19.1二次根式及其性质一课一练2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026学年第二学期人教版新教材八年级下册第19章一课一练 19.1二次根式及其性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 2．若，则下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此结合的条件，逐一分析选项． 【详解】解：二次根式有意义的条件是被开方数，结合分析： A、：被开方数，当时，，根式无意义，不符合题意； B、：被开方数，当时，，根式无意义，不符合题意； C、：被开方数，∵，∴，根式一定有意义，符合题意； D、：被开方数，当时，，根式无意义，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“被开方数非负”，并结合已知条件分析各选项的被开方数符号． 3．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，且， 解得且． 故选：A． 4．下列计算正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】C 【分析】依次计算每个选项，判断其正确性． 【详解】解：A、∵ 表示算术平方根，∴，故A错误； B、∵，两边同时6次方，得，即，整理得，解得或，∴“则”的说法错误，故B错误； C、∵，，∴，故C正确； D、∵，∴，∴，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，根据代数式有意义，则，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故选：． 6．已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键．对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，没有意义，不符合题意； B、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； C、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； D、当，即取全体实数时，有意义，符合题意． 故选：D． 7．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ∴， 解得． 故选：D． 8．若x，y都是实数，且，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，最后计算出的值即可． 【详解】解：∵和 都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． ∴， ∴， ∴． 故选C． 9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根的性质等知识点，根据实数与数轴得到代数式的正负是解题的关键． 根据数轴可得，则，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴ ． 故选B． 10．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 11．已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件即被开方数非负． 根据二次根式的被开方数非负得到不等式组，然后求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 12．已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A．12 B．9 C．12或9 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，，再分腰长为2和腰长为5两种情况，根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为5时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意 ∴此等腰三角形的周长为； 综上所述，此等腰三角形的周长为． 故选：A． 二、填空题 13．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式与零指数幂有意义的条件，熟练掌握两者的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和零次幂有意义的条件求解即可． 【详解】解：要使 在实数范围内有意义，需满足 ，即 ； 要使 在实数范围内有意义，需满足底数，即， 综上，实数的取值范围为且， 故答案为：且． 14．计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算各项：为，为，为4，再求和即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 15．已知点在第三象限，化简的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特点，绝对值与算术平方根的性质；由点A在第三象限，确定m的取值范围，再化简绝对值与根式． 【详解】解：因为点在第三象限， 所以且，解得． 所以原式． 故答案为2． 16．已知，n是m的整数部分，则n的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了无理数整数部分的计算，二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据二次根式的性质得到，再把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵， ，，， ∴m的整数部分为 5，即． 故答案为：5． 17．已知的结果为3，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质． 将原式化为绝对值方程 ，分段讨论求解． 【详解】解：原式可化为 当时，， 解得 ， 但 不在的范围，无解； 当时，，恒成立； 当时，， 解得 ，符合条件； 综上所述，． 故答案为：． 18．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 19．化简二次根式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简． 先由得，从而确定的符号；再将变形为负的形式，移到根号内进行化简． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ，即， ． 原式． 故答案为：． 20．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算和代数式求值，熟练掌握完全平方公式变形，灵活应用整体思想是解题的关键． 将已知的式子变形后可得，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴； 故答案为：． 三、解答题 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的计算，算术平方根的性质等知识；掌握这些知识是关键； （1）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可； （2）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．若、都是实数，且，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，平方根，以及二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．根据被开方数是非负数，得出，从而得到，再代入计算平方根即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， ， 的平方根是． 23．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 24．先阅读，后解答： (1)由根式的性质计算下列式子得：．由上述计算，请写出_____．（为任意实数）． (2)利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①_____； ②化简：_____． (3)应用：请根据（1）中结论化简（x为任意实数）． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，能够对被开方数进行分类讨论是解题关键； （1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果； （2）①根据（1）中结论进行化简即可；②先将被开方数化为完全平方式，再根据（1）中结论得结果； （3）根据（1）得： ，然后分三种情况讨论即可求答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：①， ②， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （3）解：∵， ①当时，， ∴原式； ②当时，， ∴原式； ③当时，， ∴原式， ∴综上， 25．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件，解得． 原式． 启发应用：已知三条边的长度分别是，，．记的周长为． (1)若，求的值； (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，绝对值化简，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）将代入所给式子求出三角形的三边长度，再求解三角形的周长即可； （2）根据二次根式有意义的条件以及性质，结合绝对值性质化简所给式子，再求解三角形的周长即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∴； （2）解：根据题意，得且， ∴，则，， ∵， ∴， ∴ ． 26．在数轴上表示a，b，c三个数的点的位置如图所示，化简：    【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值，立方根. 由数轴得，，，进一步得出，，再根据算术平方根、绝对值、立方根的定义计算即可，解题的关键是熟练掌握这些知识点． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，， 27．当时，求的平方根． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的平方根． 根据二次根式的非负性，分式有意义的条件求出、的值，进而求出的值，求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 28．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点间的距离公式确定的值，再代入，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可； （2）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于、的方程，解方程求出、，继而得到的值，再根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点表示，且一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为， ∴， ∴ ； （2）∵与互为相反数，，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值的意义，二次根式的性质，平方根的定义，掌握平方根的定义和二次根式的性质是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期人教版新教材八年级下册第19章一课一练 19.1二次根式及其性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．若，则下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 5．若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 6．已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 7．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若x，y都是实数，且，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．不能确定 9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 10．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 12．已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A．12 B．9 C．12或9 D．无法计算 二、填空题 13．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 14．计算 ． 15．已知点在第三象限，化简的结果为 ． 16．已知，n是m的整数部分，则n的值为 ． 17．已知的结果为3，那么的取值范围为 ． 18．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 19．化简二次根式 ． 20．已知，则 ． 三、解答题 21．计算： (1)； (2)． 22．若、都是实数，且，求的平方根． 23．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 24．先阅读，后解答： (1)由根式的性质计算下列式子得：．由上述计算，请写出_____．（为任意实数）． (2)利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①_____； ②化简：_____． (3)应用：请根据（1）中结论化简（x为任意实数）． 25．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件，解得． 原式． 启发应用：已知三条边的长度分别是，，．记的周长为． (1)若，求的值； (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简）． 26．在数轴上表示a，b，c三个数的点的位置如图所示，化简：    27．当时，求的平方根． 28．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $