卷4 第二章 相交线与平行线 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年七年级下册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦七年级下册“相交线与平行线”核心知识点，涵盖余角概念、垂线段最短、平行线判定与性质等内容。通过生活实例（如测量跳远成绩）和多地区期中期末真题导入，衔接角的度量前期知识，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于整合跨学科（物理折射现象）和新情境（仿生机器狗站立角度）试题，培养学生用数学眼光观察现实世界。解析注重推理过程（如射线转动分类讨论），“上分点拨”系统总结知识点，帮助学生用数学语言表达关系，提升推理意识，教师可直接用于分层教学，高效巩固学生基础与解题能力。

数 学 七年级下册 BS 1 2 3 卷4 第二章提优验收卷（B卷） 考查内容：相交线与平行线 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.[2025河北邯郸期中]已知与互为余角，，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为与互为余角，所以 ，所以 .因为 ,所以 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 上分点拨 余角的概念及角度的换算 余角：和为 的两个角互为余角； 度、分、秒的换算： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.[2025河南南阳期末]数学源于生活，寓于生活，用于生活.下列各选项中能用“垂 线段最短”来解释的现象是( ) C A.弯曲河道改直 B.木板上弹墨线 C.测量跳远成绩 D.两钉子固定木条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 【解析】A选项，弯曲河道改直，能够缩短路程，用到的数学知识为两点之间，线 段最短，故该选项不符合题意；B选项，木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线， 用到的数学知识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；C选项，测量跳远成 绩是测量脚后跟到起跳线的距离，用到的数学知识为垂线段最短，故该选项符合 题意；D选项，两钉子固定木条，用到的数学知识为两点确定一条直线，故该选项 不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第3题图） 3.[2025四川南充月考]如图，直线，相交于点 ， ,，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第4题图） 4.[2025陕西榆林调研]如图，直线，，相交于点 ，直 线与相交，则和 的位置关系是( ) B A.对顶角 B.同位角 C.内错角 D.同旁内角 【解析】根据题意可得，和 的位置关系是同位角.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 5.[2025陕西汉中月考]下列语句正确的是( ) B A.一条直线的平行线有且只有一条 B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.两条直线相交，交点叫作垂足 D.过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【解析】一条直线的平行线有无数条，所以A不正确；在同一平面内，过一点有且 只有一条直线与已知直线垂直，所以B正确；过一点向一条直线作垂线，交点叫作 垂足，所以C不正确；过直线上一点可以作无数条直线和这条直线相交，所以D不 正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第6题图） 6.[2025湖北中考]数学中的“ ”可以看作是两条平行的线段被第三条 线段所截而成，放大后如图所示．若 ，则 的度数是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】如图.因为， ，所以 ，所以 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.[2025广东广州期中]下列图形中，由一定能得到 的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】 选项 由 能得到的平行的直线 判断 A 无 不符合题意 B （内错角相等，两直线平行） 不符合题意 C 无 不符合题意 D （内错角相等，两直线平行） 符合题意 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8.[2025广西南宁月考，中]在同一平面内，，， 是直线，下列关于它们位置关 系的说法中，正确的是( ) D A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 【解析】若，，则，故A错误，不符合题意；若， ，则 ，故B错误，不符合题意；若，，则 ，故C错误，不符合题意； 若，，则 ，故D正确，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第9题图） 9.新情境 [2025广东深圳二模，中]随着科技的进步和人工智 能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴. 如图所示，仿生机器狗平稳站立时， ， ， ，此时 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，过作.因为，所以 ， 所以 ， ，所以 ，所以 .因为 ， ，所以 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第10题图） 10.[2025湖南岳阳期中，难]如图，，平分 ， 平分，直线，相交于点，则与 的数量关 系为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】如图,过点作，过点作.因为 ， 所以，所以 , ，, .因为 平分，平分，所以 , .因为, ，所以 ， ，所以 ，即题图中 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2025北京师范大学附属实验中学期中]已知点是直线上一点，点是 外一 点，，则点到直线的距离___.（填“ ”“ ”“”“ ”或“ ”） 【解析】如图，过点作，根据题意可知，即 ，所以点 到直线的距离 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 上分点拨 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作这个点到直线的距离，垂线段最短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 12.[2025陕西榆林期末]一个角的余角的3倍比它的补角多 ，则这个角的度数为 ____. 【解析】设这个角的度数是.根据题意，得 ，解得 ，即这个角的度数为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 13.[2025四川德阳期中]如图，已知，， ，则 的度数为____ . 75 （第13题图） 【解析】因为，所以 ，所以 .因为,所以 .故 答案为75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第14题图） 14.跨学科试题 [2025江西南昌期末]物理中有一种现象，叫折 射现象，例如，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会 发生改变.如图，建立折射现象数学模型， 表示水面，它与 底面平行，光线 从空气射入水中时发生了折射，变成光线 射到水底处，射线是光线的延长线.若 , ，则 ____. 【解析】因为，所以 .因为 ，所以 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 15.[2025吉林长春期末，偏难]图（1）是某自行车的简笔画，图（2）是其示意图. 已知，且都与地面平行， .有如下结论： ；②若 ，则；③若 ，则 ；④若 （点在的延长线上），则 .其中正确的是 _________. ①②④ 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解析】因为，所以 .因为 ，所以 ，故结论①正确.当 时，因为 ，所以 .又因为 ，所以 ，所以，故结论②正确.当 时， ，所以 ，所以与 不平行，故结论③错误. 当 时， ，所以 ，故结论④正确.综上， 正确的结论有①②④，故答案为①②④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 16.[2025福建厦门期中，难]如图，直线上有两点，，分别引两条射线 ， ，与在直线异侧.若 ，射线， 分别 绕点，点以秒和秒的速度同时顺时针转动，设转动时间为 秒，在射线 转动一周的时间内，当_______时，与 平行. 2或38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 【解析】,因为 ，射线 转动的速度 为秒，所以在射线转动一周的时间内，始终在 的右侧， 且易知当转到上时，与 不可能平行，故分以下三种情 况：①如图（1），与在 的两侧时， ，所以此时 .由题意得 ， . 要使 ， 则，即 ，解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 ②如图（2），与都在的右侧时， ，所 以此时 .由题意得 ， .要使 ，则，即 ，解得 . ③易知当转回到左侧时，与 不可能平行. 综上所述，当或38时，与 平行.故答案为2或38. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2025湖北武汉期中]（8分）如图，直线， 相交于点 ，平分 . （1）若 ，则与 的位置关系是_________. 【解析】因为平分，所以 .因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，即 .故答案为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）若，求 的度数. 【解】因为平分，所以.又因为 ，所以 .因为，所以 .因为 ，所以 ，所以 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 18.[2025重庆南岸区期中]（10分）如图，在 中， ，点为边上一点，点，为 边上两点，连接 . （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作直线 交于点，连接 ；（保留作图痕迹，不写作法） 【解】如图所示.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）在（1）所作的图形中，小南同学发现，若 ，则 .请完成下面的推导过程. 解：因为 （已知）， 所以 （________________________）. 因为 （已知）， 所以_____________________（等量代换）， 所以 （__________________________）， 所以____________（两直线平行，同位角相等）. 因为 （已知）， 所以 （等量代换）， 所以_________（垂直的定义）.#1.3.1.8 两直线平行，内错角相等 同旁内角互补，两直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 【解析】因为（已知）,所以 （两直线平行，内错角相等）. 因为 （已知），所以 （等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行），所以 （两直线平行，同 位角相等）.因为 （已知），所以 （等量代换），所以 （垂直的定义）.故答案为两直线平行，内错角相等; ;同旁内角互补，两直线平行; ; .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 19.[2025辽宁丹东期末]（10分）如图，，分别平分 和，和 互余. （1）请判断与 之间的位置关系，并说明理由. 【解】 .…………（1分） 理由：因为,分别平分和，所以， . 因为和 互余， 所以 ， 所以 ， 即 ，所以 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）请写出与， 之间的数量关系，并说明理由. 【解】 .…………（6分） 理由：因为,分别平分和 ， 所以， . 因为和 互余, 所以 ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 20.[2025吉林期中]（12分） （1）如图（1）， ，，试问， 与 之间满足怎样的数量关系？并说明理由. 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 【解】 .…………（1分） 理由如下：因为 ， 所以，所以 . 又因为 ， 所以，所以 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 图（1） 如图（1）,过点作交于点 . 因为，所以，所以 ， .因为 ， 所以 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 图（2） （2）一种路灯的示意图如图（2）所示，其底部支架与吊线 平行， 灯杆与底部支架所成锐角 ，顶部支架与灯杆 所成锐 角 ，求与 所成锐角的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 【解】如图（2）,过点作 .…………（8分） 图（2） 由题意可知， ， . 因为，所以 . 因为 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 所以 .…………（10分） 因为，，所以 ， 所以 ， 所以 ， 即与所成锐角的度数为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.[2025广东佛山期中]（12分）如图（1），把一块含 角的直角三角板 的 边放置于长方形直尺的边上，与交于点 . 图（1） 图（2） 备用图 （1）填空：_____ ，____ ； 120 90 【解析】由题意，得 ， .因为 ，所以 ， ，所以 . 故答案为120，90.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （2）［中］如图（2），现把三角板绕点逆时针旋转 ，当，且点 恰好落在边上时，若恰好是的倍，求 的值； 【解】因为恰好是的 倍， 所以 ， 解得 ， 所以 的值是36.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （3）［中］三角板按图（1）方式放置，现将射线绕点以每秒 的速度 逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒 的速度顺时针旋转得到射 线，当射线旋转至第一次与重合时，射线， 均停止旋转，设旋转 时间为.在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时 的值；若不存在， 请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 图（1） 【解】存在 .…………（8分） 如图（1）,由题意，得 ， .因为 ，所以 ，所以 ，解得 . 图（2） 如图（2）,因为，所以 ，所以 ，解得 . 综上所述， 的值为12或48.（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 22.综合与实践 [2025北京校级期中]（14分）阅读材料并回答问题： 【问题情境】 图（1） （1）如图（1），， ， ，求 的度数. 小明的思路是过作，通过平行线性质来求 的度数.按 小明的思路，易求得的度数为_____ . 110 【解析】过作.因为，所以 ，所以 ， ，所以 ,故答案为110.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 【问题迁移】 图（2） （2）如图（2），，点在射线 上运动，记 ， . ①［中］当点在，两点之间运动时，请直接写出与 ， 之间的数量关系； 图（1） 【解】 .（5分） 如图（1）所示，过点作.因为，所以 ， 所以 , ，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 ②［偏难］当点在，两点外侧运动时（点与点，， 不重合），判断 与 ， 之间的数量关系，并说明理由. 图（2） 【解】 .…………（6分） 理由如下：如图（2）所示，当点在点左侧时，过点 作 . 因为，所以，所以 , ， 所以 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 图（3） 如图（3）所示，当点在点右侧时，过点作 . 因为，所以，所以 , ， 所以 .…………（8分） 综上可得， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 【问题解决】 （3）［偏难］图（3）为北斗七星的位置图，将其抽象成图（4），其中北斗七星 分别记为，，，，，，，连接，若恰好经过点，且 ， ， ，那么与 有什么关系？请说明理由. 图（3） 图（4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 图（4） 【解】 .…………（10分） 理由如下：如图（4），过点作 . 设 . 因为，所以 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 所以 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 $