8.1 平方根 第二课时 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

8.1平方根(第二课时) 学习内容 一、知识讲解 问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少? 问题 2：填写下表： 平方根的概念 1 x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ± 3或－3 思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么? 思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点? 都有两个值，且这两个值互为相反数 x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ± 求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 例如：(±3)2 = 9， 3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根.　 根据所学内容回答“导入新课”问题3. 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根. (根据开平方求这个数，这个数并不唯一) 知识要点 平方与开平方互为逆运算. 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根 总结 互为逆运算 平方运算 开平方运算 平方根的性质 2 – 1 +1 +2 –2 +3 –3 1 4 9 平方 –1 + 1 +2 –2 +3 –3 1 4 9 开平方 32 = 9 (-3)2 = 9 02 = 0 (±3)2 = 9 02 = 0 思考1：观察以上内容你有什么发现? 思考3：0 的平方根是多少? 思考2：1，4，9， 的平方根是多少?它们有什么特点？ 思考4：－1，－4，－9，－ 的平方根是多少? 没有平方根 0 ±1，±2，±3，± 有两个平方根，且互为相反数 想一想 性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数； 性质2：0 的平方根是 0； 性质3：负数没有平方根. 概念 追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢? 知识要点 正数 a 的正的平方根记为“ ”， 读作“根号 a ”， a 叫作被开方数； 正数 a 的负的平方根记为“－ ”， 读作“负根号 a ” a 的平方根可记为 0 的平方根记为 只有当 a ≥ 0 时 才有意义. 而当a ＜ 0 时 无意义. 学习内容 二、典型例题与巩固训练 典例讲解 例1 求下列各数的平方根： (1) (2) (3) (4) 解(1)∵,∴的平方根是 (2)∵,∴的平方根是 (3)∵,∴的平方根是 (4)∵,∴的平方根是 注意：求一个数的平方根可将带分数化为假分数! 求下列各数的平方根: (1) ; (2) 62; (3) 0.49. 解： (2) 因为62=36 ，(±6)2=36，所以62的平方根是±6. (1) 因为 ，所以 的平方根是 . (3) 因为(±0.7)2=0.49，所以0.49的平方根是±0.7. 巩固练习 例2　求下列各式的值： 解：（1） ； （2） ； （3） . 典例讲解 解:（1） ； （2） ； 求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） . （3） . 巩固练习 例3.求下列各式中 x 的值: (1) x²=25； (2) 9x²=4；(3) (x－1)²=1. 解：(1) 因为(±5) 2 = 25 ，所以x =±5. (2) 9x2 = 4 可化简为 ，又因为 ， 所以 . (3) 因为(x－1) 2 = 1，则 x－1=±1， 所以x = 0 或 x = 2. 典例讲解 巩固练习 求下列各式中的值 (1) (2) 解(1)原式可变形为： ∵ ∴或 解(2)原式可变形为： ∵ ∴或 例4 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4， 求这个数． 解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4， 则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0， 解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数. 典例讲解 若与是数的平方根，求这个数 . 解：由题意可得当时， 解得： ∴的两个平方根分别和 ∴ 当时 解得： ∴是的平方根 ∴ 综上所述：这个数是或 巩固练习 学习内容 三、综合训练 1.计算下列式子 (1)________ (2)________ (3)________ (4)________ (5)_______ (6)_______ 当堂检测 2. 解方程 (1) (2) (3) (4) 解(1) (2)或 (3) (4) 3.已知的平方根是，的平方根是，求的平方根 解：由题意可得 解得： ∴ 4.若与是的平方根，求与这个数 . 解：由题意可得当时， 解得： ∴的两个平方根分别和 ∴ 当时 解得： ∴是的平方根 ∴ 综上所述：当时，；当时， 学习内容 四、课堂小结 小结梳理 平方根 平方根的概念 平方根的表示方法 如果，那么叫做的平方根 的平方根 表示的正的平方根 表示的负的平方根 学习内容 五、课堂检测 检测反馈 　 1.16的平方根是 (　　) A.4 B.±4 C.8 D.±8 解析:求一个数的平方根,可根据平方根的定义:如果x2=a,那么x就叫做a的平方根,利用平方与开平方互为逆运算的关系进行求解.因为(±4)2=16,所以16的平方根是±4.故选B. B　 　 2.下列说法中不正确的是 (　　) A.- 是2的平方根 B. 是2的平方根 C.2的平方根是 D.2的算术平方根是 解析:因为(± )2=2,所以2的平方根是± ,2的算术平方根是 .故选C. C　 3.平方根等于它本身的数是　　　　.  0　 解析:根据平方根的定义即可求出平方根等于它本身的数.因为02=0,所以0的平方根是0,所以平方根等于它本身的数是0.故填0. 谢 谢 31 $