 【详解】解：设多边形的边数为， 则内角和为， 解得， 即从一个顶点出发的对角线条数为， 故答案为：10． 2．若边形的对角线共有条，则这个多边形是 边形． 【答案】八 【详解】本题考查了多边形对角线的条数问题，利用多边形对角线条数公式建立方程，即有，然后根据因数求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：根据题意得， 所以， 因为， 所以， 故答案为：八． 二、多边形的内角和、外角和 3．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和问题，利用多边形内角和公式求解，设边数为n，则，解方程即可． 【详解】解：∵ 多边形内角和公式为 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【变式】已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查多边形的内角和公式与外角和定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式（为边数）以及多边形外角和为． 设多边形的边数为，根据内角和是外角和的4倍，结合内角和公式与外角和定理建立方程求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，多边形外角和为， 由题意，内角和是外角和的4倍，可得方程：， 解得：， 故答案为：10． 4．如图，平分，，垂足为A，，垂足为B．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形内角和，四边形内角和．利用角平分线的性质定理可知：，即可证明，利用三角形内角和可知，再利用四边形的内角和为即可求出． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 5．如图，四边形为长方形纸片，点分别为边上一点，小巴将这张纸片沿着折叠，使点分别落在点的位置，的对应边交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、多边形内角和以及折叠问题，根据折叠的性质以及内角和公式计算出，再利用补角即可得． 【详解】五边形的内角和为： 故选：C． 【变式】如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查四边形的内角和，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，根据，得到，，证得，从而得到，，再推导，证得，进而得到，故，完成求解． 【详解】解：延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 三、正多边形的内角和、外角和 6．一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键．由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解． 【详解】解：， ． 即这个多边形的内角和是， 故答案为：． 【变式】已知一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和问题，根据正多边形内角公式建立方程，解方程即可求得边数，熟练掌握多边形的内角和公式是解此题的关键． 【详解】解：设该正多边形为边形，则每个内角为， 由题意得方程： 解得：， 因此，这个正多边形的边数为9， 故选：D． 7．如图，在正五边形中，连接，，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查了多边形内角和问题，利用多边形内角和公式及正多边形的性质可得，再利用等边对等角，利用三角形内角和定理求出的度数，进一步即可求出答案． 【详解】解： 是正五边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式】如图，五边形是正五边形，且．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多边形的内角及平行线的性质．过点B作交于点F，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点B作交于点F，    ∵， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．若一个正多边形的一个内角比一个外角大，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了多边形的内角和外角之间的关系，多边形的外角和，熟练掌握知识点是解题的关键． 设这个正多边形的每个外角的度数为，则每个内角为，利用多边形的外角与相邻的内角互补得到，解方程得，然后根据边的外角和为，即可得到这个多边形的边数． 【详解】解：设这个正多边形的每个外角的度数为，则每个内角为， ， ， 这个多边形的边数． 故答案为：10． 【变式】若某个正多边形的一个内角是其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查正多边形的内角和与外角和的相关知识，解题关键是利用正多边形的一个内角与相邻外角互补的关系．结合已知条件求出外角的度数，再根据多边形外角和为求出边数即可． 【详解】解析：设该正多边形的一个外角为，则其相邻的一个内角为．由题意，可得，解得． 该正多边形的一个外角为， 这个正多边形的边数为． 21.2 平行四边形 知识梳理 【知识点1 平行四边形的概念】 1.定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.表示方法 平行四边形通常用符号“▱”表示。以平行四边形ABCD为例，记作“▱ABCD”，其中A、B、C、D为平行四边形的四个顶点，且顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次排列。 【知识点2 平行四边形的性质】 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形， 【其他性质】 （1）平行四边形的邻角互补； （2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 典例分析 【考点一平行四边形的性质及应用】 1．已知中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形角度的关系是解题关键．利用平行四边形邻角互补和对角相等的性质，结合给定比例求解即可． 【详解】解：∵在中，与是邻角， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， 故选：A． 【变式】如图：已知，平行四边形中，，为垂足，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 2．在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点若平分，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行四边形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，进而求出，，利用证明 ，根据全等三角形的性质得出，结合角平分线的性质、等腰三角形的判定求出，据此即可得解． 【详解】解：在中，，， ，， 点E是边的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 故选：C． 【变式】如图，在平行四边形 中，，的平分线，交的延长线于点F，交于E， 则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，先由平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线，交的延长线于点E，交于F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了平行四边形的性质、中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长． 【详解】解：根据平行四边形的性质得：， ∵， ∴为的垂直平分线， 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：， ∴的周长． 故选：D． 4．如图，在中，于点E，于点F.若，，且的周长为50，则的面积为（　　） A．40 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为50， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：C 知识梳理 【知识点3 平行四边形的判定】 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形ABCD是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形ABCD是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 【知识点4 特殊平行四边形的判定】 1. 矩形 （1）平行四边形的基础上加条件： ① 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. ② 对角线相等的平行四边形是矩形. （2）一般四边形的基础上加条件： ① 有三个角是直角的四边形是矩形. ② 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2 菱形 （1）平行四边形的基础上加条件： ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 （2）一般四边形的基础上加条件： ③四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； 3.正方形： （1）正方形定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.（菱形+矩形＝正方形） （2）判定： 在矩形的基础上加条件：①一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形； 在菱形的基础上加条件：③有一个角是直角的菱形是正方形； ④对角线相等的菱形是正方形； 在一般四边形的基础上加条件：⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； ⑥四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 典例分析 【考点二 平行四边形的判定】 5．下列命题正确的是（    ） A．一组对边相等、一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线将平行四边形分成四个全等的三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是真假命题的判定，平行四边形的判定，利用平行四边形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四边形不一定是平行四边形，故原命题错误，不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题错误，不符合题意； C、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故本选项正确； D、平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等但不全等的三角形，故原命题错误，不符合题意． 故选：C． 6．在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一判断即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，该选项不能判定是平行四边形，符合题意； 、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 故选：． 【变式】根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．如图，在平行四边形中，点是上的一点，连接． (1)用尺规作图，完成以下基本作图：在内部作，交线段于点，连接交于点，连接交于点． (2)在（）问所求作的图形中． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵在平行四边形中，， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ． ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴ _． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，我们发现用一组对边和一组对角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即： 的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析； (2) ； ； ；有一组对边平行，有一组对角相等． 【来源】重庆市铜梁区巴川中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作即可； （）由平行四边形得，所以，又，则，所以，可得四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，所以，故有，，得四边形是平行四边形，从而可以得到有一组对边平行，有一组对角相等的四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，我们发现用一组对边和一组对角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：有一组对边平行，有一组对角相等的四边形是平行四边形， 故答案为： ； ； ；有一组对边平行，有一组对角相等． 8．学习了矩形之后，小明进行了拓展性研究，他发现：矩形对角线将矩形分成了四个小三角形，选择其中一组相对的三角形，作一组互为内错角的锐角的角平分线与所对的对角线相交，将这两个交点分别与另一条对角线的端点相连，所形成的四边形是平行四边形．探究过程如下： (1)用直尺和圆规，作的角平分线交于点F，连接、（保留作图痕迹，不写结论）； (2)已知：在矩形中，点O是对角线，的交点，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，， ， 平分， ① ， 平分， ， ② ， 在与中， ， ④ ， 四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【来源】重庆市第二外国语学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先作出作的角平分线交于点F， （2）结合平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得，，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：依题意，点F如图所示： （2）解：证明：四边形是矩形， ，， ， 平分， ① ， 平分， ， ② ， 在与中， ， ④， 四边形是平行四边形． 故答案为：；；；． 知识梳理 【知识点5 三角形的中位线及其定理】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 典例分析 【考点三 三角形中位线】 9．如图，点分别是边的中点，在的延长线上取一点，使，且，已知， ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，全等三角形的性质和判定， 先根据三角形中位线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 10．如图，对角线、相交于点，为的中点，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．首先证明，再由为中点，推出，然后计算周长即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，其对角线、相交于点， ， 为的中点，， ，是中位线， ， 的周长为， 故答案为：． 【变式】如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线、等腰三角形的判定与性质．由和角平分线得到，则，再根据是的中位线，得到． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 11．如图，在四边形中，P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识．利用三角形中位线定理得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：是的中点，点、分别是、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式】如图，为的角平分线，于，为中点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】延长交于G，容易证出，得到，因此是的中位线．由中位线定理可得，，得到，最后用三角形外角的性质计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于G， ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线的性质，三角形内角和定理与外角的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 12．如图，在中，在边上取一点，使，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为 ． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，过点D作交于点H，依题意得和都是直角三角形，进而依据“”判定和全等得，根据得是的中位线，继而得，，再根据得，则，证明得，由此得，据此即可得出的长． 【详解】解：过点D作交于点H，如图所示： ∵交于点F， ∴， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2.5． 故答案为：2.5． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1 四边形及多边形 知识梳理 一、多边形的对角线条数 2、 多边形的内角和、外角和 典例分析 一、多边形的对角线条数 1．过n边形的一个顶点可以画6条对角线，则n的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式】已知一个边形的内角和等于，则从这个多边形的一个顶点出发可以画 条对角线． 2．若边形的对角线共有条，则这个多边形是 边形． 二、多边形的内角和、外角和 3．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式】已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数为 ． 4．如图，平分，，垂足为A，，垂足为B．若，则的度数为 ． 5．如图，四边形为长方形纸片，点分别为边上一点，小巴将这张纸片沿着折叠，使点分别落在点的位置，的对应边交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 三、正多边形的内角和、外角和 6．一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是 ． 【变式】已知一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，在正五边形中，连接，，则的度数是 ． 【变式】如图，五边形是正五边形，且．若，则（    ）   A． B． C． D． 8．若一个正多边形的一个内角比一个外角大，则这个正多边形的边数是 ． 【变式】若某个正多边形的一个内角是其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数为 ． 21.2 平行四边形 知识梳理 【知识点1 平行四边形的概念】 1.定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.表示方法 平行四边形通常用符号“▱”表示。以平行四边形ABCD为例，记作“▱ABCD”，其中A、B、C、D为平行四边形的四个顶点，且顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次排列。 【知识点2 平行四边形的性质】 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形， 【其他性质】 （1）平行四边形的邻角互补； （2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 典例分析 【考点一平行四边形的性质及应用】 1．已知中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图：已知，平行四边形中，，为垂足，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点若平分，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 （2题图） （2题变式图） 【变式】如图，在平行四边形 中，，的平分线，交的延长线于点F，交于E， 则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，于点E，于点F.若，，且的周长为50，则的面积为（　　） A．40 B．48 C．60 D．72 知识梳理 【知识点3 平行四边形的判定】 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形ABCD是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形ABCD是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 【知识点4 特殊平行四边形的判定】 1. 矩形 （1）平行四边形的基础上加条件： ① 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. ② 对角线相等的平行四边形是矩形. （2）一般四边形的基础上加条件： ① 有三个角是直角的四边形是矩形. ② 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2 菱形 （1）平行四边形的基础上加条件： ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 （2）一般四边形的基础上加条件： ③四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； 3.正方形：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.（菱形+矩形＝正方形） 正方形的判定： 在矩形的基础上加条件：①一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形； 在菱形的基础上加条件：③有一个角是直角的菱形是正方形； ④对角线相等的菱形是正方形； 在一般四边形的基础上加条件：⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； ⑥四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 典例分析 【考点二 平行四边形的判定】 5．下列命题正确的是（    ） A．一组对边相等、一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线将平行四边形分成四个全等的三角形 6．在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式】根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（    ） A．B．C．D． 7．如图，在平行四边形中，点是上的一点，连接． (1)用尺规作图，完成以下基本作图：在内部作，交线段于点，连接交于点，连接交于点． (2)在（）问所求作的图形中． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵在平行四边形中，， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ． ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴ _． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，我们发现用一组对边和一组对角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即： 的四边形是平行四边形． 8．学习了矩形之后，小明进行了拓展性研究，他发现：矩形对角线将矩形分成了四个小三角形，选择其中一组相对的三角形，作一组互为内错角的锐角的角平分线与所对的对角线相交，将这两个交点分别与另一条对角线的端点相连，所形成的四边形是平行四边形．探究过程如下： (1)用直尺和圆规，作的角平分线交于点F，连接、（保留作图痕迹，不写结论）； (2)已知：在矩形中，点O是对角线，的交点，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，， ， 平分， ① ， 平分， ， ② ， 在与中， ， ④ ， 四边形是平行四边形． 知识梳理 【知识点5 三角形的中位线及其定理】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 典例分析 【考点三 三角形中位线】 9．如图，点分别是边的中点，在的延长线上取一点，使，且，已知， ． 10．如图，对角线、相交于点，为的中点，，，则的周长为 ． 【变式】如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为 ． 11．如图，在四边形中，P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，为的角平分线，于，为中点，连接，若，，则 ． 12．如图，在中，在边上取一点，使，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为 ． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $