1.4 整式的除法-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦整式除法运算，核心知识点为单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则。课堂导入通过复习同底数幂的除法、单项式乘单项式等旧知，搭建学习支架，自然引出新知，梳理前后知识脉络。 此教案亮点在于以探究活动为主线，学生通过乘除互逆、类比分式约分等方法自主归纳法则，发展抽象能力与推理意识。结合地球到太阳距离计算等实例，培养模型意识，变式训练与错误辨析提升运算能力，助力学生掌握算理，也为教师提供清晰教学路径。

4 整式的除法 课题 4 整式的除法 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P26-27 教学目标 1.经历单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则的探索过程，理解整式除法运算的算理，进一步感悟类比、归纳、转化等数学思想方法，积累数学活动经验。 2.能进行简单的整式除法运算（仅限于单项式除以单项式、多项式除以单项式，且结果是整式的除法），发展运算能力。 教学重难点 重点：掌握整式除法运算的运算法则，并学会简单的整式除法运算。 难点：1. 理解和体会单项式除以单项式的法则。 2. 准确运用法则将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 复习回顾： 1.同底数幂的除法法则是什么? 2.单项式乘单项式和单项式乘多项式的运算法则是什么？ 师生活动：教师带领学生对同底数幂的除法法则、单项式乘单项式和单项式乘多项式的运算法则进行回顾复习，请学生回答上述问题，引出本节课课题。（教师板书课题：4 整式的除法） 通过对前面知识的回顾复习，巩固学过的知识，为将要学习的整式的除法做铺垫。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 计算下列各题，并说说你的理由。 （1）x5y÷x2； （2）8m2n2÷2m2n； （3）a4b2c÷3a2b。 师生活动：让学生自己思考，计算，完成后互相交流自己的解法，教师鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题.教师巡视，发现学生的解题方法主要有两种： 方法一：利用乘除法的互逆； 方法二：利用类似分数约分的方法。 【思考·交流】 如何进行单项式除以单项式的运算？与同伴交流 师生活动：教师带领学生分析归纳，主要解决以下几个问题。 （1）系数怎么办？ （2）同底数幂怎么办？ （3）仅在被除式里含有的字母怎么办？ 学生发现：学生通过上面题目，容易发现单项式系数相除，同底数幂指数相减，仅在被除式里的字母及其指数不变。 教师活动：师生一起总结单项式的除法法则,通过填表的方式对比学习单项式除以单项式的运算法则。 单项式相乘 单项式相除 第一步 系数相乘 系数相除 第二步 同底数幂相乘 同底数幂相除 第三步 其余字母连同它的指数不变,作为积的因式 只在被除式里含有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式 【归纳总结】 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 【探究2】 【尝试·思考】 计算下列各题，并说说你的理由。 （1）（ad+bd）÷d； （2）(a2b+3ab)÷a； （3）(xy3-2xy)÷（xy）。 师生活动：让学生利用学过的内容独立解决这些问题，完成后交流，教师巡视.巡视发现，学生中有2种做法，有的学生可能类比数的除法把除以单项式看成是乘这个数的倒数，也可能利用逆运算进行计算。 方法1：类比数的除法得到 （1）（ad+bd）÷d=（ad+bd）·=a+b； （2）(a2b+3ab)÷a=（a2b+3ab）·=ab+3b； （3）(xy3-2xy)÷（xy）=（xy3-2xy）·=y2-2。 方法2：利用乘除法的互逆，得到 （1）因为（a+b）·d=ad+bd，所以（ad+bd）÷d=a+b。 （2）因为(ab+3b)·a=a2b+3ab，所以(a2b+3ab)÷a=ab+3b。 （3）因为(y2-2)·xy=xy3-2xy，所以（xy3-2xy）÷（xy）=y2-2。 【思考·交流】 如何进行多项式除以单项式的运算？与同伴进行交流。 师生活动：方法一：将被除式转化为除式乘另一个多项式的形式，利用除法和乘法互为逆运算的关系计算。 方法二：除以一个数相当于乘它的倒数，根据单项式乘多项式的运算法则，将多项式中的每一项与除式的倒数相乘再相加，也就是用多项式中的每一项除以除式，再相加。 利用乘除法逆运算，学生能够得出多项式除以单项式的运算法则，教师引导学生归纳运算法则，让学生能够运用自己的语言叙述如何进行运算。 【归纳总结】 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 。 让学生利用已经学过的知识独立解决这些题目。 在前面讨论的基础上，学生可以概括出单项式除以单项式的运算法则，便于学生理解。 让学生利用已经学过的内容独立解决问题，提倡算法多样化，培养学生类比推理的能力。 目的是让学生能理解运算法则及其探索过程，用自己的语言描述如何运算，提高学生总结归纳知识的能力。 3.学以致用，应用新知 考点1 单项式除以单项式 例1 计算： （1）2a6b3÷a3b2； （2）x3y2÷x2y； （3）3m2n3÷(mn)2； （4）(2x2y)3÷6x3y2。 解：（1）原式=2a6-3b3-2=2a3b。 （2）原式=(×16)x3-2y2-1=xy。 （3）原式=3m2n3÷m2n2=3m2-2n3-2=3n。 （4）原式=8x6y3÷6x3y2=(8÷6)x6-3y3-2=x3y。 考点2 单项式除以单项式的应用 例2 地球到太阳的距离约为1.5×108 km，光的速度约为3×108 m/s，求光从太阳到地球的时间。 解：因为1.5×108 km=1.5×1011 m 所以（1.5×1011）÷（3×108）=（1.5÷3）×（1011÷108）=0.5×103=500（s） 因此，光从太阳到地球的时间为500 s。 变式训练 先化简，再求值：（-2x3y4）÷（-x2y2）·（-x）-（x-2y）（2y+x）+x（x-xy2），其中x=-1，y=-2。 解：原式=-2x2y2-x2+4y2+x2-x2y2=-3x2y2+4y2， 将x=-1，y=-2代入上式得原式=-12+16=4。 考点3 多项式除以单项式 例3 计算： （1）(3xy+ y)÷y； （2）(ma+mb+mc)÷m； （3）(6c2d-c3d3)÷(-2c2d)； （4）(4x2y+3xy2)÷7xy。 解：（1）原式=3xy÷y+y÷y=3x+1。 （2）原式=ma÷m+mb÷m+mc÷m=a+b+c。 （3）原式=-6c2d÷2c2d+c3d3÷2c2d=-3+cd2。 （4）原式=4x2y÷7xy+3xy2÷7xy=x+y。 变式训练 计算： (1)(64x5y6-48x4y4-8x2y2)÷(-8x2y2)， (2)(0.25a2b-a3b2-a4b3)÷(-0.5a2b)。 解：（1）原式=64x5y6÷(-8x2y2)-48x4y4÷(-8x2y2)-8x2y2÷(-8x2y2)=-8x3y4+6x2y2+1。 （2）原式=-0.25a2b÷0.5a2b+a3b2÷0.5a2b+a4b3÷0.5a2b=-0.5+ab+a2b2。 例4 渭南市园林局为美化城区环境，计划在一块长方形空地上种植某种草皮，已知长方形空地的面积为(12a2b-3ab) m2，宽为3ab m，则这块空地的长为_________m。 答案：（4ab2-a） 通过例题讲解，进一步理解、巩固单项式除以单项式的运算法则，提高学生解决问题的能力。 通过变式训练巩固所学知识，掌握法则，灵活运用法则解决问题。 通过例题讲解，进一步理解多项式除以单项式法则，提高学生的计算能力。 通过变式训练巩固所学知识，掌握法则，灵活运用法则解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列算式中，不正确的是（ ） A．(-12a5b)÷(-3ab)＝4a4 B．9xmyn-1÷3xm-2yn-3＝3x2y2 C．4a2b3÷2ab＝2ab2 D．x(x-y)2÷(y-x)＝x(x-y) 答案：D 2.5x3y2与一个多项式的积为20x5y2-15x3y4+70(x2y3)2,则这个多项式为（ ） A．4x2-3y2 B．4x2y-3xy2 C．4x2-3y2+14xy4 D．4x2-3y2+7xy3 答案：C 3.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则其邻边长为________。 答案：a+2 5.下列计算错在哪里？应怎样改正？ （1）4a8÷2a2=2a4 （2）10a3÷5a2=5a （3）(-9x5)÷(-3x)=-3x4 （4）12a3b÷4a2=3a 解：（1）同底数指数幂相除，指数相减，4a8÷2a2=2a6。 （2）系数应为相除，10a3÷5a2=2a。 （3）商中系数的符号错误，(-9x5)÷(-3x)=3x4。 （4）被除式里单独有的幂，要保留在商里，12a3b÷4a2=3ab。 6.计算： （1）(2a2b2c)4z÷(-2ab2c2)2； （2）(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z。 解：（1）原式=16a8b8c4z÷4a2b4c4=4a6b4z。 （2）原式=81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z=9x4y2z。 7.计算: (1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷2xy3； (2)(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)。 解：(1)原式=6x3y4z÷2xy3-4x2y3z÷2xy3+2xy3÷2xy3=3x2yz-2xz+1。 (2)原式=-72x3y4÷9xy2+36x2y3÷9xy2-9xy2÷9xy2=-8x2y2+4xy-1。 8.先化简，再求值：［(ab+3)(ab-3)-3(a2b2-3)］÷ab，其中a=4，b=-3。 解：原式=(a2b2-9-3a2b2+9)÷ab=(-2a2b2)÷ab=-2ab， 当a=4，b=-3时，原式=-2ab=24。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.课堂小结 （1）单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 （2）注意事项：不要遗漏只在被除式中有而除式中没有的字母及字母的指数；系数相除时，应连同它前面的符号一起进行运算。 （3）多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 （4）注意事项：计算多项式除以单项式时不要忽略符号；多项式中的某一项倍被全部除掉后，该项的商为1，而不是0。 2.布置作业 课本P28习题1.4。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 单项式除以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 投影区 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $