7.3 复数的三角表示分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

*7.3　复数的三角表示 一、必备知识基础练 1.(探究点一)复数-i的三角形式是(　　) A.cos 60°+isin 60° B.-cos 60°+isin 60° C.cos 120°+isin 60° D.cos 120°+isin 120° 2.(探究点一)已知z=cos+isin,则下列结论正确的是(　　) A.z2的实部为1 B.z2=z-1 C.z2= D.|z2|=2 3.(探究点一)已知复数z=-i,则arg z=(　　) A. B.- C. D. 4.(探究点三·2025上海高一期末)复数2÷[(cos+isin)]的三角形式是(　　) A.(cos+isin) B.(cos+isin) C.[cos(-)+isin(-)] D.(cos+isin) 5.(探究点二)复数cos+isin经过n次乘方后,所得的复数等于它的共轭复数,则n的值等于(　　) A.3 B.12 C.6k-1(k∈Z) D.6k+1(k∈Z) 6.(探究点二)[2(cos 60°+isin 60°)]3=　　　　　.  7.(探究点三)计算(cos π+isin π)÷(cos+isin)=　　　　　.  8.(探究点一)已知复数z1=-+i,若复数z满足2iz=z1,则复数z的辐角主值为　　　　　.  9.(探究点一)将下列复数化为三角形式: (1)-+i; (2)-1-i; (3)-2(cos+isin); (4)2(sin+icos). 10.(探究点二)计算下列各式的值: (1)(-i)·[2(cos+isin)]; (2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°). 二、关键能力提升练 11.若复数为实数,则正整数n的最小值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 12.复数sin 4+icos 4的辐角主值为(　　) A.4 B.-4 C.2π-4 D.-4 13.已知复数z满足z2+2z+4=0,且arg z∈,π,则z的三角形式为z=　　　　.  14.计算:z=2÷[(cos+isin)]=　　　　　,则|z|=　　　　　.  15.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cos θ+isin θ,解决以下问题: (1)试将复数写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式; (2)试求复数的模. 16.设z1=+i,z2=1-i,z3=sin+icos,求的值. 三、学科素养创新练 17.设A,B,C是△ABC的内角,z=(cos A+isin A)÷(cos B+isin B)·(cos C+isin C)是一个实数,则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 18.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω. (1)求ω; (2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值. 参考答案 1.D　令z=-i=a+bi(a,b∈R),z的模是r,z的辐角是θ,则r=|z|=1,a=-,b=∴可取θ=120°.∴-i的三角形式是cos 120°+isin 120°. 2.B　z=cos+isini.z2=(i)2=i=-i,其实部为-,故A错误;z-1=-i=z2,故B正确;i≠z2,故C错误;|z2|=(-)2+()2=1,故D错误.故选B. 3.C　因为z=-i=2(i)=2(cos+isin),所以arg z=.故选C. 4.C　2÷[(cos+isin)]=[cos(0-)+isin(0-)]=[cos(-)+isin(-)].故选C. 5.C　由题意,得(cos+isin)n=cos+isin=cos-isin,由复数相等的定义,得 解得=2kπ-(k∈Z),∴n=6k-1(k∈Z). 6.-8　原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos 180°+isin 180°)=-8. 7.-i　(cos π+isin π)÷(cos+isin)=cos+isin=-i. 8.　因为z1=-+i,2iz=z1,所以z=i=cos+isin,所以复数z的辐角主值为. 9.解(1)-+i=2(cos+isin). (2)-1-i=2(cos+isin). (3)-2(cos+isin)=2(cos+isin). (4)2(sin+icos)=2(cos+isin). 10.解(1)·[2(cos+isin)]=(cos+isin)·[2(cos+isin)]=2(cos π+isin π)=-2. (2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°)=30(cos 270°+isin 270°)=-30i. 11.B　因为=i,所以由题意知in为实数,所以正整数n的最小值为2. 12.D　sin 4+icos 4=cos(-4)+isin(-4). 13.2(cos+isin)　由z2+2z+4=0,得z=(-2±2i)=-1±i.因为arg z∈(,π),所以z=-1-i应舍去,所以z=-1+i=2(cos+isin). 14.2-2i　4　z=2÷[(cos+isin)]=2(cos 0+isin 0)÷[(cos+isin)]=4[cos(-)+isin(-)]=2-2i, 则|z|=|2-2i|==4. 15.解(1)根据欧拉公式可得=cos+isini. (2)由题意可知i+=1+i, 因此,. 16.解∵z1=+i=2(cos+isin), z2=1-i=(cos+isin), ∴ = =4[cos()+isin()] =4[cos(5π+)+isin(5π+)] =-2-2i. 17.C　由题意知复数z的一个辐角是A-B+C=π-2B,由于z是实数,所以sin(π-2B)=0,即sin 2B=0,因为0<B<π,所以0<2B<2π,所以2B=π,即B=,所以△ABC是直角三角形. 18.解(1)arg ω=,可设ω=a-ai(a∈R),将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω,化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,∴解得∴ω=-1+i. (2)|z-ω|=|(cos θ+1)+(sin θ-1)i| = =. ∵|z-ω|=1+,∴=1+, 化简得cos=1. ∵≤θ+<2π+,∴θ+=2π,即θ=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $