15.1 图形的轴对称 寒假巩固2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版（2024）八年级上册 15.1 图形的轴对称 寒假巩固 【题型1】轴对称图形 【典型例题】下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：            ．（答案不唯一） 【举一反三4】下列图形中，是轴对称图形的有     ． ①角；②线段；③等腰三角形；④平行四边形；⑤圆. 【举一反三5】（教材改编）请你运用轴对称的知识设计一个你认为有意义的图案，并说明你的设计意图. 【题型2】对称轴的条数 【典型例题】下列图形中对称轴的数量最多的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示的图形是轴对称图形，其对称轴共有（    ） A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 【举一反三2】我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这个图案有　　条对称轴． 【举一反三3】试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？ 根据上表，可以猜想得到：一个正n边形有对称轴          条． 【题型3】画轴对称图形的对称轴 【典型例题】下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示的虚线中，是该图形对称轴的是(　　) A.直线a与直线b B.直线a与直线c C.直线a与直线d D.直线a，b，c，d 【举一反三2】用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A.①②③④ B.②③ C.③④ D.①② 【举一反三3】如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，在补全字母后，该单词所指的物品是________． 【举一反三4】下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴，并进行填空. 思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴． 【举一反三5】画出下列轴对称图形的对称轴． 【举一反三6】画出下列轴对称图形的所有对称轴（不考虑颜色）   【题型4】轴对称图形中的对应元素 【典型例题】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B′是对应点，则AD依次是△ABC的（　　） A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【举一反三1】如图，四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，线段AB的对应线段是（　　） A.AD B.DC C.BC D.BC 【举一反三2】如图，∠MON和线段GH分别是关于直线OP为对称轴的轴对称图形. （1）点G、点B的对应点分别是          ，线段PB的对应线段是         ； （2）∠MOP的对应角是           ，∠PAB的对应角是          . 【举一反三3】已知四边形ABFD和四边形AEFC分别是关于直线MN对称的轴对称图形，BC和DE的交点F在直线MN上． （1）点A，C，D，F的对应点分别为                 ； （2）∠B，∠E，∠C，∠BFN的对应角分别为                      ； （3）线段AB，AE，EF，FD的对应线段分别为                            ． 【举一反三4】如图，五边形ABCDE是轴对称图形，直线l是对称轴. （1）点B，点D的对应点分别是               . （2）线段AB、OD的对应线段分别是                  . （3）∠BAO、∠E、∠AOD的对应角分别是                   . 【题型5】成轴对称的两个图形 【典型例题】下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（ ） A. B. C. D. 【举一反三1】下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 【举一反三2】如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有_______对． 【举一反三4】（教材改编）通过本章的学习，你对轴对称及其作用的认识有怎样的提升?请以此为主题写一篇小短文（答案不唯一）. 【题型6】成轴对称图形中的对应元素 【典型例题】如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，点A的对称点是​（　　） A.点C B.点F C.点E D.点D 【举一反三1】下列说法正确的是（ ） A.成轴对称的两个图形中所有对称点分别在对称轴的两侧 B.成轴对称的两个图形中对称点可能重合 C.成轴对称的两个图形中所有对称点在对称轴的同一侧 D.成轴对称的两个图形中所有对称点在对称轴上 【举一反三2】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，对应点所连线段CC'与直线l交于点D，则　　　　是　　　　的垂直平分线.若CC'=6，则CD=　　　　，∠CDE=　　　　 °.  【举一反三3】如图，四边形ECDF与四边形EC′D′F关于EF所在直线对称. （1）点C，点D的对应点分别是               . （2）线段EC、CD、FD的对应线段分别是                  . （3）∠CEF、∠C、∠D′的对应角分别是                   . 【举一反三4】如图，已知△ABC和△A'B'C'关于直线l成轴对称. ①在图中标出点A，B，C的对称点A'，B'，C'； ②若AB＝5，则对应线段A'B'＝　　　　；  ③若∠A＝50°，∠C'＝20°，求∠B的度数. 【举一反三5】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称．BC与DE的交点F在直线MN上． 指出两个三角形中的对称点. 【题型7】轴对称图形的性质 【典型例题】如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，若∠B＝110°，则∠D等于（　　） A.110° B.70° C.90° D.30° 【举一反三1】如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是(　　) A.130° B.150° C.40° D.65° 【举一反三2】如图，在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】项目式学习 【举一反三4】如图，五边形是轴对称图形，直线是对称轴，已知五边形的周长为，，则四边形的周长为      ． 如图，△ABC和△ADE关于直线对称，与的交点F在直线上． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【题型8】成轴对称图形的性质 【典型例题】如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D，若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC等于（　　） A.30° B.45° C.52° D.72° 【举一反三1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）． A.50° B.30° C.100° D.80° 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，点D在AB上，且点D与点B关于直线l对称，则∠ACD的度数为（　　） A.16° B.18° C.36° D.54° 【举一反三3】如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′，那么∠A′的度数是________． 如图，△ABC和△ADE关于直线对称，已知，，．求的度数及，的长度． 【举一反三4】 【题型9】线段垂直平分线的性质 【典型例题】如图，在△ABC中，垂直平分，连接，，△BCE的周长为10，则的长是　　 A.4 B.5 C.6 D.10 【举一反三1】如图，在中， 的垂直平分线交于点，且，则的度数是（   ）    A. B. C. D. 【举一反三2】 如图，PD垂直平分AB，PE垂直平分BC，若PC的长为5，则PA的长是 　     　． 【举一反三3】如图，已知AE=BE，DE是AB的垂直平分线，BF=12，CF=3，则AC=________． 【举一反三4】如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点F． (1)若的长为，则的周长为________； (2)若，求的度数； (3)判断点F是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【题型10】线段垂直平分线的判定 【典型例题】某景区有一块三角形的草坪，A、B、C是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 【举一反三1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＝AF；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是(　　) A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 【举一反三2】如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是（    ） ①平分；②；③平分；④垂直平分． A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②③④ 【举一反三3】如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．则        ．    【举一反三4】如图中，，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接.则ED与AC的关系是          ． 【举一反三5】如图，在 △ABC中，∠ACB=90°，点D是BC的延长线上一点，EH是线段BD的垂直平分线，DE交AC于点 F.求证：点 E在线段AF的垂直平分线上. 【举一反三6】如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．请说明与的关系并证明你的结论． 【题型11】线段垂直平分线性质与判定的综合 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(　　) A.4 B.5 C.2 D.6 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B＝30°，分别以点B，C为圆心，以大于BC长为半径画弧，交于点M，N，作直线MN交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为(　　) A.30° B.45° C.50° D.60° 【举一反三2】线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°， ∠CAD=10°，则∠ACB=（　　） A.80° B.90° C.100° D.110° 【举一反三3】如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． 设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上． 【举一反三4】如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P． 求证：点P在线段AC的垂直平分线上． 【举一反三5】如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【题型12】与尺规作图相关的线段垂直平分线性质与判定 【典型例题】如图， 在中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（       ） A.2 B.3 C.4 D.6 【举一反三1】如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连接AF．若AB＝6，BC＝7，则△ABF 的周长为(　　) A.13 B.14 C.15 D.16 【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H、点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论： ①∠C=30°；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S△BEF=S△ABC. 其中，正确结论的个数有(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三3】如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AC＝8，AD＝5，则∠BAC的度数为________，BC的长为________. 【举一反三4】根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的        ． 【举一反三5】在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【举一反三6】尺规作图：按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知，求作射线，使它平分； (2)如图2，已知，用尺规在上确定一点P，使． 【题型13】作垂线 【典型例题】数学老师提出问题：已知线段，利用尺规作图作，使线段分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；②画直线；③分别以点为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点；④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接；⑤画射线，并在上截取线段，小明的作图顺序是（　　）    A.⑤①③②④ B.⑤④③②① C.⑤③②①④ D.⑤①④③② 【举一反三1】如图，在△ABC中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是( ) A.   B.   C.   D. 【举一反三2】下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图过程．在作图过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（　　） A.这两个“适当的长”相等 B.（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离 C.（2）中“适当的长”指等于线段的长 D.（2）中“适当的长”指大于点到直线的距离 【举一反三3】如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是        ．（填序号） ①为直线的垂线；②；③；④． 【举一反三4】（教材改编）尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 【题型14】作线段垂直平分线与角平分线 【典型例题】下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AC＝AD，∠A＝40°，则∠ACB的度数为(　　) A.120° B.110° C.105° D.95° 【举一反三2】如图，在中作出和，其中． (1)请你根据作图的痕迹，写出结论：是的__________； (2)请你根据作图的痕迹，写出结论：是边的__________； 【举一反三3】如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点B，D； ②分别以点B、点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作直线PE交BD于点F. 若BF＝2，PE＝6，则四边形PBED的面积为　　　　.  【举一反三4】已知如图，线段与，通过作图求一点，使，并且点到两边的距离相等．（要求，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【题型15】原命题、逆命题与互逆命题 【典型例题】下列命题的逆命题是真命题的是（  ） A.对顶角相等 B.同位角相等，两直线平行 C.直角都相等 D.全等三角形的周长相等 【举一反三1】下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A.如果，那么 B.如果两个角都是直角，那么这两个角相等 C.对顶角相等 D.相等的角是内错角 【举一反三2】命题“内错角相等”的逆命题为          ． 【举一反三3】请写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)如果，那么，； (2)若两个角互补，则这两个角的和为； (3)若，则． 【题型16】互逆定理 【典型例题】下列定理中，没有逆定理的是（    ）． A.两直线平行，同旁内角互补 B.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C.等腰三角形两个底角相等 D.同角的余角相等 【举一反三1】下列定理中，不存在逆定理的是(   ) A.等边三角形的三个内角都等于60° B.在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 【举一反三2】给出以下两个定理： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 应用上述定理进行如下推理： 如图，直线l是线段MN的垂直平分线. ∵点A在直线l上， ∴AM＝AN(　　).  ∵BM＝BN， ∴点B在直线l上(　　).  ∵CM≠CN，∴点C不在直线l上. 这是因为如果点C在直线l上，那么CM＝CN(　　)，  这与条件CM≠CN矛盾. 以上推理中各括号内应注明的理由依次是(　　) A.②①① B.②①② C.①②② D.①②① 【举一反三3】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的        ，而第一个命题的结论是第二个命题的        ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的        ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的        ． 【举一反三4】定理“全等三角形的对应角相等”       （填“有”或“没有”）逆定理． 【举一反三5】（原创）写出角平线的性质定理和判定定理，它们是互逆定理吗？ 【举一反三6】（原创）写出线段垂直平分线的性质定理和判定定理，它们是互逆定理吗？ 人教版（2024）八年级上册 15.1 图形的轴对称 寒假巩固（参考答案） 【题型1】轴对称图形 【典型例题】下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故该选项符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 【举一反三1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 【举一反三2】下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：B，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【举一反三3】众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：            ．（答案不唯一） 【答案】线段，矩形，圆等 【解析】解：根据轴对称图形的概念，关键在于一个平面图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【举一反三4】下列图形中，是轴对称图形的有     ． ①角；②线段；③等腰三角形；④平行四边形；⑤圆. 【答案】①②③⑤ 【解析】解：①角，②线段，③等腰三角形，⑤圆能找到到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； ④平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 【举一反三5】（教材改编）请你运用轴对称的知识设计一个你认为有意义的图案，并说明你的设计意图. 【答案】解：如图（答案不唯一）. 设计意图：利用基本图形1个等腰三角形、2个矩形、3个圆，设计出实际生活中的图形． 【题型2】对称轴的条数 【典型例题】下列图形中对称轴的数量最多的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A，有4条对称轴； B，有6条对称轴； C，有4条对称轴； D，有2条对称轴． 【举一反三1】如图所示的图形是轴对称图形，其对称轴共有（    ） A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 【答案】C 【解析】解：题中图是轴对称图形，共有4条对称轴. 【举一反三2】我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这个图案有　　条对称轴． 【答案】2 【解析】这是一个组合图形，它的外部是一个长方形，再根据它的组合特点，显然有2条对称轴. 【举一反三3】试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？ 根据上表，可以猜想得到：一个正n边形有对称轴          条． 【答案】解：如图所示： 根据上表，可以猜想得到：一个正n边形有对称轴n条． 【题型3】画轴对称图形的对称轴 【典型例题】下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：A，该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意； B，该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C，该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意； D，该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． 【举一反三1】如图所示的虚线中，是该图形对称轴的是(　　) A.直线a与直线b B.直线a与直线c C.直线a与直线d D.直线a，b，c，d 【答案】B 【举一反三2】用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A.①②③④ B.②③ C.③④ D.①② 【答案】A 【解析】解：①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴． 【举一反三3】如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，在补全字母后，该单词所指的物品是________． 【答案】书 【解析】解：如图所示， 这个单词所指的物品是书． 【举一反三4】下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴，并进行填空. 思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴． 【答案】3；4；5；6；n 【解析】解：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义可得只有第一个图形不是轴对称图形；作出各图形的对称轴，归纳规律即可． 【举一反三5】画出下列轴对称图形的对称轴． 【答案】解：如图所示. 【举一反三6】画出下列轴对称图形的所有对称轴（不考虑颜色）   【答案】解：如图所示： 【题型4】轴对称图形中的对应元素 【典型例题】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B′是对应点，则AD依次是△ABC的（　　） A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】解：观察图形可知，AD依次是△ABC的高、角平分线、中线． 【举一反三1】如图，四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，线段AB的对应线段是（　　） A.AD B.DC C.BC D.BC 【答案】C 【解析】解：∵四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴， ∴AD与DC，AP与CP，AB与BC，分别互为对应线段． 【举一反三2】如图，∠MON和线段GH分别是关于直线OP为对称轴的轴对称图形. （1）点G、点B的对应点分别是          ，线段PB的对应线段是         ； （2）∠MOP的对应角是           ，∠PAB的对应角是          . 【答案】解：∠MON和线段GH分别是关于直线OP为对称轴的轴对称图形， （1）点G、点B的对应点分别是点H和点A，线段PB的对应线段是线段PA. （2）∠MOP的对应角是∠NOP，∠PAB的对应角是∠PBA． 【举一反三3】已知四边形ABFD和四边形AEFC分别是关于直线MN对称的轴对称图形，BC和DE的交点F在直线MN上． （1）点A，C，D，F的对应点分别为                 ； （2）∠B，∠E，∠C，∠BFN的对应角分别为                      ； （3）线段AB，AE，EF，FD的对应线段分别为                            ． 【答案】解：（1）图中点A，C，D，F的对应点分别为A，E，B，F． （2）图中角∠B，∠E，∠AFC，∠BFN的对应角分别为∠D，∠C，∠E，∠DFN． （3）线段AB，AE，EF，FD的对应线段分别为AD，AC，CF，BF. 【举一反三4】如图，五边形ABCDE是轴对称图形，直线l是对称轴. （1）点B，点D的对应点分别是               . （2）线段AB、OD的对应线段分别是                  . （3）∠BAO、∠E、∠AOD的对应角分别是                   . 【答案】解： （1）点B，点D的对应点分别是点E，点C. （2）线段AB、OD的对应线段分别是线段AE、OC. （3）∠BAO、∠E、∠AOD的对应角分别是∠EAO、∠B、∠AOC. 【题型5】成轴对称的两个图形 【典型例题】下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称．解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故正确．故选D． 【举一反三1】下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 【答案】B 【解析】解：②③是轴对称，①④不是轴对称． 【举一反三2】如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A选项中的倒影与题图中的小船应关于水面对称，旗子的方向应该朝左，船头应该向左． 【举一反三3】如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有_______对． 【答案】4 【解析】解：关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，则有△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4对． 【举一反三4】（教材改编）通过本章的学习，你对轴对称及其作用的认识有怎样的提升?请以此为主题写一篇小短文（答案不唯一）. 【答案】解：轴对称现象在生活中广泛存在:无论是气势恢宏的大型建筑还是生活中随处可见的各种标志，无论是传统的民间艺术还是现代的工业设计，都不乏轴对称的身影.如我们用的课本，是长方形，它是轴对称图形，上、下两边的中点所在直线和左右两边中点所在的直线就是它的两条对轴；再如一些建筑的设计用轴对称设计，使它更和谐，更美观.通过开展搜集、欣赏、设计轴对称图案的活动，使同学们对轴对称的性质有了更深刻的认识.在这一过程中，感知并描述平面图形轴对称的规律，积累研究平面图形性质的经验，初步形成了合乎逻辑地思考、表达与交流的习惯，发展空间观念、几何直观和推理能力等. 【题型6】成轴对称图形中的对应元素 【典型例题】如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，点A的对称点是​（　　） A.点C B.点F C.点E D.点D 【答案】D 【解析】解：∵△ABC和△DEF关于直线l对称， ∴点A的对称点是点D． 故选：D． 【举一反三1】下列说法正确的是（ ） A.成轴对称的两个图形中所有对称点分别在对称轴的两侧 B.成轴对称的两个图形中对称点可能重合 C.成轴对称的两个图形中所有对称点在对称轴的同一侧 D.成轴对称的两个图形中所有对称点在对称轴上 【答案】B 【解析】解：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称．折叠后重合的点叫做对称点．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，对称点分别是A→A，B→D，C→E，可以发现选项A，C，D均不对，故选B. 【举一反三2】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，对应点所连线段CC'与直线l交于点D，则　　　　是　　　　的垂直平分线.若CC'=6，则CD=　　　　，∠CDE=　　　　 °.  【答案】直线l　线段CC'　3　90 【解析】∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称， ∴直线l是线段CC'的垂直平分线，∠CDE=90°， ∵CC'=6， ∴CD=CC'=3. 【举一反三3】如图，四边形ECDF与四边形EC′D′F关于EF所在直线对称. （1）点C，点D的对应点分别是               . （2）线段EC、CD、FD的对应线段分别是                  . （3）∠CEF、∠C、∠D′的对应角分别是                   . 【答案】（1）点C′，点D′. （2）线段EC′、C′D′、FD′. （3）∠C′EF、∠C′、∠D′. 【解析】解：（1）点C，点D的对应点分别是点C′，点D′. （2）线段EC、CD、FD的对应线段分别是线段EC′、C′D′、FD′. （3）∠CEF、∠C、∠D′的对应角分别是∠C′EF、∠C′、∠D′. 【举一反三4】如图，已知△ABC和△A'B'C'关于直线l成轴对称. ①在图中标出点A，B，C的对称点A'，B'，C'； ②若AB＝5，则对应线段A'B'＝　　　　；  ③若∠A＝50°，∠C'＝20°，求∠B的度数. 【答案】解　①点A'，B'，C'如图所示. ②对应线段A'B'＝5. ③∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∴∠C＝∠C'＝20°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－50°－20°＝110°. 【举一反三5】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称．BC与DE的交点F在直线MN上． 指出两个三角形中的对称点. 【答案】解：A→A，B→D，C→E. 【题型7】轴对称图形的性质 【典型例题】如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，若∠B＝110°，则∠D等于（　　） A.110° B.70° C.90° D.30° 【答案】A 【解析】解：由轴对称的性质可知，∠D＝∠B， ∵∠B＝110°， ∴∠D＝110°， 故选：A． 【举一反三1】如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是(　　) A.130° B.150° C.40° D.65° 【答案】A 【举一反三2】如图，在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点P是直线上的点， ∴，，，，， ∴，， ∴，， 故A，B，D选项正确， 无法判断， 故C选项不正确． 【举一反三3】项目式学习 【答案】解：（1）任务一：图形如图所示. （2）任务二：∵，，． ∴， ∴，即平分，故A选项结论正确，不符合题意； 由作图可知，BD垂直平分AC，∴，故D选项结论正确，不符合题意； 与不一定相等，故B选项结论不正确，符合题意． （3）任务三：四边形的面积 ． （4）项目小结：用到的知识是在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分． 【举一反三4】如图，五边形是轴对称图形，直线是对称轴，已知五边形的周长为，，则四边形的周长为      ． 【答案】 【解析】解：∵五边形是轴对称图形，直线是对称轴， ∴，，， ∵五边形的周长为，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 如图，△ABC和△ADE关于直线对称，与的交点F在直线上． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】 解 (1)由题意，得， 又∵， ∴， ∴． (2)∵ ∴． 又∵， ∴． 【题型8】成轴对称图形的性质 【典型例题】如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D，若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC等于（　　） A.30° B.45° C.52° D.72° 【答案】D 【解析】解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称， ∴△AOB≌△COB， ∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO， ∵∠BOD＝∠A+∠ABO， ∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°， ∴∠ABD＝2∠ABO＝52°， ∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°， 故选：D． 【举一反三1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）． A.50° B.30° C.100° D.80° 【答案】C 【解析】解：由已知条件，根据轴对称变换的性质可得∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°，利用三角形的内角和等于180°可求∠B=180°-80°=100°．故选C. 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，点D在AB上，且点D与点B关于直线l对称，则∠ACD的度数为（　　） A.16° B.18° C.36° D.54° 【答案】B 【解析】解：∵∠C＝90°，∠A＝36°， ∴∠B＝54°， ∵点D与点B关于直线l对称， ∴∠CDB＝∠B＝54°， ∵∠CDB＝∠ACD+∠A， ∴54°＝∠ACD+36°， ∴∠ACD＝18°， 故选：B． 【举一反三3】如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′，那么∠A′的度数是________． 【答案】60° 【解析】解：由题意可知△ADE与△A′DE关于DE所在直线成轴对称，根据轴对称的性质可知，∠A′=∠A=60°. 如图，△ABC和△ADE关于直线对称，已知，，．求的度数及，的长度． 【举一反三4】 【答案】 解 和关于直线对称， ，，， 又，，． ，，. 【题型9】线段垂直平分线的性质 【典型例题】如图，在△ABC中，垂直平分，连接，，△BCE的周长为10，则的长是　　 A.4 B.5 C.6 D.10 【答案】C 【解析】垂直平分， ． △BCE的周长为10， ， ， ． 【举一反三1】如图，在中， 的垂直平分线交于点，且，则的度数是（   ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：连接，如图，    ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴． 【举一反三2】 如图，PD垂直平分AB，PE垂直平分BC，若PC的长为5，则PA的长是 　     　． 【答案】5． 【解析】解：如图，连接PB， ∵PD垂直平分AB， ∴PA＝PB， ∵PE垂直平分BC， ∴PC＝PB， ∴PA＝PC＝5， 故答案为：5． 【举一反三3】如图，已知AE=BE，DE是AB的垂直平分线，BF=12，CF=3，则AC=________． 【答案】15 【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AF=BF ∴AC=AF+CF=BF+CF=12+3=15． 【举一反三4】如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点F． (1)若的长为，则的周长为________； (2)若，求的度数； (3)判断点F是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】解：（1）∵分别垂直平分和， ∴， ∴的周长 ． ∵， ∴的周长为. （2）∵， ∴， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：点F在的垂直平分线上，理由如下： 连接，如图， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． 【题型10】线段垂直平分线的判定 【典型例题】某景区有一块三角形的草坪，A、B、C是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】解：∵凉亭到三个商店的距离相等， ∴凉亭的位置应选在△ABC三边垂直平分线的交点上(中垂线的判定) 故选：D． 【举一反三1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＝AF；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是(　　) A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】D 【解析】∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°， 又∵AD＝AD， ∴△AED≌△AFD， ∴AE＝AF，DE＝DF， ∴AD垂直平分EF， ∴AD⊥EF， ∵AE2＝AF2，DF2＝DE2， ∴AE2＋DF2＝AF2＋DE2， 根据现有条件无法证明OA＝OD， ∴正确的有②③④. 【举一反三2】如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是（    ） ①平分；②；③平分；④垂直平分． A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②③④ 【答案】C 【解析】解：，， 在和中， 有，， ， ，，， 平分，平分， ①②③正确， ，， 垂直平分， ④错误． 【举一反三3】如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．则        ．    【答案】是线段的垂直平分线 【解析】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴是线段的垂直平分线． 【举一反三4】如图中，，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接.则ED与AC的关系是          ． 【答案】是的垂直平分线 【解析】解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线. 【举一反三5】如图，在 △ABC中，∠ACB=90°，点D是BC的延长线上一点，EH是线段BD的垂直平分线，DE交AC于点 F.求证：点 E在线段AF的垂直平分线上. 【答案】证明　过点E作EG⊥AF(图略)， ∵EH是线段BD的垂直平分线， ∴BE=DE，BH=DH，∠BHE=90°， 在△BEH和△DEH中， ∴△BEH≌△DEH(SSS)， ∴∠BEH=∠DEH， ∵∠ACB=90°， ∴EH∥AC， ∴∠BEH=∠A，∠DEH=∠AFE， ∴∠A=∠AFE. ∵EG⊥AF， ∴∠AGE=∠FGE， 在△AGE和△FGE中， ∴△AGE≌△FGE(AAS)， ∴AE=FE， ∴点E在线段AF的垂直平分线上. 【举一反三6】如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．请说明与的关系并证明你的结论． 【答案】解：是线段的垂直平分线，理由如下： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线. 【题型11】线段垂直平分线性质与判定的综合 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(　　) A.4 B.5 C.2 D.6 【答案】A 【解析】∵AB＝AC，OB＝OC，O在AD上， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴CDBC＝4. 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B＝30°，分别以点B，C为圆心，以大于BC长为半径画弧，交于点M，N，作直线MN交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为(　　) A.30° B.45° C.50° D.60° 【答案】D 【解析】由作图可知，MN垂直平分BC， ∴BD＝CD， ∴∠DCB＝∠B＝30°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°. 【举一反三2】线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°， ∠CAD=10°，则∠ACB=（　　） A.80° B.90° C.100° D.110° 【答案】C 【解析】解：由已知条件易得CD的连线垂直平分AB，所以AM=BM，∠AMD=∠BMD=90°，从而可证Rt△AMD≌Rt△BMD、Rt△AMC≌Rt△BMC，所以∠ACB=2∠ACM=2（∠ADM+∠CAD）=2×（12∠ADB+10°）=2×（12×80°+10°）=100°.故本题选C 【举一反三3】如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． 设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上． 【答案】解：点O在BC的垂直平分线上．理由如下： 如图，连接OA，OB，OC， ∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）. 【举一反三4】如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P． 求证：点P在线段AC的垂直平分线上． 【答案】证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB，PB＝PC， ∴PA＝PC， ∴点P在AC的垂直平分线上（中垂线的判定） 【举一反三5】如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【题型12】与尺规作图相关的线段垂直平分线性质与判定 【典型例题】如图， 在中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（       ） A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】C 【解析】解：根据作图过程可知是线段的垂直平分线， ， ，， ． 【举一反三1】如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连接AF．若AB＝6，BC＝7，则△ABF 的周长为(　　) A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】A 【解析】由尺规作图可知，DE是线段AC的垂直平分线， ∴AF＝CF， ∵AB＝6，BC＝7， ∴△ABF的周长＝AB+BF+AF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝6+7＝13. 【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H、点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论： ①∠C=30°；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S△BEF=S△ABC. 其中，正确结论的个数有(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】由作图可知，MN垂直平分线段AC， ∴EA=EC， ∴∠EAC=∠C， 由作图可知，AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， ∵∠ABC=90°， ∴∠C=∠CAE=∠BAE=30°，故①正确； ∴AC=2AB， ∵AF=FC， ∴AB=AF， ∴AP垂直平分线段BF，故②正确； ∵AE=2BE，AE=CE， ∴CE=2BE，故③正确； ∴S△BEF=S△BCF， ∵AF=FC， ∴S△BFC=S△ABC， ∴S△BEF=S△ABC，故④正确. 【举一反三3】如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AC＝8，AD＝5，则∠BAC的度数为________，BC的长为________. 【答案】90°　10 【解析】由题意得MN是AC的垂直平分线， ∴AD＝DC， 易证△ADE≌△CDE， ∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝DC， ∴BD＝AD， 过点D作DG⊥AB(图略)， 易证△ADG≌△BDG， ∴∠B＝∠BAD， ∴∠B+∠C＝∠BAD+∠DAC， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴∠BAD+∠DAC＝180°÷2＝90°，即∠BAC＝90°， ∴BC＝BD+CD＝2AD＝10. 【举一反三4】根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的        ． 【答案】中线 【解析】解：由作图的痕迹可知点D是线段的中点，所以线段一定为的中线． 【举一反三5】在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】解：（1）根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线. （2）过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，， 所以， 所以． （3）如图，连接， 因为直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为． 【举一反三6】尺规作图：按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知，求作射线，使它平分； (2)如图2，已知，用尺规在上确定一点P，使． 【答案】解：（1）如图所示，射线为所求. （2）如图所示，点为所求. 直线是的垂直平分线， ， ． 【题型13】作垂线 【典型例题】数学老师提出问题：已知线段，利用尺规作图作，使线段分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；②画直线；③分别以点为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点；④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接；⑤画射线，并在上截取线段，小明的作图顺序是（　　）    A.⑤①③②④ B.⑤④③②① C.⑤③②①④ D.⑤①④③② 【答案】A 【解析】解：由题意可知，小明的作图顺序是⑤①③②④． 【举一反三1】如图，在△ABC中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是( ) A.   B.   C.   D. 【答案】C 【解析】由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC， 过点P作PH⊥AC(图略)，易证△APH≌△CPH， ∴PA＝PC， ∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC. 【举一反三2】下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图过程．在作图过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（　　） A.这两个“适当的长”相等 B.（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离 C.（2）中“适当的长”指等于线段的长 D.（2）中“适当的长”指大于点到直线的距离 【答案】B 【解析】解：由题意可知（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离； （2）中“适当的长”指大于线段的长的一半， 四个选项说法中，只有B选项正确. 【举一反三3】如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是        ．（填序号） ①为直线的垂线；②；③；④． 【答案】③ 【解析】解：由作图方法可得出是线段的垂直平分线， 则为直线的垂线，故①正确，不符合题意； （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），故②正确，不符合题意； 无法得出，故③错误，符合题意； 可得，，则，故④正确，不符合题意. 【举一反三4】（教材改编）尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 【答案】解已知直线AB和AB外一点C． 求作：AB的垂线．使它经过点C． 作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁； （2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E； （3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F； （4）作直线CF． ∴直线CF就是所求的垂线． 【题型14】作线段垂直平分线与角平分线 【典型例题】下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：该选项是作角平分线，不符合题意； 该选项是经过直线外一点作已知直线的垂线，不符合题意； 该选项是作线段的垂直平分线，符合题意； 选项是经过直线上一点作已知直线的垂线，不符合题意． 【举一反三1】如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AC＝AD，∠A＝40°，则∠ACB的度数为(　　) A.120° B.110° C.105° D.95° 【答案】C 【解析】∵AC＝AD，∠A＝40°， ∴∠ACD＝∠ADC＝70°， 根据作图过程可知MN是线段BC的垂直平分线， ∴DC＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC＝∠ADC＝35°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝70°＋35°＝105°. 【举一反三2】如图，在中作出和，其中． (1)请你根据作图的痕迹，写出结论：是的__________； (2)请你根据作图的痕迹，写出结论：是边的__________； 【答案】解：（1）由作法可知，是的平分线． （2）由作法可知，是边的垂直平分线． 【举一反三3】如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点B，D； ②分别以点B、点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作直线PE交BD于点F. 若BF＝2，PE＝6，则四边形PBED的面积为　　　　.  【答案】12 【解析】由作图步骤可知， 直线PE是线段BD的垂直平分线， ∴DF＝BF＝2，PE⊥BD. ∴BD＝2BF＝4. ∵四边形PBED的对角线PE与BD互相垂直， ∴S四边形PBED＝PE·BF＋PE·DF＝PE·BD＝×6×4＝12. 【举一反三4】已知如图，线段与，通过作图求一点，使，并且点到两边的距离相等．（要求，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点为满足条件的点． 【题型15】原命题、逆命题与互逆命题 【典型例题】下列命题的逆命题是真命题的是（  ） A.对顶角相等 B.同位角相等，两直线平行 C.直角都相等 D.全等三角形的周长相等 【答案】B 【解析】解：A选项中逆命题为：相等的角为对顶角，假命题； B选项中逆命题为：两直线平行，同位角相等，成立，真命题； C选项中逆命题为：相等的角都是直角，假命题； D选项中逆命题为：周长相等的三角形全等，假命题； 故选B. 【举一反三1】下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A.如果，那么 B.如果两个角都是直角，那么这两个角相等 C.对顶角相等 D.相等的角是内错角 【答案】A 【解析】解：命题“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”，该命题是真命题，符合题意； “如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么两个角都是直角”，该命题是假命题，不符合题意； “对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，该命题是假命题，不符合题意； “相等的角是内错角”的逆命题为“如果两个角是内错角，那么它们相等”，该命题是假命题，不符合题意． 【举一反三2】命题“内错角相等”的逆命题为          ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是内错角 【解析】解：逆命题为如果两个角相等，那么这两个角是内错角． 【举一反三3】请写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)如果，那么，； (2)若两个角互补，则这两个角的和为； (3)若，则． 【答案】解：（1）如果，那么，的逆命题是如果，，那么，是真命题； （2）若两个角互补，则这两个角的和为的逆命题是若两个角的和为，则这两个角互补，是真命题； （3）若，则的逆命题是若，则， 当c=0时不成立，所以是假命题． 【题型16】互逆定理 【典型例题】下列定理中，没有逆定理的是（    ）． A.两直线平行，同旁内角互补 B.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C.等腰三角形两个底角相等 D.同角的余角相等 【答案】D 【解析】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意； B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意； C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意； D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三1】下列定理中，不存在逆定理的是(   ) A.等边三角形的三个内角都等于60° B.在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 【答案】D 【解析】解：A的逆命题：三个内角都是60°，那么这个三角形是等边三角形，正确； B的逆命题：在同一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边也相等，正确； C的逆命题：两直线平行，同位角相等，正确； D的逆命题：对应角相等，两个三角形全等，错，是相似； 故答案为D 【举一反三2】给出以下两个定理： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 应用上述定理进行如下推理： 如图，直线l是线段MN的垂直平分线. ∵点A在直线l上， ∴AM＝AN(　　).  ∵BM＝BN， ∴点B在直线l上(　　).  ∵CM≠CN，∴点C不在直线l上. 这是因为如果点C在直线l上，那么CM＝CN(　　)，  这与条件CM≠CN矛盾. 以上推理中各括号内应注明的理由依次是(　　) A.②①① B.②①② C.①②② D.①②① 【答案】D 【解析】根据题意，第一个空，由垂直平分线得线段相等，应用了性质，填①；第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；第三个空，应用了垂直平分线的性质，填①. 【举一反三3】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的        ，而第一个命题的结论是第二个命题的        ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的        ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的        ． 【答案】结论；条件；逆命题；逆定理 【解析】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【举一反三4】定理“全等三角形的对应角相等”       （填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【解析】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理． 【举一反三5】（原创）写出角平线的性质定理和判定定理，它们是互逆定理吗？ 【答案】解：角平分线的性质定理：在角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等； 角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 它们是互逆定理. 【举一反三6】（原创）写出线段垂直平分线的性质定理和判定定理，它们是互逆定理吗？ 【答案】解：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 它们是互逆定理. 学科网（北京）股份有限公司 $