天津天津市和平区2026届高三上学期期末质量调查数学试题

第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟。 第I卷（选择题共45分） 监测注意事项： 1,答第I卷前，务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： 批 ·锥体的体积公式体写Sh,其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高。 ·球的体积公式-号R,球的表面积公式=4红R心，其中R表示球的半径 ·如果事件A、B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B) ·如果事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B) ·任意两个事件A与B,若P()>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） (1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,4},则AUCB= 出 (A){2,3,5} (B){1,3,5} (C){1,2,3,4} (D){2,3,4,5} (2)“0<x<1”是“|x<1”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 茶 (3)已知等差数列{(an}的前n项和为Sn,若S,=9,则a+a,= 恒 (A)1 (B)2 @8 (D)9 (4)已知m,n是空间两条不同的直线，α：，B为两个不同的平面，则下列命题错误的为 (A)若m⊥B,mca,则a⊥B (B)若m⊥a,n⊥a,则m∥n (C)若m∥a,m∥B,则a∥B (D)若m∥n,m⊥a,则n⊥ca (5)车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损某实验室通过 试验测得行驶里程x(单位：km)与某品牌轮胎凹槽深度y(单位：mm)的数据，并对 站 这些数据进行了初步处理现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二 乘法，可得到y关于x的经验回归方程为=9.15-1.14x,模型I的决定系数为0.95， 模型Ⅱ为非线性经验回归方程=l0.11-3.45ln(x+),模型Ⅱ的决定系数为0.99，则以下 说法正确的是 高三年级数学第1页（共4页)》 (A)若选用模型1，则两个变量正相关 (B)若选用模型I,当自变量x每增加1个单位时，因变量y一定减少1.14个单位 (C)若选用模型Ⅱ，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 (D)模型Ⅱ的拟合效果比模型I的拟合效果好 (6)函数f(x)=x-log1x+1的零点所在的一个区间为 效 (A) .g () (c) D() (7)已知某圆锥的母线长为2√3，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则 该圆锥内切球的表面积为 (A)36元 (B)12元 (C)4π (D)元 ￥ (8)已知函数f(x)=sin2wx (<3,若(+的图象关于y轴对称，且在 区间0，上单调递减，则 的值为 (A)-3 2 (c (D)3 2 ②)已知0为坐标原点，双曲线C:-=1@>0,b>0)的左，右焦点分别为R,龙 岸 点P为C上一点，且在第一象限，∠FPF的平分线与x轴的交点为M,过点E作PM 0 的垂线，垂足为点H，点F到C的一条渐近线的距离为d,若OH=√2d,则双曲线C的 离心率为 (A)2 (B)V3 (C) 6 3 (D)6 第Ⅱ卷（非选择题共105分） 监测注意事项： 的 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共11小题，共105分。 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个 的给3分，全部答对的给5分) (10)i为虚数单位，复数 2i 的虚部为 i 6 的展开式中，x的系数为 (用数字作答) 高三年级数学第2页（共4页) (12)已知抛物线y2=2px(p>0),其焦点F到准线的距离为4，过点F且倾斜角为二的 直线被圆x2+y2-2x-2y=3截得的线段长度为 (13)已知某盒中装有6个大小、质地一致的乒乓球，其中有4个新球（从未被使用过) 2个旧球，第一次比赛时从此盒中任取2个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比 赛时再从此盒中任取2个球使用.(1)第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率 为 一；()在第一次比赛时取出2个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二 次比赛时取出的2个球都是新球的概率为 (14)已知M是△ABC内的-点，且=M远+若c,=AC(AER),B,M,N 三点共线，则1=一，若A=3,AC=6,且向量AB在向量AC上的投影向量为 4c,则mc= (15)已知a,b∈R,若对于任意的x>0,不等式(e-a)(x2+bx-10(x-a)>0恒成立， 则3a+b的最小值为 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） (16)（本小题满分14分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin2C+csin B=0. (I)求角C的大小： (Ⅱ)若a=3,c-b=2. (i)求b的值： (ii)求cos(A-2C)的值， (17)(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD, PA=AD=2,E,F分别为CD,PB的中点 (I)求证：EF∥平面PAD; (Ⅱ)求平面PAD与平面AEF的夹角的余弦值： (IⅢI)求点P到平面AEF的距离. D B 高三年级数学第3页（共4页) (18)(本小题满分15分) 已知0为坐标原点，椭圆号+ +发a>b>0的左、右焦点分别为F,B,点B为 椭圆下顶点，△BFF为等腰直角三角形，其周长为4+2√5 4 (I)求椭圆的方程： (IⅡ)直线I过点B与椭圆交于点C(异于椭圆顶点)，线段BC中点为D,射线OD 与直线x=-2√2交于点E,点F在以BE为直径的圆上，求直线I的方程。 妙 (19)(本小题满分15分) 已知n∈N,数列{an}满足an2=a,+d,其中d为常数，且有a=l,a2=3,4+a=8, 正项等比数列{也}满足b=1,b2+b=a5+1. (I)求数列{an}与{bn}的通项公式： (Ⅱ)若cn=anbn1,设数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn; (I)在(IⅡ)的条件下，若对任意的n∈N,均有Tn<nbn<Tm1成立，求整数入 的取值集合， (20)(本小题满分16分) 已知函数f)=+ax(a∈R),g)=lhx-4 4 I若-+ +(a-)·g(x),求函数m(x)的单调区间： (Ⅱ)若f=8()+n()+x,且()的最小值为3+2n2 4 (i)求实数a的值； (11)若存在实数，x2满足f(:)=g(:)+x2,求x一的最小值. 高三年级数学第4页（共4页) 高三年级数学参考答案及评分标准 一、选择题(9×5分=45分) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) B A B C D c c 1 D 二、填空题(6×5分=30分) (10)1 (11)6 (12)25 42 (13)4:3 255 (15)2W2 三、解答题（共75分） (16)(本小题满分14分) 解：（1)由正弦定理 =b及二倍角公式sin2C=2 2sinCcosC可得 sinC sin B 2 sin BsinCcosC+sinCsinB=0,又因为B,C∈(0，m),所以sinC≠0，sinB≠0， 解得cosC=分由0<C<m,有C-行 3 -4分 (Ⅱ)(i)将a=3,c=b+2,cosC=-1代入余弦定理c2=a2+62-2 abcosC, 2 解得b=5,c=7.- -8分 （）因为c-号，故如c=子：9w20-os子=-月 4 由正弦定理 3 C品解得4治由40引放wA=面 14 -12分 代入cos(A-2C)=cscos2C+sin4sin2C=- 14 -14分 (17)(本小题满分15分) 解：因为PA⊥平面ABCD,正方形ABCD,因此以点A为原点，AB,AD,AP所在直线分 别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系易知A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E1,2,0),F1,0,1). 一2分 （1)证明：可知EF=(0,-2,1),平面PAD的法向量为%=(1,0,0)，EF·7=0,所以 EF⊥元，又因为EFa平面PAD,所以EF∥平面PAD. -5分 高三年级数学答案第1页（共4页) （1)设平面AEF的法向量为万=(x,yz),AE=1,2,0)，AF=(1,0,) 则 ·亚=x2y=0令x=2,则=2，-1-2) mgAF=x+z=0, -8分 设平面ABF与平面PAD的夹角为0，Qos0-os<网，西 同 3 则平面AEF与平面PAD的夹角的余弦值为 -11分 ()易知丽=(00,2)，设点P到平面AEF的距离为d,d=1P乃_4 -15分 3 (18)（本小题满分15分) 2a+2c=4+2√2， [a=2, 解：(I)依题意b=c, 解得 b=c=√2 故椭圆方程为 +=1.5分 a2=b2+c2 4+2 (Ⅱ)依题意B(0,-√2)，直线1斜率显然存在，设直线1的方程为y=:-√2， y=-√2， 设点C(x,),由方程组 整理得(2k2+1)x2-4V2=0,- --8分 4 2 △>0，故k≠0，有0= 22+'%=-v2=222- 42k 4W2k22k2-√2 2k2+1 2,即c k2+12k2+1 故BC中点D 22k-V2 2k2+1'2k2+1 -10分 所以直线OD方程为y=- 2k -11分 又因为点F在以BE为直径的圆上，故有BF·E万=0①， -13分 由丽=(5.丽(a-9 代入①式，解得k=-1, 故直线I的方程为y=-x-√2 15分 高三年级数学答案第2页（共4页)》 (19)(本小题满分15分) 解：（I)由己知a=1+d,a,=3+d,a+a,=4+2d=8,解得d=2, 故an= 血，m为奇数故么，+=4，+1=6，设等比数列公比为g,4=1,则有 n+l,n为偶数， g+q-6=0,解得g=2或-3，因为正项数列他，}，故g=2,所以bn=2.-4分 （Ⅱ)bn1=2”,所以cn=a,bn1= n2”, n为奇数 (n+1)2”,n为偶数， (法-)因为-02+2a+小2产-(n+引，故元-+引] 2 4T3n= 2 4”+,两式相减有 玩-43r]Ha+引143=答-+， 鉴理得-3环-2+侣别4m,即号4如-引 (法二)设A=1×2+3×2+…+(2n-1)2-,B=3×22+5×2+…+(2n+1)-22”, 则Z=4+8求得4=信-}4+号B-(得0+司引4-号· 所以=4+8=号号引4 -10分 (m）五<bw<工i即Z。 n22m<1<3 h22, 设f(n)= n…22m- =8+仔-小f+0-m-号*0兰 n(n+)4" 易知41-3n-4>0,有f(n+1)-f(n)>0,f(n+1)>f(n), 故函数f(nm)单调递增，f()=7,f(n)[7,8).- -13分 2 设gm)=了1 +4n- 7…22m可= Tin+Cansl 3 4”+(2n+）-22m n.22- 易知函数g()单调递减，g)=19,g()∈(16,19]，故8<1<16，验证1=8与16均符 合题意，所以，整数2的取值集合为8,9,10,11,12,13,14,15,16}. --15分 高三年级数学答案第3页（共4页） (20)(本小题满分16分) 解（1)M=m+a-0nx-g,m=2h+a2nta ，(x>0), x x >1,解得x>e学，令m<0,hx<22,解得0<x<e宁， 1-0 1-a 令m'(x)>0,nx> l-a 上e 所以m(x)在区间0，©2上单调递减，在区间e2,+o上单调递增。 --4分 (I)(i)由=x-1nx++a-0x,m=2x-+a-》=2r+a-x-l,-5分 x 令)=0，有2r+a-0x-1=0,因为4>0，<0，放方程有两异号实根，又x>0, 因此(x)有唯一零点x,(>0),所以xE(0,x)时，n(x)<0,x∈(+o)时，n(x)>0, 则n(x)在区间(0，x)上单调递减，在区间(x。,+∞)上单调递增，一 -7分 树的最小值为)，所以心)=2th2,故-h名+a-=子+分 31 2+ln2, 42 2x,2+(a-10x-1=0, 整理有 -%-方+h2-g+n6得6+hs=片-n5-司 2 +In- (a-10x。=1-2x,2, 2 故6 2,a=1. -10分 (ii）设h()=g(x)+x，则由题意有f)=h(x)，由(i）可得 f-hl=f-g-x=n>3+2n2>0,故(<f,h)<f)=), 4 因为-g+x=hx+x-为增函数，由M)<)可得5< 令m=k-=为-，所以m>0.由f)=8)+名，有+=1x+为-4，故 宁+片n=名-名，则%-m+好sm=0 -11分 记=6e-m+号-lr-mx>0,则倒-2x-名-2m,令t=0, 即22-2m-1=0,则△=4m2+8>0且-<0，所以2r2-2m-1=0有两异号实数根， 又因为x>0,所以t因有唯-零点(e>0,且m=名所以当xE0时，k化<0， 当xE(s,+∞)时，k(x)>0,则k(x)在(0，s)上单调递减，在(s,+∞)上单调递增，所以 0)<0,其中0=6--m-m+字即0=京+分-+<0，叉0)在 0,+∞)上单调递减，且k=0,得s>1,又因为m=9-在区间，+0)上单调递增， 所以m≥（当m时，有24=名=1）因此，片-的最小值为匀 -16分 高三年级数学答案第4页（共4页）