卷2 第一章 整式的乘除 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年七年级下册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦七年级下册整式的乘除，涵盖幂的运算、整式乘法、乘法公式等核心知识点。通过各地月考真题导入，结合表格对比幂的乘方与同底数幂乘法的区别，以解析步骤分解搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于融合新情境（纳米机器人科学记数法）、传统文化（幻方问题）和分层题型，通过错题辨析（小明解法判断）培养运算能力与推理意识，“上分总结”强化抽象能力与模型意识。学生能提升数学思维，教师可直接使用分层素材与总结工具，提高教学效率。

数 学 七年级下册 BS 1 2 3 卷2 第一章提优验收卷（B卷） 考查内容：整式的乘除 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.[2025湖南衡阳月考]下列各式中，计算结果为 的是( ) D A. B. C. D. 【解析】A选项，，不符合题意；B选项， ，不符 合题意；C选项，，不符合题意；D选项， ，符合题 意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 上分总结 幂的乘方与同底数幂的乘法的运算性质的区别 运算性质 不变 变化 公式 同底数幂的乘法 底数不变 指数相加 幂的乘方 底数不变 指数相乘 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.[2025河南郑州期中]计算： ( ) A A. B. C. D. 【解析】 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.[2025江苏盐城期中]已知，则 的值是( ) A A.81 B.27 C. D. 【解析】因为，所以 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 上分总结 同底数幂的乘法运算性质的拓展 同底数幂的乘法的运算性质也适用于三个或三个以上的同底数幂相乘： ，, ，都是正整数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 4.[2025山东青岛期中]下列计算结果等于 的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 【解析】 选项 分析 结论 A 不符合题意 B 不符合题意 C 符合题意 D 不符合题意 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 5.[2025江苏南京月考]要使成立，且是一个多项式， 是一个整数，则( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】设 ,则 , 所以，解得,所以，即, .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 6.[2025河北保定月考]将带余数的整数除法类比到一元 次多项式，我们可类似地 得到带余式的整式除法，已知整式，，，，其关系式为 ，其中 是被除式，是除式，是商式，是余式，若被除式是，商式是 ， 余式是 ，则除式是( ) D A. B. C. D. 【解析】因为被除式是，商式是，余式是 ，所以除式是 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 7.[2025四川内江期中]已知，，则 的值为( ) C A. B. C.2 D.1 【解析】 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 8.[2025江苏无锡期中，中]已知，，，则，， 的大小关系 是( ) B A. B. C. D. 【解析】，.因为，所以 ，所以 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 9.新考法 [2025河南郑州期末，中]图（2）是分别从正面、左面、上面看图（1） 中长方体得到的形状图，若用，， 分别表示三个形状图的面积，且 ，，则 ( ) A 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】因为， ，且从正面看和从 左面看得到的形状图宽均为，所以从上面看得到的形状图的长为 ，宽为 ，则 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 10.传统文化 [2025湖北武汉月考，难]“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》 中，现将数字 填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都 等于21，将每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为，， ，且 .如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记为，， ，则 的值为( ) D A.6 B.10 C.14 D.18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】因为每个圆圈上的四个数字的和都等于21，所以三个大圆圈上的数字之 和为，而 ，这是因为 ，，都加了两次，所以，所以 ， 所以 .三个大圆圈上的数字的平方和为 ，而，这是因为 , ,都加了两次，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .因为，所以，所以 ， 所以.将代入 得 ，所以 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2025江西抚州宜黄月考]计算： _ _. 【解析】 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 12.新情境 [2025江西上饶期末]纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用， 尺寸为几十至几百纳米.例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为 米，数据 用科学记数法表示为___________. 【解析】 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 13.[2025江西抚州南丰月考]若的结果是四次二项式，则 ___. 1 【解析】 .因为结果是四次二项式，所以 ，，所以，,所以 .故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.[2025四川成都月考，中]乐乐发现三个大小相同的球恰好可以放在一个 圆柱形盒子里（底和盖的厚度均忽略不计），截面示意图如图所示，则三个 球的体积之和占整个盒子容积的__球的体积计算公式为， 为球 的半径 【解析】设球的半径为，则由题意可得圆柱的底面半径为，高度为 ，所以圆 柱形盒子的容积为，三个球的体积之和为 ，故三 个球的体积之和占整个盒子容积的 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 15.[2025湖南衡阳期末，中]若的结果中不含 的一次项，则 __. 【解析】 . 因为结果中不含的一次项，所以，解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 上分技巧 解决不含某项（或与某字母无关）问题的方法 若所求结果中不含某一项（或某几项），则这一项（或这几项）的系数为0，据此 可构造方程（组）确定字母的值，从而解决其他问题；当一个整式的取值与某字 母无关时，说明该整式化简后不含该字母，故含该字母的项的系数为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 16.新定义 [2025新疆中考，难]对多项式，，定义新运算“ ”： ；对正整数和多项式,定义新运算“ ”: （按从左到右的顺序依次做“ ”运算）.已知正整数 ，为常数，记，，若 不含 项，则 ____. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 【解析】因为，所以当 时， ；当时， ; 当时， ;当 时， ; ，所以当时，，当时， ，所 以 ， ，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 因为不含项，所以 ，所以 .设,，则 ，所以 .因为,均为2的正整数幂，为偶数，所以,，所以 , ，所以,，所以 .故答案为15． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2025四川内江期中]（8分） （1）计算： ； 【解】原式 …………（4分） （2）利用乘法公式计算： . 【解】 .…………（8分）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 18.[2025河北沧州模拟]（10分）已知， . （1）求 的值； 【解】 .（3分） 因为， ， 所以原式 .…………（5分） （2）求 的值. 【解】因为，所以，即 . 因为 ， 所以 ,…………（8分） 所以 .（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 19.[2025浙江温州期中]（10分）在化简 的过程中， 小明有以下两种解法： 解法一：原式 （第一步） .（第二步） 解法二：原式 （第一步） （第二步） .（第三步） 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，若不正确， 请指出小明是从哪一步开始出现错误的；若两种解法都不正确，请你写出正确的 解答过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 【解】小明的两种解法都不正确.解法一、解法二均从第一步开始出现错 误.…………（4分） 正确的解答过程： 原式 …………（7分） .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 20.[2025北京海淀区期末]（12分）小聪学习多项式时研究了多项式值为0的问题， 发现当或 时，多项式 的值为0，把此时 的值称为多 项式 的零点. （1）已知多项式 ，则此多项式的零点为_ ______. 或3 【解析】根据题意，令，所以或 ，解得 或，故答案为 或3.（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）已知多项式有一个零点为2，求多项式 的另一个零点. 【解】根据题意，把代入，得 ，解得 .…………（4分） 把代入，得，令，解得 ， 所以多项式的另一个零点是 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （3）小聪继续研究，， 等，发现在数轴上表 示多项式零点的两个点关于过表示3的点且与数轴垂直的直线对称，他把这些多项 式称为“ 系多项式”.若多项式 ,,均为非零常数是“ 系多项式”，则____，___, ___. 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【解析】因为 ， 所以的两个零点分别是 和7. 根据“系多项式”的定义，有 ， 所以 . 把代入 ， 得 . 因为 ， 所以， ， 所以， . 故答案为 ,1,2.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 21.新考法 [2025浙江温州期中]（12分）在月历中，我们可以发现其中某些日期 满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究. 探究主题：月历中的数学 初步探究 （1）图（1）是2025年4月份的月历，用图（2）所示的“ ”字形框架任意框住月历 中的5个数（如图（1）中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A， 上的 数相乘，再相减，尝试计算： ____ 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【解析】 . 故答案为15.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 猜测说明 （2）[中]多次尝试可以发现，上述运算结果是定值.设“ ”字形框架中位置C上的数 为 ，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明 【解】已知“”字形框架中位置C上的数为，则A，B，D， 四个位置上的数依次 为，，， . 由题意得， ，所以将位置B，D上的数相乘，位置A， 上的数相乘，再相减，结 果为定值.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 深度探究 （3）[中]在某月的月历中，两个“ ”字形框架位置如图（3）所示，若每个框架中 位置A，上的数各自相乘，两积之差为360，求， 的值 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 【解】第一个“”字形框架中，中间位置上的数为，则最小的数为 ，最大的 数为；第二个“”字形框架中，中间位置上的数为，则最小的数为 ，最 大的数为 . 由题意得， ， ， ， .…………（10分） 由题图可得，，即 ， 所以 , 所以，所以 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 22.综合与实践 [2025辽宁锦州期中]（14分）【背景阅读】在数学的学习中，我 们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化. 【问题解决】 图（1） （1）根据图（1）所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式 是________________________. 【解析】由题意可得 ，故答案为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 图（2） （2）用4个完全一样的长和宽分别为， 的长方形拼摆成一个如 图（2）所示的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写 出这三个代数式，， 之间的等量关系式： ________________________. 【解析】由题意可得 ，故答案为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【拓展应用】 （3）［中］如图（3），是线段上的一点，分别以， 为边向两边作正方 形和正方形.已知，两正方形的面积之和为20，求 的面积. 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【解】由题意可知， ，所以 .…………（7分） 因为 ， 所以 .…………（9分） 因为易知 ,且正方形中， ， 所以 .（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （4）［难］若，求 的值. 【解】因为， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 $