2026年高一数学人教A版寒假作业（一) 集合与简易逻辑

高一数学寒假作业（一）集合与常用逻辑用语 一、单选题 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．设全集且，集合，则真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（    ） A．，使得 B．，都有 C．已知集合，，则对于，都有 D．，使得方程成立． 10．“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 11．已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 13．已知集合，，若满足，则实数a的值为 ． 14．已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为 . 四、解答题 15．集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 16．设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 17．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 19．已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性；（不需写出判断过程） (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合. 答案第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高一数学寒假作业（一）集合与常用逻辑用语》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B B A C C AB CD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2．D 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，结合已知命题求出其否定，进而判断选项． 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 全称量词命题的否定为，故D正确． 故选：D． 3．C 【分析】化简集合，根据集合的交集运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 4．B 【分析】根据给定条件，利用集合并集的概念与运算求解即得． 【详解】，，所以． 故选：B 5．B 【分析】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7. 【详解】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 6．A 【分析】化简已知条件，根据充分条件、必要条件的概念可得解. 【详解】由，得， 即，则， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：A 7．C 【分析】根据充分，必要条件的定义求解即可. 【详解】因为可得：，即， 所以或， 所以能推出，但推不出， 所以是的必要不充分条件 故选：C. 8．C 【分析】用列举法表示出全集，根据补集的概念求得，再根据集合元素个数与真子集关系计算可得. 【详解】全集且， 则，共4个元素， 所以真子集的个数为. 故选：C 9．AB 【分析】根据全称和特称量词的含义，结合去绝对值的方法、交集的定义和一元二次方程根的个数的判断，依次确定各个选项的正误即可. 【详解】对于A，当时，，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，，方程都不成立，D错误. 故选：AB. 10．CD 【分析】先判断出集合中元素个数，由此可求的取值范围，再通过真子集关系检验各选项即可求得结果. 【详解】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素， 因为，则有： 当时，， 当时，， 当时，， 因集合中只有个元素，则， 所给选项中：，， 所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件， 故选：CD. 11．AC 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，集合中元素绝对值的最小值为1， 易知当时，不存在使得成立，故错误； 对于，集合，对于任意的存在，使得成立，故C正确； 对于，集合，当时，， 易知当时不存在使得成立，故错误； 故选：AC 12．16 【分析】根据已知，只需考虑元素的情况即可． 【详解】由已知可得，一定是集合的元素，所以只需要考虑剩余元素出现在集合中的情况即可． 又集合的子集个数为，所以所有满足条件的集合的个数是16． 故答案为：16． 13．－3 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 14． 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为、、满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以、、一定各包含4个不同数值， 根据题意、、的最小元素必有，最大元素必有， 要使最小，则、、中最小元素分别为，而除外的另两个最大元素要尽量小， 如的最小元素为，最大元素为，此时要使、中最大元素尽可能小， 则，必属于，此时还剩下的最大数为， 则必为、中的最大元素，不妨令，要使中最大元素尽可能小， 则、必属于，此时还剩下的最大数为，即中最大元素为， 如，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 此时最小，最小值为； 同理，当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的积为. 故答案为：. 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据交集和并集的概念求解即可. （2）根据题意得到，从而得到，再解不等式组即可. 【详解】（1）若，，. 则，. （2）因为是的必要条件，所以. 所以. 16．(1)或 (2)或 【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案； （2）依题意可得，讨论集合是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果. 【详解】（1）当时，可得， 故可得或，而， 所以或 （2）由“”是“”的充分不必要条件可得； 当时，，解得，符合题意； 当时，需满足，且和中的等号不能同时取得， 解得； 综上可得，m的取值范围为或. 17．(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由是的充分不必要条件，可得是的真子集，再根据集合的包含关系列出不等式，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 则，解得； 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，（不同时取等号），解得. 所以实数的取值范围. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案. 【详解】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 19．(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 (2)1 (3)，，，或. 【分析】（1）由“包容”性的定义判断即可； （2），从而可得，分、可求得，即可得答案； （3）由题意可得集合C中共有6个元素，且，设，其中，，，从而可得或，分、分别求解即可. 【详解】（1）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性. 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 得到的两数中至少有一个属于集合， 所以集合具有“包容”性. （2）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去； 若，无解； ②当时，则， 由且，可知b无解， 故. 综上，. （3）因为集合C的子集有64个， 所以集合C中共有6个元素，且， 又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或. ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得. 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，，或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $