专题1.4 线段的垂直平分线 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

线段的垂直平分线 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 线段垂直平分线的定义及其性质 考点梳理 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 典例引领 考向01 线段垂直平分线的性质 【例1】如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是由垂直平分线的性质求得的值． 由垂直平分线的性质得，，由即可得解． 【详解】解：，分别是边，的垂直平分线， ，， ， ， ． 故答案为：． 考向02 作垂线（尺规作图） 【例2】在学习了垂线的相关知识后，某数学小组进行了探究活动．请你完成以下作图和填空： 第一步：如图，在的边上有一点D，过点D作的垂线，垂足为点E．请你用尺规在射线上截取，过点M作直线，垂足为点F，交于点N（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：请利用三角形的全等证明． 证明：∵， ∴，______①_______ ∴， ∴_______②______ 在和中 ∴ ∴ 【答案】作图见详解，①，②，③ 【分析】本题考查了尺规作垂线，全等三角形的判定与性质．理解题意，用尺规在射线上截取，过点M作直线，垂足为点F，交于点N，即可作答；再根据已有的过程，且结合全等三角形的判定与性质进行分析再补充完整，即可作答． 【详解】解：如图所示为所求： 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ∴． 故答案为：①，②，③． 对点提升 【对点1】某景区有一块三角形的草坪，、、是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意． 根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等即可求解． 【详解】解：∵凉亭到三个商店的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三边垂直平分线的交点上． 故选：D． 【对点2】如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；②作直线，交于点；③连接，若，，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理． 由作法得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理建立方程，即可计算的长． 【详解】解：由题意知垂直平分， ， ， ， ． 故答案为：13． 考点02 线段垂直平分线的判定 考点梳理 1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 典例引领 考向01 线段垂直平分线的判定 【例1】如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接交于点G．下列结论： ①； ②； ③垂直平分； ④四边形的面积为线段与乘积的一半； 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定定理，三线合一定理，可证明，得到，据此可判断①；根据四边形内角和是360度可判断②；由三线合一定理可证明，再由可判断④；根据现有条件无法证明垂直平分，则可判断③． 【详解】解：∵， ， ∵是的角平分线， ∴ 又∵， ∴， ∴，故①正确； 在四边形中，∵， ，故②正确； ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴四边形的面积为线段与乘积的一半，故④正确； 根据现有条件无法证明，故无法证明垂直平分，故③错误； 综上，①②④正确． 故选C． 对点提升 【对点1】如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，线段垂直平分线的判定，熟知一次函数图象平移时k的值不变，只有b发生变化是解答此题的关键． 先通过待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质求直线的解析式． 【详解】解：设直线对应的函数解析式为， 点，在直线上， ， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，，且， ∴垂直平分， ， ， 设直线对应的函数解析式为， 把点的坐标代入中， 得， 解得， 直线对应的函数解析式为． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，垂直平分线的定义，三角形内角和定理；由尺规作图的痕迹可知：平分，垂直平分，可得到，，然后由即可求解． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知：平分，垂直平分, ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 2．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握是解题的关键．根据垂直平分，得，证明垂直平分，得，，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， ，且点为线段的中点， 垂直平分，， ， ， ， 故选：D． 3．如图，点、是的边上的动点（），，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的长度，有以下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会特殊位置解决问题．作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形，另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，求出此时的长度即可． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形， 过点M作于H，当，即时，满足是等腰三角形的点P恰好只有一个， 当时， ∵， ∴； ∴当时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个； 当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时，， ∴， ∴， ∴此时． 综上所述，或． ∴所有正确结论的序号是①④． 故选：C． 4．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识；连接，由线段垂直平分线的性质得，则，当点M在线段上时，取得最小值，利用面积即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵腰的垂直平分线是， ∴， ∴， 当点M在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长， ∵等腰三角形的底边长为4，面积是16， ∴， 即， ∴， 即取得最小值为8， 故选：B． 5．如图，在中，分别以点和点为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，分别交于点，连接．若的周长为，且，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可知直线为线段的垂直平分线，即，，再根据的周长为，可得，进而可得的周长． 【详解】解：根据题意可知直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 6．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图画线段垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质；由三角形内角和定理可得，由题意得：是的垂直平分线，可得，，根据即可求解. 【详解】解：∵在中，，， ∴, 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 7．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长是（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质. 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为13， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 8．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求出的周长． 【详解】解：∵为边的垂直平分线， ∴， ∵ ∴的周长为， 故选D． 9．如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为65，则的长为（　　） A． B．10 C．13 D．26 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理．由线段垂直平分线的性质定理的逆定理推出，由三角形的面积公式得到四边形的面积． 【详解】解：由题意得到：， 和都在线段的垂直平分线上， ，设交点为O， 的面积，的面积 四边形的面积的面积的面积， ， ． 故选：C． 10．如图，，，平分，点D，E关于对称，连接并延长，与的延长线交于点F，连接．以下结论：（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形、线段垂直平分线的性质．根据点D，E关于对称，可得垂直平分，即可判断①错误；根据垂直平分，连接，可得，证明，可得，即可判断②；结合①②证明，可得，，得到，进而证明角F的度数，即可判断③；在中，根据勾股定理，得，根据，即可判断④． 【详解】解：①∵点D、E关于对称， ∴垂直平分，不是垂直平分，所以①错误； ②∵垂直平分， ∴， ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ③∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，所以③正确； ④在中，根据勾股定理，得： ， ∵， ∴， ∴，所以④正确． 综上所述：正确的是②③④． 故选：C． 2、 填空题 11．已知，如图，在中，的垂直平分线交于点是直线上的一动点．连接，若，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题的应用，解此题的关键是找出的位置. 根据线段垂直平分线的性质即可得出点关于直线的对称点为点，当和重合时，的值最小，最小值等于的长，即可求解. 【详解】解：∵是的垂直平分线，是直线上的一动点， ∴，关于直线对称， 设直线交于，如图： ∵， ∴， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值是：. 12．如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接，分别与，交于点和； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③分别以点和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ④作射线，分别交，于点，，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图、三角形外角的性质、直角三角形的性质，利用三角形内角和定理可知，由作图可知是的平分线，所以可得，根据三角形外角的性质可以求出，根据直角三角形两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，， ，， ， 由作图可知是的平分线， ， 是的外角， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，可得，，根据勾股定理可求得的长，过点作于点，交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，， 垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小， 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 14．如图，是等边三角形，边长为，是边上的高，，分别为边，上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接、，根据等边三角形的性质得，，根据等腰三角形三线合一性质推出垂直平分，得，，继而推出当且点、、共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据等腰三角形三线合一性质及勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵是等边三角形，边长为，，分别为边，上的一动点， ∴，， ∵是边上的高， ∴是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当且点、、共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 15．如图，等腰三角形的面积为20，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短为：． 故答案为：12． 3、 解答题 16．如图，在中，，， 边的垂直平分线分别交，于点，，连接，， 求的度数及边的长． 【答案】，． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟记等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的等边对等角性质可以求出的度数，再根据垂直平分线定理得出，，然后求出外角，最后根据等腰三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵的垂直平分线分别交，于点，，，   ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)是直角三角形；见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握直角三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解； （2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 18．如图，在中，，射线交边于点，且，点关于直线的对称点为点，连接交于点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)证明：； (3)用等式表示，和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，证明见详解 【分析】本题主要考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键． （1）根据题意，作对称，连线即可； （2）根据题意得到，是线段的垂直平分线，由三角形内角和定理得到，结合图形即可求解； （3）如图所示，在上截取，连接，证明是等边三角形，再证明，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下， （2）证明：∵点关于直线的对称点为点，设交于点， ∴，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）解：，证明如下， 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．已知，如图1，直线l是线段的垂直平分线，垂足为点D，是以点B为端点的射线． (1)以为一边，过点A作， 另一边与直线l交于点C，连接． ①如图2， 若， 则的长为______； ②如图3，当射线时，过点C作于点E，过点A作于点F．求证：； (2)如图4，在射线上取一点P，连接，作的平分线交直线l于点N， 作于点G， 连接． 请问 是否为定值?如果是，请求出定值并写出解答过程；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)①2；②见解析 (2)是，定值为2，见解析 【分析】（1）①证明是含30度的直角三角形，可得出结论；②证明是等边三角形，得，，证明，得，，得，得，得，即可； （2）由角平分线性质得，证明，得，证明，得，可得，得，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2； ②∵点C是线段垂直平分线上的点， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴，， ∴． ∴， ∴， （2）过点N作于点Q， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，利用等边对等角得到，再根据列式计算即可求解． 【详解】（1）解：；理由如下， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 线段的垂直平分线 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 线段垂直平分线的定义及其性质 考点梳理 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 典例引领 考向01 线段垂直平分线的性质 【例1】如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为 ． 考向02 作垂线（尺规作图） 【例2】在学习了垂线的相关知识后，某数学小组进行了探究活动．请你完成以下作图和填空： 第一步：如图，在的边上有一点D，过点D作的垂线，垂足为点E．请你用尺规在射线上截取，过点M作直线，垂足为点F，交于点N（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：请利用三角形的全等证明． 证明：∵， ∴，______①_______ ∴， ∴_______②______ 在和中 ∴ ∴ 对点提升 【对点1】某景区有一块三角形的草坪，、、是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【对点2】如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；②作直线，交于点；③连接，若，，则的长为 ． 考点02 线段垂直平分线的判定 考点梳理 1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 典例引领 考向01 线段垂直平分线的判定 【例1】如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接交于点G．下列结论： ①； ②； ③垂直平分； ④四边形的面积为线段与乘积的一半； 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 对点提升 【对点1】如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点、是的边上的动点（），，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的长度，有以下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．①②④ 4．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，在中，分别以点和点为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，分别交于点，连接．若的周长为，且，则的周长是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长是（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 8．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为65，则的长为（　　） A． B．10 C．13 D．26 10．如图，，，平分，点D，E关于对称，连接并延长，与的延长线交于点F，连接．以下结论：（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题 11．已知，如图，在中，的垂直平分线交于点是直线上的一动点．连接，若，则的周长的最小值为 ． 12．如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接，分别与，交于点和； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③分别以点和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ④作射线，分别交，于点，，若，，则的度数为 ． 13．如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 14．如图，是等边三角形，边长为，是边上的高，，分别为边，上的一动点，则的最小值为 ． 15．如图，等腰三角形的面积为20，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长的最小值为 ． 3、 解答题 16．如图，在中，，， 边的垂直平分线分别交，于点，，连接，， 求的度数及边的长． 17．如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 18．如图，在中，，射线交边于点，且，点关于直线的对称点为点，连接交于点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)证明：； (3)用等式表示，和的数量关系，并证明． 19．已知，如图1，直线l是线段的垂直平分线，垂足为点D，是以点B为端点的射线． (1)以为一边，过点A作， 另一边与直线l交于点C，连接． ①如图2， 若， 则的长为______； ②如图3，当射线时，过点C作于点E，过点A作于点F．求证：； (2)如图4，在射线上取一点P，连接，作的平分线交直线l于点N， 作于点G， 连接． 请问 是否为定值?如果是，请求出定值并写出解答过程；如果不是，请说明理由． 20．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $