9.2 正弦定理与余弦定理的应用(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

该高中数学课件聚焦正弦定理与余弦定理的应用，以故宫角楼高度测量问题导入，引导学生将实际问题转化为解三角形问题。通过讲解基线、仰角俯角等测量术语，结合距离、高度、角度问题的类型表格，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于依托海岛距离测量、飞机高度计算等真实情境实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过即时练与跟踪训练强化理解，课堂小结提炼转化与化归思想，助力学生用数学思维解决实际问题。教师可借助系统例题和类型总结提升教学效率，学生能在实践中提升数学应用能力。

9．2　正弦定理与余弦定理的应用 1.理解测量中有关名词、术语的确切含义．　2.能将实际问题转化为解三角形问题．　3.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．   思考　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？ 新知学习 探究 返回导航 提示：问题转化为求不便到达的两点A，B之间的距离(如图)，可选定可到达位置C，D，用米尺测量CD＝m，用测量角度的工具测得∠ACB＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ，先在△BCD中求出BC，再在△ACD中求出AC，最后在△ABC中求AB即可． 新知学习 探究 返回导航 一　实际测量中有关名词、术语 1．基线的概念与选取原则 (1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 新知学习 探究 返回导航 2．测量中相关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． 新知学习 探究 返回导航 (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示). (3)方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示). 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高．(　　) (2)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．(　　) (3)方位角的范围是(0，π).(　　) (4)“视角”就是“仰角”．(　　) × × × × 新知学习 探究 返回导航 2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　) A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上 √ 解析：如图所示，可知Q在P的南偏西44°50′方向上，故选C. 新知学习 探究 返回导航 3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α>β　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β.故选B. √ 新知学习 探究 返回导航 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.  【解析】　因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，① AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，② 联立①②，解得AC＝7. 7 新知学习 探究 返回导航 测量距离问题的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形       方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB　 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB　 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 测量高度问题的基本类型及方案 类型 图形 方法 底部可达   测得BC＝a，∠BCA，AB＝a·tan ∠BCA 底部不可达 点B与C，D共线　　   测得CD＝a及C与∠ADB的度数．在△ACD中，先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线   测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数．在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 测量角度问题的解题思路 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 32 √ 1．(教材P15T3改编)从地面上观察一处建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为(　　) A．α＋β　　　　　　　 B．α－β C．β－α D．α 解析：如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C. 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案． 2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法． 3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角． 课堂巩固 自测 返回导航 二　距离问题 　(1)(对接教材例1)海面上有相距10 n mile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为(　　) A．10 n mile B．10 n mile C．5 n mile D．5 n mile $