1.1.4 同底数幂的除法与负整数指数幂课件 2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第1章 整式的乘除 1　幂的乘除 第4课时 同底数幂的除法与负整数指数幂 北师版 七年级 数学（下） 情景导入 一种液体每升含有 1012 个有害细菌。为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现 1 滴灭菌剂可以杀死 109 个有害细菌。要将 1 L 液体中的有害细菌全部杀死， 需要这种灭菌剂多少滴? 你是怎样计算的? 1012÷109 同底数幂的除法 同底数的幂相除，怎样计算呢? 观察这个算式，它有何特点? 是相同底数的幂相除。 探究新知 思考 1.计算下列各式，并说明理由(m＞n)。 （1）1012÷109；（2）10m÷10n； （3）(-3)m ÷ (-3)n 。 （1）1012÷109 12 个 10 = 10×10×…×10 10×10×…×10 9 个 10 = 103 = 10×10×…×10 （12 – 9） 个10 由此，你发现了什么? 1012÷109=1012-9 （2）10m÷10n m 个 10 = 10×10×…×10 10×10×…×10 n 个 10 = 10m – n = 10×10×…×10 (m – n) 个 10 由此，你发现了什么? 10m÷10n=10m-n （3）(– 3)m÷ (– 3) n = (– 3) × (– 3) ×…× (– 3) (– 3) × (– 3) ×…× (– 3) n 个 (– 3) = (– 3) m – n m 个 (– 3) = (– 3) × (– 3) ×…× (– 3) (m – n) 个 (– 3) 由此，你发现了什么? (-3)m÷(-3) n=(-3)m-n 2.如果m，n都是正整数，且m＞n，那么am÷an等于什么?你是怎样得到的? am÷an m 个 a = a · a · … · a a · a · … · a n 个 a = am – n = a · a · … · a (m – n) 个 a 即am÷an= am – n(m＞n，且m，n都是正整数) am ÷ an = am – n（a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n）。 同底数幂相除，底数____，指数____ 。 不变 相减 同底数幂的除法: 同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算，因此同底数幂的除法可以用同底数幂的乘法来检验。 a可以是单项式或多项式，但不能为0。 小结 例题解析 计算： （1） a7÷a4； （2） (– x)6÷(– x)3； （3） (xy)4÷(xy)； （4） b2m+2÷b2 。 解：（1） a7÷a4 = a7 – 4 = a3； （2） (– x)6÷(– x)3 = (– x)6 – 3 = (– x)3 = – x3； （3） (xy)4÷(xy) = (xy)4–1 = (xy)3 = x3y3 ； （4） b2m+2÷b2 = b2m+2–2 = b2m 。 我们已经得到了当m>n时，am÷an(a≠0) 的运算法则，其中m、n都是正整数。 那么当m≤n时，am÷an(a≠0) 又如何计算? 思考 计算：（1）23÷23；（2）a3÷a3。 （1）23÷23=23-3=20， （2）a3÷a3=a3-3=a0， 20=1 a0=1 根据除法意义计算： 根据同底数幂除法法则计算： 你能得出什么结论? 思考 解：（1）23÷23= （2）a3÷a3 我们规定: 任何一个不等于0的数的0次幂都等于1。 注意: 零指数幂的底数可以是单项式，也可以是多项式，但是不能为0。 数学语言: a0=1(a≠0) 小结 思考 计算：（1）23÷25；（2）a3÷a5。 23÷25=23-5=2-2， a3÷a5=a3-5=a-2。 根据除法意义计算： 根据同底数幂除法法则计算： 你能得出什么结论? 解：（1）23÷25= （2）a3÷a5= 2-2 -2 我们规定: 任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数。 同底数幂的除法法则： 数学语言: am ÷ an = am – n（a ≠ 0，m，n 都是正整数） 小结 -P(a ≠ 0) 命题角度1　直接利用法则进行计算 分析与示例 计算同底数幂的除法时，只要按照“同底数幂相除，底数不变，指数相减”这个法则进行计算即可，但在计算中要注意符号的变化． 【例1】计算(－a)6÷a3的结果是( ) A．－a3 B．－a2 C．a3 D．a2 C 【例2】化简： (1)a4÷a＝____； (2)(xy)4÷(xy)2＝____． a3 x2y2 命题角度2　逆用法则进行计算 由am÷an＝am－n可得am－n＝am÷an(a≠0，m，n为正整数，且m>n)，因此逆用同底数幂的除法法则，可以进行一些计算或求值． 【例4】已知xa＝3，xb＝5，则x4a-3b＝____． 【例3】若am＝4，an＝7，则am－n的值为(   ) A．    B．    C．－3    D． A 【例6】若(x－π)0＝1，则x____． 命题角度3　零指数幂、负整数指数幂的综合应用 当幂的指数是负数时，既要关注法则的正确运用，又要关注底数不等于0这一要求． ≠π 【例5】计算|－8|－(－0的结果是(    ) A．－7    B．7    C．7   D．9 B 应用举例 【例1】计算： (1)a7÷a4; (2)(－x)6÷(－x)3； (3)(xy)4÷(xy); (4)b2m+2÷b2； (5)(x－y)9÷(x－y)3. 【方法指导】直接运用同底数幂的除法计算． 解：(1)原式＝a7-4＝a3； (2)原式＝(－x)6-3＝－x3； (3)原式＝(xy)4-1＝(xy)3＝x3y3； (4)原式＝b2m+2-2＝b2m； (5)原式＝(x－y)9-3＝(x－y)6. 【例2】用小数或分数分别表示下列各数： (1)10-3；(2)70×8-2；(3)1.6×10-4. 【方法指导】运用零指数幂和负整数指数幂的意义计算． 解：(1)原式＝＝0.001； (2)原式＝1×＝； (3)原式＝1.6×＝1.6×0.0001=0.00016. 【例3】声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求： (1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？ (2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？ 【方法指导】(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度，再除以汽车声音的强度即可得到答案． 解：(1)因为1010÷105＝1010-5＝105， 所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍； 解：(2)因为人的声音是50分贝，其声音的强度是105， 汽车的声音是100分贝，其声音的强度为1010， 所以喷气式飞机的声音是150分贝， 其声音的强度为1015， 所以1015÷1010＝1015-10＝105， 所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍． (2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？ 课堂小结 同底数幂的除法 am ÷ an = am-n（a≠0，m，n 都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 性质 注意 底数相同时 直接应用法则 底数不相同时 先变成同底数再应用法则 逆用 随堂检测 1．填空：(1)a4÷a＝____； (2)(－x7)÷(－x)2＝____； (3)y16÷____＝y11； (4)(x－y)6÷(x－y)2＝__________． a3 －x5 y5 (x－y)4 解：(1)1； (3)0.000 35； (2) (4) 2．用小数、分数或整数表示下列各数： (1)；    (2)(－4)-2； (3)3.5×10-4;    (4)6-3. $