2026睥高一数学人教A版寒假作业（三）函数的概念与性质

高一数学寒假作业（三）函数的概念与性质 一、单选题 1．若幂函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C．18 D．20 4．已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，若，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 6．若函数，则的值为（    ） A．2022 B．4042 C．4044 D．8084 7．已知函数是上的减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选题 9．下列的取值中能使函数在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D．的图象关于原点对称 11．定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．函数有个零点 C． D．的图象关于直线对称 三、填空题 12．函数的定义域为 . 13．已知偶函数在上是减函数，若则的解集为 ． 14．设函数定义在上，，，且当时，.若，则 ， 四、解答题 15．已知函数． （1）求的值； （2）求证：是定值． 16．已知函数 (1)若，则求满足条件的x的值： (2)解关于x的不等式的解集. 17．已知定义域为R的函数是奇函数. （1）求的值； （2）已知函数为上的减函数，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 18．已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 19．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”． (1)如图，若为坐标原点，两点坐标分别为和，求； (2)若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积； (3)已知函数是图象上一个动点，求的最值，并求出此时点的坐标． 试题第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高一数学寒假作业（三）函数的概念与性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C B D A C BD ABC 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据幂函数的图象和性质依次判断选项即可. 【详解】A：函数的图象关于y轴对称，且与x轴有公共点，故A不符合题意； B：函数的图象关于原点对称，且与x轴有公共点，故B不符合题意； C：函数的图象关于原点对称，且与x轴无公共点，故C不符合题意； D：函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，故D符合题意. 故选：D. 2．A 【分析】根据二次函数特征直接计算即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以对称轴，所以. 故选：A 3．B 【分析】根据奇函数性质可得，再结合奇函数的定义运算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 则，解得， 可得当时，， 所以. 故选：B. 4．C 【分析】由复合函数的定义域求得集合，记，问题转化为求在时的最小值，从而得参数范围． 【详解】∵的定义域为，∴，，则．令，，使得成立，即大于在上的最小值．∵，∴在上的最小值为，∴实数的取值范围是． 故选：C． 5．B 【分析】利用零点存在性定理求解即可. 【详解】由已知得函数连续且单调递增， 因为，， 所以， 由零点存在性定理可知存在使得， 故选：. 6．D 【分析】根据函数解析式，计算，结果等于4，推得函数图象关于点成中心对称，由此利用函数的对称性，即可求得答案. 【详解】由题意函数，定义域为， 则， 故， 即函数的图象关于点成中心对称， 故， 故 ， 故选：D 7．A 【分析】根据函数在R上是减函数特征，两段函数各自为减函数，再结合分段点处的高低可求参数的范围． 【详解】由题可知，是上的减函数，当时，， 当时，， 对称轴是，时满足递减，即， ， 综上，， 故选：A 8. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 9．BD 【分析】分和两种情况，求出答案再取并集即可. 【详解】（1）当时，在区间上单调递减 ，符合题意； （2）当时，使函数在区间上单调递减，则 ，解得 ， 综上， 故选：BD 10．ABC 【分析】由为偶函数，故的图象关于对称，即可判断A；由条件可得①，令可判断B；由题意可得②，联立①②可得，可判断C；由为图象的一条对称轴，可得的对称轴，可判断D. 【详解】因为为偶函数，得，故的图象关于对称， 故，故A正确； 由得，，代入中， 得①，令，得，故B正确； 因为为偶函数，故， 故由得，， 则，故②， 联立①②，可得，故为图象的一条对称轴，故C正确； 而，故的图象关于y轴对称，故D错误， 故选：ABC． 11．ACD 【分析】对于A，先判断函数的奇偶性和对称中心，进而求得当时的函数表达式；对于B，根据函数的单调性画出图像，进而进行判断；对于C，先根据已知条件判断出函数是以4为周期的周期函数，从而求得；对于D，根据函数的对称性进行判断即可. 【详解】由关于点对称，则关于原点对称，即为奇函数， 设，则， ，则，A错； ，， ∴函数是以4为周期的周期函数，，C错； 由，即， 所以关于点对称，D错； 函数的零点个数就是函数图象与函数图象的交点个数， 当时，当时，，当时，， 且在上单调递减，在上单调递增， 又在一个周期内单调递增，值域为， 同一坐标系内作函数与的图象如下： 观察图像知与有3个交点，B正确 故选：ACD. 12． 【分析】由被开方数非负和分母不等式0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得且， 故的定义域为. 故答案为： 13． 【分析】由函数的奇偶性与单调性化简求解 【详解】偶函数在上是减函数，则在上是增函数， ，则，当或时，， 当或时，， 的解集为 故答案为： 14． 0 /1.3 【分析】分析得到当时，，所以，化简得到，所以. 【详解】由函数方程，令 得到，因为存在使得，所以， 令得到，即； 所以当时，，所以； 当，令 ，则右边 ，左边，因为，所以，所以，即 令 ，则，因为 ，所以，所以， 令，得到，结合，所以 所以，所以. 故答案为： 0，. 15．（1）1，1；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据函数解析式代入即可求解. （2）根据解析式，代入整理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2），是定值． 16．(1) (2) 【分析】（1）通过解方程求得正确答案. （2）通过解不等式求得正确答案. 【详解】（1）由得或， 解得. （2）由得或， 解得或， 所以不等式的解集是. 17．（1）（2） 【分析】（1）利用即可求解. （2）利用函数的奇偶性、单调性即可求解. 【详解】（1）因为是R上奇函数，所以， 即此时， 因为成立，所以 （2）因是奇函数，从而不等式： 等价于 因为减函数，由上式推得：. 即对一切有： 从而判别式 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，考查了函数的奇偶性、单调性解不等式，属于基础题. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法，令，可得，由转化为为自变量的函数，再将自变量换成，从而得到的解析式. （2）求出，其图象的对称轴方程为.按照对称轴在区间的左中右依次讨论求解. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得，将进行整理得到，由的范围求出的范围，令，则转化为为自变量的函数，则在的范围上单调递减，可以求出，即.根据的表达式，按照，，这三种情况讨论求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）令，可得， 由可得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可得， 其图象的对称轴方程为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以； ②当，即时，函数在上单调递减， 所以； ③当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 综上，. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得 ， 当时，，令， 记，则在上单调递减， 所以，所以. 由（2）可得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得，则和求交集得到. 综上，实数的取值范围为. 19．(1)5；5；4； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据题中的定义直接计算可得； （2）由题中定义得轨迹方程，进而可得面积值； （3）设，得转化为二次函数的在闭区间上的最值. 【详解】（1）因两点坐标分别为和，根据， 得，，. （2）设，由，得. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以其轨迹是一个以为顶点的正方形. 正方形的边长为，其面积为.如图： （3）因M点在的图象上，设， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，当时，， 当时，，当时，. 所以当时，，当时，. 故的最小值为，此时，的最大值为，此时. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $