精品解析：海南省海口市华侨中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试卷

2025-2026学年九年级（上）1月月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分36分） 1. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 2. 下列不是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 由于国家出台对房屋的限购令，我市某地的房屋价格原价为8400元/米，通过连续两次降价后，售价变为6000元/米，下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，应该把方程两边同时（　　） A. 加上 B. 加上 C. 减去 D. 减去 5. 如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“炮”的坐标为，则棋子“马”的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，F是边上点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 8. 如图，在中，，分别是，上点，且．若，，，则（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 11. 已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：；；；（为任意实数）；若图象上存在点和点，当时，满足后，则的取值范围为．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，满分12分） 13. 若正方形的边长为，则其周长为_________． 14. 已知一元二次方程在中添加一个合适的数字，使该方程没有实数根，则添加的数字可以是______． 15. 如图：对角线相交于点O，E是中点，若，则_______． 16. 如图，在中，线段交于点O，E、F、H分别在线段上，且于H．若，，，，则的面积为 _______ ，的长度为 ________________ ． 三．解答题（共6小题，满分72分，每小题12分） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，已知是边长为的等边三角形，为上的一点，，动点为边上一点，动点从点出发，当点到达点时，整个运动停止，连接，作，交射线于点．设，以点、、、为顶点的四边形的面积为． （1）______（用含的代数式表示）． （2）试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 19 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注． 某学习小组为了解本校八年级学生视力情况． 随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容） （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为________人； （4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率________． 20. 学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米． （1）试求出这块三角形空地的面积； （2）计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价元，学校修建这个花园需要投资_____元． 21. 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D，已知点A，D的坐标分别为． （1）求抛物线的解析式及其顶点坐标； （2）点E为y轴上一点，若射线与直线的夹角为，求线段的长； （3）如图②，点P是线段上的一个动点，过点P作y轴的平行线，与抛物线交于点M，与x轴交于点N，在抛物线上是否存在点M，使得与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，E点在正方形的边的延长线上，交于F点，G点在的延长线上，且，的延长线交于H点．过点G作，交于M，O，N三点． （1）求证：； （2）探究线段之间的数量关系，并说明理由； （3）求证：B，O，D三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）1月月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分36分） 1. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 下列不是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判断，解题的关键是应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据这5个方面进行分析即可． 【详解】解：A、，化简得，未知数x的最高次数为1，不符合一元二次方程定义，故此选项符合题意； B、，符合一元二次方程定义，故此选项不符合题意； C、，移项得，符合一元二次方程定义，故此选项不符合题意； D、，化简得，符合一元二次方程定义，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 由于国家出台对房屋的限购令，我市某地的房屋价格原价为8400元/米，通过连续两次降价后，售价变为6000元/米，下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过连续两次降价后，我省某地的房屋价格原价为8400元/米，售价变为6000元/米，可列方程． 【详解】解：设连续两次降价， ． 故选：D． 【点睛】本题考查增长率问题，知道经过两次变化，知道变化前和变化后的结果，从而可列方程． 4. 用配方法解方程时，应该把方程两边同时（　　） A. 加上 B. 加上 C. 减去 D. 减去 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法——配方法，配方法解方程时，需在方程两边加上一次项系数一半的平方以完成平方，据此求解即可． 【详解】解：方程中，一次项系数为， 应加上， 方程两边同时加上， 故选：B． 5. 如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“炮”的坐标为，则棋子“马”的坐标为（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，解题关键是根据已知确定坐标原点，建立平面直角坐标系． 直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意，建立坐标系，其中棋盘方格边长代表坐标系中的两个单位长度， ∴棋子“马”的坐标为：． 故选：D． 6. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的增减性的应用，计算对称轴，比较点与对称轴的距离大小，结合性质判断即可． 【详解】∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越小， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．由平行四边形可得，，进而找出等角，判断相似三角形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， 图中的相似三角形共有6对， 故选：D． 8. 如图，在中，，分别是，上点，且．若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由勾股定理得，，再根据三角形的面积可得，即得，最后根据正切的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接．根据勾股定理知，因为是定值，所以当时，线段最短，即线段最短． 【详解】连接、． 是的切线， ； 根据勾股定理知， 当时，线段最短； 又，， ， ， 的最小值． 故选B． 11. 已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 根据题意，抛物线开口向上，点A、B在直线下方，且．通过代入点坐标建立不等式，求解t的范围． 【详解】∵点在直线下方， ∴， 解得． ∵点在直线下方， ∴， 解得． ∵ ： ∴， 解得． ∴． 故选：D． 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：；；；（为任意实数）；若图象上存在点和点，当时，满足后，则的取值范围为．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置可判断，根据特殊点可判断；根据最值可判断④；根据对称性可判断⑤，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】设抛物线与轴的交点为，， ∵由抛物线的开口向下，对称轴为直线， ， ∴， ∴当时，，当时，， 故错误，正确； 由图象可知，，根据对称轴，得， ∴ ∴，故正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， 当时，其函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； 如图所示，和点满足， ∴和点关于对称轴对称， ∴，， ∵， ∴，， 解得，故正确； 综上：正确，共个， 故选：． 二．填空题（每小题3分，满分12分） 13. 若正方形的边长为，则其周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，根据正方形的边长为，求出求周长即可． 【详解】解：正方形的边长为，则其周长为． 故答案为：． 14. 已知一元二次方程在中添加一个合适的数字，使该方程没有实数根，则添加的数字可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：设表示数，则， 解得：， 添加的数字可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 15. 如图：对角线相交于点O，E是的中点，若，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理．根据菱形的性质可得为的中点，由为的中点可得为的中位线，从而可得，即可解答． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ， ∵， ∴， 故答案为：4． 16. 如图，在中，线段交于点O，E、F、H分别在线段上，且于H．若，，，，则的面积为 _______ ，的长度为 ________________ ． 【答案】 ①. 84 ②. 【解析】 【分析】考查勾股定理、三角形的面积公式、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识，作于点P，由，且，，，得，求得，则，所以，而，所以，则，取的中点L，连接，而F为的中点，所以，且，则，，可证明，得，作于点T，取的中点R，连接，则，由，求得，则，，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点P，则， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵于H，， ∴， ∴， ∴， ∴， 取的中点L，连接， ∵， ∴F为的中点， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 作于点T，取的中点R，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：84，． 三．解答题（共6小题，满分72分，每小题12分） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，计算负整数指数幂，化简绝对值，计算零次幂，再合并即可； （2）先提取公因式，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∴， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查是的实数的混合运算，二次根式的加减运算，零次幂与负整数指数幂的含义，一元二次方程的解法，掌握以上基础运算是解本题的关键． 18. 如图，已知是边长为的等边三角形，为上的一点，，动点为边上一点，动点从点出发，当点到达点时，整个运动停止，连接，作，交射线于点．设，以点、、、为顶点的四边形的面积为． （1）______（用含的代数式表示）． （2）试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到，，即可求出的长； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论，需要注意的是有两个临界点，第一个是与重合的时候，第二个是与重合的时候． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， 故答案是：； 【小问2详解】 解：是等边三角形， ，． ， ， ， ， ， ， ，即， ． 当与重合时， ， ， ， ， ． 当时，点在线段上，连接，作，， ． ， ， ． 当，点在线段的延长线上，作，， ，． ． 综上，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，以及求函数关系式，三角函数，解题的关键在于能否熟练掌握相关知识进行求解． 19. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注． 某学习小组为了解本校八年级学生视力情况． 随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容） （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为________人； （4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率________． 【答案】（1）抽样调查 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据普查和抽样调查区别即可判断； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据600乘以视力低于的人数所占的百分比即可求解； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查． 【小问2详解】 解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是， ∴这组数据的中位数是． 【小问3详解】 解：调查数据中，视力低于的人数有：（人）， ∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为： （人）． 【小问4详解】 解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下： 共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种， ∴恰好抽到两位男生的概率是：． 【点睛】本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，利用列表法或画树状图求解随机事件的概率，简单概率公式计算等知识，掌握相关知识是解题的关键． 20. 学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米． （1）试求出这块三角形空地的面积； （2）计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，学校修建这个花园需要投资_____元． 【答案】（1）平方米 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点作于点，设米，则米，再根据勾股定理求出的值，进而可得出的长，由三角形的面积公式即可得出结论； （2）用花园的面积乘以单价即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 设米，则米， 与中，由勾股定理得，， ， 即， 解得， 米， （米）， 这块三角形空地的面积为（平方米）； 【小问2详解】 学校修建这个花园需要投资（元）， 故答案为：． 21. 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D，已知点A，D的坐标分别为． （1）求抛物线的解析式及其顶点坐标； （2）点E为y轴上一点，若射线与直线的夹角为，求线段的长； （3）如图②，点P是线段上的一个动点，过点P作y轴的平行线，与抛物线交于点M，与x轴交于点N，在抛物线上是否存在点M，使得与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）线段的长为或 （3）在抛物线上存在点M，使得与相似，此时点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）利用抛物线的解析式求得点A，B，C的坐标，表示出线段的长度，得到为等腰三角形，利用分类讨论的思想方法分点E在的下方和点E在的上方两种情形解答：分别利用直角三角形的边角关系定理求得线段，则结论可求； （3）要使与相似，则使或，利用分类讨论的方法分①当时和②当时讨论解答：①由题意，轴，此时点M与点D的纵坐标相同，利用抛物线的解析式解答即可；②当时，利用相似三角形的判定与性质得出比例式，设，则,，利用直线的解析式求得线段，代入比例式得到关于m的方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：或． ∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴，． ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ①当点E在的下方时，即处时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 当点E在的上方时，即处时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 综上，线段的长为或． 【小问3详解】 解：在抛物线上存在点M，使得与相似，此时点M的坐标为或．理由： ∵， ∴要使与相似，则使或． ①当时，此时轴，如图①， ∵D的坐标为， ∴点M的纵坐标为． 令，则， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴此时点M的坐标为； ②当时，此时，． 过点D作于点H，与y轴交于点G，如图②， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设，则,， ∵， ， 设的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去）或． 当时，， ∴． 综上，在抛物线上存在点M，使得与相似，此时点M坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 22. 如图，E点在正方形的边的延长线上，交于F点，G点在的延长线上，且，的延长线交于H点．过点G作，交于M，O，N三点． （1）求证：； （2）探究线段之间的数量关系，并说明理由； （3）求证：B，O，D三点共线． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，综合运用这些知识解决问题是解答本题的关键． （1）先根据四边形是正方形，证明，推出，进而可得，根据，由等角的余角相等推出，据此即可得出； （2）连接，由（1）可得垂直平分，从而可得，再证明，即可得出，由此可得； （3）连接，由（2）可知证明是等腰直角三角形，进而可得，再证明可得，结合（2）得结论可得，由此证明，从而可得，进而得出，由此得出B，O，D三点共线． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：． 证明：如图1，，连接， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵； ∴； 【小问3详解】 证明：连接， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B，O，D三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $