江苏省连云港市灌南县第二中学2026届高三上学期期末数学模拟测试三

2026届高三年级期末模拟测试三 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，则（ ） A. 27 B. 9 C. 3 D. 4. 已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的展开式中的系数为-4 B. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种 C. 已知，则 D. 数据7，12，13，17，18，20，32的上四分位数为19 10. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. C. 在区间上单调递增 D. 为的极小值点 11. 如图，在平行六面体中，，，，，，为中点，在线段上（包含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得平面平面 C. 不存在点，使得 D. 不存在点，使得四棱锥有内切球 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 13. 已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是__________． 14. 如图，已知在中，，，， 是线段上的动点，、是线段上的动点（在的 右侧），且四边形是正方形，则线段长度的最小值是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）． （1）求该用户第3次停留在网页上的概率； （2）某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由． 17. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 18. 在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. （1）设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19. 已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. （1）求C的方程； （2）过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 3. 已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，则（ ） A. 27 B. 9 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得：， 又由等比数列性质可得：， 所以， 故选：A 4. 已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，分别求出和，利用条件概率能求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率. 【详解】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球， 则，， 已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为： . 故选：A. 5. 已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，分析可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 因为函数既有极大值，又有极小值， 则关于的方程有两个不等的正根、， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 6. 设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】，结合条件，利用双曲线的定义可得，，由构成三角形的条件可得，即可求解. 【详解】如图，设， 由双曲线的定义知，所以，又，所以 又，，则，在中，， 由，得到，又，所以， 结合各个选项，A正确，B、C、D错误， 故选：A. 7. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数的定义分析的符号，分、和三种情况，结合符号解不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递减，， 所以当时，；当时，； 又因为函数为定义在上的奇函数， 所以函数在上单调递减，且，， 当时，；当时，； 对于不等式， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，且， 可得，解得； 当，即时，则，且， 可得，解得； 综上所述：满足的的取值范围是. 故选：A. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】将平方，结合可得，结合选项逐个判断即可. 【详解】将平方得， 结合可得，即， 即， 即，故CD错误 又 ，故A对，B错； 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部逸对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的展开式中的系数为-4 B. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种 C. 已知，则 D. 数据7，12，13，17，18，20，32的上四分位数为19 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式定理写出的展开式的通项公式，即可判断选项A；根据分步乘法计数原理即可判断选项B；由排列数和组合数公式可解得，即可判断选项C；求出上四分位数判断D. 【详解】对于A，由二项式定理可知的展开式的通项公式为：，， 令，解得， ∴的展开式中的系数为，故A正确； 对于B，先将标号为，的卡片放入同一信封，有种不同的方法； 再将标号为，，，的张卡片平均分成两组放入另外两个信封里，有种不同的方法， 由分步乘法计数原理可知：共有种方法，故B错误； 对于C，∵， ∴由排列数和组合数公式可得，解得，故C正确； 对于D，由7×75%=5.25，得第75百分位数为第6个数，为20，故D错误； 故选：AC. 10. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. C. 在区间上单调递增 D. 为的极小值点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义域即可判断A,根据对数的性质即可求解B，求导，根据上导数的正负即可求解C，根据单调性即可由极值点的定义求解D. 【详解】的定义域为，故为非奇非偶函数，故A错误， 由于，且，故 当时，，此时，当时，，此时， 当时，，因此，B正确， 对于C, ，当时，，此时，因此在单调递减，故C错误， 对于D，，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，为的极小值点，D正确， 故选：BD 11. 如图，在平行六面体中，，，，，，为中点，在线段上（包含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得平面平面 C. 不存在点，使得 D. 不存在点，使得四棱锥有内切球 【答案】ABD 【解析】 【分析】当与重合时，应用线面平行的判定定理判断A；构建空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量（含参），根据垂直关系求参数值判断B；同B分析，应用空间向量模长的坐标表示列方程求参数判断C；根据棱锥内切球在侧面上投影圆的半径相等列方程求参数判断D. 【详解】对于A ，连接交于点，则分别为中点， 当与重合时，有，即， 因平面，平面，故平面，即平面，故A正确； 对于B，因，则，而，，则， 由且都在平面内，故平面， 如下图所示，在平面内过作，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面一个法向量为， 则，取，有， 设且，， 设平面的一个法向量为， 则，取，有， 若平面平面，则，可得， 所以存在点，使得平面平面，故B正确； 对于C，同B分析，可得，若， 所以，可得， 所以，则， 所以，可得，故C错误； 对于D，假设存在球与平面、平面、平面都相切，设且， 如下左视图，则，，，则， 俯视图角度，球心在下底面投影为的内心，则， 要使四棱锥有内切球，则在内有解， 所以，整理得， 所以，显然无解，故D正确. 故选：ABD 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到，再利用正态分布的对称性，即可求解. 详解】由，得到， 所以， 故答案为：. 13. 已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，再根据焦半径公式计算求得，最后结合求导即可得出切线斜率. 【详解】设，则， 所以，解得， 设抛物线在处切线的斜率是，因为，所以， 所以在函数上，所以，所以． 故答案为：. 14. 如图，已知在中，，，，是线段上的动点，、是线段上的动点（在的右侧），且四边形是正方形，则线段长度的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理可求得，设，则，，，然后在中，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 因，则， 设，则，，， 由题意可得，即，可得， 因为，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即，当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. 【小问2详解】 法一：因为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 16. PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）． （1）求该用户第3次停留在网页上的概率； （2）某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由． 【答案】（1） （2）该公司应该选择网页，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据、计算即可求解； （2）根据、；；；求出前4次停留网页对应的概率，求出对应的数学期望，比较大小即可下结论. 【小问1详解】 、；；；. 第3次停留在网页上的事件有、， 其概率为． 【小问2详解】 由题意知，、；；；， 用表示第次停留在A,B,C,D处的事件， 则， 所以， ， 所以， 故该公司应该选择网页． 17. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 【答案】（1） （2）和 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性求解出函数的极值即可 （2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间 （3）分和讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. 【小问2详解】 因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. 【小问3详解】 当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 18. 在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. （1）设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据线面垂直，可证线面垂直； （ⅱ）利用可求三棱锥的体积. （2）建立空间真假坐标系，利用空间向量表示出直线与平面所成角的正弦值，再结合换元法和基本不等式可求其最大值. 【小问1详解】 （ⅰ）在中，，，所以. 因为，，所以， 所以. 又因为，平面，， 所以平面. （ⅱ）. 【小问2详解】 如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，. 所以.平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 设， 设， 所以，（当且仅当，即时取等号），即. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 19. 已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. （1）求C的方程； （2）过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，点在上，由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线的标准方程； （2）（ⅰ）设点，求得切线方程为，得到，再求得和的方程，联立方程组，求得，得到，结合，得到，由抛物线的定义，求得，即可求解； （ⅱ）由（i）知，得到点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为， 因为点在上，且，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）由抛物线，可得， 设点，可得，所以切线方程为， 整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 又由，可得，所以的方程为， 则，则的方程为， 联立方程组，解得， 则， 因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得， 所以点或. （ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得，即， 由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 又由， 则，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $