第五章一元函数的导数及其应用单元检测-2025-2026学年高二上学期人教A版数学选择性必修第二册

2025-2026学年上学期高二数学单元检测卷 第五章一元函数的导数及其应用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修二第五章一元函数的导数及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易得，又，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即.故选：D. 2．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 【答案】B 【详解】对于A选项，当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，A对； 对于B选项，当时，，所以函数在上单调递增，在上也为增函数， 故不是函数的极值点，B错； 对于C选项，由图象可知，当时，，当且仅当时，等号成立， 所以函数在区间上单调递增，C对； 对于D选项，由图象可知函数在处切线的斜率大于零，D对.故选：B. 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知函数的定义域为，因为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； 又，故排除D； 又， 所以，， 即在上存在零点，所以函数在内存在极值点，故排除C，故选：A 4．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 当且仅当时取等，因此在上单调递增． 可知为上的奇函数． 解法1：因为，所以． 原不等式可化为，即． 由于在上单调递增，因此，解得 ，故选：B． 解法2： 又因为，所以函数的图象关于点（1，-2）对称， 且在上单调递增，． 原不等式可化为，解得，故选：B． 5．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 6．若函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以， 设，则， 所以即在R上单调递增.又由， 所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在时，取到最小值，即函数值域为.故选：B 7．已知函数，若对于任意的，总存在，使得的图象上点与处的切线平行，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，可得，则， 令，可得， 当时，，单调递增，即在上单调递增； 当时，，单调递减，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为， 且时，，所以， 当时，，可得，可得， 因为对于任意的，总存在， 使得的图象上点与处的切线平行， 所以，所以，即实数的取值范围为.故选：B. 8．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由，即，即，所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得.故选：D. 二、多选题 9．已知函数在处有极大值，则（    ） A． B． C．若时，的值域为，则的取值范围为 D．曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点 【答案】BC 【分析】先利用极大值和导数确定可判断A；由三次函数图象的对称中心性质可判断B；利用单调性可判断C；由导数的意义结合切线方程可判断D. 【详解】，， 因为函数在处有极大值，所以， 即，解得或3， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极小值点，不符合题意， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极大值点，所以， 对于A，由以上可得，故A错误； 对于B，法一：， 易知函数为奇函数，其图象关于原点对称， 而的图象是由函数的图象向右平移两个单位后，向上平移两个单位得到， 所以的图象关于点成中心对称，即； 法二：由于，令，则， 令，，所以的图象关于点成中心对称， 即，故B正确； 对于C，因为，极大值，极小值，， 结合单调性可得当的值域为，则的取值范围为，故C正确； 对于D，由，所以切线方程为，即， 联立可得，解得， 即方程有三重根，所以曲线在点处的切线与曲线有1个不同的公共点，故D错误. 故选：BC. 10．已知，函数有两个极值点，，则（   ） A．可能是负数 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．为定值 【答案】BCD 【详解】由，则， 当时，，则在上单调递减，没有极值，故A错误， 当时，令，得， 不妨设，则，故B正确， 当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 而，则， 所以 为定值，故D正确； 对于C，由，则，而， 则曲线在点处的切线方程为，故C正确.故选：BCD 11．已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 【答案】AC 【详解】对于A： ， 所以的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B：，令，即， 所以， 所以当时，方程有两个根，即有两个极值点，故B错误； 对于C：由，解得， 显然当时，，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 当，所以对于任意有三个零点，故C正确； 对于D：当时，在单调递减，又， 所以在单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D错误；故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．若是函数的极值点，则 . 【答案】 【详解】由，且是的极值点， 所以， 整理得.故答案为：. 13．已知函数，则 . 【答案】 【详解】由，又由函数， 可得，则，所以.故答案为：. 14．函数的最小值为 ． 【答案】1 【详解】函数的定义域为 ；令，解得 ， 当时，，求导得到， 所以函数在上单调递减， 在第一段上，最小值在处取得，. 当时，，求导得到， 令，解得，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此，是第二段的最小值点，计算得； 因为，所以函数的最小值为1.故答案为：1. 四、解答题 15．已知函数 (1)当时，求函数的最值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)最小值为，无最大值．(2)答案见解析. 【详解】（1）由题可知，函数定义域为，当时，， ，令， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，无最大值． （2）． 当时，当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上恒成立，函数在上单调递减； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，，令，得或，令，得， 函数在和上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增． 16．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若为的导函数，求的极值． 【答案】(1) (2)在处取极小值0，无极大值 【详解】（1）因为，所以，，故切线方程为； （2）令，求导得， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 故，故在处取极小值0，无极大值． 17．设. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数定义域为，，， 曲线在处的切线方程为：，即； （2），令，解得或， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， ，， 所以，函数在区间上的最大值为． 18．已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1)1 (2)或． 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，所以； （2）设曲线过原点的切线的切点为，则， 原点不在曲线上，于是，解得， 当时，；当时，， 所以曲线过原点的切线方程为或． 19．已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为曲线在处的切线方程为，故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得，故的值为； （2）由题可知恒成立， 因为，所以不等式整理得恒成立， 当时，不等式恒成立，此时取任意实数. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递增，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 在上的下确界为，要使恒成立，故. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递减，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 要使恒成立，故.综上所述，. （3）已知，且函数存在极值， 求导，令，求导， 令，解得.因为时，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值，因为， 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 当，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二数学单元检测卷 第五章一元函数的导数及其应用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修二第五章一元函数的导数及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 6．若函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对于任意的，总存在，使得的图象上点与处的切线平行，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知函数在处有极大值，则（    ） A． B． C．若时，的值域为，则的取值范围为 D．曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点 10．已知，函数有两个极值点，，则（   ） A．可能是负数 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．为定值 11．已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若是函数的极值点，则 . 13．已知函数，则 . 14．函数的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数 (1)当时，求函数的最值； (2)讨论函数的单调性． 16.本小题分 设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若为的导函数，求的极值． 17.本小题分 设. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值. 18.本小题分 已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)求曲线过原点的切线方程． 19.本小题分 已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年上学期高二数学单元检测卷 第五章一元函数的导数及其应用 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B D B B D BC BCD 题号 11 答案 AC 1．D 【详解】易得，又，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即.故选：D. 2．B 【详解】对于A选项，当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，A对； 对于B选项，当时，， 所以函数在上单调递增，在上也为增函数， 故不是函数的极值点，B错； 对于C选项，由图象可知，当时，，当且仅当时，等号成立， 所以函数在区间上单调递增，C对； 对于D选项，由图象可知函数在处切线的斜率大于零，D对.故选：B. 3．A 【详解】由题可知函数的定义域为，因为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； 又，故排除D； 又， 所以，， 即在上存在零点，所以函数在内存在极值点，故排除C，故选：A 4．B 【详解】设，则， 当且仅当时取等，因此在上单调递增． 可知为上的奇函数． 解法1：因为，所以． 原不等式可化为，即． 由于在上单调递增，因此，解得，故选：B． 解法2： 又因为，所以函数的图象关于点（1，-2）对称， 且在上单调递增，． 原不等式可化为，解得，故选：B． 5．D 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 6．B 【详解】由，所以， 设，则，所以即在R上单调递增. 又由，所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在时，取到最小值，即函数值域为.故选：B 7．B 【详解】当时，可得，则， 令，可得， 当时，，单调递增，即在上单调递增； 当时，，单调递减，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为， 且时，，所以， 当时，，可得，可得， 因为对于任意的，总存在， 使得的图象上点与处的切线平行， 所以，所以，即实数的取值范围为.故选：B. 8．D 【详解】由，即，即，所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得.故选：D. 9．BC 【详解】，， 因为函数在处有极大值，所以，即，解得或3， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极小值点，不符合题意， 当时，， 当时，；当时，；当时，，此时为极大值点， 所以，对于A，由以上可得，故A错误； 对于B，法一：， 易知函数为奇函数，其图象关于原点对称， 而的图象是由函数的图象向右平移两个单位后，向上平移两个单位得到， 所以的图象关于点成中心对称，即； 法二：由于，令，则， 令，， 所以的图象关于点成中心对称，即，故B正确； 对于C，因为，极大值，极小值，， 结合单调性可得当的值域为，则的取值范围为，故C正确； 对于D，由，所以切线方程为，即， 联立可得，解得， 即方程有三重根，所以曲线在点处的切线与曲线有1个不同的公共点，故D错误. 故选：BC. 10．BCD 【详解】由，则， 当时，，则在上单调递减，没有极值，故A错误， 当时，令，得， 不妨设，则，故B正确， 当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 而，则， 所以 为定值，故D正确； 对于C，由，则，而， 则曲线在点处的切线方程为，故C正确.故选：BCD 11．AC 【详解】对于A： ， 所以的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B：，令，即， 所以， 所以当时，方程有两个根，即有两个极值点，故B错误； 对于C：由，解得， 显然当时，，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 当，所以对于任意有三个零点，故C正确； 对于D：当时，在单调递减，又， 所以在单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D错误；故选：AC. 12． 【详解】由，且是的极值点， 所以， 整理得.故答案为：. 13． 【详解】由，又由函数， 可得，则，所以.故答案为：. 14．1 【详解】函数的定义域为 ；令，解得 ， 当时，，求导得到， 所以函数在上单调递减， 在第一段上，最小值在处取得，. 当时，，求导得到， 令，解得，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此，是第二段的最小值点，计算得； 因为，所以函数的最小值为1.故答案为：1. 15．(1)最小值为，无最大值．(2)答案见解析. 【详解】（1）由题可知，函数定义域为，当时，， ，令， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，无最大值． （2）． 当时，当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上恒成立，函数在上单调递减； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，， 令，得或，令，得， 函数在和上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增． 16．(1) (2)在处取极小值0，无极大值 【详解】（1）因为，所以，，故切线方程为； （2）令求导得， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 故，故在处取极小值0，无极大值． 17．(1) (2) 【详解】（1）函数定义域为，，， 曲线在处的切线方程为：，即； （2），令，解得或， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ，， ，所以，函数在区间上的最大值为． 18．(1)1 (2)或． 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，所以； （2）设曲线过原点的切线的切点为，则， 原点不在曲线上，于是，解得， 当时，；当时，， 所以曲线过原点的切线方程为或． 19．(1) (2) (3) 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为曲线在处的切线方程为，故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得，故的值为； （2）由题可知恒成立， 因为，所以不等式整理得恒成立， 当时，不等式恒成立，此时取任意实数. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递增，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 在上的下确界为，要使恒成立，故. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递减，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 要使恒成立，故.综上所述，. （3）已知，且函数存在极值， 求导，令，求导， 令，解得.因为时，时，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以在处有最小值， 因为，所以当时，， 故函数存在极值，当时，，故函数不存在极值； 当，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $