专题10不等式与不等式组寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固专练)2025-2026学年人教版七年级数学下册

.专题10不等式与不等式组寒假预习讲义(1) · 认识不等号，会用不等式表达数量关系，轻松区分不等式与等式； · 吃透不等式基本性质，精准完成变形，牢记乘除负数变号关键规则； · 快速识别一元一次不等式，牢牢掌握其标准形式； · 熟练搞定一元一次不等式求解步骤，规范书写解集不丢分； · 学会把简单实际问题转化为一元一次不等式，轻松解题落地知识。 预习必备 知识点梳理 1.不等式相关定义 2.不等式的基本性质 3.不等式解集的数轴表示方法 4.一元一次不等式的定义 5.解一元一次不等式的步骤 常考题型 精讲精炼 1.不等式的定义 2.不等式解集 3.不等式性质 4.一元一次不等式的概念 5.一元一次不等式的解法 6.一元一次不等式的整数解 7.数轴表示不等式解集 8.一元一次不等式的最值求解 9.一元一次不等式的列式思路 10.一元一次不等式的实际应用 11.一元一次不等式的几何应用 强化巩固 题型通关 (16题) 【知识点01.不等式相关定义】 1.不等式的定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子，叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的每一个值，叫做不等式的一个解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，解集是一个范围，而非单个值。 4.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 【知识点02.不等式的基本性质】 等式有3条基本性质，核心是性质3的符号变化，与等式性质不同， 需重点掌握： 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。 补充：不等式两边乘0，不等号变等号。 核心提醒：运用性质3时，两步必做——乘/除负数、改变不等号方向，缺一不可。 【知识点03.不等式解集的数轴表示方法】 画数轴前提数轴需包含原点、正方向、单位长度三要素。确定不等式对应方程的解，作为数轴上的界点。 【知识点04.一元一次不等式的定义】 1. 一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 关键词：一个未知数、次数1、整式、不等号，四者缺一不可。 2.最简形式：经过化简后，化为ax>b、ax<b、ax≥b、ax≤b（a≠0）的形式，核心是不等号一边只有含未知数的一次项，另一边只有常数项。 3.标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0（a≠0）。 【知识点05.解一元一次不等式的步骤】 解一元一次不等式共6步，核心注意：乘/除负数时变不等号方向： 1.去分母：同乘各分母最小公倍数，负公倍数变不等号方向； 2.去括号：遵循“正不变，负变号”，系数乘遍括号内项； 3.移项：含未知数项与常数项分边，移项要变号； 4.合并同类项：化为ax>b（或ax<b、ax≥b、ax≤b，a≠0）； 5.系数化为1：a>0不变号，a<0变不等号方向； 6.表示解集：用文字或数轴表示结果。 【题型1.不等式的定义】 【典例】“大于的倍”用不等式表示为： ． 【跟踪专练1】a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 【题型2.不等式解集】 【典例】已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有 （填序号）． 【跟踪专练2】下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.不等式性质】 【典例】将不等式“”化为“”的结果是 ． 【跟踪专练1】下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【跟踪专练2】实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则 （填“”“”或“”）． 【题型4.一元一次不等式的概念】 【典例】下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【跟踪专练2】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【题型5.一元一次不等式的解法】 【典例】不等式的解集是 ． 【跟踪专练1】关于x的不等式的解集为，则b的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【跟踪专练2】若关于x的不等式的解集为，则m的值为 ． 【题型6.一元一次不等式的整数解】 【典例】不等式的非负整数解的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练1】若关于x的不等式的负整数解有三个，则实数a满足的条件是 ． 【跟踪专练2】已知点，下列关于结论1,2判断正确的是（   ） 结论1：当时，点到轴的距离为2； 结论2：若点在轴的上方，且到轴的距离不大于，则这样的整数共有7个 A．结论1,2都对 B．结论1对，结论2错 C．结论1错，结论2对 D．结论1，2都错 【题型7.数轴表示不等式的解集】 【典例】如图，若未知数为，则数轴上所表示的不等式解集为 ． 【跟踪专练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ． 【题型8.一元一次不等式的最值求解】 【典例】若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【跟踪专练1】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【跟踪专练2】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【题型9.一元一次不等式的列式思路】 【典例】交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，表示车辆高度不超过，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某校规定期中考试成绩的和期末考试成绩的的和作为学生成绩总成绩．该校李红同学期中数学考了分，她希望自己这学期总成绩不低于分，她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末考试中数学考了x分，可列不等式 ． 【跟踪专练2】.用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（    ） 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/kg） 600 100 原料价格（元/kg） 8 4 A． B． C． D． 【题型10.一元一次不等式的实际应用】 【典例】如图，一套紫砂壶茶具包括把茶壶和只茶杯做把茶壶需要的泥料，做只茶杯需要的泥料现有泥料那么所做的茶具套数最多是 套 【跟踪专练1】今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长年后此树树围超过，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货物．现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，则大货车至少租 辆． 【题型11.一元一次不等式的几何应用】 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【跟踪专练1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【跟踪专练2】现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 1．下列式子属于不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 3．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的非负整数解是 ． 5．某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ． 6．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 8．当 时，有最小值，最小值是 ； 9．下列说法正确的是（    ） ①最小的整数是0；            ②数轴上表示数2和的点到原点的距离相等； ③当时，成立；    ④一定比a大． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解答题 10．如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 11．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 12．已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 13．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 14．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，并且后一个图形中“★”的个数是依照排列规律递增的，那么到第几个图形所用的“★”超过100个？ 15．某高速公路施工路段总长为90千米，若甲、乙两工程队合作，6个月可以完成．若甲工程队先做4个月，则剩下的部分乙工程队需要9个月可以完成． (1)求甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是多少千米； (2)按要求该工程需要在11个月内竣工．由甲工程队先做个月，剩下的部分由乙工程队来完成．为了保证该工程在要求工期内完成，则甲工程队至少做多少个月？ 16．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10不等式与不等式组寒假预习讲义(1) · 认识不等号，会用不等式表达数量关系，轻松区分不等式与等式； · 吃透不等式基本性质，精准完成变形，牢记乘除负数变号关键规则； · 快速识别一元一次不等式，牢牢掌握其标准形式； · 熟练搞定一元一次不等式求解步骤，规范书写解集不丢分； · 学会把简单实际问题转化为一元一次不等式，轻松解题落地知识。 预习必备 知识点梳理 1.不等式相关定义 2.不等式的基本性质 3.不等式解集的数轴表示方法 4.一元一次不等式的定义 5.解一元一次不等式的步骤 常考题型 精讲精炼 1.不等式的定义 2.不等式解集 3.不等式性质 4.一元一次不等式的概念 5.一元一次不等式的解法 6.一元一次不等式的整数解 7.数轴表示不等式解集 8.一元一次不等式的最值求解 9.一元一次不等式的列式思路 10.一元一次不等式的实际应用 11.一元一次不等式的几何应用 强化巩固 题型通关 (16题) 【知识点01.不等式相关定义】 1.不等式的定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子，叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的每一个值，叫做不等式的一个解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，解集是一个范围，而非单个值。 4.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 【知识点02.不等式的基本性质】 等式有3条基本性质，核心是性质3的符号变化，与等式性质不同， 需重点掌握： 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。 补充：不等式两边乘0，不等号变等号。 核心提醒：运用性质3时，两步必做——乘/除负数、改变不等号方向，缺一不可。 【知识点03.不等式解集的数轴表示方法】 画数轴前提数轴需包含原点、正方向、单位长度三要素。确定不等式对应方程的解，作为数轴上的界点。 【知识点04.一元一次不等式的定义】 1. 一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 关键词：一个未知数、次数1、整式、不等号，四者缺一不可。 2.最简形式：经过化简后，化为ax>b、ax<b、ax≥b、ax≤b（a≠0）的形式，核心是不等号一边只有含未知数的一次项，另一边只有常数项。 3.标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0（a≠0）。 【知识点05.解一元一次不等式的步骤】 解一元一次不等式共6步，核心注意：乘/除负数时变不等号方向： 1.去分母：同乘各分母最小公倍数，负公倍数变不等号方向； 2.去括号：遵循“正不变，负变号”，系数乘遍括号内项； 3.移项：含未知数项与常数项分边，移项要变号； 4.合并同类项：化为ax>b（或ax<b、ax≥b、ax≤b，a≠0）； 5.系数化为1：a>0不变号，a<0变不等号方向； 6.表示解集：用文字或数轴表示结果。 【题型1.不等式的定义】 【典例】“大于的倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【详解】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列不等式，掌握知识点是解题的关键． “平方差”指两个数的平方之差，即；“不小于”表示大于或等于，即大于或等于3，即可解答． 【详解】解：a与b的平方差不小于3，用不等式表示为． 故选C． 【跟踪专练2】小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 【答案】 15 7 【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键． （1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解； （2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解． 【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴， ∴在甲停车场停了8小时20分钟， ∴由表格得收费15元， 故答案为：15； （2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元； 若时，乙至少花费20元，不合题意； 若时，乙至少26元，不合题意， ∴小林停车时间最长为7小时， 故答案为：7． 【题型2.不等式解集】 【典例】已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 【跟踪专练1】下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 【题型3.不等式性质】 【典例】将不等式“”化为“”的结果是 ． 【答案】 【分析】将不等式两边同时减去6，利用不等式的基本性质，使左边变为，右边变为常数． 本题考查不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 故答案为： 【跟踪专练1】下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，重点关注不等号方向是否正确． 【详解】解：A、由，根据不等式的对称性，不等号方向应相反，得，而不是，不符合题意； B、由，，根据不等式的传递性，得，而不是，不符合题意； C、由，根据不等式的对称性，应得到，不符合题意； D、根据不等式的对称性，由可得，故该变形正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的传递性、以及在乘除正数时不等号方向不变的性质，同时注意恒为正数这一隐含条件． 【跟踪专练2】实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴判断字母的大小，不等式的性质．先求出a，b的大小，再不等式两边都除以即可． 【详解】由数轴可知，， 则， 两边都除以得，即． 故答案为：． 【题型4.一元一次不等式的概念】 【典例】下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．选项A是方程，选项B是代数式，选项C中未知数的次数为2，只有选项D满足条件． 【详解】解：∵ 一元一次不等式需满足：含一个未知数、未知数次数为1、且为不等式． 选项A：，是方程，不是不等式； 选项B：，是代数式，没有不等号； 选项C：，未知数x的次数为2，不是一次； 选项D：，含一个未知数x，x的次数为1，且为不等式． 故选：D． 【跟踪专练1】若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，先结合是关于的一元一次不等式，得出，故，再解得，即可作答． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 【题型5.一元一次不等式的解法】 【典例】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．通过移项即可解出不等式． 【详解】解： ， 两边同时加上 3， 得 ． 故答案为： ． 【跟踪专练1】关于x的不等式的解集为，则b的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集．解题的关键在于正确的解不等式．解一元一次不等式得，由关于x的不等式的解集为，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴解不等式得，即， ∴， 解得． 故选：A． 【跟踪专练2】若关于x的不等式的解集为，则m的值为 ． 【答案】－7 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与方程的应用，掌握解不等式得到解集表达式，与已知解集对比建立方程求参数是解题的关键． 通过解不等式得到关于的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解． 【详解】解：解不等式， 移项，合并同类项得， 两边同除以得． 由于解集为， 因此， ， ． 故答案为： 【题型6.一元一次不等式的整数解】 【典例】不等式的非负整数解的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式及整数解，先解一元一次不等式，再确定非负整数解的个数． 【详解】解：解不等式得， ， 非负整数解为、、、共4个， 故选：C． 【跟踪专练1】若关于x的不等式的负整数解有三个，则实数a满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的整数解，在解不等式时要根据不等式的基本性质． 根据不等式 的负整数解有三个，即负整数解为，通过分析a的取值范围，确保恰好这三个负整数解． 【详解】解：不等式的解集为所有大于或等于a的实数，负整数解有三个，即为， 由于是负整数解，因此，即， 又因为不能是负整数解（否则负整数解有四个），所以， 综上，实数a满足的条件是， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知点，下列关于结论1,2判断正确的是（   ） 结论1：当时，点到轴的距离为2； 结论2：若点在轴的上方，且到轴的距离不大于，则这样的整数共有7个 A．结论1,2都对 B．结论1对，结论2错 C．结论1错，结论2对 D．结论1，2都错 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特征、求不等式的解集，熟悉掌握点的特征是解题的关键． 分别验证结论1和结论2的正确性，结论1通过代入计算判断，结论2需结合点坐标的条件解不等式，确定整数解的个数即可． 【详解】结论1： 当时，点的坐标为，到轴的距离为纵坐标的绝对值，故结论1错误； 结论2： ∵点在轴上方，即纵坐标， ∴， ∵到轴的距离不大于，即横坐标的绝对值， ∴， 解得：， 结合，可得：， ∴整数的取值可为：，，，，，，共个，故结论2正确； 综上，结论1错误，结论2正确， 故选C． 【题型7.数轴表示不等式的解集】 【典例】如图，若未知数为，则数轴上所表示的不等式解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．熟练掌握不等式的解集在数轴上表示的方法是解题关键．用数轴表示不等式的解集时要“两定”：一定边界点，二定方向．在定边界点时，若符号是“”或“”，边界点为实心点；若符号是“”或“”，边界点为空心圆点．在定方向时，相对于边界点，“小于向左，大于向右”． 【详解】解：若未知数为，则数轴上所表示的不等式解集为， 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ． 在数轴上表示如下： ． 故选C． 【跟踪专练2】在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【题型8.一元一次不等式的最值求解】 【典例】若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 【跟踪专练1】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 【跟踪专练2】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9.一元一次不等式的列式思路】 【典例】交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，表示车辆高度不超过，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故C正确． 故选：C． 【跟踪专练1】某校规定期中考试成绩的和期末考试成绩的的和作为学生成绩总成绩．该校李红同学期中数学考了分，她希望自己这学期总成绩不低于分，她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末考试中数学考了x分，可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意、设出未知数、找出合适的不等关系是解题的关键．设她在期末考试中数学考了x分，则总成绩为：期中成绩+期末成绩，根据总成绩不低于分，列不等式即可． 【详解】解：设她在期末考试中数学考了x分， 由题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练2】.用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（    ） 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/kg） 600 100 原料价格（元/kg） 8 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解表格，会把文字语言转换为数学语言是解决问题的关键． 首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式． 【详解】解：若所需甲种原料的质量为，则需乙种原料． 根据题意，得． 故选：D． 【题型10.一元一次不等式的实际应用】 【典例】如图，一套紫砂壶茶具包括把茶壶和只茶杯做把茶壶需要的泥料，做只茶杯需要的泥料现有泥料那么所做的茶具套数最多是 套 【答案】8 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，理解题意并列出正确的不等式是解题的关键． 设所做的茶具套数为套，根据题意列得关于的不等式，解不等式并确定其最大整数解即可． 【详解】解：设所做的茶具套数为套， 由题意得， 解得： 那么它的最大整数解为， 即所做的茶具套数最多是套， 故答案为：． 【跟踪专练1】今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长年后此树树围超过，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据生长年后此树树围超过（即），即可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：∵ 初始树围为，每年增长， ∴ 年后树围为. 又∵ 树围超过（即）， ∴ ． 故选：A. 【跟踪专练2】有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货物．现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，则大货车至少租 辆． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，设每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货，根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货物列出方程组，解方程组可求出每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货；设租用大货车m辆，则租用小货车辆，根据一次运输货物不低于列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货， 由题意得， 解得， ∴每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货； 设租用大货车m辆，则租用小货车辆， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴m的最小值为4， ∴大货车至少租4辆， 故答案为：4． 【题型11.一元一次不等式的几何应用】 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 【跟踪专练1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 1．下列式子属于不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，对各式进行判断即可． 【详解】解：根据不等式定义判断，①②⑤为不等式， 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 3．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】、为整式，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，此选项符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式． 4．不等式的非负整数解是 ． 【答案】0、1、2、3 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的解法，以及不等式的非负整数解，掌握以上知识是解题的关键．先去括号，然后移项，合并同类项，再把系数化1，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴ 又∵不等式有非负整数解， 、1、2、3． 故答案为：0、1、2、3． 5．某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 6．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， . 故的取值范围是. 故选：D． 7．如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次方程，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 表示出不等式的解集，由数轴上表示的不等式解集确定出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 由数轴知， ∴， 解得， 故答案为：． 8．当 时，有最小值，最小值是 ； 【答案】 7 【分析】根据题意以及绝对值的非负性，再利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】当x>3时， 当时， =7； 当x<-4时， 当时，有最小值7． 故答案为：；7． 【点睛】本题考查了绝对值相关最值的求解，涉及不等式运算，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用分类讨论的数学思想解答． 9．下列说法正确的是（    ） ①最小的整数是0；            ②数轴上表示数2和的点到原点的距离相等； ③当时，成立；    ④一定比a大． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查整数的概念、数轴上点的距离、绝对值的性质以及不等式的性质．通过逐个判断每个说法的正确性，即可得出答案． 【详解】解：①∵整数包括负整数、0和正整数，且负整数均小于0， ∴不存在最小的整数，故①错误； ②∵数轴上点到原点的距离是该数的绝对值，且，， ∴距离相等，故②正确； ③∵当时，根据绝对值的性质，有，∴成立，故③正确； ④∵，∴恒成立，故④正确． 综上，正确的说法有②③④，共3个． 故选：C． 解答题 10．如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 【答案】见解析 【分析】本题考查根据数轴比较实数大小，建立不等式的能力，需结合点C的位置进行分类讨论． 【详解】解：当点C在点A的左边（不含点A）时，； 当点C与点A重合时，； 当点C在点A，B之间（不含端点A，B）时，； 当点C与点B重合时，； 当点C在点B的右边（不含点B）时，． 11．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 12．已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【答案】(1)-3 (2)，0 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集以及代数式求值，根据题意列出不等式组是解答本题的关键． （1）把代入整式计算即可； （2）根据题意可得不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得， 解得， 的非正整数值为，． 13．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 14．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，并且后一个图形中“★”的个数是依照排列规律递增的，那么到第几个图形所用的“★”超过100个？ 【答案】第34个图形所用的“★”超过100个 【分析】本题主要考查图形规律，不等式的运用，理解图示，找出数量关系是关键． 根据题意得到第一个图有“★”的数量是个，结合题意列不等式求解即可． 【详解】解：第一个图有“★”的数量是个， 第二个图有“★”的数量是个， 第三个图有“★”的数量是个， 第四个图有“★”的数量是个， ， ∴第个图有“★”的数量是个， ∴， 解得，， ∴第34个图形所用的“★”超过100个． 15．某高速公路施工路段总长为90千米，若甲、乙两工程队合作，6个月可以完成．若甲工程队先做4个月，则剩下的部分乙工程队需要9个月可以完成． (1)求甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是多少千米； (2)按要求该工程需要在11个月内竣工．由甲工程队先做个月，剩下的部分由乙工程队来完成．为了保证该工程在要求工期内完成，则甲工程队至少做多少个月？ 【答案】(1)9千米和6千米 (2)8个月 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式在工程问题中的应用，掌握根据工作量关系建立方程组，以及根据工期约束建立不等式的方法是解题的关键． （1）根据两队合作个月完成千米和甲先做个月、乙再做个月完成千米两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）设甲做个月，计算剩余工程量由乙完成所需时间，根据总工期不超过个月的约束列不等式，求解的最小值． 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是千米和千米， 由题意，得， 解得 答：甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是9千米和6千米． （2）解：由题意，得，解得， 的最小值为． 答：甲工程队至少做个月． `16．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴；. （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $