精品解析：湖南省长沙市望城区2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

2025年下期普通中小学期末质量监测 七年级数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 月日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵仪式在天安门广场上庄严举行，来自江西景德镇的架“江西制造”直升机格外引人注目．若某架“江西制造”直升机上升记作，则下降应记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年末，望城区常住人口为人，将998400用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 下列几何体中，从上面看到的平面图形是三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程和有相同的解，则m的值是（） A. B. C. D. 7. 如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列运用等式的性质，变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 某生产商生产的紫砂茶具，每套茶具中1把茶壶配2只茶杯，用黏土可制作2把茶壶或5只茶杯，现在要用黏土制作茶具．若设用黏土制作茶杯，为使得茶壶与茶杯刚好配套，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 单项式的次数为_______． 12. 的倍与的平方的和用代数式可表示为_______． 13. 定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则______． 14. 若多项式，则多项式______． 15. 如图，是北偏东方向的一条射线，若，的方向是北偏西___________． 16. 如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中有________个涂有阴影的小正方形．（用含有的代数式表示） 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： ． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点C在线段上，点M是的中点，，． （1）求线段的长； （2）在线段上取一点N，使得，求线段的长． 21. 已知 （1）若，求的值； （2）若的值与a的取值无关，求b的值． 22. 2025年“湘超”（湖南省足球联赛）火爆湖湘大地，作为省内顶级足球赛事，每场比赛都精彩纷呈，吸引了大批球迷关注．据悉，该联赛分为常规赛和淘汰赛，在13轮常规赛中，位于八强的球队积分榜如图，已知胜一场积分比平一场积分多2分，负一场不积分，完成下列问题： （1）请你根据图中信息，求出胜一场和平一场各积多少分? （2）12月27日晚，随着永州队的夺冠，湘超正式落下帷幕，请根据图片中的相关信息，判断永州队在常规赛中胜场总积分能等于它的平场总积分吗?请说明理由． 23. 如图，是的平分线，是的平分线． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 24. 定义：如果两个一元一次方程的解和为0，我们就称这两个方程互为“圆满方程”． 例如： 方程，解为，方程，解为，因为，所以方程和互为“圆满方程”． （1）下列方程互为“圆满方程”的是______（填序号）； ①；② ；③． （2）若关于x的方程与方程互为“圆满方程”，求m的值； （3）若无论m取何值时，关于x的方程 （a， b为常数）与方程互为“圆满方程”，求的值． 25. 我们知道，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为，根据以上内容解决问题： （1）若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离可用含的式子表示为_____； （2）若，分别表示，点在数轴上对应的数． ①的最小值为_____； 此时的最大值为_____； ②若，求的最大值． （3）点，在数轴上对应的数为和，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间，点在点，之间），运动时间为，点运动到点时，点立即停止运动；点为点，之间一点，且满足，若在点，N运动过程中，点到点的距离总为一个固定的值，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期普通中小学期末质量监测 七年级数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 月日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵仪式在天安门广场上庄严举行，来自江西景德镇的架“江西制造”直升机格外引人注目．若某架“江西制造”直升机上升记作，则下降应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的应用，掌握正负数是表示相反意义的量是解题的关键． 根据题意可知：直升机上升为“+”，直升机下降为“-”，据此即可解答． 【详解】解：由题意可知：直升机上升为“”，直升机下降为“” ， ∴国产直升机下降记作. 故选：B． 2. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．首先根据实数大小的比较方法按顺序从大到小排列，然后即可求解． 【详解】解：， ， 是最小的数， 故选：B． 3. 2024年末，望城区常住人口为人，将998400用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是科学记数法，掌握相关知识是解题的关键．科学记数法要求形式为，其中，为整数，将转换为该形式即可． 【详解】解：， 用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握相关知识是解题的关键．通过计算每组两个表达式的值，比较是否相等即可求解． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，，不符合题意； 选项D：，符合题意； 故选：D． 5. 下列几何体中，从上面看到的平面图形是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同方向观察几何体，解决本题的关键根据几何体的特征判断从几何体的上面看到的平面图形． 【详解】解：A选项：从圆柱的上面观察到的平面图形是圆形，故A选项不符合题意； B选项：从长方体的上面观察到的平面图形是矩形，故B选项不符合题意； C选项：从圆锥的上面观察到的平面图形是有圆心的圆，故C选项不符合题意； D选项：从三棱柱的上面观察到的平面图形是三角形，故D选项符合题意． 故选：D． 6. 关于x的方程和有相同的解，则m的值是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键．先解方程得到的值，再代入方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 两个方程有相同的解， 将代入得， ， 故选：B． 7. 如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 下列运用等式的性质，变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数，结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．根据性质判断各选项变形是否正确，即可作答． 【详解】解：A、∵ ，∴（两边同时减5），故该选项不符合题意； B、∵，∴（两边同时乘c），故该选项符合题意； C、∵，∴两边同时除以c得，但是必须，故该选项符合不题意； D、∵ ，∴（两边同时除以2），故该选项不符合题意； 故选：B 9. 某生产商生产的紫砂茶具，每套茶具中1把茶壶配2只茶杯，用黏土可制作2把茶壶或5只茶杯，现在要用黏土制作茶具．若设用黏土制作茶杯，为使得茶壶与茶杯刚好配套，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系建立方程． 根据配套要求，茶杯数量应为茶壶数量的2倍,利用黏土制作效率，分别表示茶壶和茶杯的数量，并建立方程． 【详解】解：设用黏土制作茶杯， 由题意得，， 故选：D． 10. 如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角的和差关系．利用正方形的角为直角这一性质，通过角之间的和差关系来推导、、三个角的数量关系即可． 【详解】解：如图： ， ， ， 又， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 单项式的次数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，熟知次数指所有字母的指数和是解题的关键．单项式的次数是所有字母的指数之和，计算即可求解． 【详解】解：单项式中，字母的指数是，字母的指数是， 次数为， 故答案为：． 12. 的倍与的平方的和用代数式可表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了列代数式，关键是根据题目给出的数量关系列出式子．根据代数式的表示方法，“的2倍”表示为，“的平方”表示为，它们的和即为与相加． 【详解】解：“的倍”用代数式表示为，“的平方”用代数式表示为， 因此“的倍与的平方的和”用代数式表示为：， 故答案为：． 13. 定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 若多项式，则多项式______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 先将化为，再代入求值即可． 【详解】解：由得， ∴． 故答案为：10． 15. 如图，是北偏东方向的一条射线，若，的方向是北偏西___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与方向角有关的计算，根据方向角的定义结合角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：的方向是北偏西； 故答案为：． 16. 如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中有________个涂有阴影的小正方形．（用含有的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知，序号增加1，则涂有阴影的小正方形的个数增加3，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案有个涂有阴影的小正方形， 第2个图案有个涂有阴影的小正方形， 第3个图案有个涂有阴影的小正方形， ……， 以此类推可知，第n个图案有个涂有阴影的小正方形， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘方，绝对值，熟练掌握相关知识是解题的关键．先计算乘方，绝对值，将除法转换为乘法，最后进行加减即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解法关键是解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：方程两边同乘12，得； 去括号，得； 合并同类项，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为1，得； 故答案为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值．先利用整式的加减运算法则化简原式，再代值求解． 【详解】解： ． 当,时，原式． 20. 如图，点C在线段上，点M是的中点，，． （1）求线段的长； （2）在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的特点，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据线段的和差求出，再结合线段中点的特点求解，即可解题； （2）根据线段的比例关系求出，由（1）知，，再根据计算求解，即可解题． 【小问1详解】 解：，， ， 点M是的中点， ． 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）知，， ． 21. 已知 （1）若，求的值； （2）若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，无关型问题，绝对值的非负性，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）先根据绝对值和平方的非负性求出，再化简，然后代入求值即可； （2）由（1）得，再令，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得 ∵， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵的值与a的取值无关， ∴， 解得 22. 2025年“湘超”（湖南省足球联赛）火爆湖湘大地，作为省内顶级足球赛事，每场比赛都精彩纷呈，吸引了大批球迷关注．据悉，该联赛分为常规赛和淘汰赛，在13轮常规赛中，位于八强的球队积分榜如图，已知胜一场积分比平一场积分多2分，负一场不积分，完成下列问题： （1）请你根据图中信息，求出胜一场和平一场各积多少分? （2）12月27日晚，随着永州队的夺冠，湘超正式落下帷幕，请根据图片中的相关信息，判断永州队在常规赛中胜场总积分能等于它的平场总积分吗?请说明理由． 【答案】（1）平一场积分，胜一场积3分 （2）永州队胜场总积分不能等于平场总积分，理由： 由图可得，永州队负3场， 设永州队胜场，平场， ∴ ， 若胜场总积分等于平场总积分， 则， ∴ 解得， ∵必须是正整数，不是整数， ∴永州队胜场总积分不能等于平场总积分． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）设平一场积分，由题意可得胜一场积分，根据图片列方程求解即可； （2）由图可得，永州队负3场，设永州队胜场，平场，再根据“若胜场总积分等于平场总积分”进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：设平一场积分， ∵胜一场比平一场多2分， ∴胜一场积分． 由图可得，长沙的总积分为35，胜11场，平2场， ∴ 解得， ∴平一场积分，胜一场积分； 【小问2详解】 略 23. 如图，是的平分线，是的平分线． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：因为是的平分线，是的平分线， 所以， 因为， 所以， 即； 【小问2详解】 解：因为，，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 24. 定义：如果两个一元一次方程的解和为0，我们就称这两个方程互为“圆满方程”． 例如： 方程，解为，方程，解为，因为，所以方程和互为“圆满方程”． （1）下列方程互为“圆满方程”的是______（填序号）； ①；② ；③． （2）若关于x的方程与方程互为“圆满方程”，求m的值； （3）若无论m取何值时，关于x的方程 （a， b为常数）与方程互为“圆满方程”，求的值． 【答案】（1）①② （2）12 （3）7 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“圆满方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）先分别求每一个方程的解，再根据“圆满方程”的定义判断即可； （2）先求出的解，再由“圆满方程”的定义得到方程，再如求解参数； （3）先求出方程的解为，整理方程得，再由“圆满方程”的定义将代入得，整理得，，则得到且，求解，即可求解代数式的值． 【小问1详解】 解：①， ， 解得； ② ， 解得； ③ 解得 ∵ ∴方程①和②互为“圆满方程”， 故答案为：①②； 【小问2详解】 解： 解得 ∴方程的解为， ∵与方程互为“圆满方程” ∴方程的解为 代入 解得； 【小问3详解】 解： 解得 ∵与方程互为“圆满方程” ∴方程的解恒为， 对于 整理得， 代入得 整理得， ∵该式对任意m成立， ∴且， 解得 ∴． 25. 我们知道，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为，根据以上内容解决问题： （1）若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离可用含的式子表示为_____； （2）若，分别表示，点在数轴上对应的数． ①的最小值为_____； 此时的最大值为_____； ②若，求的最大值． （3）点，在数轴上对应的数为和，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间，点在点，之间），运动时间为，点运动到点时，点立即停止运动；点为点，之间一点，且满足，若在点，N运动过程中，点到点的距离总为一个固定的值，求的值． 【答案】（1） （2）①；；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意中的数轴上两点之间距离公式即可列出代数式； （2）①根据绝对值的意义可得表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和，即可得的取值范围及的最小值； ②先确定中的取值范围及最小值、中的取值范围及最小值，结合，即可得取最小值，取最小值时，方程成立，即，，从而得出当取最大值，取最大值时，最大，代入数值即可求出最大值； （3）根据题意可得，，可得，根据，可求出，进而得出，根据点运动过程中为一个固定的值，得到，由，即可得出结论。 【小问1详解】 解：∵点，在数轴上分别对应的数为，时，，两点间的距离表示为， ∴若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为：，此时的最大值为， 故答案为：；； ②由①的方法可知： 当时，有最小值为：， 当时，有最小值为：， ∵， ∴当取最小值，取最小值时，， 此时，， ∴当取最大值，取最大值时，最大，最大值为：； 【小问3详解】 解：根据题意可得： 点的路程为：，点的路程为：，且， 又∵点，在数轴上对应的数为和， ∴， ∵点在点，之间，且， ∴， ∴， ∵点到点的距离总为一个固定的值，即总为一个固定的值， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间距离的计算，绝对值的意义，代数式及求代数式的值，整式的混合运算等知识的综合，理解整式的基础知识，掌握两点之间距离的计算，整式的混合运算法则是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $