第二单元 圆柱和圆锥（易错思维训练）数学苏教版六年级下册

第二单元 圆柱和圆锥（易错思维训练） 1．一个长方体仓库从里面量长26m，宽8m，高6m。仓库最多可以放（    ）个底面半径是1.5m、高是3m的圆柱形油桶。 A．46 B．40 C．32 D．31 2．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动。冰球一般是用硬橡胶制成的圆柱体，厚为2.54cm，直径为7.62cm，重156g∼170g。如果将3个这样的冰球拼在一起，表面积比原来减少了（    ）cm²。 A．3.14×（7.62÷2）2×2.54 B．3.14×7.62×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×7.62×6 3．一个圆柱形木块，如果削成一个最大的圆锥（如图①），体积减少了25.12cm3；如果平行于底面切成三段（如图②），表面积增加50.24cm2；如果沿底面直径竖直切成四块（如图③），表面积增加（    ）cm2。 A．24 B．32 C．16 D．48 4．如下图，以长方形的长作底面周长，宽作高分别围成一个长方体、正方体和圆柱，再分别给它们配上两个底面。它们的体积相比，结果是（    ）。 A．长方体的体积最大 B．正方体的体积最大 C．圆柱的体积最大 D．它们的体积一样大 5．如图，圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装（    ）升水。 A．20 B．80 C．40 D．70 6．如图1是一个底面半径为r高为h的圆柱展开图，老师在如图1的基础上把两个底面剪拼成长方形，与侧面的展开图拼接在一起如图2，根据这样的过程，下面哪个算式是计算这个圆柱的表面积。（    ） A．2πr（h＋2r） B．πr（h＋2r） C．2πr（h＋r） D．πr（2h＋r） 7．一个圆柱的高扩大到原来的4倍，底面半径缩小到原来的，那么现在这个圆柱的体积（    ）。 A．与原来相比不变 B．是原来体积的2倍 C．是原来体积的4倍 D．是原来体积的 8．一张长8厘米，宽5厘米的长方形卡片，如果以它的宽为轴旋转一周，可得到一个立体图形，这个立体图形的体积是（      ）立方厘米。 A．320π B．200π C．400π D．80π 9．如图，把直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的圆锥体积最大是( )cm3。 10．把一个横截面是正方形的长方体木料切削成一个体积最大的圆柱体，此圆柱体的表面积是175.84平方厘米，底面直径与高的比是，原长方体的表面积是( )平方厘米。 11．冰冰和明明将两个体积相等的铁块，分别浸没在高度相等的甲、乙两个圆柱体水杯中，两铁块全部浸入水中，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升了5厘米，甲乙两个水杯的容积之比是 。 12．有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的( )。 13．如图，一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器，当把这个容器倒过来时，圆锥的顶点到液面的距离是( )厘米。 14．生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米，打结处绳子的长度不计。    (1)捆扎3个圆柱管一圈需要( )厘米长的绳子。 (2)捆扎n个圆柱管一圈需要( )厘米长的绳子。 15．给一个底面周长18.84厘米，高15厘米的圆柱形玻璃水杯做一个长方体包装纸盒，拼接处按50平方厘米计算，该包装盒至少需要( )平方厘米的硬纸板。 16．如图，将长方形的铁皮沿虚线剪开，正好可以焊接成一个无盖的水桶（接头处忽略不计），这个水桶的容积是( )升。 17．如图，把一根圆柱木料沿底面直径平均锯成两半。求这半个圆柱木料的表面积与体积。 18．在“飞夺独木桥”勇士大通关游戏环节中，有一根长1m、横截面直径是20cm的木头浮在水面上，它正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方厘米？ 19．王叔叔要制作一个模型，他拿来一个棱长是4dm的正方体铁块，选择其中一个面，从正中间打一个直径为2dm的圆孔，一直穿透到对面（如下图）。为了防止生锈，王叔叔要把这个模型与空气接触的表面都喷上油漆。需喷油漆的面积是多少平方分米？ 20．在实践活动课上，老师要求把完全一样的圆柱形橡皮泥平均切成两块，且切成的不是圆柱。下面是乐乐和园园按要求切完后的形状，原来圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 21．一个底面是正方形的容器里（如图1所示）装着水，从里面量底面边长是14厘米，水的高度8厘米，把一个铁质实心圆锥直立在容器里（如图2所示）后，水的高度上升到了12厘米，刚好没过圆锥高的，圆锥的底面积是多少？ 22．为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 23．一个底面周长是62.8厘米的圆柱形玻璃容器里盛有一些水，恰好是容器容积的。将一个玻璃球放入容器，全部没入水中，这时水面上升6厘米，正好与容器口相平，这个玻璃容器的容积是多少？（容器壁的厚度忽略不计） 24．把一根长4分米，宽4分米，高6分米的长方体木料，削成一个最大的圆柱，削去部分的体积是多少立方分米？ 25．把一根高30厘米，底面直径12厘米的圆柱形木料沿底面直径和高平均剖成两块，其中一块木料的表面积和体积各是多少？ 26．星期天，小强和小青玩橡皮泥，他们各拿了一个底面半径4厘米，高10厘米的圆柱体形橡皮泥，然后将圆柱体的橡皮泥平均切成两块完全相同的部分（如图所示）。谁的切法面积增加得多？多多少？ 27．如图，有两个边长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块四个。先往A盒中注满水，再把A盒的水倒入B盒里，使B盒也注满水，问现在A盒中余下的水是多少。 28．下图是一个圆柱与一个圆锥合在一起做成的水箱，开始时是空的。然后往里以180升/时的速度注水。（取3） （1）如果水箱的厚度忽略不计，这个水箱的容积是多少？ （2）多长时间可以把水箱注满？ （3）下面哪幅图能表示随着时间变化，水面高度的变化过程？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆柱和圆锥（易错思维训练） 1．一个长方体仓库从里面量长26m，宽8m，高6m。仓库最多可以放（    ）个底面半径是1.5m、高是3m的圆柱形油桶。 A．46 B．40 C．32 D．31 【答案】C 【分析】先计算圆柱形油桶的底面直径，再分别确定仓库底面长，宽方向能摆放的油桶数量，以及高度方向能摆放的层数，最后计算总数量。 圆柱形油桶的底面是圆形，已知半径为1.5米，根据直径与半径的关系：直径＝半径×2，可求出底面直径，即米；仓库底面长为26米，油桶底面直径为3米，用仓库长度除以油桶底面直径，商即为长方向可摆放的数量（余数部分不够再放一个，舍去）即 （个）（米），取整数部分为8个； 仓库底面宽为8米，油桶底面直径为3米，用仓库宽度除以油桶底面直径，商即为宽方向可摆放的数量（余数部分不够再放一个，舍去）即（个）（米），取整数部分为2个； 油桶竖放，其高度为3米，仓库高度为6米，用仓库高度除以油桶高度，得到可摆放的层数，即（层）；再计算每层可摆放的油桶数量等于长方向摆放数量乘以宽方向摆放数量，即（个），最后计算总数量等于每层摆放数量乘以层数，即（个），据此解答。 【解答】由分析可知，一个长方体仓库从里面量长26m，宽8m，高6m。仓库最多可以放32个底面半径是1.5m、高是3m的圆柱形油桶。 故答案为：C 【点睛】分别确定仓库底面长，宽方向能摆放的油桶数量，以及高度方向能摆放的层数，是解题的关键。 2．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动。冰球一般是用硬橡胶制成的圆柱体，厚为2.54cm，直径为7.62cm，重156g∼170g。如果将3个这样的冰球拼在一起，表面积比原来减少了（    ）cm²。 A．3.14×（7.62÷2）2×2.54 B．3.14×7.62×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×7.62×6 【答案】C 【分析】根据题意可知，把3个同样的冰球重叠在一起，表面积比原来减少了4个底面的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】直径为7.62cm，底面圆的面积为， 把3个同样的冰球重叠在一起，表面积比原来减少了4个底面的面积，即。 故答案为：C 【点睛】此题考查的是理解掌握圆柱表面积的意义及应用，圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。 3．一个圆柱形木块，如果削成一个最大的圆锥（如图①），体积减少了25.12cm3；如果平行于底面切成三段（如图②），表面积增加50.24cm2；如果沿底面直径竖直切成四块（如图③），表面积增加（    ）cm2。 A．24 B．32 C．16 D．48 【答案】D 【分析】一个圆柱形木块，如果削成一个最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，圆锥体积是圆柱的，减少的体积是圆柱的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用25.12除以可得圆柱体积；如果平行于底面切成三段（如图②），表面积增加50.24cm2，增加的是4个圆柱的底面积，用50.24除以4可得圆柱的底面积，根据圆的面积公式的逆运算，用底面积除以圆周率，得到半径的平方，从而推算出半径，再用圆柱体积除以底面积可得圆柱的高； 如果沿底面直径竖直切成四块（如图③），表面积增加4个面积相等的长方形，长方形的一条边是圆柱的底面直径，另一条边是高，根据长方形的面积公式求出一个长方形的面积再乘4即可。 【解答】 （cm3） （cm2） （cm2） （cm2） 一个圆柱形木块，如果削成一个最大的圆锥（如图①），体积减少了25.12cm3；如果平行于底面切成三段（如图②），表面积增加50.24cm2；如果沿底面直径竖直切成四块（如图③），表面积增加48cm2。 故答案为：D 【点睛】关键要分析清楚，减少的体积与圆柱的关系，表面积增加的是什么图形，与圆柱的关系。 4．如下图，以长方形的长作底面周长，宽作高分别围成一个长方体、正方体和圆柱，再分别给它们配上两个底面。它们的体积相比，结果是（    ）。 A．长方体的体积最大 B．正方体的体积最大 C．圆柱的体积最大 D．它们的体积一样大 【答案】C 【分析】根据题意，比较长方体、正方体和圆柱的体积大小，需依据它们各自的体积公式，结合底面周长与高的关联来进行。首先，明确长方体体积公式为V长＝S长底×h，其中S长底是长方体的底面积，h是高；正方体体积公式为V正＝S正底×h，S正底是正方体的底面积，h是高；圆柱体积公式为V柱＝S柱底×h，S柱底是圆柱的底面积，h是高。因为这三个立体图形都是由同一张长方形纸围成，且宽作为高，所以它们的高h是相等的。同时，长方形的长作为底面周长，所以三个立体图形的底面周长C也相等。接下来比较底面积，在周长相等的情况下，圆的面积最大。而正方形是特殊的长方形，在周长相等时正方形的面积大于长方形的面积，所以圆柱的底面积S柱底大于正方体的底面积S正底，正方体的底面积S正底又大于长方体的底面积S长底，即S柱底＞S正底＞S长底。最后，由于三个立体图形的高h相同，根据体积公式，当高相等时，底面积越大，体积就越大。据此解答。 【解答】体积公式：长方体体积公式V长＝S长底×h，其中S长底是长方体的底面积，h是高。正方体体积公式V正＝S正底×h，其中S正底是正方体的底面积，h是高。圆柱体积公式V柱＝S柱底×h，其中S柱底是圆柱的底面积，h是高。 体积比较：由于三个图形的高h相同，根据体积公式，底面积越大，体积越大，所以V柱＞V正＞V长。 故答案为：C 【点睛】本题关键在于利用周长相等时圆的面积最大这一性质，结合体积公式来比较三者体积大小。 5．如图，圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装（    ）升水。 A．20 B．80 C．40 D．70 【答案】D 【分析】本题涉及圆锥体积公式V＝πr2h，通过分析水的圆锥和整个圆锥容器的底面半径、高的关系，求出体积倍数关系，进而计算容器还能装的水量。设圆锥容器的底面半径为R，高为h，则水形成的小圆锥的底面半径为，高为。分别计算水的体积和容器的体积，求出体积倍数关系，再用容器体积减去水的体积得到还能装的水量。 【解答】（1）计算水的体积V水 设圆锥容器底面半径为R，高为h，水形成的小圆锥面积底面半径r＝，高h水＝。 根据圆锥体积公式V＝πr2h，水的体积： V水＝π（）2×＝π××＝πR2h （2）计算容器的体积V容 容器体积：V容＝πR2h （3）求体积倍数关系 V容÷V水＝πR2h÷πR2h＝8，即容器体积是水的体积的8倍。 （4）计算还能装的水量： 已知水有10升，容器体积为10×8＝80（升），所以这个容器还能装80－10＝70（升）。 故答案为：D 【点睛】解决本题的关键是利用圆锥体积公式，结合水的圆锥和容器圆锥的高、底面半径的比例关系，求出体积倍数，进而算出还能装的水量。要注意理解相似圆锥（水形成的圆锥和容器圆锥）的半径、高的比例对体积的影响。 6．如图1是一个底面半径为r高为h的圆柱展开图，老师在如图1的基础上把两个底面剪拼成长方形，与侧面的展开图拼接在一起如图2，根据这样的过程，下面哪个算式是计算这个圆柱的表面积。（    ） A．2πr（h＋2r） B．πr（h＋2r） C．2πr（h＋r） D．πr（2h＋r） 【答案】C 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。再根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。由图1转化为图2，这个大长方形的长等于圆的周长，宽等于圆柱的高加上半径。根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。 【解答】图2中大长方形的长是2πr，宽是（h＋r）， 大长方形的面积是2πr×（h＋r）。 故答案为：C。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，圆面积公式的推导过程及应用，长方形面积公式的灵活运用。 7．一个圆柱的高扩大到原来的4倍，底面半径缩小到原来的，那么现在这个圆柱的体积（    ）。 A．与原来相比不变 B．是原来体积的2倍 C．是原来体积的4倍 D．是原来体积的 【答案】A 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，半径缩小到原来的，那么底面积就会缩小到原来的，根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大几倍（或缩小到原来的几分之一）积就扩大几倍（或缩小到原来的几分之一），据此解答。 【解答】解：设圆柱的高为h.底面半径为r。 则圆柱的体积： 变化后的体积： 故答案为：A 【点睛】此题考查了圆柱的体积公式与积的变化规律的综合应用。 8．一张长8厘米，宽5厘米的长方形卡片，如果以它的宽为轴旋转一周，可得到一个立体图形，这个立体图形的体积是（      ）立方厘米。 A．320π B．200π C．400π D．80π 【答案】A 【分析】一个长方形绕着宽为轴旋转一周，可以得到一个底面半径为8厘米，高为5厘米的圆柱体，由此利用圆柱的体积公式即可解答。 【解答】 ＝ ＝（立方厘米） 故答案为：A 【点睛】从一个长方形绕着其中一边旋转一周，可以得到一个圆柱体入手，进而求其体积。 9．如图，把直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的圆锥体积最大是( )cm3。 【答案】50.24 【分析】先确定直角三角形的两条直角边长度：在直角三角形中直角边小于斜边，所以直角边是3厘米和4厘米，再分别以两条直角边为轴旋转得到两个圆锥，根据圆锥体积公式：，计算两个圆锥的体积，比较后得出最大体积；据此解答。 【解答】当以3cm直角边为轴旋转时，得到的圆锥的高为3cm ，底面半径为另一条直角边4cm，圆锥的体积为：      （cm） 当以4cm直角边为轴旋转时，得到的圆锥的高为4cm ，底面半径为另一条直角边3cm， 圆锥体积为：       （cm） 把直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的圆锥体积最大是50.24cm3。 【点睛】本题是考查将一个简单图形旋转一定的度数变成圆锥，意在训练学生的观察能力和空间想象能力。 10．把一个横截面是正方形的长方体木料切削成一个体积最大的圆柱体，此圆柱体的表面积是175.84平方厘米，底面直径与高的比是，原长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】224 【分析】长方体木料切削成一个最大的圆柱，则这个圆柱的底面直径等于横截面的边长，圆柱的高等于长方体的高，由此设长方体的横截面的边长为x厘米，则长方体的高为3x厘米，根据圆柱的表面积＝可得关于x的方程，求得x2的值再利用长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2进行解答。 【解答】解：设长方体的横截面的边长为x厘米，则长方体的高为3x厘米，则最大圆柱的底面直径是x厘米，高是3x厘米，所以： 3.14××2＋3.14×x×3x＝175.84 6.28×＋9.42x2＝175.84 1.57x2＋9.42 x2＝175.84 10.99 x2＝175.84 10.99 x2÷10.99＝175.84÷10.99 x2＝16 则长方体的表面积： （3x×x＋3x×x＋x×x）×2 ＝（3x2＋3x2＋x2）×2 ＝7 x2×2 ＝14 x2 ＝14×16 ＝224（平方厘米） 所以，原长方体的表面积是224平方厘米。 【点睛】长方体的横截面的边长为x厘米，即圆的直径也是x厘米，再通过底面直径与高的比是，得到长方体的高为3x厘米，最后根据圆柱的表面积公式、长方体的表面积公式求解即可。 11．冰冰和明明将两个体积相等的铁块，分别浸没在高度相等的甲、乙两个圆柱体水杯中，两铁块全部浸入水中，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升了5厘米，甲乙两个水杯的容积之比是 。 【答案】5∶3 【分析】由于这两个铁块体积相同，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升5厘米，设甲水杯的底面积（内）为S，则乙水杯的底面积（内）为S，再设甲、乙水杯高为h。根据圆柱的体积计算公式“V＝Sh”，分别求出甲、乙两个水杯的容积，再根据比的意义，即可写出甲、乙两个水杯的容积，再化成最简整数比。 【解答】解：设甲水杯的底面积（内）为S，则乙水杯的底面积（内）为S、乙水杯高为h。 Sh∶Sh ＝1： ＝（1×5）：（×5） ＝5∶3 答：甲、乙两个水杯的容积比是5∶3。 【点睛】这道题难点主要构建出甲乙两杯底面积的关系，根据圆柱体积的应用及比的基本性质化简。 12．有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的( )。 【答案】 【分析】设圆柱的底面半径是1，则圆柱的高是1×3＝3，分成的两个圆柱，增加两个底面面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积。代入数据，求出两个圆柱的面积和；再根据大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，进而求出小圆柱的表面积和大圆柱的表面积，进而求出小圆柱的高和大圆柱的高，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出小圆柱的体积和大圆柱的体积，再用小圆柱的体积÷大圆柱的体积，即可解答。 【解答】设圆柱的底面半径是1，则圆柱的高是1×3＝3。 两个圆柱的表面积： π×12×2＋π×2×3＋π×12×2 ＝π×2＋2π×3＋π×2 ＝2π＋6π＋2π ＝10π 大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，即大圆柱表面积∶小圆柱表面积＝3∶1；即把大圆柱表面积与小圆柱表面积的和分成了：3＋1＝4（份） 小圆柱表面积： 10π÷4×1 ＝2.5π×1 ＝2.5π 大圆柱表面积：10π－2.5π＝7.5π 小圆柱的高： （2.5π－π×12×2）÷（π×1×2） ＝（2.5π－2π）÷2π ＝0.5π÷2π ＝0.25 大圆柱的高：3－0.25＝2.75 （π×12×0.25）÷（π×12×2.75） ＝0.25π÷2.75π ＝0.25÷2.75 ＝ 有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的。 【点睛】根据大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍，表示出大圆柱体的高与小圆柱体的高是解答此题的关键。 13．如图，一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器，当把这个容器倒过来时，圆锥的顶点到液面的距离是( )厘米。 【答案】11 【分析】根据等底等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱的3倍，所以上面圆锥的体积可转化成等底但高为6÷3＝2（厘米）的圆柱，再用7－2＝5（厘米），即可求出倒过来后圆柱水柱的高度，再用5＋6＝11（厘米），即可求出圆锥的顶点到液面的距离。 【解答】由分析可知： 6÷3＝2（厘米） 7－2＝5（厘米） 5＋6＝11（厘米） 所以圆锥的顶点到液面的距离是11厘米。 【点睛】本题考查等底等体积的圆柱和圆锥的高的关系，学生需熟练掌握。 14．生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米，打结处绳子的长度不计。    (1)捆扎3个圆柱管一圈需要( )厘米长的绳子。 (2)捆扎n个圆柱管一圈需要( )厘米长的绳子。 【答案】(1)57.12 (2)（9.12＋16n） 【分析】（1）通过观察图形可知，捆1个圆柱管时，绳子的长度就是底面圆的周长；2个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（2－1）×2个圆的直径；3个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（3－1）×2个圆的直径； （2）同理：每增加一个圆柱管，就增加2个圆的直径，那么n个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（n－1）×2个圆的直径。 【解答】（1）3.14×8＋（3－1）×2×8 ＝25.12＋2×2×8 ＝25.12＋4×8 ＝25.12＋32 ＝57.12（厘米） 综上所述：捆扎3个圆柱管一圈需要57.12厘米长的绳子。 （2）3.14×8＋（n－1）×2×8 ＝25.12＋（n－1）×16 ＝25.12＋16n－16 ＝（9.12＋16n）厘米 综上所述：捆扎n个圆柱管一圈需要（9.12＋16n）厘米长的绳子。 【点睛】解决本题的关键是观察分析得到圆柱管的放置规律，以及圆周长的计算方法，一个圆柱体时绳子的长度就是圆的周长，以后每增加一个圆柱体，绳子的长度就会增加圆的直径的2倍。 15．给一个底面周长18.84厘米，高15厘米的圆柱形玻璃水杯做一个长方体包装纸盒，拼接处按50平方厘米计算，该包装盒至少需要( )平方厘米的硬纸板。 【答案】482 【分析】根据圆的底面周长公式C＝πd可知，圆柱的底面直径d＝C÷π；那么这个长方体包装纸盒的长、宽都等于圆柱的底面直径，高等于圆柱的高；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出纸盒的表面积，再加上拼接处的面积，即可求出该包装盒至少需要硬纸板的面积。 【解答】圆柱的底面直径：18.84÷3.14＝6（厘米） 长方体的表面积： （6×6＋6×15＋6×15）×2 ＝（36＋90＋90）×2 ＝216×2 ＝432（平方厘米） 硬纸板的面积：432＋50＝482（平方厘米） 【点睛】明确长方体包装纸盒的长、宽、高与圆柱的底面直径和高的关系，再运用长方体的表面积公式列式计算。 16．如图，将长方形的铁皮沿虚线剪开，正好可以焊接成一个无盖的水桶（接头处忽略不计），这个水桶的容积是( )升。 【答案】169.56 【分析】通过观察图形可知，做成的圆柱形水桶的底面周长加上底面直径等于24.84分米，设圆柱的底面直径为d分米，水桶的高等于底面直径，根据圆的周长公式：C＝πd，据此可以求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：设圆柱的底面直径为d分米 3.14d＋d＝24.84 4.14d＝24.84 d＝6 3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方分米） 169.56立方分米＝169.56升 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式、圆柱的容积公式及应用，关键是熟记公式，重点是求出圆柱的底面直径。 17．如图，把一根圆柱木料沿底面直径平均锯成两半。求这半个圆柱木料的表面积与体积。 【答案】5.2656平方米；0.314立方米 【分析】观察图形可知，半个圆柱木料的表面积包含一个圆柱底面积、半个圆柱侧面积以及一个长为5m，宽为4dm的长方形面积；半个圆柱木料的体积正好是圆柱体积的一半，据此解答即可。 【解答】4分米＝0.4米 表面积：0.4×5＋3.14×（0.4÷2）2＋3.14×0.4×5÷2 ＝2＋0.1256＋3.14 ＝5.2656（平方米） 体积：3.14×（0.4÷2）2×5÷2 ＝3.14×0.04×5÷2 ＝0.618÷2 ＝0.314（立方米） 【点睛】本题主要考查了圆柱体积和面积的实际应用问题。 18．在“飞夺独木桥”勇士大通关游戏环节中，有一根长1m、横截面直径是20cm的木头浮在水面上，它正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】 3454平方厘米 【分析】由题意知，木头与水接触的侧面积是整个圆柱侧面积的一半。根据圆柱的侧面积公式（圆柱的横截面即为圆柱的底面积），圆的周长公式（d为圆的直径），用圆柱的侧面积除以2即可求出圆柱侧面积的一半；已知横截面直径是20cm，用直径除以2得到半径，再根据圆的面积公式（r为圆的半径）求出圆柱横截面的面积；与水面接触的侧面积加上圆柱的一个底面积即为木头与水面接触的面积。据此解答。 【解答】1m＝100cm （cm） （平方厘米） 答：这根木头与水接触的面积是3454平方厘米。 【点睛】本题考查的是圆柱的表面积的计算及应用。 19．王叔叔要制作一个模型，他拿来一个棱长是4dm的正方体铁块，选择其中一个面，从正中间打一个直径为2dm的圆孔，一直穿透到对面（如下图）。为了防止生锈，王叔叔要把这个模型与空气接触的表面都喷上油漆。需喷油漆的面积是多少平方分米？ 【答案】114.84dm2 【分析】由题意知：需喷油漆的面积＝正方体的表面积－圆柱两个底面的面积＋圆柱的侧面积，据此解答。 【解答】 （平方分米） 答：需喷油漆的面积是114.84平方分米。 【点睛】分析图形找出需要涂漆的部分是解答题目的关键。 20．在实践活动课上，老师要求把完全一样的圆柱形橡皮泥平均切成两块，且切成的不是圆柱。下面是乐乐和园园按要求切完后的形状，原来圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 【答案】100.48立方厘米 【分析】由题意可知：原来圆柱的底面直径为4厘米，高为厘米，据此利用圆柱的体积＝底面积×高，即可得解。 【解答】 （立方厘米） 答：原来圆柱形橡皮泥的体积是100.48立方厘米。 【点睛】本题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，得出原来圆柱的底面直径和高是解答本题的关键。 21．一个底面是正方形的容器里（如图1所示）装着水，从里面量底面边长是14厘米，水的高度8厘米，把一个铁质实心圆锥直立在容器里（如图2所示）后，水的高度上升到了12厘米，刚好没过圆锥高的，圆锥的底面积是多少？ 【答案】112平方厘米 【分析】由题意得：浸在水中的部分的体积等于高为厘米的长方体的体积，即：立方厘米；露出水面部分的小圆锥的高为12厘米，其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的，所以体积是大圆锥的，所以露出水面的小圆锥体与整个圆锥体的体积之比为，所以浸在水中的部分圆锥体的体积是整个圆锥体体积的，用除法即可求出大圆锥体的体积，进而即可求出底面积。 【解答】浸在水中的圆锥体体积为： （厘米） 露出水面部分的小圆锥的高为12厘米，其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的，所以体积是大圆锥的，即露出水面的小圆锥体与整个圆锥体的体积之比为。 所以整个圆锥体体积为： ＝784× （立方厘米） 圆锥体底面积为： ＝896÷（4×2） （平方厘米） 答：圆锥的底面积是112平方厘米。 【点评】解答此题的关键是先求出浸入水中的部分占圆锥体积的几分之几，从而问题得解。 22．为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 【答案】4082平方厘米 【分析】帽子顶和帽檐合在一起就是一个大圆，先求出大圆的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，分别计算大圆的面积和帽顶部分的侧面积，最后将两者相加就是所需硬纸片的总面积。 【解答】20÷2＝10（厘米） 10＋20＝30（厘米） 3.14×30² ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 3.14×20×20＝1256（平方厘米） 2826＋1256＝4082（平方厘米） 答：他至少要用硬纸片4082平方厘米。 【点睛】本题关键是求出大圆的半径，明确帽檐的面积与帽顶的面积和等于大圆的面积。 23．一个底面周长是62.8厘米的圆柱形玻璃容器里盛有一些水，恰好是容器容积的。将一个玻璃球放入容器，全部没入水中，这时水面上升6厘米，正好与容器口相平，这个玻璃容器的容积是多少？（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】4710立方厘米 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，求出圆柱形容器的底面积，原来容器内水的体积恰好是容器容积的，也就是容器水的高是容器高的，将一个玻璃球放入容器，全部没入水中，这时水面上升6厘米，正好与容器口平，由此可知水上升6厘米时，上升部分水的体积。上升部分水的体积占容器高的（1－），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【解答】圆柱形玻璃容器底面半径： 62.8÷3.14÷2＝10（厘米） 圆柱形玻璃容器高： 6÷（1－） ＝6÷ ＝15（厘米） 圆柱形玻璃容器容积： 3.14×102×15 ＝314×15 ＝4710（立方厘米） 答：这个玻璃容器的容积是4710立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 24．把一根长4分米，宽4分米，高6分米的长方体木料，削成一个最大的圆柱，削去部分的体积是多少立方分米？ 【答案】20.64dm3 【分析】长4分米，宽4分米，高6分米的长方体木料，四个侧面是完全一样的，如果圆锥的底面在长方体的上（下）面，那么这个圆柱的底面直径应该是4dm，高是6dm；而如果圆锥的底面在长方体的侧面，那么这个圆柱的底面直径应该是4dm，高是4dm；显然，当圆柱的底面直径应该是4dm，高是6dm时体积最大；求出圆柱的体积，用长方体的体积减去圆柱体积即可。 【解答】4×4×6－3.14×（4÷2）2×6 ＝96－75.36 ＝20.64（dm3） 答：削去部分的体积是20.64dm3。   【点睛】要把长方体削成一个最大的圆柱，那么就要求圆柱的底面积尽可能大，高也要尽可能大。 25．把一根高30厘米，底面直径12厘米的圆柱形木料沿底面直径和高平均剖成两块，其中一块木料的表面积和体积各是多少？ 【答案】半根木材的表面积是1038.24平方厘米，体积是1695.6立方厘米。 【分析】把圆柱形木材对半锯开后，则增加两个长方形的面，每个长方形的长与圆柱的高相等，长方形的宽与圆柱的直径相等；用圆柱的一个底面面积加上侧面积的一半，再加上增加的一个长方形的面积即可求出半根木材的表面积；根据圆柱的体积＝底面积×高求出圆柱的体积后，再除以2即可求出半根木材的体积。据此解答即可。 【解答】12÷2＝6 （厘米） 圆柱的底面积： 6×6×3.14 ＝36×3.14 ＝113.04 （平方厘米） 增加的面的面积： 12×30＝360 （平方厘米） 圆柱的侧面积： 12×3.14×30. ＝37.68×30 ＝1130.4 （平方厘米） 半根木材的表面积： 1130.4÷2＋113.04＋360 ＝565.2＋113.04＋360 ＝678.24＋360 ＝1038.24 （平方厘米） 半根木材的体积： 113.04×30÷2 ＝3391.2÷2 ＝1695.6 （立方厘米） 答：半根木材的表面积是1038.24平方厘米，体积是1695.6立方厘米。 【点睛】把圆柱形木料沿底面直径和高平均剖成两块后，体积是原体积的一半、表面积是原表面积的一半还要加上剖面的长方形面积。明确这两点是解答此题的关键。 26．星期天，小强和小青玩橡皮泥，他们各拿了一个底面半径4厘米，高10厘米的圆柱体形橡皮泥，然后将圆柱体的橡皮泥平均切成两块完全相同的部分（如图所示）。谁的切法面积增加得多？多多少？ 【答案】小青的切法面积增加得多；见详解 【解析】小强的切法，表面积增加两个底面圆的面积，小青的切法，表面积增加两个长方形的面积，长方形的长是10厘米，高是8厘米，分别计算增加了多少，进行比较即可。 【解答】小强： （平方厘米） 小青： （平方厘米） 160大于100.48，所以小青的切法面积增加得多； 答：小青的切法面积增加得多。 【点睛】本题考查的是圆柱的切割问题，尤其注意沿着垂直于底面直径的方向切，增加的是两个长方形，长方形的一条边是圆柱的底面直径，另一条边是圆柱的高。 27．如图，有两个边长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块四个。先往A盒中注满水，再把A盒的水倒入B盒里，使B盒也注满水，问现在A盒中余下的水是多少。 【答案】0 【分析】根据正方体的体积公式：v＝a3，圆柱的体积公式：v＝sh，用正方体的体积减去圆柱的体积求出A盒中剩余的空间（即水的体积），再用正方体的体积减去4个小圆柱的体积和求出B盒中剩余的空间（即水的体积），然后用A盒中水的体积减去B盒中剩余空间即可，由此解答。 【解答】A盒中水的体积：8×8×8﹣3.14×（）2×8 ＝512×3.14×16×8 ＝512﹣401.92 ＝110.08（立方厘米）； B盒中剩余空间：8×8×8﹣3.14×（）2×8×4 ＝512﹣3.14×4×8×4 ＝512﹣100.48×4 ＝512﹣401.92 ＝110.08（立方厘米） 110.08﹣110.08＝0（立方厘米） 答：A盒中的水倒入B盒正好注满，所以A盒中没有余下水。 【点睛】此题主要根据正方体、圆柱的体积计算方法解决问题，把数据代入正方体和圆柱的体积公式，分别求此A、B两盒中的剩余空间，然后进行比较。 28．下图是一个圆柱与一个圆锥合在一起做成的水箱，开始时是空的。然后往里以180升/时的速度注水。（取3） （1）如果水箱的厚度忽略不计，这个水箱的容积是多少？ （2）多长时间可以把水箱注满？ （3）下面哪幅图能表示随着时间变化，水面高度的变化过程？ 【答案】（1）1立方米 （2）小时 （3）第二幅图 【分析】（1）由于水箱是由一个圆锥和一个圆柱组合而成，根据圆锥的体积公式：底面积×高÷3，圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入即可求解。 （2）用水箱的容积除以每小时的注水速度即可求解。 （3）由于注水的时候先注满下面的圆锥，再注满上面的圆柱，所以水面的高度会先上升的快，再上升的慢，由此即可选择。 【解答】（1）3×（1÷2）2×1＋3×（1÷2）2×1× ＝3×0.25×1＋3×0.25× ＝0.75＋0.25 ＝1（立方米） 答：这个水箱的容积是1立方米。 （2）1立方米＝＝1000立方分米＝1000升 1000÷180＝（时） 答：小时可以把水箱注满。 （3）由分析可知，水面先快速上升，再缓慢上升； 故选第二幅图。 【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它们的体积公式并灵活运用。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $