专题1.3 直角三角形 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

直角三角形 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 直角三角形的性质和判定 考点梳理 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 考点02 直角三角形的性质和判定 考点梳理 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 考点03 勾股定理及逆定理 考点梳理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 典例引领 考向01 直角三角形的两个锐角互余 【例1】如图，，，． (1)求证：； (2)若交的延长线于点F，求的度数． 考向02 锐角互余的三角形是直角三角形 【例2】下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考向03 写出命题的逆命题 【例3】下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 B．全等三角形的三条对应边相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．成轴对称的两个三角形全等 考向04 判断是否为互逆命题 【例4】（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 考向05 定理与证明 【例5】下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 考向06 互逆定理 【例6】下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 对点提升 【对点1】如图，在中，于，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【对点2】下列说法错误的是（    ） A．三角形的内角和等于 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D．日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 【对点3】下列命题的逆命题是真命题的为（   ） A．有理数与数轴上的点一一对应 B．若，则 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等 【对点4】写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【对点5】下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【对点6】下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下列三个条件：①的三个内角的度数之比是；②在中，；③的三个外角的度数之比是；其中能确定是直角三角形的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．给出下列说法：①“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是真命题；②实数与数轴上的点是一一对应的；③；④2.568精确到0.01的结果是2.57；⑤的算术平方根是5．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．经过平移得到的两个三角形全等 D．两直线平行，同旁内角互补 6．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 7．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 8．如图，在中，分别是边上的高，与交于点F，连接，过点E作，交于点G．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．下列命题，逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若，则 D．全等三角形的对应角相等 10．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 2、 填空题 11．如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为 ． 12．如图，在等腰三角形中，，若，于点D，则的度数为 ． 13．如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为 ． 14．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则= ． 15．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 ． 3、 解答题 16．如图，已知为的中点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，与交于点F，若，，求的长． 17．如图，在中，，，，均为的高，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 18．在中，于D，平分，且于，并与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 19．初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 20．【初步探索】如图①，在中，，直线经过点，过点、分别向直线作垂线，垂足分别为点、，则和的关系是______． 【变式探究】如图②，在中，，直线经过点，点、在直线上，已知，猜想、、的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】小吉同学在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边分别向外作和，其中是边上的高，延长交于点H．若，则的长为_____．（用含的代数式表示） 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 直角三角形 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 直角三角形的性质和判定 考点梳理 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 考点02 直角三角形的性质和判定 考点梳理 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 考点03 勾股定理及逆定理 考点梳理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 典例引领 考向01 直角三角形的两个锐角互余 【例1】如图，，，． (1)求证：； (2)若交的延长线于点F，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，根据，，证明，即可作答． （2）先得出是等腰直角三角形，得，又因为，得，，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，． ∴； （2）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考向02 锐角互余的三角形是直角三角形 【例2】下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，通过直角三角形的定义和勾股定理的逆定理判断每个选项是否一定是直角三角形． 【详解】解：∵①有两个内角互余，∴第三个角为，∴是直角三角形； ∵②三边长为，，，且（其中m，n为正数，且），∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵③三边之比为，设三边为，，，则，∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵④三个内角的比是，设角度为x，，，则 ，解得 ，∴最大角为，∴是直角三角形． ∴①②③④都是直角三角形，共4个， 故选：D． 考向03 写出命题的逆命题 【例3】下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 B．全等三角形的三条对应边相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．成轴对称的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．本题考查逆命题的真假判断，需写出每个选项的逆命题，并基于初中数学知识判断其真假. 【详解】解：A、逆命题为如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，∵绝对值相等的实数可能互为相反数（如5和），∴是假命题. B、逆命题为如果两个三角形的三条对应边相等，那么这两个三角形全等，∵根据全等三角形的判定定理，三边对应相等则三角形全等，∴是真命题. C、逆命题为锐角三角形是等边三角形，∵锐角三角形不一定三边相等（如三边不等的锐角三角形），∴是假命题. D、逆命题为如果两个三角形全等，那么它们成轴对称，∵全等三角形不一定对称（如通过平移重合），∴是假命题. 故选：B． 考向04 判断是否为互逆命题 【例4】（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 【答案】（1）对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，真命题． （1）先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． （2）任意找出一对互逆的真命题即可． 【详解】解：（1）因为（已知）， 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）两个互逆的真命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 考向05 定理与证明 【例5】下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的基本概念．命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此所有命题都有逆命题．但定理的逆命题不一定成立，真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题不一定为假． 【详解】解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A． 考向06 互逆定理 【例6】下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理， ∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理， ∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”）， ∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题， ∴D错误． 故选B． 对点提升 【对点1】如图，在中，于，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据同角的余角相等，可得，进而可得，． 【详解】解：， ，， ， ， ， 故选：B． 【对点2】下列说法错误的是（    ） A．三角形的内角和等于 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D．日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，等腰三角形的定义，三角形的三边关系以及三角形的稳定性，根据相关知识点，逐一进行判断即可. 【详解】解：A、三角形的内角和等于，正确，不符合题意； B、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意； C、若等腰三角形一边长为2，一边长为5，当腰长为2时，，不能构成三角形， 当腰长为5时，，能构成三角形，则周长为，原说法错误，符合题意； D、日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形，正确，不符合题意； 故选C. 【对点3】下列命题的逆命题是真命题的为（   ） A．有理数与数轴上的点一一对应 B．若，则 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假，逆命题．先分析出每个选项的逆命题内容，再进行分析，即可作答． 【详解】解：A、逆命题是数轴上的点与有理数一一对应，这是假命题，因为数轴上的点还包括无理数，故该选项不符合题意； B、逆命题是若，则，这是真命题，故该选项符合题意； C、逆命题是相等的角是对顶角，这是假命题，故该选项不符合题意； D、逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，这是假命题，故该选项不符合题意； 故选：B 【对点4】写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 【对点5】下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 【对点6】下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下列三个条件：①的三个内角的度数之比是；②在中，；③的三个外角的度数之比是；其中能确定是直角三角形的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 利用三角形内角和定理和外角和定理，分别计算每个条件下各内角的度数，判断是否存在角，从而确定是否为直角三角形． 【详解】解：①的三个内角的度数之比是，， 是直角三角形，符合题意； ②由，得， ， ， ，是直角三角形，符合题意； ③三角形外角和为，设外角为，，，则，解得，外角为、、，对应内角为、、，是直角三角形，符合题意． ①②③符合条件， 故选：D． 2．给出下列说法：①“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是真命题；②实数与数轴上的点是一一对应的；③；④2.568精确到0.01的结果是2.57；⑤的算术平方根是5．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，全等三角形的判定和性质，实数与数轴，化简绝对值，近似数，求一个数的算术平方根，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题为两个全等三角形的三边对应相等，是真命题，故①正确； 实数与数轴上的点是一一对应的；故②正确； ；故③错误； 2.568精确到0.01的结果是2.57；故④正确； 的算术平方根是；故⑤错误； 故选C． 3．如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 【详解】解：在中，， ， ， ， ，， ，，故选项B正确； ∵是中斜边上的中线， ∴， ∴， ，故A选项正确； ∵，， ∴，故选项C正确； ∵不一定相等，， ∴不一定成立，故选项D错误． 故选：D． 4．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案． 【详解】解：A、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、，， ， 解得， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选B． 5．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．经过平移得到的两个三角形全等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形的判定定理、直角三角形的判定定理、全等三角形的概念、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形的两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，正确，不符合题意； B、直角三角形的两锐角互余的逆命题是两角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意； C、经过平移得到的两个三角形全等的逆命题是两个全等三角形是经过平移得到的，错误，符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，不符合题意； 故选：C． 6．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，需分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况讨论，分别计算底角． 【详解】解：设等腰三角形中，，作腰上的高，垂足为D， 则，． ∵与的夹角为，即， ∴在中，． 当为锐角三角形时， 点D在上，， ∴底角． 当为钝角三角形时， 点D在的延长线上，， ∴， ∴底角． 综上，底角为或， 故选：C． 7．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，通过分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：设该等腰三角形为，且， ①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示，    由题意得，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 8．如图，在中，分别是边上的高，与交于点F，连接，过点E作，交于点G．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，余角的性质，全等三角形的判定与性质． 证明可判断A正确；证明可判断B，C正确；由G不一定是的中点可判断D错误． 【详解】解：∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵ ∴． 在和中，， ∴， ∴，故选项A正确； 在和中，， ∴， ∴，故选项B，C正确； ∵， ∴． ∵G不一定是的中点， ∴，即，故选项D错误． 故选D． 9．下列命题，逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若，则 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，相等的角不一定是对顶角，故逆命题不成立，不符合题意； B、逆命题为：三边都相等的三角形是等边三角形，成立，符合题意； C、逆命题为：若，则，当时，，故逆命题不成立，不符合题意； D、逆命题为：对应角相等的两个三角形为全等三角形，逆命题不成立，不符合题意； 故选B． 10．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值． 【详解】解：如图，取的中点， ， ， ， ， ，即存在最大值为9， 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时． 故选：A． 2、 填空题 11．如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，由，点是边的中点，得到，从而得到，由题意可知，，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，点是边的中点， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在等腰三角形中，，若，于点D，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余，先利用等腰三角形的性质得出，再由直角三角形两锐角互余得出的度数，进而求得最终结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：22． 13．如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，过点D作于点F，利用勾股定理求出的长，可证明，得到，则由三线合一定理得到的长，利用勾股定理可求出的长，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点F， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 14．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则= ． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质及倍角三角形的定义，关键是通过角平分线的性质推导的内角关系，再结合倍角三角形的定义求解的度数． 【详解】解：∵平分，平分，且， ∴． ∵， ∴， 在中，． 又平分，故． 在中，，结合， 可得． ∵为4倍角三角形，且， ∴存在两种情况： ①直角是4倍的一个锐角，即，解得，则． ②一个锐角是4倍的另一个锐角，即，解得，则． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 15．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 取的中点，连接，，，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据两点之间线段最短得到即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 3、 解答题 16．如图，已知为的中点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，与交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据和是直角三角形，点E是的中点，由此可得出结论； （2）过点E作于G，由（1）的结论得，证明是等腰直角三角形，得，则，再由三角形面积公式求出，进而得，由此可得的长． 此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴和是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：过点E作于G，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 17．如图，在中，，，，均为的高，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）先得到为等腰直角三角形，再证明，即可证明，则； （2）先由三角形内角和定理求解得到，那么，再由三线合一即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，均为的高， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵为的高， ∴， 由（1）知， ∴ 18．在中，于D，平分，且于，并与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识， （1）首先证明为等腰直角三角形，易得，再证明，然后利用“”证明即可； （2）首先由（1）可得，再证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）由（1）， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． 19．初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为等腰直角三角形，见解析；（3）作图步骤：连接，作且，取中点，即为藏宝地点． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的三线合一性质，利用中点模型构造全等三角形是解题关键． （1）过点C作，交延长线于点D，容易证明，由此得出，，进而可证明，即可得出，由此证明； （2）过点作，交延长线于点，连接，同理可以证明，进而可得，，再利用五边形内角和为，结合，，可得，而，由此证明，进而可得，得出，，由可得是等腰直角三角形，再由是中点得出，即可得出为等腰直角三角形． （3）构造同（2）的是等腰直角三角形，取的中点即可． 【详解】（1）如图，过点C作，交延长线于点D， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴．， 　（2）为等腰直角三角形， 理由如下： 过点作，交延长线于点，连接 ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形内角和为，即：， ，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （3）如图：连接，过点B作，且，取中点，即为藏宝地点， 由作法可知：是等腰直角三角形， 由（2）可知：藏宝地点是的中点． 20．【初步探索】如图①，在中，，直线经过点，过点、分别向直线作垂线，垂足分别为点、，则和的关系是______． 【变式探究】如图②，在中，，直线经过点，点、在直线上，已知，猜想、、的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】小吉同学在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边分别向外作和，其中是边上的高，延长交于点H．若，则的长为_____．（用含的代数式表示） 【答案】[初步探索]全等；[变式探究]数量关系为：，证明见解析；[拓展应用] 【分析】[初步探索]根据题意得出，用全等三角形的判定即可证明三角形全等； [变式探究]由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质即可求解； [拓展应用]过点作于点，作，交的延长线于点，利用全等三角形的判定和性质得出，即可求出结果． 【详解】[初步探索]解：∵过点分别向直线作垂线，垂足分别为点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； [变式探究]数量关系为：； 证明：， ， 在和中， ， ， ， ； [拓展应用]解：过点作于点，作，交的延长线于点，如图③所示： ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $