专题1.6正多边形与圆（高效培优讲义，3知识&6题型精讲+强化训练）数学沪科版九年级下册

本讲义聚焦正多边形与圆的核心知识点，系统梳理正多边形定义、与圆的关系（内接正n边形）、画法（量角器等分圆及特殊正多边形尺规作图）、性质（外接圆与内切圆同心）及相关概念（中心、半径、边心距、中心角）、计算（半径、边长、边心距关系，周长、面积）和对称性，构建从概念到应用的完整知识支架。 资料特色在于融合数学眼光、思维与语言，通过正六边形尺规作图培养几何直观与空间观念，借助构造直角三角形转化计算问题发展推理能力，结合读书亭地基、苯分子结构等实例提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后通过题型分类练习帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题1.6正多边形与圆 教学目标 1.了解正多边形的定义和正多边形的中心、半径、边心距、中心角等相关概念. 2.会根据正多边形与圆的关系,通过用量角器等分圆的方法作出圆内接正多边形，能用尺规作出特殊的正多边形. 3.了解正多边形的性质，并能够进行相关计算. 4.通过已知正多边形的某些量，构造直角三角形求另外的某些量,进一步体会数学的转化思想. 教学重难点 教学重点：正多边形与圆的关系、相关概念及边长、中心角、边心距等计算； 教学难点：正多边形与圆关系的抽象推理、复杂计算的步骤拆解及尺规作图的原理理解 知识点01 正多边形与圆 1. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 2. 圆的内接正n 边形 把一个圆n(n ≥ 3)等分，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n 边形，这个圆就是这个正n 边形的外接圆. 知识点02 正多边形的画法 1. 正n 边形的画法：将圆n 等分，然后顺次连接各等分点，即得到所要作的正n 边形. 2. 对于一些特殊的正n 边形，如正方形、正六边形、正八边形，可以用圆规和直尺作图. 如图 ①，在圆周上任定一点为圆心，以圆的半径为半径作弧，然后以弧与圆周的交点为圆心依次作弧，在圆周上得到6 个交点，依次连接，得到一个内接正六边形. 如图 ②，在⊙O中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形. 若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等. 知识点03 正多边形的性质及其相关概念 1. 性质 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 2. 有关概念 正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共 圆心. 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径. 正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径. 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角. 3. 正n 边形的每个中心角都等于 . 4. 设正n 边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则： (1)半径、边长、边心距的关系为R2=r2+()2； (2)周长C=na； (3)面积S= ar·n= Cr. 5. 正多边形的对称性 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正多边形的中心. 当 n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 特别提醒：边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距. 【即学即1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十八边形 【答案】A 【详解】解：连接， ， ， ， 是正九边形的一条边． 故选：A． 【即学即练2】（2025·安徽池州·三模）如图，在正多边形中，若，则该多边形的内角和为 【答案】 【详解】解：∵， ∴该正多边形的中心角为， ∴该多边形为十边形， 由得其内角和为， 故答案为：． 【即学即练3】（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）某中学在校园里建了一个读书亭．如图，它的地基是半径为的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 【详解】（1）连接， ∵它的地基是半径为的正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为（米）． （2）如图，过点O作于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的面积为． 题型01 求正多边形的中心角 【例1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1-1】（2025·安徽合肥·一模）正六边形内接于，以为边，正方形在内，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵正六边形内接于， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（2025·安徽滁州·三模）如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为 ． 【答案】/18度 【详解】解：连接，， ∵在的圆内接正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 已知正多边形的中心角求边数 【例2】（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【详解】解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 【变式2-1】（2025·安徽合肥·二模）如图，在正边形中，，则的值是 ． 【答案】20 【详解】解：如图，点为正边形的外接圆的圆心，连接， 则：，， ∴， ∴； 故答案为：20． 【变式2-2】如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为 ． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ． 【答案】 120° 12 【详解】（1）连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型03 与正多边形有关的边长计算 【例3】（2024·安徽合肥·三模）如图，正六边形内接与，若的半径为5，则等于（    ） A．8 B． C． D．9 【答案】C 【详解】解：如图，连接、，，交于， ， ∵正六边形内接与， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴垂直平分，即， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，正六边形的边长为为正六边形的外接圆，连接，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于，如图所示： 在正六边形中，，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线及角平分线， ，， 在中，，，则， 由勾股定理可得， ， 故选：C． 【变式3-2】（2025·安徽·模拟预测）如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，连接交于点， 正六边形内接于， 经过点，且，，， ， ， ， 在正六边形中，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-3】如图，是的内接正三角形，四边形是的内接正方形，若，则正方形的边长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于，连接， ∵， ∴， ∵是的内接正三角形， ∴ ∴，即 ∵四边形是的内接正方形， ∴， ∴，即正方形的边长是． 故答案为： 题型04 与正多边形有关的角度计算 【例4-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 则， ∴． 故选：A． 【例4-2】（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，， 正方形与等边内接于， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D 【例4-3】（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动， 连接，连接，交于点G， ∵O为边长为2的正六边形的中心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 延长交小圆于点P，连接，则， 在和中， ∴ ∴，即， 此时，； 延长交小圆于点P，连接，同理可得， 此时，； 故选：B． 【变式4-1】（2025·安徽滁州·二模）如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点O是正六边形的中心， 是正三角形， ， 又点O是正方形的中心， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 【变式4-2】（2025·安徽合肥·三模）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 【变式4-3】（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-4】（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：连接， 根据题意得：， ， ， ， 故答案为：． 题型05 与正多边形有关的面积问题 【例5-1】（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，正八边形内接于，且的半径为，则的面积为（    ）    A．8 B． C． D．16 【答案】C 【详解】解：将正八边形对角线依次连接后再连接，使与交点为，如下图：    ∵的半径为，正八边形每个内角为，即， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴在中应用勾股定理：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴四边形的面积为：， ∴， ∴面积为：， ∴， 故选：C． 【例5-2】（22-23九年级上·安徽芜湖·月考）如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 【答案】A 【详解】解：连接、，如图， 四边形为平行四边形， ， ， ， 为的直径， ， 为等边三角形， ， ， 而， ， 在中，，， 矩形的面积． 故选：A． 【变式5-1】（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，将的圆周等分，圆内接矩形的面积为，则圆内接正六边形面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，交于， 四边形是矩形， ， ，是的直径， 将的圆周等分，， ， 是等边三角形， 边即为圆内接正六边形的边， 圆内接矩形的面积为， ， 圆内接正六边形面积为， 故选：B． 【变式5-2】（2025·安徽·模拟预测）如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，连接交于点， 正六边形内接于， 经过点，且，，， ， ， ， 在正六边形中，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽淮南·月考）如图，正六边形的边长为2，求该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积． 【答案】π 【详解】解： 连接、，作于，如图所示： 则， ， 是等边三角形， ，， ， 即正六边形外接圆的半径， 它的内切圆的半径， 所以圆环的面积 题型06 正多边形的实际应用 【例6-1】（23-24九年级下·安徽淮北·月考）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【例6-2】（2025·安徽合肥·一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则正六边形的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 【答案】A 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，，过点O作于点H，如图所示：    ∵O是正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴正六边形的面积． 故选：A． 【变式6-1】（2025·安徽池州·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作于， 圆的内接正八边形的圆心角为，， ， ， 这个圆的内接正八边形的面积为， 故选：． 【变式6-2】（2025·安徽阜阳·一模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，为的内接正八边形的一边，，设劣弧所在的扇形的面积为，的面积为，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：如下图所示，为的内接正八边形的一边， 则， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【变式6-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，连接． 点是正八边形的中心， ， 又是的中点， ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 2．（2024·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，如图，    ∵AB、BC都是圆的内接正五边形的边， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2024·安徽·一模）如图，正六边形内接于，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（23-24九年级下·安徽·开学考试）如图，正六边形内接于，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接交点，连接， 正六边形内接于， ，，， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， 的半径为， 的周长为， 故选：B． 5．（2024·安徽合肥·三模）下列命题：①各角相等的多边形是正多边形；②任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等．其中，真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形，故①是假命题； 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，故②为真命题； 正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题； 在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等，都等于，故④为真命题. 故选：B． 6．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，若的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点， 圆内接正十二边形， ， ， ， ， 圆内接正十二边形的面积为, ， ， 故选：A 7．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，等边三角形和正方形都内接于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r， ∴与是直角三角形，， ∵等边三角形和正方形都内接于， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 8．（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为的面积为，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：连接、、、， 六边形是的内接正六边形， 、、、、、把圆六等分， ， ， 、是等边三角形， ，， ， 的面积的面积， 同理：的面积的面积，的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， ， ． 故选：A． 二、填空题 9．（2020·安徽安庆·模拟预测）如图，点A、B、C、D在⊙O上，满足AB//CD，且AB=AC，若∠B=110°，则∠DAC的度数为 ． 【答案】75° 【详解】因为AB//CD， 所以∠BAD=∠ADC, 因为AB=AC， 所以 所以∠ADB=∠ADC 所以∠DAB=∠ADC 因为∠B=110° 所以∠DAB=∠ADC= 所以∠BDC=70° 所以∠BAC=180°-70°=110° 所以∠DAC=∠BAC-∠DAB =75° 故答案为：75° 10．（2020·安徽亳州·二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠AOC＝∠ABC，AC＝5，则⊙O的半径长为 ． 【答案】． 【详解】解：作所对的圆周角∠APC，作OH⊥AC于H，如图， ∵∠APC+∠ABC＝180°，∠AOC＝2∠APC， ∴∠AOC+∠ABC＝180°， ∵∠AOC＝∠ABC， ∴∠AOC+∠AOC＝180°，解得∠AOC＝120°， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵OH⊥AC， ∴AH＝CH＝AC＝， 在Rt△OAH中，OH＝AH＝， ∴OA＝2OH＝， 即⊙O的半径长为． 故答案为． 11．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长，进而确定圆周率．某圆的半径为R，其内接正十二边形的周长为C．若R＝，则C＝ ，≈ （结果精确到0.01，参考数据：≈2.449，≈1.414）． 【答案】 24 3.11 【详解】根据圆内接正十二边形每边所对的圆心角为，作出，则， 作与点 正十二边形的周长 故答案为：； 12．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小等于 °． 【答案】48 【详解】连接， ∵正五边形内接于，点F在弧上． ∴， ∵， ∴， 故答案为：48． 三、解答题 13．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数． 【答案】54° 【详解】 如图，连接． ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴90°-36°=54°， ∴的余角的度数为54°． 14．（22-23九年级上·安徽淮南·月考）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，求的值． 【答案】 【详解】解：如图， 由题意知，圆的内接正八边形的中心角度数为，内接正十二边形的中心角度数为， ∴ ． 15.如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB=AC．    （1）求证：DE平分∠CDF； （2）求证：∠ACD=∠AEB． 【详解】（1）∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠CDE=∠ABC， 由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB，又∠ADB=∠FDE， ∴∠ACB=∠FDE， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC， ∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠CDF； （2）∵∠ACB=∠ABC， ∴∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC， 又∠CAE=∠DBC， ∴∠E=∠ABD， ∴∠ACD=∠AEB． 16.如图，是的外接圆，的外角的平分线交于点E，连接CE、BE.    （1）求证：； （2）若，，求劣弧BC的长度. 【详解】（1）证明：∵平分， ， ，E，C，B四点共圆， ， ， 由圆周角定理得， ， ；                       （2）解：如图，连接OB、OC，过点O作，垂足为F.    由圆周角定理得， ，， ， ，. . . 17．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）仔细阅读以下画图过程，并解决问题： 如图1，已知及圆上一点.作法： ①如图2，连接并以为边作交于点； ②在圆上依次取点，点，点，点，使得； ③顺次连接各点，得到六边形； ④如图3，过点作的切线，交延长线于点，作直线．             解决问题： (1)若六边形的面积为，求的半径的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）解：在中，且，      ， ，； 又 六边形为圆内接正六边形， 过作于点， 设的半径为， 则有， ， ， 解得． 答：的半径为2． （2）直线与相切．   理由：连接． 为的切线， ， ，     与相切 ． 18．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动． （1）求图①中的度数 （2）图②中的度数是______，图③中的度数是______； （3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______． 【详解】解：（1）∵是正三角形， ∴， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∴； （2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理， ， ∴； 由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理， ∴， ∴； 故答案为：90°；72°； （3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB=； 故答案为：； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6正多边形与圆 教学目标 1.了解正多边形的定义和正多边形的中心、半径、边心距、中心角等相关概念. 2.会根据正多边形与圆的关系,通过用量角器等分圆的方法作出圆内接正多边形，能用尺规作出特殊的正多边形. 3.了解正多边形的性质，并能够进行相关计算. 4.通过已知正多边形的某些量，构造直角三角形求另外的某些量,进一步体会数学的转化思想. 教学重难点 教学重点：正多边形与圆的关系、相关概念及边长、中心角、边心距等计算； 教学难点：正多边形与圆关系的抽象推理、复杂计算的步骤拆解及尺规作图的原理理解 知识点01 正多边形与圆 1. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 2. 圆的内接正n 边形 把一个圆n(n ≥ 3)等分，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n 边形，这个圆就是这个正n 边形的外接圆. 知识点02 正多边形的画法 1. 正n 边形的画法：将圆n 等分，然后顺次连接各等分点，即得到所要作的正n 边形. 2. 对于一些特殊的正n 边形，如正方形、正六边形、正八边形，可以用圆规和直尺作图. 如图 ①，在圆周上任定一点为圆心，以圆的半径为半径作弧，然后以弧与圆周的交点为圆心依次作弧，在圆周上得到6 个交点，依次连接，得到一个内接正六边形. 如图 ②，在⊙O中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形. 若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等. 知识点03 正多边形的性质及其相关概念 1. 性质 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 2. 有关概念 正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共 圆心. 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径. 正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径. 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角. 3. 正n 边形的每个中心角都等于 . 4. 设正n 边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则： (1)半径、边长、边心距的关系为R2=r2+()2； (2)周长C=na； (3)面积S= ar·n= Cr. 5. 正多边形的对称性 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正多边形的中心. 当 n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 特别提醒：边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距. 【即学即1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十八边形 【即学即练2】（2025·安徽池州·三模）如图，在正多边形中，若，则该多边形的内角和为 【即学即练3】（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）某中学在校园里建了一个读书亭．如图，它的地基是半径为的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 题型01 求正多边形的中心角 【例1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·安徽合肥·一模）正六边形内接于，以为边，正方形在内，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·安徽滁州·三模）如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为 ． 题型02 已知正多边形的中心角求边数 【例2】（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式2-1】（2025·安徽合肥·二模）如图，在正边形中，，则的值是 ． 【变式2-2】如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为 ． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ． 题型03 与正多边形有关的边长计算 【例3】（2024·安徽合肥·三模）如图，正六边形内接与，若的半径为5，则等于（    ） A．8 B． C． D．9 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，正六边形的边长为为正六边形的外接圆，连接，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 【变式3-2】（2025·安徽·模拟预测）如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 【变式3-3】如图，是的内接正三角形，四边形是的内接正方形，若，则正方形的边长是 ． 题型04 与正多边形有关的角度计算 【例4-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-1】（2025·安徽滁州·二模）如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·安徽合肥·三模）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 题型05 与正多边形有关的面积问题 【例5-1】（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，正八边形内接于，且的半径为，则的面积为（    ）    A．8 B． C． D．16 【例5-2】（22-23九年级上·安徽芜湖·月考）如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 【变式5-1】（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，将的圆周等分，圆内接矩形的面积为，则圆内接正六边形面积为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·安徽·模拟预测）如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽淮南·月考）如图，正六边形的边长为2，求该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积． 题型06 正多边形的实际应用 【例6-1】（23-24九年级下·安徽淮北·月考）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·安徽合肥·一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则正六边形的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 【变式6-1】（2025·安徽池州·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·安徽阜阳·一模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，为的内接正八边形的一边，，设劣弧所在的扇形的面积为，的面积为，比较大小： （填“”或“”）． 【变式6-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A． B．3 C． D． 2．（2024·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·安徽·一模）如图，正六边形内接于，连接，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·安徽·开学考试）如图，正六边形内接于，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽合肥·三模）下列命题：①各角相等的多边形是正多边形；②任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等．其中，真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，若的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为（    ） A．3 B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，等边三角形和正方形都内接于，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为的面积为，则（    ） A．2 B．1 C． D． 二、填空题 9．（2020·安徽安庆·模拟预测）如图，点A、B、C、D在⊙O上，满足AB//CD，且AB=AC，若∠B=110°，则∠DAC的度数为 ． 10．（2020·安徽亳州·二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠AOC＝∠ABC，AC＝5，则⊙O的半径长为 ． 11．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长，进而确定圆周率．某圆的半径为R，其内接正十二边形的周长为C．若R＝，则C＝ ，≈ （结果精确到0.01，参考数据：≈2.449，≈1.414）． 12．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小等于 °． 三、解答题 13．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数． 14．（22-23九年级上·安徽淮南·月考）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，求的值． 15.如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB=AC．    （1）求证：DE平分∠CDF； （2）求证：∠ACD=∠AEB． 16.如图，是的外接圆，的外角的平分线交于点E，连接CE、BE.    （1）求证：； （2）若，，求劣弧BC的长度. 17．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）仔细阅读以下画图过程，并解决问题： 如图1，已知及圆上一点.作法： ①如图2，连接并以为边作交于点； ②在圆上依次取点，点，点，点，使得； ③顺次连接各点，得到六边形； ④如图3，过点作的切线，交延长线于点，作直线．             解决问题： (1)若六边形的面积为，求的半径的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 18．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动． （1）求图①中的度数 （2）图②中的度数是______，图③中的度数是______； （3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $