微专题5　电磁感应中的动量问题【精讲精练】-2026届高三物理二轮复习题型突破（新高考通用）

该高中物理讲义聚焦电磁感应与动量结合的高考核心考点，按动量定理（单杆切割）和动量守恒（双杆模型）分题型构建知识体系，通过考点梳理（表格归纳物理量求解方法）、方法指导（动力学/能量/动量观点分析）、真题训练（2025年湖南、重庆等卷实例）及分层练习（基础、巩固、大题策略），系统帮助学生突破变加速运动等难点。 特色在于专题化建模教学，如双杆模型中“一动一静”与两杆运动的模型建构，培养科学思维与模型建构能力。真题分类精讲配合分层练习，确保高效复习，提升学生综合应用动量观点解决复杂电磁感应问题的能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

微专题5　电磁感应中的动量问题 题型1　动量定理在电磁感应中的应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 在导体单杆切割磁感线做变加速运动时，若牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙解决问题。 求解的物理量 应用示例 电荷量或速度 －BLΔt＝mv2－mv1，q＝Δt，即－BqL＝mv2－mv1 位移 ＝0－mv0，即－＝0－mv0 时间 －BLΔt＋F其他Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q、F其他(F其他为恒力) －＋F其他Δt＝mv2－mv1，即－＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知位移x、F其他(F其他为恒力) (多选)(2025·湖南卷)如图，关于x轴对称的光滑导轨固定在水平面内，导轨形状为抛物线，顶点位于O点。一足够长的金属杆初始位置与y轴重合，金属杆的质量为m，单位长度的电阻为r0。整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。现给金属杆一沿x轴正方向的初速度v0，金属杆运动过程中始终与y轴平行，且与电阻不计的导轨接触良好。下列说法正确的是(　　) A．金属杆沿x轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y轴负方向 B．金属杆可以在沿x轴正方向的恒力作用下做匀速直线运动 C．金属杆停止运动时，与导轨围成的面积为 D．若金属杆的初速度减半，则金属杆停止运动时经过的距离小于原来的一半 【答案】　AC 【解析】　根据右手定则可知金属杆沿x轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y轴负方向，A正确；若金属杆可以在沿x轴正方向的恒力F作用下做匀速直线运动，可知F＝F安＝BIL，I＝＝＝可得F＝，由于金属杆运动过程中接入导轨中的长度L在变化，故F在变化，B错误；取一微小时间Δt内，设此时金属杆接入导轨中的长度为L′，根据动量定理有－BI′L′Δt＝－BL′q′＝mΔv，同时有q＝·Δt＝＝，联立得－＝mΔv，对从开始到金属杆停止运动时整个过程累积可得－＝0－mv0，解得此时金属杆与导轨围成的面积为S＝，C正确；若金属杆的初速度减半，根据前面分析可知当金属杆停止运动时金属杆与导轨围成的面积为S′＝S，根据抛物线的图像规律可知此时金属杆停止运动时经过的距离大于原来的一半，D错误。故选AC。 (多选)(2025·重庆卷)如图1所示，小明设计的一种玩具小车由边长为d的正方形金属框efgh做成，小车沿平直绝缘轨道向右运动，轨道内交替分布有边长均为d的正方形匀强磁场和无磁场区域，磁场区域的磁感应强度大小为B，方向竖直向上。gh段在磁场区域运动时，受到水平向右的拉力F＝kv＋b(k>0，b>0)，且gh两端的电压随时间均匀增加；当gh在无磁场区域运动时，F＝0。gh段速度大小v与运动路程s的关系如图2所示，图中v0为gh每次经过磁场区域左边界时速度大小，忽略摩擦力。则(　　) A．gh在任一磁场区域的运动时间为 B．金属框的总电阻为 C．小车质量为 D．小车的最大速率为＋v0 【答案】　BC 【解析】　由题知gh两端的电压随时间均匀增加，则说明gh在磁场中运动时做匀变速直线运动，设运动的速度为v有E＝Bdv，I＝，F安＝BId，F－F安＝ma，联立有kv＋b－＝ma，由于gh在磁场中运动时做匀变速直线运动，则有kv＝，ma＝b，解得R＝，B正确；gh在无磁场区域运动时，F＝0，根据动量定理有－＝mv0－mvmax，gh在磁场中运动时做匀变速直线运动有v－v＝2ad，结合ma＝b解得m＝，vmax＝－v0，C正确，D错误；由于gh在磁场中运动时做匀变速直线运动，则有vmax＝v0＋at，解得t＝，A错误。故选BC。 题型2　动量守恒定律在电磁感应中的应用 双杆模型 物理 模型 “一动一静”：甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件——甲杆静止，受力平衡 两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减；系统动量是否守恒 分析 方法 动力学 观点 通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动 能量观点 两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和 动量观点 对于两金属杆在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两金属杆所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题 (2024·湖北卷)如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放。 (1)求ab刚越过MP时产生的感应电动势大小； (2)求圆环刚开始运动时的加速度大小； (3)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。 【审题指导】　 关键信息 破题关键 建构模型 质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上 确定圆环哪部分接入电路 电路结构模型 忽略所有摩擦以及圆环可能的形变 动量守恒定律和动量定理的应用 碰撞模型 【答案】　(1)BL　(2)　(3) 【解析】　(1)由题意知，ab由静止释放到刚越过MP过程中，由动能定理有 mgL＝mv 解得v0＝ 则ab刚越过MP时产生的感应电动势大小为E＝BLv0＝BL。 (2)根据题意可知，圆环在导轨间两段圆弧并联接入回路中，轨道外侧的两段圆弧被短路，由几何关系可得，接入回路中每段圆弧的电阻为R0＝×6R＝R 整个回路的总电阻为R总＝R＋＝R ab刚越过MP时，通过ab的感应电流为I＝＝ 对圆环，由牛顿第二定律有2BL·＝2ma 解得a＝。 (3)根据题意，结合上述分析可知，圆环和ab所受的安培力等大反向，则圆环和ab组成的系统动量守恒，圆环做加速运动，ab做减速运动，为使ab在整个运动过程中不与圆环接触，则当ab和圆环速度相等时，ab恰好追上圆环，设此时速度为v，由动量守恒定律有 mv0＝mv＋2mv 对ab，由动量定理有－BLt＝mv－mv0 即－BLq＝mv－mv0 设ab运动的距离为x1，圆环运动的距离为x2，则有q＝ 联立解得Δx＝x1－x2＝ 则圆环圆心初始位置到MP的最小距离为d＝L＋Δx＝。 (2025·河北卷)某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供1 000 A的恒定电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝缘的无人机。初始时a静止于MM′处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当a运行至NN′时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动能，a与b分离。已知电容器电容C为10 F，导轨间距为0.5 m，磁感应强度大小为1 T，MM′到NN′的距离为5 m，a、b质量分别为2 kg、8 kg，a在导轨间的电阻为0.01 Ω。碰撞、分离时间极短，各部分始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。 (1)若分离后某时刻a的速度大小为10 m/s，求此时通过a的电流大小； (2)忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初始间距为1.25 m时，求b分离后的速度大小，分析其是否为b能够获得的最大速度；并求a运动过程中电容器的电压减小量； (3)忽略a所受空气阻力，若b所受空气阻力大小与其速度v的关系为f＝kv2(k＝0.025 N·s2/m2)，初始位置与(2)问一致，试估算a运行至NN′时。a分离前的速度大小能否达到(2)问中分离前速度的99%，并给出结论。(0.992＝0.980 1) 【答案】　(1)500 A　(2)vb1＝25 m/s　是　ΔU＝40 V　(3)能 【解析】　(1)分离后a切割磁感线有E＝BLv 则通过a的电流I＝ 解得I＝500 A。 (2)规定水平向右为正方向，a从MM′处运动至静止位置过程中由安培力提供加速度，超级电容器为电路提供恒定电流，则a的加速度恒定，有BIL＝ma1，ab间初始距离x1＝a1t，碰撞前a的速度为v1＝a1t1，解得a1＝250 m/s2，t1＝0.1 s，v1＝25 m/s。a与b碰撞过程系统动量守恒mav1＝(ma＋mb)v2储存的弹性势能为Ep＝mav－(ma＋mb)v，解得v2＝5 m/s，Ep＝500 J。a、b碰后一起运动至NN′过程中，x2＝5 m－1.25 m＝3.75 m，由安培力提供加速度，有BIL＝(ma＋mb)a2，位移x2＝v2t2＋a2t，分离前速度为v3＝v2＋a2t2，解得a2＝50 m/s2，t2＝0.3 s，v3＝20 m/s，a与b分离过程，由动量守恒定律有(ma＋mb)v3＝mav4＋mbv5，由能量守恒定律有(ma＋mb)v＋Ep＝mav＋mbv，解得v4＝0，v5＝25 m/s，在整个过程中安培力大小恒定，做正功，若a、b分离时a的速度为零，则此时b能获得最大速度，最大速度为25 m/s。上述过程中通过导体棒a的电荷量q＝I(t1＋t2)＝400 C，a运动过程中电容器的电压减小量ΔU＝＝40 V。 (3)b受f＝kv2(k＝0.025 N·s2/m2)的空气阻力后，a与b整体从MM′到NN′的过程中有(BI0L－kv2)＝(ma＋mb)a，a＝v 求解出v共2＝ m/s 则≈99.05% a分离前的速度大小能达到(2)问中分离前速度的99%。 【基础必刷题】 1．(2025·广西卷)如图，两条固定的光滑平行金属导轨，所在平面与水平面夹角为θ，间距为l，导轨电阻忽略不计，两端各接一个阻值为2R的定值电阻，形成闭合回路；质量为m的金属棒垂直导轨放置，并与导轨接触良好，接入导轨之间的电阻为R；劲度系数为k的两个完全相同的绝缘轻质弹簧与导轨平行，一端固定，另一端均与金属棒中间位置相连，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep＝kx2；将金属棒移至导轨中间位置时，两弹簧刚好处于原长状态；整个装置处于垂直导轨所在平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。将金属棒从导轨中间位置向上移动距离a后静止释放，金属棒沿导轨向下运动到最远处，用时为t，最远处与导轨中间位置距离为b，弹簧形变始终在弹性限度内。此过程中(　　) A．金属棒所受安培力冲量大小为 B．每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为＋ C．每个定值电阻产生的热量为＋ D．金属棒的平均输出功率为 【答案】　D 【解析】　根据I安＝BlΔt＝Blq，而q＝Δt＝＝，R总＝＋R＝2R，解得I安＝，A错误；该过程中由动量定理2I弹－I安＋mgsin θ·t＝0，解得每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为I弹＝I安－mgtsin θ＝－mgtsin θ，B错误；由能量关系可知回路产生的总热量Q＝mgsin θ(a＋b)＋2×ka2－2×kb2，每个定值电阻产生的热量为Q1＝Q＝＋k(a2－b2)，C错误；金属棒的平均输出功率＝＝，D正确。 2．(多选)(2025·浙江卷)如图1所示，在平面内存在一以O为圆心、半径为r的圆形区域，其中存在一方向垂直平面的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化如图2所示，周期为3t0。变化的磁场在空间产生感生电场，电场线为一系列以O为圆心的同心圆，在同一电场线上，电场强度大小相同。在同一平面内，有以O为圆心的半径为2r的导电圆环Ⅰ，与磁场边界相切的半径为0.5r的导电圆环Ⅱ，电阻均为R，圆心O对圆环Ⅱ上P、Q两点的张角φ＝30°；另有一可视为无限长的直导线CD。导电圆环间绝缘，且不计相互影响，则(　　) A．圆环Ⅰ中电流的有效值为 B．t＝1.5t0时刻直导线CD电动势为πr2 C．t＝0.5t0时刻圆环Ⅱ中电流为 D．t＝0.5t0时刻圆环Ⅱ上PQ间电动势为πr2 【答案】　BD 【解析】　由题图可知，在0～t0内和2t0～3t0内圆环Ⅰ中的电流大小均为I1＝，在t0～2t0内圆环Ⅰ中的电流大小为I2＝，设圆环Ⅰ中电流的有效值为I，根据有效值定义可得I2R·3t0＝IR·2t0＋IRt0，联立解得I＝，A错误；设右侧有一与无限长的直导线CD对称的无限长的直导线C′D′与CD构成回路，则t＝1.5t0时刻，CD、C′D′回路产生的总电动势为E总＝πr2·，根据对称性可知t＝1.5t0时刻直导线CD电动势为πr2，B正确；由于圆环Ⅱ处于磁场外部，通过圆环Ⅱ的磁通量一直为0，所以圆环Ⅱ不会产生感应电流，则t＝0.5t0时刻圆环Ⅱ中电流为0，C错误；以O点为圆心，过P、Q两点的圆轨道，在t＝0.5t0时刻产生的电动势为E＝πr2，则P、Q两点间圆弧的电动势为E′＝E＝πr2，由于P、Q两点间圆弧与圆环Ⅱ上PQ构成回路不会产生感应电流，则圆环Ⅱ上PQ间电动势为πr2，D正确。故选BD。 3．(2025·陕晋青宁卷)如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于2L的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为2L，宽均为L，电阻分别为R和2R。两线框在光滑水平面上以相同初速度v0＝并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则(　　) A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为1∶1 C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为4∶3 【答案】　D 【解析】　根据楞次定律，甲线框进磁场的过程电流方向为顺时针，出磁场的过程中电流方向为逆时针，A错误；甲线框刚进磁场区域时，合力为F安1＝BI1L，I1＝，乙线框刚进磁场区域时，合力为F安2＝BI2L，I2＝可知＝2，B错误；假设甲、乙都能完全出磁场，对甲根据动量定理有－BLΔt＝mv1－mv0，q1＝Δt＝·Δt＝＝，同理对乙有－BLΔt′＝mv2－mv0，q2＝Δt′＝·Δt′＝＝，解得v1＝0，v2＝v0＝，故甲恰好完全出磁场区域，乙完全出磁场区域时，速度大小不为0，C错误；由能量守恒可知甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热分别为Q1＝mv，Q2＝mv－m2＝mv，即＝，D正确。 【巩固必刷题】 4．(2025·安徽卷)如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好(发射前导体棒与导轨不接触)，不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 【答案】　(1)　(2)　(3)，n＝1,2,3，… 【解析】　(1)第1根导体棒刚进入磁场时产生的感应电动势为E＝BLv0 则此时回路的电流为I＝ 此时导体棒受到的安培力F安＝BIL 此时导体棒受安培力的功率P＝F安v0＝。 (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，根据动量定理有－BL·Δt＝0－mv0 其中·Δt＝q 解得q＝。 (3)由于每根导体棒均以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，则根据能量守恒，每根导体棒进入磁场后产生的总热量均为Q＝mv 第1根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量QR1＝·Q 第2根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量QR2＝··Q 第3根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量QR3＝··Q 第n根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量QRn＝··Q 则从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量QR＝QR1＋QR2＋QR3＋…＋QRn 通过分式分解和观察数列的“望远镜求和”性质，得出QR＝·Q＝，n＝1,2,3，…。 5．(2025·河南濮阳期末)如图1所示，间距为L＝1 m、电阻不计的足够长光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左侧连接有阻值为R＝8 Ω的定值电阻，金属棒垂直放置在导轨上，金属棒接入电路的电阻为r＝2 Ω，金属棒的质量m＝0.4 kg，整个导轨处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B＝2 T。金属棒在水平向右的恒定拉力F作用下，从静止开始运动，经2.4 s达到最大速度，金属棒运动的v－t图像如图2所示，求： (1)外力F的大小； (2)0～2.4 s内电阻R上产生的焦耳热； (3)若施加的力F为变力，当金属棒的速度达到v0时撤去外力，金属棒整个运动过程中的速度v与运动的位移x关系如图3所示，求整个过程中电阻R上产生的焦耳热(结果用题中和图3中物理量符号L、R、r、B、v0、s表示)。 【答案】　(1)2 N　(2)7.2 J　(3) 【解析】　(1)棒切割磁感线时产生的感应电动势为E＝BLv 当外力F等于安培力时，速度最大则有F＝F安＝BIL，I＝ 解得F＝＝2 N。 (2)以导体棒为研究对象，由动量定理得(F－BL)t＝mv 其中＝ 又＝＝，q＝t＝ 解得x＝7 m 由能量转化和守恒定律得Fx－Q＝mv2 得Q＝9 J 电阻R产生的热量QR＝Q＝7.2 J。 (3)由v－x图像可知，整个过程克服安培力做功W安＝∑·Δx 而∑vΔx表示所围面积 故有∑vΔx＝v0s 整个过程克服安培力做功W安＝ 电阻R上产生的热量为QR＝W安＝。 6．(2025·海南卷)间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相接，导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角θ＝30°，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B，两相同导体棒ab、cd与水平导轨的动摩擦因数μ＝0.25，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均m，接入电路中的电阻均为R，cd棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重力加速度为g。 (1)锁定水平导轨上的cd棒，闭合开关，ab棒静止在倾斜导轨上，求通过ab棒的电流；断开开关，同时解除cd棒的锁定，当ab棒下滑距离为x0时，cd棒开始运动，求cd棒从解除锁定到开始运动过程中，cd棒产生的焦耳热； (2)此后ab棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时ab、cd棒的速度大小之差； (3)ab棒中电流稳定之后继续下滑，从ab棒到达水平导轨开始计时，t1时刻cd棒速度为零，加速度不为零，此后某时刻，cd棒的加速度为零，速度不为零，求从t1时刻到某时刻，ab、cd的路程之差。 【答案】　(1)　mgx0－　(2)　(3) 【解析】　(1)ab棒静止在倾斜导轨上，根据平衡条件可得F安＝mgsin 30°，F安ab＝BIabL 解得通过ab棒的电流为Iab＝ 设当ab棒下滑距离为x0时速度为v0，cd棒开始运动时回路中的电流为I1，此时对cd棒有F安cd＝μmg 同时有F安cd＝BI1L，I1＝ 分析可知cd棒从解除锁定到开始运动过程中，cd棒产生的焦耳热与ab棒产生的焦耳热相等，整个过程根据能量守恒可得mgx0sin 30°－mv＝2Qcd 联立解得cd棒产生的焦耳热为Qcd＝mgx0－。 (2)分析可知ab棒在下滑过程中产生的电动势与cd棒在向左运动的过程中产生的电动势方向相反，故当电流达到稳定时，两棒的速度差恒定，故可知此时两棒的加速度相等，由于两棒受到的安培力大小相等，对两棒有mgsin 30°－F安＝ma，F安－μmg＝ma 同时有F安＝BIL，I＝＝ 联立解得此时ab、cd棒的速度大小之差为Δv＝。 (3)分析可知从开始到t1时刻，两棒整体所受的合外力为零，故该过程系统动量守恒，设t1时刻ab棒的速度为v1′，可知mΔv＝mv1′ 解得v1′＝Δv＝ 设某时刻时，ab棒速度为v1″，cd棒速度为vcd，cd棒的加速度为零，可得F安cd2＝μmg① 其中F安cd2＝BI2L 分析可知此时两导体棒产生的电动势方向相反，可得I2＝② 从t1时刻到某时刻间，对两棒分别根据动量定理有－(μmg＋BL)Δt＝mv1″－mv1′，(BL－μmg)Δt＝mvcd 变式可得μmgΔt＋BLq＝mv1′－mv1″，BLq－μmgΔt＝mvcd 两式相加得2BLq＝mv1′－m(v1″－vcd)③ 同时有q＝Δt＝·Δt＝＝④ 联立①②③④可得从t1到某时刻，ab、cd的路程之差为Δs＝。 大题增分策略　电路与电磁感应 (2024·四川内江市零模)如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFHG矩形区域内有一方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，EF、GH的距离为s。在t＝0时刻，两金属棒a、b分别以大小相同的速率v0，分别从磁场的边界EF、GH进入磁场。经过一段时间后，其中有一棒恰好停在磁场边界处，且在这个过程中，金属棒a、b没有相碰，相距最近时b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b是由相同材料制成，长度均为L，电阻分别为R和2R，a棒的质量为2m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。求： (1)在t＝0时刻b棒的加速度大小； (2)两棒在整个过程中相距最近的距离； (3)在整个过程中，b棒产生的焦耳热。 【审题指导】　 关键表述 关键表述解读 已知金属棒a、b是由相同材料制成，长度均为L，电阻分别为R和2R，a棒的质量为2m 电阻率相同，由电阻定律R＝ρ可得横截面积关系，密度相同，从而求出b棒的质量 两金属棒a、b分别以大小相同的速率v0，分别从磁场的边界EF、GH进入磁场 可求回路的电动势→回路的电流→b棒所受的安培力→加速度 光滑平行金属导轨，相距最近时b棒仍位于磁场区域内 金属棒a、b组成的系统动量守恒，速度相等时距离最近，可求共速时的速度，由动量定理可得两棒的距离变化 经过一段时间后，其中有一棒恰好停在磁场边界处，求在整个过程中，b棒产生的焦耳热 一金属棒先出磁场后继续匀速运动，另一金属棒切割磁感线减速运动至停至磁场边界，利用能量守恒定律求生成的总热量，再进行热量分配求得b棒生成的热量 【答案】　(1)　(2)　(3)mv 【解析】　(1)根据电阻定律有Ra＝R＝ρ，Rb＝2R＝ρ 可得Sa＝2Sb 根据ma＝2m＝ρ′LSa，mb＝ρ′LSb 可得mb＝ma＝m a进入磁场的速度方向向右，b的速度方向向左，根据右手定则可知，a产生的感应电流方向是E到F，b产生的感应电流方向是H到G，即两个感应电流方向相同，所以流过a、b的感应电流是两个感应电流之和，则有E＝2BLv0，I＝ 对于b，根据牛顿第二定律有BIL＝mba 联立解得在t＝0时刻b棒的加速度大小为a＝。 (2)取向右为正方向，相距最近时，两棒具有相同速度，根据系统动量守恒有2mv0－mv0＝(2m＋m)v 解得v＝ 此时，电路中感应电流为0，a、b棒一起向右匀速运动，直到b棒出磁场区域，之后b棒不受安培力、a棒受安培力减速直到停下；从b棒出磁场区域到a棒刚好停止磁场边界处， 对a棒运用动量定理得－BLΔt＝0－2mv 又q＝Δt＝Δt＝Δt＝＝ 联立解得两棒在整个过程中相距最近的距离为Δs＝。 (3)对a、b组成的系统，最终b棒一直做匀速直线运动，根据能量守恒定律有mv＝mv2＋Q总 对a、b，根据焦耳定律有Q＝I2RΔt 因a、b流过的电流一直相等，所用时间相同，故a、b产生的热量与电阻成正比，即Qa∶Qb＝1∶2 又Qa＋Qb＝Q总 联立解得b棒产生的焦耳热为Qb＝mv。 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题5　电磁感应中的动量问题 题型1　动量定理在电磁感应中的应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 在导体单杆切割磁感线做变加速运动时，若牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙解决问题。 求解的物理量 应用示例 电荷量或速度 －BLΔt＝mv2－mv1，q＝Δt，即－BqL＝mv2－mv1 位移 ＝0－mv0，即－＝0－mv0 时间 －BLΔt＋F其他Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q、F其他(F其他为恒力) －＋F其他Δt＝mv2－mv1，即－＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知位移x、F其他(F其他为恒力) (多选)(2025·湖南卷)如图，关于x轴对称的光滑导轨固定在水平面内，导轨形状为抛物线，顶点位于O点。一足够长的金属杆初始位置与y轴重合，金属杆的质量为m，单位长度的电阻为r0。整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。现给金属杆一沿x轴正方向的初速度v0，金属杆运动过程中始终与y轴平行，且与电阻不计的导轨接触良好。下列说法正确的是(　　) A．金属杆沿x轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y轴负方向 B．金属杆可以在沿x轴正方向的恒力作用下做匀速直线运动 C．金属杆停止运动时，与导轨围成的面积为 D．若金属杆的初速度减半，则金属杆停止运动时经过的距离小于原来的一半 (多选)(2025·重庆卷)如图1所示，小明设计的一种玩具小车由边长为d的正方形金属框efgh做成，小车沿平直绝缘轨道向右运动，轨道内交替分布有边长均为d的正方形匀强磁场和无磁场区域，磁场区域的磁感应强度大小为B，方向竖直向上。gh段在磁场区域运动时，受到水平向右的拉力F＝kv＋b(k>0，b>0)，且gh两端的电压随时间均匀增加；当gh在无磁场区域运动时，F＝0。gh段速度大小v与运动路程s的关系如图2所示，图中v0为gh每次经过磁场区域左边界时速度大小，忽略摩擦力。则(　　) A．gh在任一磁场区域的运动时间为 B．金属框的总电阻为 C．小车质量为 D．小车的最大速率为＋v0 题型2　动量守恒定律在电磁感应中的应用 双杆模型 物理 模型 “一动一静”：甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件——甲杆静止，受力平衡 两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减；系统动量是否守恒 分析 方法 动力学 观点 通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动 能量观点 两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和 动量观点 对于两金属杆在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两金属杆所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题 (2024·湖北卷)如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放。 (1)求ab刚越过MP时产生的感应电动势大小； (2)求圆环刚开始运动时的加速度大小； (3)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。 (2025·河北卷)某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供1 000 A的恒定电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝缘的无人机。初始时a静止于MM′处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当a运行至NN′时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动能，a与b分离。已知电容器电容C为10 F，导轨间距为0.5 m，磁感应强度大小为1 T，MM′到NN′的距离为5 m，a、b质量分别为2 kg、8 kg，a在导轨间的电阻为0.01 Ω。碰撞、分离时间极短，各部分始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。 (1)若分离后某时刻a的速度大小为10 m/s，求此时通过a的电流大小； (2)忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初始间距为1.25 m时，求b分离后的速度大小，分析其是否为b能够获得的最大速度；并求a运动过程中电容器的电压减小量； (3)忽略a所受空气阻力，若b所受空气阻力大小与其速度v的关系为f＝kv2(k＝0.025 N·s2/m2)，初始位置与(2)问一致，试估算a运行至NN′时。a分离前的速度大小能否达到(2)问中分离前速度的99%，并给出结论。(0.992＝0.980 1) 【基础必刷题】 1．(2025·广西卷)如图，两条固定的光滑平行金属导轨，所在平面与水平面夹角为θ，间距为l，导轨电阻忽略不计，两端各接一个阻值为2R的定值电阻，形成闭合回路；质量为m的金属棒垂直导轨放置，并与导轨接触良好，接入导轨之间的电阻为R；劲度系数为k的两个完全相同的绝缘轻质弹簧与导轨平行，一端固定，另一端均与金属棒中间位置相连，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep＝kx2；将金属棒移至导轨中间位置时，两弹簧刚好处于原长状态；整个装置处于垂直导轨所在平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。将金属棒从导轨中间位置向上移动距离a后静止释放，金属棒沿导轨向下运动到最远处，用时为t，最远处与导轨中间位置距离为b，弹簧形变始终在弹性限度内。此过程中(　　) A．金属棒所受安培力冲量大小为 B．每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为＋ C．每个定值电阻产生的热量为＋ D．金属棒的平均输出功率为 2．(多选)(2025·浙江卷)如图1所示，在平面内存在一以O为圆心、半径为r的圆形区域，其中存在一方向垂直平面的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化如图2所示，周期为3t0。变化的磁场在空间产生感生电场，电场线为一系列以O为圆心的同心圆，在同一电场线上，电场强度大小相同。在同一平面内，有以O为圆心的半径为2r的导电圆环Ⅰ，与磁场边界相切的半径为0.5r的导电圆环Ⅱ，电阻均为R，圆心O对圆环Ⅱ上P、Q两点的张角φ＝30°；另有一可视为无限长的直导线CD。导电圆环间绝缘，且不计相互影响，则(　　) A．圆环Ⅰ中电流的有效值为 B．t＝1.5t0时刻直导线CD电动势为πr2 C．t＝0.5t0时刻圆环Ⅱ中电流为 D．t＝0.5t0时刻圆环Ⅱ上PQ间电动势为πr2 3．(2025·陕晋青宁卷)如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于2L的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为2L，宽均为L，电阻分别为R和2R。两线框在光滑水平面上以相同初速度v0＝并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则(　　) A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为1∶1 C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为4∶3 【巩固必刷题】 4．(2025·安徽卷)如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好(发射前导体棒与导轨不接触)，不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 5．(2025·河南濮阳期末)如图1所示，间距为L＝1 m、电阻不计的足够长光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左侧连接有阻值为R＝8 Ω的定值电阻，金属棒垂直放置在导轨上，金属棒接入电路的电阻为r＝2 Ω，金属棒的质量m＝0.4 kg，整个导轨处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B＝2 T。金属棒在水平向右的恒定拉力F作用下，从静止开始运动，经2.4 s达到最大速度，金属棒运动的v－t图像如图2所示，求： (1)外力F的大小； (2)0～2.4 s内电阻R上产生的焦耳热； (3)若施加的力F为变力，当金属棒的速度达到v0时撤去外力，金属棒整个运动过程中的速度v与运动的位移x关系如图3所示，求整个过程中电阻R上产生的焦耳热(结果用题中和图3中物理量符号L、R、r、B、v0、s表示)。 6．(2025·海南卷)间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相接，导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角θ＝30°，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B，两相同导体棒ab、cd与水平导轨的动摩擦因数μ＝0.25，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均m，接入电路中的电阻均为R，cd棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重力加速度为g。 (1)锁定水平导轨上的cd棒，闭合开关，ab棒静止在倾斜导轨上，求通过ab棒的电流；断开开关，同时解除cd棒的锁定，当ab棒下滑距离为x0时，cd棒开始运动，求cd棒从解除锁定到开始运动过程中，cd棒产生的焦耳热； (2)此后ab棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时ab、cd棒的速度大小之差； (3)ab棒中电流稳定之后继续下滑，从ab棒到达水平导轨开始计时，t1时刻cd棒速度为零，加速度不为零，此后某时刻，cd棒的加速度为零，速度不为零，求从t1时刻到某时刻，ab、cd的路程之差。 大题增分策略　电路与电磁感应 (2024·四川内江市零模)如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFHG矩形区域内有一方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，EF、GH的距离为s。在t＝0时刻，两金属棒a、b分别以大小相同的速率v0，分别从磁场的边界EF、GH进入磁场。经过一段时间后，其中有一棒恰好停在磁场边界处，且在这个过程中，金属棒a、b没有相碰，相距最近时b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b是由相同材料制成，长度均为L，电阻分别为R和2R，a棒的质量为2m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。求： (1)在t＝0时刻b棒的加速度大小； (2)两棒在整个过程中相距最近的距离； (3)在整个过程中，b棒产生的焦耳热。 学科网（北京）股份有限公司 $