山东省菏泽第一中学2025-2026学年高二上学期1月份月考数学试题

菏泽一中高二2026年1月份月考数学试题 一、单选题 1．在等差数列中，若，则（   ） A．24 B．28 C．32 D．36 2．如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（    ） A． B． C．D． 3．已知数列为等比数列，若，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 4．已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（    ） A． B．3 C． D． 5．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知点，则点到平面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 7．设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．14 D． 8．如图，F是平面上一点，以F为圆心，分别画出半径为1，2，3，4，5的同心圆．记半径为4的圆的一条切线为l，再画出与l平行的各圆的切线和一条穿过圆心F与l平行的直线．若以F为焦点，l为准线的抛物线记为M，则A，B，C，D，E这5个点（    ） A．都不在抛物线M上 B．只有1个点在抛物线M上 C．有2个点在抛物线M上 D．有3个点在抛物线M上 二、多选题 9．关于双曲线，下列说法正确的是（    ） A．该双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．过点作直线与双曲线交于，若，则满足条件的直线只有一条 C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 D．过点能作4条直线与双曲线仅有一个交点 10．如图，正四棱锥与正四棱锥的底面重合，且，M为棱上一点，则（    ） A．平面 B．正四棱锥的体积为 C．的最小值为 D．点到平面的距离为 11．已知数列{an}的前n项和为，前n项积为，下列说法正确的是（    ） A．若则 B．若,则Sn的最大值为 C．若，且对任意恒成立，则 D．若为正项等比数列，，则使得的n的最大值为203 三、填空题 12．已知数列的前项和为，且，，数列的通项公式为 13．已知圆，椭圆的上、下焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，直线OP与圆交于点M，N，若，则 14．在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为 ；若，则点的轨迹长度为 .   四、解答题 15．已知圆：，点. (1)若直线与相切，切点为，求； (2)已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程. 16．已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．如图，在四棱柱中，侧面是边长为2的正方形，平面平面，，，E为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． 条件①：；条件②：． (1)求证：； (2)求平面BCE与平面夹角的余弦值； (3)已知点M在线段上，直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段CM的长． 18．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，． (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线斜率的取值范围； (3)判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论． 19．若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜率相关的．已知抛物线：（），点在抛物线上，点与点是斜率相关的，点与点是斜率相关的，其中为常数且，记直线的斜率为． (1)设为坐标原点，若，求的面积． (2)对任意的正整数，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)求数列的前项和;若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 参考答案 1-4.DABD 5-8.BCAD 9. ACD 10. ACD 11. BC 8．D【详解】不妨以点D为坐标原点，过点D且平行于直线的直线为轴，过点D且垂直于直线的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图 此时，则抛物线的方程为， 易知该组同心圆的方程为， 联立解得， 由图可知，所给5点的纵坐标不小于0，故， 当时，可得，该点为点D；当时，，该点为点E； 当时，，该点不存在；当时，，该点为点B； 综上所述，有3个点在抛物线上故选：D 10．对于选项D，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以， 则， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，所以D正确；故选：ACD. 11．BC对于选项C，，由得， 化简得.该式对任意恒成立，的最小值为3，故，选项C正确. 对于选项D，设正项等比数列的公比为，由，得，，故，且，.，， ，由，可知， 又，故，故使得的的最大值为202，选项D错误. 12． 13．3 【详解】由椭圆和圆的对称性可设点在第一象限， 由椭圆的定义可得，结合题设可得，故， 而为三角形内角，故， 所以，故，所以， 故，由可得，而， 故，故答案为：3. 14． 【详解】 如图连接，则，平面.过作，则，，又，故，. 如图：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设与都垂直的向量为，则，取，则，异面直线之间的距离，则点到直线的距离的最小值为.如图：过作 因为，所以，所以点在正方形内，以为圆心,为半径的圆弧上，因为，所以，，所以，同理,所以， 所以点的轨迹长度为.   15．【详解】（1）圆：的圆心，半径，， 由直线与相切于点，得..............5分 （2）要圆上恰有三个点到的距离都等于1，当且仅当圆心到直线的距离为1， 而点在圆外，直线与圆相离，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，由，解得或， 所以直线的方程为或...............13分 16．【详解】（1）由题意，在等差数列中，设公差为, 由，得，则， 又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，∴，，∴数列的通项公式为：．....6分 （2）由题意及（1）得，，在数列中，， 在数列中，，∴，..............8分 ∴， ， 两式相减得 ．∴..............15分 17．【详解】（1）证明：选择条件①：因为侧面是正方形，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以． 选择条件②：因为侧面是正方形，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，所以又，所以，即，因为，所以．.....4分 （2）由（1）知，两两垂直，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 易知平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 则...............9分 （3）设，则， 由（2）知， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以，整理得，即， 解得或，故线段的长为或．..............15分 18．【详解】（1）设椭圆方程的半焦距为，根据题意得， 解得，，因此椭圆；..............4分 （2）根据第一问可得，当直线的斜率存在时，设，其中． 联立，得（*） 显然方程*式的判别式，设，则，． 直线的方程为，令，得，即，同理可得． 所以， 将代入整理得， ，因为，所以，解得；8分 当直线的斜率不存在时，有，， 直线的方程为，令可得，即点的坐标为， 直线的方程为，令可得，即点的坐标为， 此时， ．综上所述，；..............10分 （3）观察图象可判断，点在以为直径的圆的内部． 证法一：当直线的斜率不存在时，由（2）可知， 则，，故，即． 当直线的斜率存在时，可设，其中． 由（2）可知， ，， 且，．所以，． 因为 ， 所以，综上，点在以为直径的圆的内部．..............17分   19．（1）点在抛物线上，则，解得， 抛物线的方程为，，是斜率相关的，点，， 的方程为，由，解得或，设，， 又在上，，解得，则， ，点到的距离为， 的面积为．..............5分 （2）根据斜率相关的定义可知，的斜率为， 把，代入得， ，则， ①，同理可得，，即②， ③，，对任意的正整数是定值．....10分 （3）由（2）中①②消去得，， 是以为首项，为公差的等差数列，， 由（2）知， ， ， ，..............15分 对单调递增，且对任意的正整数，都有， ， 又，原式化简为，解得， 实数的取值范围为．..............17分 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $