1.2 等腰三角形 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.2等腰三角形》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（） A． B． C． D．或 2．如图，在中，．若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，在等腰中，，，是底边上的中线，则腰上的高的长为（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 4．平面直角坐标系中，已知点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（   ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，在中， 平分， 平分， ， 经过点，若， ，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．24 D．30 6．如图，在中，，，在．上分别取点，，使，连接，交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，分别以的边，为边，在的外侧作等边和等边，连接，相交于点O，与相交于点M，与相交于点N，连接，有下列结论：①；②；③平分；④其中，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 8．已知，要想用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．我们需要先假设 ． 9．已知等腰三角形的两边长为、，则它的周长为 ． 10．如图，在中，为的平分线，若，则的长为 ． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为 ． 12．如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为 ． 13．如图，，若，则的度数是 ． 14．如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、．则当的度数为 时，是等腰三角形． 三、解答题 15．如图，在中，，，为的中点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 16．如图，在中，，为延长线上一点，于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 17．如图，中，，点P从点B出发沿线段移动（点P与A、B不重合），同时点F从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P、F移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)求证：； (2)过点P作直线的垂线，垂足为E，P、F在移动的过程中，问线段与数量关系？请说明理由． 18．如图，在中，，点D在内部，连接，，，，，点E在外部，连接，，，． (1)求证：； (2)已知，求的长． 19．如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 20．如图1，点在线段上，（点不与、重合），分别以、为边在同侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点． (1)观察猜想 与的数量关系，请直接写出结论 (2)数学思考 如图2，当点在线段外时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； (3)拓展应用 如图3，点为四边形内一点，且满足，，，对角线、交于点， ①求证； ②求四边形的面积． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，等腰三角形的性质；等腰三角形的一个外角为，则其对应内角为．由于的内角只能是顶角，进而求得底角，即可． 【详解】解：等腰三角形的一个外角为， 该外角对应的内角为． 若为底角，则另一个底角也为，顶角为，不成立． 只能为顶角， 底角为． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查等腰三角形，含30度角的直角三角形的性质；根据已知可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解决本题的关键． 由，根据等腰三角形的性质推知，在直角中，利用勾股定理求得的长度再用等面积法求解的长即可． 【详解】解：在等腰中，，， 是底边上的中线， ， ∴在直角中，． ，即， ， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，关键是分类讨论不同情况； 由三边两两相等需分三种情况讨论，又点在轴上，设坐标为，计算满足条件的值，并排除与点重合的情况． 【详解】解：设点 ∵ ， ， ， ， 当时， ， 解得：（舍）， ∴； 当时， ， ， ∴； 当时， ， 解得：， ∴ ； 综上，共4个． 故选：B 5．D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形，进而将三角形的周长进行转化．因为平分，所以；又因为，所以，从而可得，故．同理可得，．由此的周长，代入数值即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得，． ∵的周长 ． ∵， ∴的周长． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是等边三角形，得，再证明，运用三角形的外角性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ， ． 故选：C． 7．B 【分析】本题综合考查了等边三角形的性质，角的和差，全等三角形的判定与性质，重点掌握全等三角形的判定方法．由和是等边三角形得，，，再由角的和差得，可证明，根据全等三角形的性质得，，进而利用角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 如图，过A作于H，于I， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故③正确； ∵无法得出，不能得出，故②错误； 故选：B． 8．中有两个角是直角 【分析】本题考查了反证法．熟练掌握反证法是解题的关键． 根据反证法作答即可． 【详解】解：由题意知 ，先假设中有两个角是直角， 故答案为：中有两个角是直角． 9．或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）是解题的关键． 分两种情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三角形三边关系判断是否成立，进而计算周长． 【详解】解：情况一：当腰长为时， 因为， 所以三边能构成三角形， 周长为， 情况二： 当腰长为时， 因为， 所以三边能构成三角形， 周长为， 故答案为：或． 10． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据“三线合一”即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的平分线， ∴是的中线， ∵， ∴， 故答案为：． 11．或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 分两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案． 【详解】解：当是锐角三角形时，，如图，， ∵， ∴， ∴ 当是钝角三角形时，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 12．3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形的性质，由是等边三角形得，由得，可得，可得，从而可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 13．/度 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，设，由等边对等角可得，然后由三角形外角性质可得，同理可求得，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 14．或或 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的应用．先证是等边三角形得到，根据，，得出，先证明，可得，可得，，，再分情况讨论：①；②；③，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，﹐ ∴； ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵是等腰三角形， ①， 即， 解得， ②， 即， 解得， ③， 即， 解得， 综上：当或或时，是等腰三角形， 故答案为： 或或． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“等边对等角”以及三角形内角和定理可得，再根据垂直的定义以及直角三角形两锐角互余即可解答； （2）如图：连接，根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 于， ， ． （2）解：如图：连接， ，为的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 16．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用等腰三角形的三线合一进行证明是解本题的关键． （1）证明，可得，再证明，即可得结论； （2）过作于，证明，可得，则，即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：过作于， ， ， 由（1）知，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 17．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过P点作交于Q，先证，再由证得，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）利用全等三角形的性质得，则，根据等腰三角形的性质得，进而可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过P点作交于Q， ∵点P和点F同时出发，且速度相同， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）证得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得是等边三角形，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， ， 由（1）得，， ， 在和中， ， ， ． 19．(1)9秒 (2)3秒 (3)能；12秒 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可； （3）根据证明 得，列式计算即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得， ∴点、同时运动9秒时，、两点重合； （2）解：设运动时间为秒， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形； （3）解：如图，∵， ∴，    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得：， 此时运动的时间为12秒． 20．(1) (2)成立，见解析 (3)①见解析，②50 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）①先根据等边三角形的性质可得，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； ②先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再设交于点，根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可得； （3）①设交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出；②然后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：结论仍然成立，证明如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴ （3）解：①如图3，设交于点， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴②四边形的面积为 ， 所以四边形的面积为50． 学科网（北京）股份有限公司 $