福建省福州市2025-2026学年九年级上学期期末（中考一模）数学试题

(在此卷上答题无效) 2025一2026学年第一学期福州市九年级适应性练习 数学 本练习卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120 分钟，满分150分. 注意事项： 1.答题前，学生务必在本练习卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名 等信息.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与 学生本人准考证号、姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练匀卷上答题 无效. 0、 3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用05毫米黑色墨水签字笔描黑， 4.结束时，学生必须将本练习卷和答题卡一并交回. 第卷 一、选择题（本题共0小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有项是符合题目要求的) 1.在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗 活动的重要组成部分.下列剪纸图案中可以看成中心对称图形的是 B 2.方程x2-2x=0的解是 A.x=x2=0 B.x=x2=2 C.x1=0,x2=2 D.x=-2,x2=0 九年级数学第1页（共8页） 3.将二次函数y=x2的图象向上平移1个单位长度，得到的新图象的顶点坐标是 A.(0,-1) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,0) 4.某质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1到6的点数，掷该骰子一次，观察向 上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是 A.向上一面的点数是偶数 B.向上一面的点数大于4 C.向上一面的点数是质数 D.向上一面的点数是1 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P位于第一象限，且在反比例函数y=2 (x>0)的图象上.过点P作x轴垂线，垂足为Q,则△OPO的面积是 A.2 B.1 C.2 D.4 6.如图，用放大镜从正上方观察一个三角形.当放大镜位于某一位置时，观察到 的三角形的各边长度均为原三角形的3倍，则此时放大镜中观察到的三角形的 面积与原三角形的面积的比值是 A.3 B.4 C.6 D.9 7.中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是 园林造景的点睛之笔.如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭一追昔亭，该亭 的基座平面可近似看作半径为2m的正六边形，则此正六边形的面积是 A.33m2 B.6m2 c.65m2 D.12m2 九年级数学第2页（共8页) 8.如图，在足球比赛中，从A,B,C,D四个位置向球门PQ射门，其中，点P, Q,B,C在⊙O上，点A在⊙0外，点D在⊙O内.设射门角度为射门位置与 球门两端P,Q所连线段的夹角，则射门角度最大的位置是 A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 9.某市2023年的GDP约为1.3万亿元，2025年预计达到1.5万亿元，且2025年 的增长率比2024年提高0.5%.设2024年的增长率为x,则下列方程中符合题 意的是 A.1.3(1+x)1+x+0.5%)=1.5 B.1.31+x+0.5%)2=1.5 C.1.3x(x+0.5%)=1.5 D.1.3(1+x)2=1.5 10.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0以的图象经过四个象限，则下列判断一定正 确的是 A.ab<0 B.ab0 州数高 C.ac0 D.ac0 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上作 答，答案无效， 2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.已知反比例函数y=上的图象经过点(1，-2)，则k的 值是 12.若关于x的方程x2+bx+c=0的一个根是x=1,则b+c 的值是 13.如图，△ABC内接于半径为2的圆，若∠BAC=90°，则 BC的长是 14.如图，某时钟的分针长为6cm,且该分针匀速转一周需 要60min,则经过10min,该分针扫过的面积是 15.在一个不透明的袋子中有4个完全相同的小球，分别标记为A,B,C,D.进 行摸球试验时，需要从该袋中摸球两次，每次随机摸取一个小球.甲同学按照 某一规则，用下表正确地列举出了所有可能出现的结果.则该规则中，第一次 摸取的小球在第二次摸球时是否仍在该袋中： (填“是”或“否”). 第一次 第二次 B D A (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) 16.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，AB=2, BC=2,CD=m,P为线段BC上的一动点，连接PA, 将线段PA绕点P顺时针旋转90得到线段PE.若点P 在线段BC上由点B向点C运动时，PE与CD的交点总 在线段CD上，则m的最小值是 九年级数学第4页（共8页） 三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分8分) 解方程：x2=2x+1. 18.(本小题满分8分) 如图，在△ABC中，D,E分别是AB和AC上的点，且 DE∥BC.若AD=3,DB=2,DE=4,求BC的长 19.（本小题满分8分) 已知a,6,c为实数，且总=号.求证：关于x的方程ar2+bx+c=0没有实数根。 20.(本小题满分8分) 如图，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B. 点C在以A,B为端点的优弧上，且不与点A,B重合， 连接CA,CB.若∠APB=50°，求∠ACB的大小. 21.（本小题满分8分) 某校学生会计划开展一场活动，为了解本校学生对参加该活动的意愿，从该校随 机调查了100位学生对该活动的参加意愿，统计结果如下表（单位：人）： 参加意愿 初中生 高中生 愿意 40 20 不愿意 20 20 (1)若从该校全体初中生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的 概率； (2)若该校共有初中生2400人，高中生1800人，现从该校全体学生中随机 抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率。 九年级数学第5页（共8页） 22.(本小题满分10分) 某标准篮球场中，篮筐中心A到地面的距离AB=3.05米.小明在篮筐正前方， 且与篮筐中心水平距离为4.5米的点C处练习投篮，基本上能保持篮球被投出 时，球心位于点C正上方的点D处，且CD=2米.在某一次投篮中，篮球抛 出后，当球心与点C的水平距离CE=3米时，篮球到达最高点F,此时球心到 地面的距离EF=3.62米，且点B,C,E在同一条直线上.以BC所在直线为x 轴，取向右为正方向. (1)补全平面直角坐标系（其中，y轴取向上为正方向)，并求在该坐标系下篮 球球心运动轨迹对应的抛物线的解析式： (2)投篮时，若篮球在入筐过程中未与篮筐和篮板任何部位发生接触，且其球 心的运动轨迹恰好经过篮筐中心A,则称此次投篮为一次“完美进球”.通 过计算判断小明此次投篮是否为“完美进球”. ”恳州守产 如图，在△ABC中，AD是中线 (1)将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AEF,其中E是点B的对应点，点D 的对应点G恰好落在CB的延长线上，请用无刻度直尺与圆规作出旋转后 的△AEF(保留作图痕迹，不写作法)： (2)在（1)的条件下，连接EB,FB,若∠EBF=90°，求∠ABC的大小 D 24.（本小题满分12分) 【问题背景】 在日常生活中，我们有可能注意到一个很有趣的问题，那就是当你闭上眼 睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线.当走的距离足够远时，就 有可能像某些小说里所描述的一样，迷路的主人公在林子里走着走着又回到了 原来出发的地方，这就是著名的闭眼打转问题 经研究发现，产生这一现象的原因是由于人自身两条腿在作怪：长年累月 养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长出一段 微不足道的距离，而正是这一段很小的步差，使得闭眼走路走出了个大圈子！ 【问题解决】 如图1，可将某人闭眼走路时两脚的踏线及其运动路线近 似地看作三个同心圆，圆心为O,半径分别是OA,OB,OC (点A,C在OB上)，且CA=CB.其中，以OA,OB为半 径的圆分别表示此人内脚与外脚的踏线，记内、外脚踏线间 图1 距离AB长为d(单位：米)，以OC为半径的圆表示此人闭眼 行走时身体重心所形成的运动路线，记OC长为y(单位：米： 如图2，在闭眼行进的过程中，内脚相邻两次落点闻的距 离（近似为AA的长）定义为内脚步张，记为“（单位：米）： A2 外脚相邻两次落点间的距离（近似为BB,的长）定义为外脚 步长，记为b(单位：米；外脚步长与内脚步长的差定义为 B 步差，记为x(单位：米).内、外脚步数指整个运动过程中 A 内、外脚各自的落地次数.由于该情境下整体行走路程较长， 近似认为内、外脚的步数相同. 如图3，在正常行进过程中，每一次迈步时两脚之间距离 图2 的平均数定义为平均步长，记为1（单位：米）.在确保安全 的情况下，此人闭眼行进时的平均步长与正常行进时的平均 平均步长1 步长基本一致，故在OC为半径的圆上两脚各迈一次行进的距 离约为内、外脚步长的平均数（可以近似地用口+b表示平均 4 0 步长). 图3 (1)判断AA,与BB,所对的圆心角大小是否相等，并说明理由： (2)求y的表达式（用含x,d,1的代数式表示）： (3)若某同学两脚踏线间距离d约为0.1米，平均步长1约为0.7米.若在多 次试验中发现他闭眼打转的半径y不超过500米，求该同学的步差至少为 多少毫米？ 九年级数学第7页（共8页） 25.(本小题满分14分) 如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连接BO并延长交AC于点D.点E在AB 上，连接ED并延长分别交⊙O与BC的延长线于点F,G,且∠G=∠ABE. H为BF的中点，连接EH分别交BA,BD,BC于点M,P,N. (1)求证：BE=DE; (2)求证：MW为△ABC的中位线； 3)求船的值， E 都器数管野2025一2026学年第一学期福州市九年级适应性练习 数学答案及评分标准 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果学生的解法与本解答不同，可根据习题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则， 2.对于计算题，当学生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一 半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3.解答右端所注分数，表示学生正确做到这一步应得的累加分数， 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分， 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分) 1.D 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 7.C 8.D 9.A 10.C 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11.-2 12.-1 13.4 14.6πcm2 15.否 16.号 三、解答题（本题共9小题，共86分.） 17.(本小题满分8分) 解：移项，得x2-2x=1.… …2分 配方，得x2-2x+12=1+12, …4分 (-1)2=2,…5分 X-1=t万，…7分 X,=1十√2，X,=l-√2…8分 18.(本小题满分8分) 解：，DE∥BC, .△ADE∽△ABC, …2分 AD=DE AB BC …4分 ,AD=3,DB=2, AB=AD+DB=5.… …5分 DE=4, D 品 …………6分 BC=20. …8分 3 19.(本小题满分8分) 证明：八=￡， .a≠0，b≠0，b2=a0,… 3分 ∴.关于x的方程ax2+b.x+c=0为一元二次方程. △=b2-400… …4分 =b2-4b2=-3b2.…6分 九年级数学答案及评分标准第1页（共5页） .b2>0, .-3b2<0, 即△<0，…7分 .关于x的方程代2+br+C=0没有实数根.…8分 20.(本小题满分8分) 解：连接OA,OB. ,PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B, .OA⊥PA,OB⊥PB, ∴.∠OAP=∠OBP=90° …3分 ,∠APB=50°，四边形的内角和为360°， P ∴.在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=130° …5分 R AB=AB, ∠ACB=1∠AOB, …7分 .∠ACB=65°. …8分 21.(本小题满分8分) 解：（1)由表格数据可知，随机调查的初中生共有40+20=60人，…1分 其中，愿意参加该活动的有40人，…2分 若从该校全体初中生中随机抽取1位， 由频率估计概率可得，这位初中生愿意参加该活动的概率约为40=？ …4分 6031 (2)由样本估计总体得， 该校初中生中愿意参加该活动的有2400×，40，。=1600人， …5分 40+20 该校高中生中愿意参加该活动的有180×2022090人 …6分 若从该中学的全体学生中随机抽取1位学生， 由频率估计概率可得， 这位学生愿意参加该活动的概率约为1600+900=2500-25 …8分 2400+1800420042 22.(本小题满分10分) 解：(1)如图所示，以射线CD方向为y轴正方向建立平面直角坐标系xCy. …1分 C E 当球心与点C的水平距离CE=3米时，篮球到达最高点F, 此时球心到地面的距离EF=3.62米， .该抛物线的顶点坐标为（3,3.62)，…2分 设该抛物线的解析式为y=a(x-3)+3.62.…3分 篮球被投出时，球心位于点C正上方的点D处，且CD=2米， .该抛物线经过点D(0,2).… …4分 将D(0,2)代入y=a(x-3)2+3.62, 得9a+3.62=2,… …5分 解得a=0.18, ∴.该抛物线的解析式为y=0.18(x-3)2+3.62.… …6分 九年级数学答案及评分标准第2页（共5页） (2)小明在篮筐正前方，且与篮筐中心水平距离为4.5米的点C处练习投篮， 且篮筐中心A到地面的距离AB=3.05米， .点A的坐标是(4.5,3.05).……7分 将x=4.5代入y=-0.18(x-3)2+3.62, 得y=-0.18x1.52+3.62=-18×9+362=362×4-18×9=1286=3.215,…9分 1004100 400 400 .该抛物线不经过点A, 故小明此次投篮不是“完美进球”.… …10分 23.(本小题满分10分) (1) 作法 作法二 D …4分 如图所示，△AEF即为所求作的三角形.…5分 (2)解：连接AG. ,△ABC绕点A顺时针旋转得到△AEF, ∴.△ABC≌△AEF,… ……6分 ∴.BC=EF. ,AD为△ABC的中线，点D的对应点G恰好在CB的延长线上， :.BD=TBC 9 G为EF的中点， …7分 AD=AG. ,∠EBF=90°， D C BG, …8分 BG=BD.... …9分 即AB为△ADG的中线， .∴AB⊥DG, ∠ABC=90°.…10分 24.(本小题满分12分) 解：（1)AA,与B,B2所对的圆心角大小相等.…2分 理由如下：，当整体行走路程较长时，近似认为内、外脚的步数相同， '.不妨设闭眼走一圈内、外脚的步数为， 则A4所对的圆心角是360°，BB,所对的圆心角是360° …4分 ∴.AA,与B,B2所对的圆心角大小相等. (2),CA=CB,AB=d,OC=y,且点A,C在OB上， ∴内脚踏线的半径OA=y-号，外脚踏线的半径OB=y+号 …5分 2 ,2π(y-d) ∴闭眼绕行一圈，内脚步数为 2, 20y+ 外脚步数为 …6分 b 内、外脚的步数相同， 九年级数学答案及评分标准第3页（共5页） 2πy-92πy+) 6 …7分 化简得功-受=a+受 2 即yb-a)=d(a+) 2 x=b-a,1=atb 4 .'yx=2dl, 即y=2dl …8分 (3)d=0.1,1=0.7, y=014 …9分 ,0<y≤500,0.14>0， x>0. 当y=500时，由50=014得x=2500 …10分 对于函数y=014,当x>0时，x越大，y越小…11分 ”2500米=028毫米 .若该同学闭眼打转的半径y不超过500米，则他的步差至少为0.28毫米.…12分 25.(本小题满分14分) 证明：(1)等边三角形ABC内接于⊙O, .BA=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，…1分 点O在AC的垂直平分线上， ∴.BO LAC, ∴.BD平分∠ABC, 即∠ABD=∠CBD.…2分 ,'∠EDB=∠CBD+∠G,∠EBD=∠ABD+∠ABE,∠G=∠ABE, ∠EDB=∠EBD,… …3分 .BE=DE. …4分 (2),H为BF的中点 BH=FH,…5分 ∴.∠BEH=∠FEH .BE=DE, EH垂直平分BD, …6分 ∴.BP=DP,∠BPE=90°. E .BD LAC, ∴.∠BDA=90°， ∴.∠BDA=∠BPE, .EH∥AC, G……7分 “张器那-1 H ∴.BM=AM,BN=CN, 即M,N分别为BA,BC中点， .N为△ABC的中位线.… …8分 解：(3)连接BH. .'OB⊥EH, .'BE=BH,PE=PH,PM=PN, ,∠BAE=∠BEH, 九年级数学答案及评分标准第4页（共5页） BE=BH,……9分 EM=W.…l0分 设N=EM=a,BM=b, ∴.MN=b, ∴.M=a+b D .BE=BE,AH=AH, .∠EAB=∠EHB,∠AEH=∠ABH, ∴，△AE∽△HBM, C G…11分 .EM=AM=AF …12分 BM HM HB 治6 整理得份+号-1=0， 解得名-51， -2 …13分 器器g- 2 …14分 九年级数学答案及评分标准第5页（共5页）