第2章 一元二次方程（单元自测·提升卷）数学新教材浙教版八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第2章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．方程的解是（  ） A．， B． C．， D． 2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜园的四周，求这个长方形的长和宽．如图，若设一边的长为x，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 4．定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 5．代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 6．若方程与方程的解相同，则p、q的值为（    ） A． B． C． D． 7．如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 8．关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为．若，则n的值为（    ） A．2024 B．2025 C．4049 D．4050 10．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一元二次方程的两根之积为 ． 12．若是方程的根，则的值为 ． 13．三角形的两边长为3和6，第三边长是方程 的根，则该三角形的周长为 ． 14．温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为 米． 15．已知为实数，且，则 ． 16．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的．又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知∶，且，则代数式的值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解下列一元二次方程： (1)； (2) 18．（8分）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？ 19．（8分）今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在边上）．如图，点E在线段上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 21．（8分）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式、现列表探究的变形： 的变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： (1)表格中的值为__________； (2)观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________； (3)记的两个变形为和，则的值为__________． 22．（10分）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 23．（10分）阅读：关于的一元二次方程，我们知道当时，方程的两个实数根可以表示为：，， 此时方两根之和为：． 两根之积为：， 这就是一元二次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题： (1)求一元二次方程的两根之和与两根之积； (2)已知，是一元二次方程的两根，那这两根的平方之和等于____．这两根的倒数之和为_____． (3)已知，是一元二次方程的两根，，是的两根，则______，______． 24．（12分）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且满足，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的间隔点，称这样的方程为“间隔方程”． (1)下列方程是“间隔方程”的是________（填序号）． ①；②；③；④． (2)已知关于x的方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根且方程是“间隔方程”． (3)已知不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上，求b，c的值． (4)关于x的一元二次方程是否存在间隔点，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第2章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．方程的解是（  ） A．， B． C．， D． 2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜园的四周，求这个长方形的长和宽．如图，若设一边的长为x，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 4．定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 5．代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 6．若方程与方程的解相同，则p、q的值为（    ） A． B． C． D． 7．如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 8．关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为．若，则n的值为（    ） A．2024 B．2025 C．4049 D．4050 10．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一元二次方程的两根之积为 ． 12．若是方程的根，则的值为 ． 13．三角形的两边长为3和6，第三边长是方程 的根，则该三角形的周长为 ． 14．温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为 米． 15．已知为实数，且，则 ． 16．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的．又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知∶，且，则代数式的值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解下列一元二次方程： (1)； (2) 18．（8分）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？ 19．（8分）今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在边上）．如图，点E在线段上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 21．（8分）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式、现列表探究的变形： 的变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： (1)表格中的值为__________； (2)观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________； (3)记的两个变形为和，则的值为__________． 22．（10分）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 23．（10分）阅读：关于的一元二次方程，我们知道当时，方程的两个实数根可以表示为：，， 此时方两根之和为：． 两根之积为：， 这就是一元二次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题： (1)求一元二次方程的两根之和与两根之积； (2)已知，是一元二次方程的两根，那这两根的平方之和等于____．这两根的倒数之和为_____． (3)已知，是一元二次方程的两根，，是的两根，则______，______． 24．（12分）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且满足，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的间隔点，称这样的方程为“间隔方程”． (1)下列方程是“间隔方程”的是________（填序号）． ①；②；③；④． (2)已知关于x的方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根且方程是“间隔方程”． (3)已知不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上，求b，c的值． (4)关于x的一元二次方程是否存在间隔点，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第2章一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 A D B B A c c 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）》 11.-3 12.2 13.13 14.5 15.13 16.V5+1 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：x2+2x-3=0, (x+3)(x-1=0, x+3=0,x-1=0, 解得x=-3,x2=1;(4分) (2)解：2(x+3)2=xx+3), 2x+3)2-x(x+3)=0, (x+3)[2(x+3)-x]=0, (x+3)x+6)=0, x+3=0,x+6=0, 解得x1=-3,x2=-6.(8分) 18.(8分) 【详解】解：设每件童装应降价x元， 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可列方程为：(40-x)(20+2x)=1200, 解得：x=10或20， 故要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价10元或20元.(8分) 19.(8分) 【详解】解：设AC=xm,则CD=(42-3x)m, ,围成的售卖区的面积为120m2, .根据题意列一元二次方程得，x42-3x)=120, 3x2-42x+120=0, 解得x=4,x2=10, 当x=4时，CD=42-3×4=30>16,不合题意，舍去， 当x=10时，CD=42-3×10=12<16,符合题意， .x=10, ∴.AC的长为10m.(8分) 20.(8分) 【详解】(1)证明：一元二次方程x2-3mx+2m2=0, .△=(-3m2-4×1×2m2=9m2-8m2=m2≥0， .该方程总有两个实数根.(4分) (2)解：根据根与系数的关系，x+x3=3m,xx2=2m2, 又，2x1-x2=3, x1+x2=3m 联立方程组： 2x-x2=3’ x=m+1 解得 x2=2m-1' 代入xx2=2m2,得m+1)(2m-1刂=2m2, 即2m2+m-1=2m2, ∴.m-1=0, .m=1.(8分) 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21.(8分) 【详解】(1)解：x2-4x-3+6=6, x2-4x+3=6, (x-1(x-3)=6, 所以1=3， 故答案为：3；(2分) (2)解：-1+5=4， 0+4=4, 1+3=4, 2+2=4, 所以m+n为一次项系数的相反数， 即m+n=4; 故答案为：m+n=4;(5分) (3)解：由（2)的结论得到m+n1=-b，m2+n2=-b, 所以m,+n1=m2+n2, 即m1-m2=-(n1-n2, m1-m2= 1 2n-2m, n1-2= 2(n-n22 故答案为：2(8分) 22.(10分) 【详解】(1)解：：3x+42+k-1=0,k=- 2 3x+4_2-1=0, 3 即3x4r-号0. 令=y,原方程化为3沙+4，名0 .9y2+12y-5=0, 得：(3y-1(3y+5=0, 3/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1 5 解得：乃=34=3 当=为=-3 0时无资数酸合去：当=男时，=± 3 :原方程的解为x=5或x= (3分) 3 (2)解：r+a+x+a+1=0, 2 ÷△=a+l2-4x1×a+=a2+2a+1-2a2-2=-a2+2a-1=-(a-l2≤0， 2Γ :关于x的双二次方程3x+42+k-1=0和关于x的一元二次方程r2+口+1x+口+1=0有一个共同的 2 实数根， .-(a-12=0, 解得a=1, 2+1+1x++1-0 2 .x2+2x+1=0 解得x=x2=-1, 依题意，把x=-1代入3x4+4x2+k-1=0, 得3×-1+4×(-1)2+k-1=0, .3×1+4x1+k-1=0, 解得k=-6;(6分) (3)解：依题意，3x4+4x2+k-1=0, 令x2=y,原方程化为3y2+4y+k-1=0,此时y≥0， 即y≥0,3y2+4y+k-1=0无实数根， .3y2+4y+k-1 =3y+y+k-1 3 .4.44 =y+3+99 +k-1 ,2)2 7 =3y+3+k-3 4/8 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又y≥0， 当y=0时， +名k最小值，且要大于0，能荡足20.3中4+1上0数很 3 1,0, 7 ->0 .k-1>0, 解得k>1.(10分) 23.(10分) 【详解】(1)解：己知2x2+3x-1=0, 则两根之和为x+x2=-二= a21 c I 两根之积为6=。一2 答：两根之和为之两根之积为-片(3分> (2)解：已知-√2x2=x-4,可变形为V2x2+x-4=0, 12 4 则北+万2,222 可得-+-2（9-22列-5. 2 1+1=5+龙=2-1， 3xx2-224 故两根的平方之和为+42，倒数之和为} 答4,6分) (3)解：x,x2是一元二次方程x2+px+g=0的两根， 则x+x2=-p，xx2=9; x+1,x2+1是x2+qx+p=0的两根， 则x+1+x2+1=-9,(x+1)(x2+1)=p, 5/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可得x+1+2+1=-xx2,（x+1(x2+1)=-(x+x2, 即{ xx2+x+2+2=0① xx2+2x+2x,+1=0②' ②①可得x+x2-1=0,即x+x2=1,整体代入①中， 可得xx2=-3, 则1=-p,-3=q, 故p=-1,9=-3, 答：-1，-3.(10分) 24.(12分) 【详解】(1)解：①x2+x=6, .x2+x-6=0, .x+3)x-2)=0, 解得x=-3或x=2 -3+2≠2， 方程x2+x=6不是“间隔方程”； ②x2+4x+3=0, .x+1x+3=0, 解得x=-3或x=-1, -3+2=-1, .方程x2+4x+3=0是“间隔方程”； ®r00, 49’ 解得x=士」 1 二+2≠ 方程x2-1 =0不是“间隔方程”； 49 ④x2-8x=-15, 6/8 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .x2-8x+15=0, ∴.(x-3)(x-5)=0, 解得x=3或x=5, 3+2=5, 方程x2-8x=-15是“间隔方程”； 故答案为：②④；(4分) (2)证明：由题意得，△=[-2(m+)]-4(m2+2m) =4m2+2m+1-4m2+2m =4m2+8m+4-4m2-8m =4>0, :不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； :x2-2m+1x+m2+2m=0, ∴.(x-m)[x-(m+2]=0 解得x=m,X,=m+2, ,x1+2=m+2=x2 :方程x2-2(m+1x+m2+2m=0是“间隔方程”；(8分) (3)解：，不论k(k≠0)为何值，关于x的间隔方程x2+bx+c=0的间隔点M始终在直线 y=kx+2(2-k)上， .可设方程x2+bx+c=0的两个实数根为x,x2,且满足x,+2=x2, .M(x,x,+2, .x1+2=kx,+22-k), .x-2)k+2-x=0, .x1-2)(k-1=0 ,不论k(k≠0)为何值，关于x的间隔方程x2+bx+c=0的间隔点M始终在直线y=kx+2(2-k)上， 7/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .不论k(k≠0)为何值，等式x-2(k-1=0一定成立， .x1-2=0, .x=2, .x2=4, 2-6,4-f=8, .b=-6,c=8; (4)解：，x2+2mx+m2+m=0, .x2+2mx+m2=-m, .（x+m2=-m, 假设关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0存在间隔点M(x,2), 原方程有两个不相等的实数根， 解方程(x+m)2=-m得x=-m±m, ∴.x1=-m-√-m,x2=-m+V-m, x1+2=x2, ∴.-m-√-m+2=-m+√-m, 解得m=-1, ∴.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0存在间隔点M(x,x2),此时m=-1.(12分) 8/8 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第2章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．方程的解是（  ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即或， ∴方程的解为，， 故选：A． 2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据二次项系数不能为零，列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选D． 3．要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜园的四周，求这个长方形的长和宽．如图，若设一边的长为x，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（长方形面积与周长），熟练掌握长方形的周长和面积公式，并用未知数表示出另一边的长度是解题的关键.先根据篱笆总长得出长方形的周长，进而求出长与宽的和，再结合面积公式列出方程. 【详解】解：由题意可得 ， 故选：B． 4．定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．根据运算定义将方程转化为二次方程，计算判别式并分析其恒正，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即． 判别式． ∵， ∴恒成立． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5．代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，通过完成平方将代数式变形，利用平方的非负性判断其值恒为正数． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的值一定为正数， 故选：A． 6．若方程与方程的解相同，则p、q的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 先求第二个方程的两个根，这些根也是第一个方程的根，再利用根与系数的关系求 p 和 q即可． 【详解】解：解方程可得：， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， 根据根与系数的关系可得：，， ∴， ．     故选 C． 7．如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解一元二次方程，代数式求值，完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识点． 由方程左边非负可得，求出，得到，方程化为，利用非负性求出，或，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选：C． 8．关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、不等式的求解．利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入不等式求解，并考虑判别式确保方程有实根． 【详解】方程的根为，， 由根与系数关系，，， 代入不等式， 得， 化简得， ， ， 又方程有实根， 判别式， ． 综上，，故选． 9．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为．若，则n的值为（    ） A．2024 B．2025 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，找到规律并用“裂项法”进行求解是本题的关键． 首先根据规律探索找到的关系式，然后写出，利用“裂项法”进行化简，最终列等式进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，，，… ∴， ∴， ∴， ， ∴，即：， ∴或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴n的值为4049， 故选：C． 10．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据“特根方程”的定义，需满足两个实数根均负且比值在3到4之间．结论①直接计算验证；结论②通过根与系数关系求k，但需检验是否满足定义；结论③通过分析m的取值范围，确定整数解个数． 【详解】解：对于结论①：解方程得：， 满足，且，符合；∴①正确． 对于结论②：由一元二次方程可得：， 由得，解得． 当时，方程，解得，满足定义； 当时，方程，解得，则有，不满足定义，∴②错误． 对于结论③：方程，判别式， 由题意可知需且根均负，故． 解方程得（时）或（）． 比值，当时，，需，解得，无整数m； 当时，，需，解得，则有整数m仅为，∴③正确． 综上，①③正确； 故选C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一元二次方程的两根之积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：将方程化为标准形式， 其中二次项系数，常数项， 根据根与系数的关系，两根之积为， 故答案为：． 12．若是方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到，然后整体代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．三角形的两边长为3和6，第三边长是方程 的根，则该三角形的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系；先求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系确定符合条件的第三边，最后计算周长即可． 【详解】解：解方程 ， 因式分解得 ， 所以 ，． 当第三边为 3 时，两边之和 ，等于第三边 6，不满足三角形三边关系； 当第三边为 4 时，两边之和 ，，，满足三边关系， ∴第三边为 4， 周长为 ． 故答案为: 13． 14．温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设玻璃栈道的宽度是米，则扩建后矩形的长为米，宽为米，可列方程，解方程即可求出玻璃栈道的宽度． 【详解】解：设玻璃栈道的宽度是米， 则扩建后的矩形的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：玻璃栈道的宽度是5米． 故答案为：5． 15．已知为实数，且，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了换元法，二次根式的非负性，完全平方公式变形，换元法是解本题的关键．设,，由已知条件得，且，解出和的值，再代入所求表达式计算 【详解】解：设,，则 由,，得 将代入，得 展开得，即 两边除以2得 解方程得或（舍去，因为） 则 故 16．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的．又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知∶，且，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程、整体代入法求代数式的值，关键是代数式的转换； 利用降次法，根据已知方程 得到 ，将高次代数式 中的高次幂转化为低次表达式，逐步代入化简，最终结合 的条件求出具体值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 代入原式得： ， ∵ ， ∵ ， ∵， ∴  ， ∵ ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解下列一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟知解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形成解方程即可． （2）用因式分解法将方程变形成解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得 ； （2）解：， ， ， ， ， 解得 ． 18．（8分）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？ 【答案】每件童装应降价10元或20元 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每件童装的利润是解题关键．根据题意表示出降价元后的销量以及每件童装的利润，由平均每天销售这种童装盈利1200元，进而得出答案． 【详解】解：设每件童装应降价x元， 可列方程为：， 解得：或20， 故要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价10元或20元． 19．（8分）今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在边上）．如图，点E在线段上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 设，则，根据题意列出方程求解，然后确定符合题意的解即可． 【详解】解：设，则， ∵围成的售卖区的面积为， ∴根据题意列一元二次方程得，， ， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， ∴， ∴的长为． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先根据根与系数的关系得出，，然后联立方程组，求出，进一步得出关于m的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：根据根与系数的关系，，， 又∵， 联立方程组∶ ， 解得， 代入，得， 即， ∴， ∴． 21．（8分）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式、现列表探究的变形： 的变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： (1)表格中的值为__________； (2)观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________； (3)记的两个变形为和，则的值为__________． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程． （1）先把方程两边加上6，然后把方程左边因式分解，从而得到t的值； （2）利用表中数据得到m与n的和为一次项系数的相反数； （3）由（2）的结论得到，，则即，从而得到的值． 【详解】（1）解：， ， ， 所以， 故答案为：3； （2）解：， ， ， ， 所以为一次项系数的相反数， 即； 故答案为：； （3）解：由（2）的结论得到，， 所以， 即， ∴． 故答案为：． 22．（10分）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先模仿题干过程，得出，再整理得，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）由得出，因为关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，故，代入求出，最后把代入，解得； （3）依题意，，令，原方程化为，此时，无实数根，整理得，又因为，当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根，故，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得； （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得． 23．（10分）阅读：关于的一元二次方程，我们知道当时，方程的两个实数根可以表示为：，， 此时方两根之和为：． 两根之积为：， 这就是一元二次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题： (1)求一元二次方程的两根之和与两根之积； (2)已知，是一元二次方程的两根，那这两根的平方之和等于____．这两根的倒数之和为_____． (3)已知，是一元二次方程的两根，，是的两根，则______，______． 【答案】(1)两根之和为，两根之积为 (2)， (3)， 【分析】（1）直接套用韦达定理，代入方程的系数，求出两根之和与两根之积； （2）先将方程整理为标准形式，再用韦达定理求出两根之和与积，最后代入平方和、倒数和的变形公式计算结果； （3）对两个方程分别应用韦达定理，得到关于， 的方程组，联立求解即可得到参数值． 【详解】（1）解：已知， 则两根之和为， 两根之积为． 答：两根之和为，两根之积为． （2）解：已知，可变形为， 则，， 可得， ， 故两根的平方之和为，倒数之和为． 答：，． （3）解：，是一元二次方程的两根， 则，； ，是的两根， 则，， 可得，， 即， 可得，即，整体代入中， 可得， 则，， 故，． 答：，． 【点睛】本题考查韦达定理，一元二次方程的整理，代数式恒等变形，二元一次方程组的求解，灵活使用代数变形是解题关键． 24．（12分）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且满足，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的间隔点，称这样的方程为“间隔方程”． (1)下列方程是“间隔方程”的是________（填序号）． ①；②；③；④． (2)已知关于x的方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根且方程是“间隔方程”． (3)已知不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上，求b，c的值． (4)关于x的一元二次方程是否存在间隔点，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3) (4)关于x的一元二次方程存在间隔点，此时． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确理解“间隔方程”的定义是解题的关键． （1）分别解四个方程求出对应方程的解，再根据“间隔方程”的定义逐一判断即可； （2）根据判别式即可判断方程的根的情况；利用因式分解法解方程得到方程的解，再根据“间隔方程”的定义判断即可； （3）设方程的两个实数根为，且满足，则，把点M坐标代入直线解析式中推出，根据题意可得不论为何值，等式一定成立，则，则可求出，，再由根与系数的关系可得答案； （4）假设关于x的一元二次方程存在间隔点，解方程得到，则，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， 解得或 ∵， ∴方程不是“间隔方程”； ②∵， ∴， 解得或， ∵， ∴方程是“间隔方程”； ③∵， ∴， 解得， ∵， ∴方程不是“间隔方程”； ④∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴方程是“间隔方程”； 故答案为：②④； （2）证明：由题意得， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 解得，， ∵ 方程是“间隔方程”； （3）解：∵不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上， ∴可设方程的两个实数根为，且满足， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上， ∴不论为何值，等式一定成立， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴， 假设关于x的一元二次方程存在间隔点， ∴原方程有两个不相等的实数根， 解方程得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴关于x的一元二次方程存在间隔点，此时． 学科网（北京）股份有限公司22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $