8.卷4 第2章 二元一次方程组 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年七年级下册数学配套课件（浙教版·新教材）浙江专用

该初中数学课件聚焦二元一次方程组，涵盖定义、解法及实际应用，通过地方期中真题导入，从基础概念到综合问题逐步递进，搭建知识支架帮助学生衔接前后知识点。 其亮点在于真题情境化设计与解题方法总结，如九宫格、纸盒生产等问题培养数学眼光和模型意识，规范解析步骤发展数学思维，上分点拨助力学生掌握方法，教师使用可丰富教学资源，提升学生解题能力。

数 学 七年级下册 浙教版 1 2 3 卷4 第2章提优验收卷（B卷） 考查内容：二元一次方程组 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 . 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题列出的四 个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.[2025宁波宁海期中]关于，的方程是二元一次方程，则 的 取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】方程变形为 ，根据二元一次方程 的定义，得，所以 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2025宁波月考]对于二元一次方程组把①代入②消去 后得到方 程 ，则①可以是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为把①代入②消去后得到方程，所以 ， 则 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.[2025绍兴柯桥区期末]若是方程 的一个解，则代数式 的值是( ) A A.3 B. C. D. 【解析】把代入方程，得，所以 ， 所以，所以，所以 ， 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.[2025湖州吴兴区期中]已知某速食店售卖的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐，且 一份套餐的价钱比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜3元，小梧打算到该 速食店买两份套餐，但他到店后发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销 活动，且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价钱比两份套餐的总价钱便宜5元，则 根据题意可得到下列哪一个结论( ) C A.一份套餐的价钱一定是13元 B.一份套餐的价钱一定是12元 C.单点一块鸡排的价钱一定是11元 D.单点一块鸡排的价钱一定是10元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 【解析】设单点一块鸡排的价钱为元，单点一杯可乐的价钱为 元.根据“一份套 餐的价钱比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜3元”，可得一份套餐的价 钱为元，两份套餐的总价钱为 元.根据“单点一块鸡排再单 点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜5元”，可列二元一次方程 ，解得 ，即单点一块鸡排的价钱一定是11元.综上 所述，只有选项C正确，符合题意，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.[2025宁波鄞州区期中]数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名 同学每人完成一步.如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的 一步没有出现错误的同学是( ) B A.甲、乙、丙 B.甲、乙、丁 C.甲、丙、丁 D.乙、丙、丁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 【解析】由①，得 ，③ 把③代入②，得 ，去分母，得，解得.把 代入③， 得.则合作中出现错误的同学为丙.由，解得 ，把 代入③,得 ，所以合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是甲、乙、 丁，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.[2025温州鹿城区校级期中]若关于，的二元一次方程组 无解，则 的值是( ) B A.1 B.2 C. D. 【解析】，得，所以 .因为关 于，的二元一次方程组无解，所以，所以 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.[2025湖州吴兴区校级期末，中]小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路. 在平路、上坡路和下坡路上，他骑车的速度分别为、、 . 他骑车从家到学校需要；骑车从学校回家需要 .设小明从家到学校的 平路有，上坡路有 ，则依题意所列的方程组是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】依据题意得，小明从家骑车到学校在平路所需的时间为 ，从学校骑 车回家在平路所需的时间为，上坡路所需的时间为 ，下坡路所需的时间为 ，则小明骑车从家到学校共需时间为 ，骑车从学校回家共需时间为 .因为，，所以可列出方程组为 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 8.[2025杭州期中，中]解关于,的二元一次方程组时，一学生因把 看错得到方程组的解是 而正确的解是 则 的值是( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】设一学生将看错成，则方程组的解是 所以 则 因为方程组的解是 所以 则 综上，联立 解得 所以 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 9.[2025杭州月考，中]对关于，的二元一次方程组 甲、乙两人 的判断如下：甲：当这个方程组的解，的值互为相反数时， ；乙：无论 取何值， 的值始终不变．则( ) D A.甲的说法正确，乙的说法不正确 B.甲、乙的说法都不正确 C.甲、乙的说法都正确 D.甲的说法不正确，乙的说法正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】甲：当这个方程组的解，的值互为相反数时， .方程组 中，得，即 ，当 时，，解得 ，因此甲的说法不正确.乙：方程组 中，由②得，代入①得 ， 即，所以无论取何值，的值都为 ，始终不变，因此乙的说法正 确，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 10.新定义 [2025台州仙居校级期中，偏难]对，定义一种新运算 ，规定： ，均为非零常数 ，等式右边是通常的四则运算.例如： .若， ，则下列结论 正确的为( ) B A.， B.若，则 C.若，则， 有且仅有3组整数解 D.若对任意有理数，都成立，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】因为，，所以解得 故 A错误.因为，所以，即 ,故B 正确.因为，所以.当时， 不成立，所以 ，所以.因为，都是整数，所以或 或 ，所以或或0或或或，所以满足题意的， 的值为 或或或或或 故C错误.因为 ，所以，所以 ， 所以.因为对任意有理数，都成立，所以 ， 故D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 上分点拨 整数解问题 整数解问题，应当先用一个字母来表示另外一个字母，接下来观察等式，根据奇 偶性、整除等进行分析. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.[2025绍兴柯桥区期末]已知，，用含的代数式表示 ，可 得 _______. 【解析】因为，所以，代入 ，得 ，即.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 12.新考法 [2025杭州拱墅区校级期中]已知两个二元一次方程的部分解如下表所 示，则方程组 的解是_ ________. 的解 … 44 45 46 47 … … 56 55 54 53 … 的解 … 44 45 46 47 … … 54 55 56 57 … 【解析】根据表格得方程组的解是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 上分点拨 列表法求解二元一次方程组 如本题通过列表法求解二元一次方程组，应当选择使得二元一次方程组中的两个 二元一次方程同时成立的一组解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 13.[2025绍兴诸暨校级月考]根据如图给出的信息,若放入大球、小球各2个，水面 将上升到_______.（所有大球体积相同，所有小球体积相同） 【解析】设一个大球使水面上升，一个小球使水面上升 .依据题意得 解得 所以放入大球、小球各2个，水面将上升到 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 14.传统文化 [2025宁波江北区校级期中，中]九宫格，一款数字游戏，起源于河 图洛书，是中国古代流传下来的图案，被誉为“宇宙魔方”.在如图所示的九宫格中， 横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则___， ___. 3 3 【解析】由题意可得解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 15.[2025温州鹿城区校级期中，偏难]若关于， 的二元一次方程组 的解为 则方程组 的解为_ _______. 【解析】因为所以因为关于 , 的二元一次方程组的解为所以解得 故答 案为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 16.［难］对于实数，我们定义如下运算：当时，；当 时， .例如： . ①若，则 _ ___. 【解析】当时，得，解得（舍去）；当 时，得 ，解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 ②若关于，的方程组满足 则此方程组的解为 _ __________________. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解析】当时，得，则 （舍去）；当 时，得，则.当 时，得 ，则;当时，得 ，则 ，所以原方程组可化为或解得 或 故答案为或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17.[2025台州临海期末]（本题6分）解二元一次方程组 时，两位 同学的部分解答过程如下： 圆圆：由②，得 .③（依据：____）把③ 代入①，得 . 芳芳：把①代入②，得2 （____） . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （1）补全上述空白部分内容； 【解】等式的性质1; 【解】圆圆：由②，得 .③（依据：等式的性质1） 芳芳：把①代入②，得 . 故答案为等式的性质1， .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）请选择一种你喜欢的方法完成解答. 【解】把①代入②，得 ， 解得.把代入①，得，解得 ，所以原方程组的解为 （也可选择圆圆的方法解答）…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 18.[2025宁波余姚期中]（本题6分）某商场从厂家购进甲、乙两种文具，甲种文具 的每件进价比乙种文具的每件进价少20元.若购进甲种文具7件，乙种文具2件，则 需要760元. （1）求甲、乙两种文具的每件进价分别是多少元. 【解】设甲种文具每件进价为元，则乙种文具每件进价为 元.由题意得 ，解得，所以 . 答：甲种文具每件进价为80元，乙种文具每件进价为100元.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）该商场从厂家购进甲、乙两种文具共50件，所用资金恰好为4 400元.求购进 甲、乙两种文具的件数. 【解】设商场从厂家购进甲种文具件，购进乙种文具 件. 由题意得解得 答：商场从厂家购进甲种文具30件，乙种文具20件.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 19.[2025杭州拱墅区校级期中]（本题8分）已知关于， 的方程组 ，为实数 . （1）当， 时，求方程组的解. 【解】当，时，原方程组为解得 ………… （4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）当时，试探究方程组的解， 之间的关系. 【解】，可得 ，代入①，得 ,即.当时， ，则 ， ，所以 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 20.阅读理解 [2025温州鹿城区期末]（本题10分）在求代数式的值时，有些题目 可以用整体求值的方法，化难为易. 例：已知 求 的值. 解：，得 ，③ ，得，所以 的值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【类比迁移】 （1）已知 求 的值. 【解】，得，③ ，得 ，所以 的值为18.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中测试的奖品，根据商店 给出的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔，则需要28元；若购买7 本笔记本、5支签字笔、3支记号笔，则需要66元.该班共45位同学，则购买45本笔 记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【解】设购买1本笔记本需要元，1支签字笔需要元，1支记号笔需要 元.由题意 得①，得，③ ③ ，得 . 答：购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元钱.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 21.[2025金华东阳期末，偏难]（本题10分）根据以下素材，完成任务.#1 如何生产纸盒 素 材 1 某工厂需制作如图（1）所示的竖式与横式两种无 盖纸盒（单位： ） 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 如何生产纸盒 素 材 2 如图（2），工厂仓库内现存有 的正 方形纸板150张， 的长方形纸板300 张，用库存纸板制作两种无盖纸盒（纸板不重叠、 不裁剪） 图（2） 续表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 如何生产纸盒 素 材 3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图（3）规 格的纸板，甲纸板尺寸为 ，乙纸板 尺寸为 ，丙纸板尺寸为 .采购甲纸板400张，乙纸板300张， 因采购单被墨水污染，丙纸板数量的个位数字已经 模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4.纸 板裁剪后可制作两种无盖纸盒 图（3） 续表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 任务1 根据素材1、素材2，若做一个竖式无盖纸盒和两个横式无盖纸盒，则需正 方形纸板___张，长方形纸板____张 5 10 【解析】因为一个竖式无盖纸盒需要1张正方形纸板和4张长方形纸板；两个横式 无盖纸盒共需要4张正方形纸板和6张长方形纸板，所以共需要正方形纸板 （张），长方形纸板 （张），故答案为5，10.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 任务2 根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完 【解】设做竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个.由题意得 解得 答：做竖式无盖纸盒30个，横式无盖纸盒60个.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 任务3 根据素材1、素材3，若将采购的纸板通过裁剪做成竖式和横式无盖纸盒， 纸板恰好用完，且每张纸板利用率均为 ，请你帮助工厂确定丙纸板的张数 【解】设做竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，丙纸板有 张.由题意得 解得 . 因为，为非负整数，，所以或 ，所以丙纸板有145张或140 张.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 22.新定义[2025宁波江北区校级月考]（本题12分）定义：关于， 的二元一次方 程（其中）中的常数项与未知数的系数， 之一互换，得 到的方程叫“交换系数方程”.例如：的“交换系数方程”为 或 . （1）方程 的“交换系数方程”为_________________________； 或 【解析】根据“交换系数方程”的定义可知方程 的“交换系数方程”为 或.故答案为或 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （2）［中］已知关于，的二元一次方程的系数满足 ， 且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于， 的二元一 次方程的一个解，求 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 【解】当的“交换系数方程”为时，联立 解得 因为，所以，所以当 的“交 换系数方程”为时，联立解得因为 , 所以，所以综上, 与它的“交换系数方程”组成的方 程组的解为把代入方程得 ，即 ，所以 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 （3）［难］已知，，都是整数，并且是关于， 的二元一次方程的“交换系数方程”，求 的值. 【解】由条件可知或 ①当时，整理得 解得 所以 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 ②当时，解得 因为，， 为整数，所以不符合题意. 综上, .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 $